第3章 有限变形
§3.1 有限变形
这时说的变形，除连续性条件外，没有其余任何条件。 小变形：小位移，小转动，小应变，
)
(2
1
)
(2
1,,,,i j j i ij i j j i ij u u u u +=-=εω
有限变形：大位移，大转动，大应变
对于一个微小六面体：小变形下变为一个平行六面体 有限变形下仍变为一个平行六面体 这一条件不变
变形几何学方面来研究变形 四个问题： 1）记录
2）什么办法来描述 3）怎么度量
4）有没有办法将变形分解
§3.2 物体的构形和坐标系
物体：连续介质，变形前用0K 代表，变形后物体用t K 代表
0K ：物体，物质点的集合,被始构形(material configuration)； t K ：变形后的物体,现时构形(spatial configuration)，
P ：物质点
p ：空间点，物质点在空间所占的位置。
初始坐标系 ⅢⅡⅠX X X O -
k 1现时构形
ⅠX
ⅡX
ⅢX
)(K X P
)(k
x p
X
O
o
d
2x
x 3x
1x
u
现时坐标系 321x x x o -
构形：每一瞬时与物质点对应的空间点的集合。
0=t 瞬时，初始构形 0K
0K ：初始构形，X 点的坐标（K X ）
t K ：现时构形，（瞬时t 的构形），x 点的坐标（k x ） 全部采用直角坐标系
§3.3 描写物体运动和变形的方法
1． Lagrange 描述法
用物质坐标k X 作自变量（描述物体的运动和变形）
(,) (,)k k K t x x X t ==x x X
研究物质点在不同时刻所对应的空间点（着眼点：跟踪物质点运动状况）
2． Euler 描述法
用空间坐标k x 作自变量（描述物体的运动和变形）
(,) (,)K K k t X X x t ==X X x
研究空间点x 处对不同时刻流径这一空间的物质点（着眼点：跟踪在一个空间点上，不同时刻对应的物质点）
（前者跟踪同一个人，不同晚上睡不同的床位，后者跟踪同一张床，不同晚上由不同的人去睡）
位移点：u
=+-u d x X （其中d 不随时间而变，X 也与t 无关）
速度和加速度：分两种表述方法 1）Lagrange 法
22(,)
(,)
K K X t t
X t t ?==
??===
?X v u x a v u
2）Euler 法：（研究流体的流动等）
(,)k x t =v v ——流场
(,)d
(,)d (,) k k k k k k
k
x t x x t t t x t x t v t x ???==+?????=
+??v v a v v v
物质导数=局部导数+迁移导数
§3.4 变形梯度
有限变形：记录（构形），描述???E
L
，度量（本节研究）
物体的有限变形的研究，离不开一点的领域，或取一个线元。 变形前线元：d d K K PQ X ==?X E 变形后线元：d d K k pq x ==?x e
x X d d →经历了一个长度的变化和方向的变化（它们的量都可能是很大的）
1）Lagrange 法：物质坐标K X ——自变量
p 点：),(t X x x K k k =
q 点：),d (d t X X x x x K K k k k +=+
求d x ：
K K
k
K k K K k k X X x t X x t X X x x d ),(),d (d ???=
-+= K K k k X X x x d d ??=
表示d x 和d X 的关系（可见K
k X x
??的重要性） K
k
X x ??称为物质变形梯度张量F （称为“物质”的理由是物质坐标下的）。 即 K k K
k kK
x X x F ,简写=??= d d d d k kK K x F X ==x F X 变形前后线元之间的关系（包含了长度和方向） （*）
x Ⅰ2
变形前d x （方向、长度）
变形后d x （方向、长度）
下面验证F 是一个二阶张量
km lm kl m l kl m l kl m k K
M M m m k K k q q x x
q x x q x x X X X x x x X x ==??=??=?'?'???????'?='?'?δ
类似
KM K
M
Q x X ='?? 即 T
'=??F q F Q
∴F 为二阶张量，关系到两个坐标系，称为两点张量。
k
k K K
x X ?=
??F e E F 对应于一个线性变换，（从（*）式看），包含了方向和长度的变换。
由此可见，F 包含了全部的有限变形信息。
Grad ?=
=?x
F x X
（所以称为变形“梯度”） kK k K F =?e E k
k K K
x X ?=
??e E （各种不同的写法） r '=F qFQ
2）Euler 法：用空间坐标k x ——自变量，t 作参变量。
P 点（与p 对应的物质点）：),(t x X X k K K =
Q 点（与q 对应的物质点）
：),d (d t x x X X X k k K K K +=+ k k
K
K x x X X d d ???=
（知道现在线元，倒回去查原来的线元） 对应于一个由k x d 的线性变换。
空间变形梯度张量：1
-F
（ 以空间坐标为自变量）
1,grad K K k K k K k k
X X
x -??=
==?=???F X E e X E e x 其实，F 与1
-F
互逆，所以以1
-F
定义。
§3.5 变形张量
回顾变形梯度张量：,d d =F x F X 包含了全部信息
变形张量只研究其长度改变的信息（不包含方向改变） 1）Lagrange 描述法：K X 作为自变量 变形前d X 的长度2d :(d )d d K K L L X X =? 变形后d x 的长度2d :
(d )d d d d k k kl k l l l x x x x δ=?=?
上述K X d 应该是已知的，k x d 可求出的。 则
L
K L l K k kl L K lL kK kl L lL K kK kl X X x x X X F F X F X F l d d d d )d )(d ()d (,,2?=?==δδδ
L K L k K k X X x x d d dl)(,,2=∴
变形张量C （称为Green 变形张量） C 为正定的（0)d (2≥c ）
,,KL k K k L C x x =→C 为对称张量。
T ,,k K k L K L
x x ==?C F F
C E E
已知变形梯度张量可求出变形张量。通过C 可直接算出长度的变化（优点）。
2）Euler 描述法：k x 作为自变量
变形后的长度l d ：k k x x l d d )d (2?= （作为已知的） 变形前的长度L d ：
2,,,,(d )d d d d d d d d K K KL K L KL K k L l k l K k L l k l L X X X X X X x x X X x x δδ=?=?==
Cauchy 变形张量1
-B
1,,1
11
()()
K k K l k l T
X X ----=?=B e e B F F
通过变形梯度张量可求出变形张量。
§3.6 变形梯度张量的极分解
变形梯度张量F 。
（若）F 是一个可逆张量，即1
-F
存在，则F 可写为：
=?F R U 或 =?F V R
右极分解 左极分解
上述分解存在且唯一的，R 是正常正交张量，表示转动，所以记为R ，U 和V 是对称、正定张量。
1．右极分解的证明
若 =?F R U 成立，且R 为正交张量，U 为对称正定张量。
T T T T T ()=?=?=?F R U U R U R
则 T T ()()=??=?F F U R R U U U 又 T
=F F C 为正定的，对称轴，
∴ 由F 可找到U ，且U 为正定、对称的。
又 1
-=?R F U
T 1T
T
1
T
1
1
1
U
-----=?=???=???=R U F R R U F F U U U U I
∴R 为正交张量。
2．右极分解的唯一性
设 ''=?=?F R U R U
T T 2
T
T
T
2
()()'''==??'''''''==?=??=U R F R R U
U U U U U UR R R R U U
'∴=U U ，由此可推得 '=R R
3． 左右极分解中的R 是相同的。
=F RU 又 *=?F V R
***T ***T *()()==??=??F VR R R V R R R V R
上式为一右极分解，因为右极分解是唯一的，则*
=R R 同时由上式可得：
T =??U R V R U ：右伸长张量 V ：左伸长张量 U 和V 是相似张量。
则 T
=V RUR
§3.7 Lagrange 标架和Euler 标架
通过这两个标架的学习了解,,R U V 的几何意义。
=???
=??F R U
F V R
d d =?x F X F 相当于一个变换。
变形后线元；变形前线元
1．右极分解
d d d =?=??x F X R U X
将d X 先进行U 变换，再进行R 变换。
U 正定对称二阶张量， 对称张量，存在三个互相垂直的主方向，αM （1,2,3=α）
（ 正定）对应有三个主值（非负）
(111222333α)αα=Λ?=Λ?+Λ?+Λ?U M M M M M M M M
Lagrange 标架：123,,M M M 作为基矢 第一步：(d d α)αα?=Λ??U X M M X
d d X αα=X M 也按Lagrang
e 标架分解。
()(d d d X X αααββα)αα
=Λ??=ΛU X M M M M
第二步：d (d )?=?F X R U X 即 (d d X α)αα=Λx RM 又 (d d X α)αα=Λx m
则：αα=?m R M （变换后仍为矢量）
正交张量：有体内积性质，即，有αM 为单位矢量，正交变换后的αm 仍为单位矢量，但方向改变，且αM 仍为三个互为正交的。
αm 三个相垂直的方向——Euler 标架
根据前面两步可知：U 右伸长张量，R 转动张量。
２．左极分解
d d d ==??x F X V R X
第一步：d d X αα?=?R X R M （保内性质）
d X αα=m （长度不变，但投影到Euler 标架上） 第二步：d ??=V R X
令T
T
(α)αα==?Λ??V RUR R M M R
d (α)α=Λ?m m
Euler 标架是V 的三个主方向，以123,,m m m 作为基矢。 设(α)αα=λ?V m m 则
)()Λ=ααλ(
∴U 和V 主方向不同，主值相等。
（∴U 和V 是相似张量） d d d d X (α)αα=?=?=λ?x F X V R X m
两个极分解是同样的结果，只是伸长与转动的顺序不同。 Lagrange 标架：U 主方向 αM Euler 标架：V 的主方向 αm
既不固定在空间，也不固定在物体上，由变形来确定的标架。
123,,e e e 与,,E E E Ⅰ
ⅡⅢ是分别固定在空间与物体上的。
§3.8 有限变形的应变张量
, , , , F C B U V 已学过不是应变张量。
小变形的应变张量 应变定义：
000
l l l l l l <<-1,-=-λ Hill 研究上述定义有三个含义：
①λ的递增函数（变形增加，则应变增加） ②1=λ时，应变=0
③应变对λ的导数=1 （1=λ时） 根据上述三条，推广 Hill 应变张量（有限变形）：
111222333()()()f f f f =λ?+λ?+λ?E M M M M M M
)(),(),(32λλλf f f 1为L 标架中的主应变，主应变是32,,λλλ1的函数。条件：
a ）)λ(f 是λ的递增函数
b ）1=λ时，0=)λ(f
c ）1=)'λ(f ，当1=λ
理由，当是小变形时，可与原来的理论相通。 Seth 应变张量：
)1((2-21=
)n
n
f λλ n 取任意数满足Hill 条件。 ()2)1(1)2n n
n
(ααα=λ-?E M M
Green 应变张量：1=n 2
(1)
2((1)11
()()22
f 1λ)=λ-2=-=-E U I C I 工程应变张量：2
1
=
n 1-=)λλ(f
(1)((1)α)(α)(α)=-=λ-?E U I M M
对数应变张量：0=n
?
==)l
l
l f n d ( (ελλ推广） 0ln ln ()(α)αα==λ?E U M M
Swainger 应变张量；2
1-
=n λ
λ1
-
1=)(f
1()2
11()(1)-αα(α)
=-
=-?λE
I M M U Almansi 应变张量：1-=n
2(1)
2((1)11()(1)22
f ----2(α)αα1
λ)=-λ2
=-=-λ?E I U M M
有限变形中，应变的定义并不明确，都可用，到底用哪一个好？
§3.9 Green 应变张量和Almansi 应变张量
线元长度公式 Lagrange 描述法：
22,,(d )d d (d )d d KL K L KL K L KL k K k L
L X X l C X X C x x δ=== Euler 描述法：
21
21,,(d )d d (d )d d kl k l
kl k l kl K k K l
L B x x l x x B X X δ--===
1． Green 应变张量：（也叫做Lagrange 应变张量）
采用Lagrange 描述法。
22(d )(d )()d d 2d d KL KL K L KL K L
l L C X X E X X δ-=-=
)(2
1
,,KL L k K k KL x x E δ-=
——Green 应变张量分量 1
()2
=-E C I
2．Almansi 应变张量（也叫做Euler 应变张量）
采用Euler 描述法
l k kl kl x x B L l d d )()d ()d (1
22--=-δ
)(211--=
kl kl kl B e δ ——Almansi 应变张量分量 ,,1
()2
kl K k K l X X δ=- 21
()2
-=-e I U
§3.10 用位移表示的Green 应变张量和Almamsi 应变张量
位移矢：=
-+u x X d
Lagrange 描述法
K K U =?u E K K D =d E
K K k k K K K K U x x D ∴=-+E e E E
令物质坐标系和空间坐标系之间的转移张量
kK k K δ=?e E
则 k kK K =δe E
K K k k K K K K U x X D ∴=-+E e E E
故 K k kK K K U x X D δ=-+
M l lM M M U x X D δ=-+
对 K X 求导：MK lM K l K M x U δδ-=,, 两边乘Mk δ：
Kk
K k Kk lk K l Mk MK Mk lM K l Mk K M x x x U δδδδδδδδ-=-=-=,,,,
kK Mk K M K k U x δδ+=∴,,
L
M K M K L L K KL kN L N kL kM K M kK L k K k KL U U U U U U x x C ,.,,,,,, ))(( )
)((+++=++==δδδδδ )(2
1
KL KL KL C E δ-=
)(2
1
,,,,L M K M K L L K KL U U U U E ++=
同样，可得
)(2
1
,,,,l m k m k l l k kl u u u u e -+=
对于微小变形：
)(2
1,,i j j i ij u u +=ε 两者没有区别，一般用Lagrange 描述法
)1 ,1(,,<<< 是一对称应变张量，有6个应变分量（三个线应变，三个角应变） 在有限变形中，应变张量也是对称的，也有6个应变分量，但不是直接对应3个线应变和3个角应变，要通过一定的计算才能得出对应值。 （参考：B.B.诺沃日洛夫：非线性弹性力学基础） §3.11变形协调方程 给定应变张量分量：E 或? ?? →e u 在线弹性理论中，有生文南方程（6个协调方程） 在有限变形中： )(2 1 KL KL KL C E δ-= 变形协调方程：0)(=KL C f Green 变形张量： kl L l K k KL x x C δ,,= kl LM l K k K LM L KM M KL x x C C C δ,,,,,)(2 1 =-+ 又,,,,,,()()kl k K kr rl k K kr r P P l k K KP P l x x x X x C X δδδδ=== 则： ,,,,,1 ()2 KL M KM L LM K KP P l l LM C C C C X x +-= 两边乘以s r m K m S x X X ,,,，有 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1 ()2 ()()()S m K m KL M KM L LM K r S S m K m KP P l r S l LM k K k P S m K m r S P l l LM km k P S m r S P l l LM m P S m r S P l l LM SP r S P l l LM r P P l l LM rl l LM r LM X X C C C x X X C X x x x x X X x X x x X x X x x X x X x x X x x X x x x δδδ+-======== 即： LM r S r K LM L KM M KL m K m S x x C C C X X ,,,,,,,)(2 1 =-+ 定义：第二类Christoffel 符号 )(2 1 ,,,,,K LM L KM M KL m K m S S LM C C C X X -+= Γ 则：S r S LM LM r x x ,,?Γ= 再求一次偏导数： T r N T LM T r T SN S LM S r N S LM SN r S LM N S r S LM LMN r x x x x x x ,,,,,,,,,)( )( )(Γ+ΓΓ=Γ+Γ=Γ= 则：T r N T LM T SN S LM LMN r x x ,,,])([Γ+ΓΓ= 又 T r M T LN T SM S LN LNM r x x ,,,])([Γ+ΓΓ= 在欧几里德空间中，应有： LNM r LMN r x x ,,= 则：0)()(,,=Γ-Γ+ΓΓ-ΓΓM T LN N T LM T SM S LN T SN S LM 简记为：0=T LMN R 称为变形协调条件（充分必要的） M T LN N T LM T SM S LN T SN S LM T LMN L R ,,)()(Γ-Γ+Γ-ΓΓ= 称为第二类Riemann ——Christoffel 张量（4阶张量） 第一类Riemann ——Christoffel 张量： 0==T LMN KT KLMN R C R 也是变形协调的充分必要条件。 81个协调方程中只有6个是独立的（为什么只有6个， 其具有对称性） KLMN R 的对称性质： MNKL KLMN R R =，KLMN LKMN R R -=，KLMN KLMN R R -= 0=++KNLM KMNL KLMN R R R ,00 ,0 ,0 ,0======ⅢⅠⅢⅡⅢⅠⅢⅠⅡⅢⅡⅠⅡⅢⅡⅢⅠⅡⅠⅢⅠⅡⅠⅡR R R R R R §3.12 体元与面元的变化 C B A 、、三方向变形前的线元分别为：d ,d ,d A B C X X X 变形前体积： d d (d d ) d d d d d d d d d A B C A A A B B B C C C V X X X X X X X X X =?=X X X Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ ⅡⅢⅠ Ⅱ Ⅲ 变形后体积： 123123123111222333d d (d d ) (d )(d d ) d d d d d d d d d d d d d d d d d d d a b C A B C A A A K K K K K K B B B K K K K K K C C C K K K K K K A A A B B B C C C v F X F X F X F X F X F X F X F X F X F F F X X X F F F X X X F F F X X X V =?=???===?x x x F X F X F X F ⅠⅡ ⅢⅠ ⅡⅢⅠⅡⅢⅠ ⅡⅢⅠⅡ ⅢⅠ Ⅱ Ⅲ 令 J =F 则： d det 0d v J J V ==≠F ， （以前设：F 正定，可逆，这里得证）。 1变形前体积 变形后体积 x 2 面积变化 原始面积矢 d d A =A N （变形前） 其中任一线元d X ，其高与面积d A 构成初始体积 d d d V =?X A 现时面积矢d d =?a n a （变形后） 其中任一线元d x ，其高与面积矢d a 构成变形后体积 d d d v =?x a d d d d v J V = =?x F X 则：d d d d J ?=?a x A X d d d d J ?=?a F X A X 有： 1d d J -=a AF 1T d ()d J -∴=a F A ——Nanson 公式 ,d d k K k K a JX A = 2 111 2T 2 d d a J J A ---??== ??? N F F N N C N 或：2 21 d ()d a J A -??= ??? nBn 回顾：引伸： 变形几何问题： 问题：是弹性变形还是塑性变形？ 小变形：e P =+εεε 有限变形中：可否进行上述分解？ 有文献：E.H.Lee(1969),ASME,Trans Seienca E.JAM V o.36 提到：弹性变形是小变形，塑性变形是有限变形时，上述分解可用，但目前分析不清。 《机械基础》第三章习题 （多学时） 一、填空题 1、杆件的基本变形有：；；；。 2、内力：。分析杆件内力的唯一方法是，其内容可概括为、、、。 3、低碳钢拉伸时试件单位长度的变形ε，称为，公式为： 。在拉伸过程中应力值σp称为材料的；σe称为材料的；σs称为材料的；σb称为材料的。 4、应力分为两种，一种是垂直于截面的应力，称为；另一种是相切于截面的应力，称为。 5、杆件拉压变形，轴力为拉力时，应力为；轴力为压力时，应力为。通常以正号表示；负号表示。 6、胡克定律的两个表达式是、。 7、低碳钢拉伸变形的四个阶段是阶段、阶段、 阶段、阶段。 8、杆件拉压时的内力称为；剪切时的内力称为；圆轴扭转时的内力称为；直梁弯曲时内力称为。 9、杆件拉压时，单位面积上的内力称为，表达式为。 剪切时单位面积上的剪力称为，表达式为；挤压面上单位面积所受的挤压力称为，表达式为。在圆柱形构件上，用代替挤压面。即A J= 。 10、在工程中，以扭转变形为主要变形的杆件称为。 11、圆轴扭转时，力偶距、功率、转速的关系式为。 12、圆轴扭转时，在横截面上无应力，而只有垂直于半径的 应力。它的分布规律是：圆轴横截面上任一点的应力与改点所在 圆周半径成，方向与过改点的半径，且上应力最大。切应力的计算公式为。 13、提高抗扭能力的方法是、。 14、以弯曲变形为主要变形的杆件称为。它的基本形式有、 、。梁上各横截面的为零，为常数时的弯曲变形，称为。通常将只发生弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件称为。弯曲应力的表达式为。提高抗弯能力的方法是、、、 。 15、常用的塑性指标是拉断后的和。表达式分别为、。 16、在制造零件的过程中，对零件施加载荷使其产生塑性变形，则材料的比例极限和屈服极限有所提高，但塑性下降的现象称为。 17、拉伸与压缩时的强度条件为，运用强度条件，可解决、、等三种类型问题。 18、材料丧失正常工作能力时的应力，称为极限应力。塑性材料的极限应力是其的应力；脆性材料的极限应力是其的应力。 二、选择题 1、安全系数反映了强度储备的情况，塑性材料一般取安全系数S 为；脆性材料一般取安全系数S为。 A、2——3.5 B、0.2——0.35 C、1.2——1.5 D、12——15 2、下面不属于剪切破坏的是。 A、铆钉连接 B、键连接 C、钢板用对接焊缝连接 D、销连接 3、下列实例中属于扭转变形的是。 A、起重吊钩 B、钻孔的钻头 C、火车车轴 D、钻孔的零件 1 三角恒等变换中角变换的技巧 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1 设a B为锐角，且满足cos a=, tan (a— 3= —，求cos B的值. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例2 设a为第四象限的角，若=，贝U tan 2 a=___________________ . 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin=, 0 五、分子、分母同乘以2n sin a求COS acos 2 a cos 4 a ?os 8a??C0S 2n—1 a 的值 例 5 求值：sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 ° 4聚焦三角函数最值的求解策略 一、化为y = Asin( 3x+(j)+ B的形式求解 例1求函数f(x =的最值. 例2 求函数y = sin2x + 2sin xcos x + 3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3求函数y =的值域. 例4求函数y =的值域. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值 例5 设关于x的函数y= cos 2x —2acos x—2a的最小值为f(a,写出f(a的表达式. 例 6 试求函数y = sin x + cos x + 2sin xcos x + 2 的最值. 四、利用函数的单调性求解 例7求函数y =的最值. 例8 在Rt A ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB = a, / ABC = 0,△ ABC的面积为P,正方形面积为Q.求的最小值. 易错问题纠错 一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin话，sin护，a和B都是锐角，求a+ B的值. 第3章杆件的基本变形 一、填空题 1．杆件变形可简化为、、和四种。2．求杆件内力的方法——截面法可概述为、、和四步。3．吊车起吊重物时，钢丝绳的变形是；汽车行驶时，传动轴的变形是； 教室中大梁的变形是；建筑物的立柱受变形。 4．杆件受拉、压时的应力，在截面上是分布的。 5．低碳钢拉伸变形过程可分为、、和四个过程。6．材料的极限应力除以一个大于1的系数n作为材料的，它是构件安全工作时允许承受的，用符号表示，系数n称为。 7．机床拖动电机的功率不变，当机床转速越高时，产生的转矩。 8．梁弯曲变形时的内力包括和。 9．根据梁的受力条件不同，梁可分为、、三种形式。10．空心圆截面外径、内径分别为D和d，则其抗扭截面系数W t= 。 二、判断题 1．轴力是因外力而产生的，故轴力就是外力。（）2．当杆件受拉伸时，绝对变形△L为负值。（）3．安全系数取值应越大越好。（）4．拉压杆的危险截面，一定是横截面最小的截面。（）5．空心圆轴圆心处剪应力为零。（）6．合理安排加载方式，可显著减小梁内最大弯矩。（）7．通常塑性材料的安全系数比脆性材料取得略高一些。（）8．受剪切螺纹的直径增大一倍，当其它条件不变时，切应力将减少。（）9．构件剪切和挤压总是同时产生的。（）10．挤压面的计算面积一定是实际挤压面的面积。（）三、选择题 1．A、B两杆的材料、长度及截面积均相同，杆A所受轴力是杆B所受轴力的两倍，则△L A：△L B = 。 A. 2 B. 1/2 C. 1 D. 0 2．当扭矩不变时，若实心轴的直径增加一倍，则轴上的扭转应力降低倍。 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 上部受压，下部受拉的铸铁梁，选择截面形状的梁比较合理。 A. 矩形 B. 圆形 C. T形 D. ⊥形 4. 构件许用应力[σ]是保证构件安全工作的。 A. 最高工作应力 B. 最低工作应力 C. 平均工作应力 D. 最低破坏应力 5. 铸铁等脆性材料不宜作零件。 A.受压 B.受拉 C. 受拉压均可 D. 受拉压均不可 四、计算题 1．变截面直杆如图所示。已知A1＝8cm2，A2＝4cm2，E＝200GPa 。求直杆的总伸长量。 2．在厚度为δ=5mm的钢板上欲冲出一个图示形状的孔，已知钢板的剪切强度极限为此 b=320MPa。现有一冲剪力为10吨的冲床，问能否完成冲孔工作？ 项目二-直杆的基本变 形 项目二直杆的基本变形 任务一轴向拉伸与压缩计算 【学习目标】 1. 了解机械零件的承载能力及其基本要求 2. 理解直杆轴向拉伸与压缩的概念，会计算内力、应力 3. 了解低碳钢、铸铁拉伸和压缩时的力学性能及其应用 4. 掌握直杆轴向拉伸与压缩时的强度计算 【重点、考点】 1. 直杆轴向拉伸与压缩的变形特点，内力、应力的计算 2. 直杆轴向拉伸与压缩时的强度条件，应用强度条件解决生产实际问题 一、选择题 1、构件具有足够的抵抗破坏的能力，我们就说构件具有足够的( )。 A、刚度 B、稳定性 C、硬度 D、强度 2、构件具有足够的抵抗变形的能力，我们就说构件具有足够的( )。 A、强度 B、稳定性 C、刚度 D、硬度 3、单位面积上的内力称之为( )。 A、正应力 B、应力 C、拉应力 D、压应力 4、与截面垂直的应力称之为( )。 A、正应力 B、拉应力 C、压应力 D、切应力 5、轴向拉伸和压缩时，杆件横截面上产生的应力为( )。 A、正应力 B、拉应力 C、压应力 D、切应力 6. 拉伸试验时，试样拉断前能承受的最大应力称为材料的（）。 A、屈服极限 B、强度极限 C、弹性极限 D、疲劳极限 时，试样将（） 7. 当低碳钢试样横截面上的实验应力σ =σ s A、完全失去承载能力 B、断裂 C、产生较大变形 D、局部出现颈缩 8. 脆性材料具有以下的（）力学性质？ A 、试样拉伸过程中出现屈服现象， B 、抗冲击性能比塑性材料好， C 、若构件开孔造成应力集中现象，对强度没有影响。 D 、抗压强度极限比抗拉强度极限大得多。 9、灰铸铁压缩实验时，出现的裂纹( )。 A 、沿着试样的横截面， B 、沿着与试样轴线平行的纵截面， C 、裂纹无规律， D 、沿着与试样轴线成45。角的斜截面。 10、横截面都为圆的两个杆，直径分别为d 和D ，并且d=0.5D 。两杆横截面上轴力相等两杆横截面上应力之比 D d σσ为( )。 A 、2倍， B 、4倍， C 、8倍， D 、16倍。 11. 同一种材料制成的阶梯杆，欲使σ1=σ2，则两杆直经d 1和d 2的关系为（ ）。 A 、d 1=1.414d 2 B 、d 1=0.704d 2 C 、d 1=d 2 D 、d 1=2d 2 12. 变截面杆如图B3,设F1、F2、F3分别表示杆件中截面1-1、2-2、3-3上内 力，则下列结论中哪些是正确的（ ）。 A. F1 ≠ F2 ，F2 ≠ F3 B. F1 = F2 ，F2 > F3 C. F1 = F2 ，F2 = F3 D. F1 = F2 ，F2 < F3 13. 长度和横截面面积均相同的两杆，一为钢杆，一为铝杆，在相同的拉力 用下（ ）。 A. 铝杆的应力和钢杆相同，而变形大于钢杆 B. 铝杆的应力和钢杆相同，而变形小于钢杆 C. 铝杆的应力和变形都大于钢杆 D. 铝杆的应力和变形都小于钢杆 14. 如图一方形横截面的压杆，在其上钻一横向小孔，则该杆与原来相比( C ） 三角恒等变换 知识点精讲： 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵ 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα =-=-=-（ 2cos 21 cos 2 αα+= ， 21cos 2sin 2 α α-= ）． ⑶22tan tan 21tan α αα = -． 3、()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ． 经典例题： 例 1.已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2 α 1－tan α的值． 例2.设x ∈[0，π3]，求函数y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π 6)的最值． 例3.已知tan 2 θ＝2tan 2 α＋1，求证：cos2θ＋sin 2 α＝0. 例4.已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，c ＝( 3－1)，其中x ∈R . (1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值． 例5.设函数f (x )＝22cos(2x ＋π 4)＋sin 2 x 第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定 四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。 项目二直杆的基本变形 任务一轴向拉伸与压缩计算 【学习目标】 1. 了解机械零件的承载能力及其基本要求 2. 理解直杆轴向拉伸与压缩的概念，会计算内力、应力 3. 了解低碳钢、铸铁拉伸和压缩时的力学性能及其应用 4. 掌握直杆轴向拉伸与压缩时的强度计算 【重点、考点】 1. 直杆轴向拉伸与压缩的变形特点，内力、应力的计算 2. 直杆轴向拉伸与压缩时的强度条件，应用强度条件解决生产实际问题 一、选择题 1、构件具有足够的抵抗破坏的能力，我们就说构件具有足够的( )。 A、刚度 B、稳定性 C、硬度 D、强度 2、构件具有足够的抵抗变形的能力，我们就说构件具有足够的( )。 A、强度 B、稳定性 C、刚度 D、硬度 3、单位面积上的内力称之为( )。 A、正应力 B、应力 C、拉应力 D、压应力 4、与截面垂直的应力称之为( )。 A、正应力 B、拉应力 C、压应力 D、切应力 5、轴向拉伸和压缩时，杆件横截面上产生的应力为( )。 A、正应力 B、拉应力 C、压应力 D、切应力 6. 拉伸试验时，试样拉断前能承受的最大应力称为材料的（）。 A、屈服极限 B、强度极限 C、弹性极限 D、疲劳极限 时，试样将（） 7. 当低碳钢试样横截面上的实验应力σ =σ s A、完全失去承载能力 B、断裂 C、产生较大变形 D、局部出现颈缩 8. 脆性材料具有以下的（）力学性质？ A、试样拉伸过程中出现屈服现象， B 、抗冲击性能比塑性材料好， C 、若构件开孔造成应力集中现象，对强度没有影响。 D 、抗压强度极限比抗拉强度极限大得多。 9、灰铸铁压缩实验时，出现的裂纹( )。 A 、沿着试样的横截面， B 、沿着与试样轴线平行的纵截面， C 、裂纹无规律， D 、沿着与试样轴线成45。角的斜截面。 10、横截面都为圆的两个杆，直径分别为d 和D ，并且d=0.5D 。两杆横截面上轴力相等两杆横截面上应力之比 D d σσ为( )。 A 、2倍， B 、4倍， C 、8倍， D 、16倍。 11. 同一种材料制成的阶梯杆，欲使σ1=σ2，则两杆直经d 1和d 2的关系为（ ）。 A 、d 1=1.414d 2 B 、d 1=0.704d 2 C 、d 1=d 2 D 、d 1=2d 2 12. 变截面杆如图B3,设F1、F2、F3分别表示杆件中截面1-1、2-2、3-3上内 力，则下列结论中哪些是正确的（ ）。 A. F1 ≠ F2 ，F2 ≠ F3 B. F1 = F2 ，F2 > F3 C. F1 = F2 ，F2 = F3 D. F1 = F2 ，F2 < F3 13. 长度和横截面面积均相同的两杆，一为钢杆，一为铝杆，在相同的拉力 用下（ ）。 A. 铝杆的应力和钢杆相同，而变形大于钢杆 B. 铝杆的应力和钢杆相同，而变形小于钢杆 C. 铝杆的应力和变形都大于钢杆 D. 铝杆的应力和变形都小于钢杆 14. 如图一方形横截面的压杆，在其上钻一横向小孔，则该杆与原来相比( C ） A. 稳定性降低强度不变 B. 稳定性不变强度降低 C. 稳定性和强度都降低 P P 1 d 2 d 1 1 2 2 3 3 P F 《机械基础》第三章杆件的基本变形单元检测题 一. 填空题 1.在工程实际中，我们把长度远大于 的构件叫 。 2分析杆件内力的方法是 。截面法可概述为四个字是 、 、 、 。 3.低碳钢整个拉伸实验可分为四个阶段分别是 、 、 、 。 4．低碳钢拉伸的屈服阶段在试件光滑表面上可以看到与轴线成 。 5．当相互挤压力很大时，作用面间可能发生 或 。 6．圆轴横截面上的切应力与该点的圆周半径成 ，方向与该点半径 ，切应力最大处发生在 。 7．梁弯曲时截面上产生的内力是一个 和一个 。 8．工程上把材料丧失正常工作的的的应力，称为 或 对脆性材料用 表示，对塑性材料用 表示。 9．单位面积上的 称为正应力，单位长度的 称为 线应变。 10.在强度条件相同的情况下，空心轴比实心轴 。 11.应力几乎不增加而变形急剧增加的现象称为 或 。 二，选择题： 1. 缩径现象发生在（ ） A.弹性阶段 B.屈服阶段 C.强化阶段 D.局部变形阶段 2.安全系数是（ ） A.等于1 B.大于1 C.小于1 D.不能确定 3.正应力的单位是（ ） A.牛顿 B.帕 C.没单位 4.如图AB 杆两端受力P 的作用，则杆内截面上的内力为（ ） A.P B.P/2 C.2P 5.按照强度条件，构件危险截面上的最大工作应力不应超过其材料的（ ） A.许用应力 B.极限应力 C.破坏应力 6. 在校核材料的箭切和挤压强度时，当其中有一个超过许用值时，强度就（ ） A.不够 B.足够 C.无法判断 7.在纯弯曲时，梁梁的横截面上的正应力（ ） P P A B A.都相等. B.中性层上的正应力最大 C.距中性层的正应力最大 8.构件许用应力是保证构件安全工作的（） A.最高工作应力 B.最低工作应力 C.平均工作应力 9.直径相同的实心轴和空心轴相比（） A．实心轴抗扭强度高 B. 空心轴抗扭强度高 C. 两者一样 10.相同截面积的实心轴和空心轴相比（） A．实心轴强度高 B. 空心轴强度高 C. 两者一样 三．计算： 1.图示支架，杆AB是圆钢，直径为d=20mm，杆BC为正方形横截面的型钢，边长为a=15mm。在绞接点 ，若不计自重，试求杆AB和BC横截面上的正应力。 P 2.试校核图示连接销钉的箭切强度.已知F=100KN,销钉直径为d=30mm,材料的许用应力为60MPa.若强度不够,应改用多大直径的销钉? F d 第三章 §3-1拉伸和压缩 【教学目标与要求】 一、知识目标 1、了解内力、拉压概念，理解截面法求内力； 2、理解拉压材料的力学性质。掌握拉压强度、变形计算。 二、能力目标 通过做低碳钢拉压时的力学性质实验，培养动手能力。 三、素质目标 1、理解截面法求内力；它是求内力的基本方法，贯穿于材料力学始终。 2、理解拉压材料的力学性质，培养实践能力。 四、教学要求 1、了解拉压、内力概念，理解截面法求内力。理解拉压材料的力学性质。 2、掌握拉压强度、变形计算，并能解决工程实际问题。 【教学重点】 1、 拉压、内力概念，截面法求内力； 2、 拉压强度、变形计算。 【难点分析】 材料拉压时的力学性能。 【教学方法】讲练法、演示法、讨论法、归纳法。 【教学安排】2学时（90分钟） 【教学过程】 复习旧课（5 分钟） 平面任意力系的平衡 ★ 导入新课 作用于构件上的外力形式不同，构件产生的变形也不同。把构件的变形简化为四种基本变形。拉压、剪切、扭转、弯曲。 ★ 新课教学（80分钟） § 3-1 拉伸和压缩 一、内力与截面法 1、内力概念 内力是由外力引起的构件内部一部分对另一部分的作用称为内力。 拉压杆的内力沿轴向称轴力。 2、截面法求内力 过程：切、取、代、平。 00 0x y o F F M ∑=∑=∑=0N P -=0 x F ∑= ? 讨论： 关于轴力( ) A 、是杆件轴线上的荷载 B 、是杆件截面上的内力 C 、与杆件的截面面积有关 D 、与杆件的材料有关 二、轴向拉压的概念 （演示工程实例引出概念） 1、受力特点：沿轴向作用一对等值、反向的拉力或压力。 2、变形特点：杆件沿轴向伸长或缩短。这种变形称为拉伸或压缩。 要点： （1）外力的作用线必须与轴线重合。 （2）压缩指杆件未压弯的情况，不涉及稳定性问题。 讨论： 判断下列三个构件在1-2段内是否单纯属于拉伸与压缩？ 三、拉、压时的应力 1、应力概念 单位截面面积上的内力称为应力。拉压杆横截面任一点均产生正应力。 2、应力计算 拉压杆横截面上正应力是均匀分布的。 规定：拉应力为正；压应力为负。 单位：帕（Pa ）或兆帕（MPa ） 四、轴向拉压时的变形 绝对变形l ?为 纵向线应变l l ?= ε 这两个关系式称为虎克定律。 式中 E---材料的弹性模量，MPa 。 ? 讨论： 图示阶梯杆总变形为（） （A ）0 （B ） (C) (D) N A σ= NL l EA ?= E σε =EA Fl 2EA Fl EA Fl 23 第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， 《杆件的四种基本变形及组合变形、 直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计 课题 3.1杆件四种基本变形及组合变形教学时间2课时 教学目标 知识与技能认识杆件的基本变形和组合变形； 过程与方法 通过分析工程实例、生活实例中的受力及变形掌握杆件的基本变 形的受力及变形特点； 情感、态度、价 值观 通过分析工程结构中的受力及变形并口头描述，培养归纳、总结、语言表达的能力； 教学 重点 1、杆件的基本变形受力特点、变形特点； 教学难点1、杆件力学模型的理解 2、杆件四种基本变形的区分 教学内容及其过程学生活动教师导学 一、引入 手拉弹簧弹簧会发生什么变化？小朋友双臂吊在单杠上，人双手撑地倒立起来，胳膊都有什么样的感觉，胳膊的形状有改变吗？ 二、导学提纲 3.1杆件四种基本变形及组合变形 1.杆件是指其纵向长度远大于横向尺寸的构件，轴线是直线的杆件称为直杆。 2. 轴向拉伸和压缩受力特点是直杆的两端沿杆轴线方向作用一对大小相等、方向相反的力；变形特点是在外力作用下产生杆轴线方向的伸长或缩短。 3. 产生轴向拉伸变形的杆件，其当作用力背离杆端时，作用力是拉力（图a）；产生轴向压缩变形的杆件，其作用力指向杆端，作用力是压力，（图b）。 4. 剪切变形的受力特点是作用在构件上的横向外力大小相等、方向相反、作用线平行且距离很近。 5. 剪切变形的变形特点是介于两横向力之间的各截面沿外力作用方向发生相对错动。 6. 剪切面是指两横向力之间的横截面，破坏常在剪切面上发生。 7. 扭转变形的受力特点：在垂直于杆轴线的平面内，作用有大小相等、转向相反的一对力偶。 8. 扭转变形的变形特点：各横截面绕杆轴线发生让同学来回答 弹簧、胳膊的受 力和形状改变。 1、自主学习 自学教材、自主 完成导学提纲， 记录疑点或无 法解决的问题， 为交流作准备。 2、组内交流 在小组长的组 织下，有序开展 交流与探讨，共 通过引导学生回 答问题，引出物 体在力的作用下 变形是客观存在 的，进入课题。 当有学生问到， 或对有兴趣的学 生可适当介绍如 下关系： 1、布置前置作业 课前精心预设前 置作业，（由导学 提纲、探究与感 悟组成）组织学 生自主学习。 构件 杆件 板（壳） 块体 结构杆件的受力变形 高二（10）班黄钦仪魏萌 指导教师邹樑 摘要 这篇论文通过实验，向我们展示了结构杆件在刚性连接下的受力变形特点以及杆系的不同部位受力对其他部位的影响，并提出了在建筑构筑物时选材的几点建议，为我们设计杆件提供最基本的资料。 研究目的 研究杆件的变形有以下三个目的： 1、使我们了解设计杆件时，除了要满足强度条件以保证安全外，还要满足其刚度条件以保证其正常工作。也就是要求杆件在荷载作用下，弯曲变形不得超过允许范围。 2、是将来我们学习杆件的变形计算的基础。 3、通过实验的分析和对资料的整理，提高了我们分析问题和解决问题的能力。 问题提出 在工程实际中，承受荷载和传递荷载的结构的构件在荷载的作用下，引起周围构件对它们的反作用，同时，构件本身因受内力作用而将产生变形，并且存在发生破坏的可能性。 构件在怎样的受力情况下会产生怎样的变形，构件在受力变形下会不会影响构筑物的正常使用，以及柱子等细长杆件受压时会不会出现屈曲现象致使杆件不能承担荷载，并由此引起整个构筑物的倒坍等都是我们将研究的问题。 研究方法：1收集资料2实验观察3画图分析4访问专业人士 材料：橡胶（型号：HD2803）、胶水 研究结果：在设计房屋、桥梁的楼面时，板和梁是用得最多的结构形式，在横向荷载的作用下，梁将产生弯曲变形，用橡胶做成梁的模型，这种弯曲变形就看得很清楚。 在加载之前，先在杆件的侧面上，划上许多横向直线和纵向直线，然后加载。 1、首先，我们做了一个最简单的杆件受力变形实验。 在一根杆件的两端支两个支点，再在这根杆件上加载（如图） 在加载的过程中可以观察到，杆件受载后弯曲了，但那些纵向直线仍保持直线形式，不过相对旋转了一个角度。 设想梁是由无数纵向纤维所组成，由于弯曲而使截面转动，就使梁凹边纤维缩短，凸边纤维伸长，于是中间必有一层纤维是没有长度改变 第三章材料力学的基本概念 第六节杆件变形的基本形式 有下列说法，________是错误的。 A．杆件的几何特征是长度远大于横截面的尺寸 B．杆件的轴线是各横截面形心的连线 C．杆件的轴线必是直线 D．A+B+C 下列说法________是正确的。 A．与杆件轴线相正交的截面称为横截面 B．对于同一杆件，各横截面的形状必定相同 C．对于同一杆件，各横截面的尺寸必定相同 D．对于同一杆件，各横截面必相互平行 下列说法________是正确的。 A．与杆件轴线相平行的截面称为横截面 B．对于同一杆件，各横截面的形状必定相同 C．对于同一杆件，各横截面的尺寸不一定相同 D．对同一杆件，各横截面必相互平行 不管构件变形怎样复杂，它们常常是由________种基本变形形式所组成。 A．3 B．4 C．5 D．6 不管构件变形怎样复杂，它们常常是轴向拉压、________、扭转和弯曲等基本变形形式所组成。 A．位移 B．错位 C．膨胀 D．剪切 不管构件变形怎样复杂，它们常常是轴向拉压、剪切、________和________等基本变形形式所组成。 A．错位/膨胀 B．膨胀/弯曲 C．弯曲/扭转 D．扭转/位移 在一对大小相等、方向相反的沿杆件轴线的外力作用下使杆件产生伸长变化的变形，称为________。 A．弯曲变形 B．扭转变形 C．轴向拉伸变形 D．剪切变形 在一对大小相等、方向相反的沿杆件轴线的外力作用下使杆件产生缩短变化的变形，称为________。 A．弯曲变形 B．扭转变形 C．轴向压缩变形 D．剪切变形 受拉压变形的杆件，各截面上的内力为________。 A．剪力 B．扭矩 C．弯矩 D．轴力 轴力的单位是________。 A．牛顿 B．牛顿/米 C．牛顿·米 D．牛顿/米2 关于轴力，下列说法中________是正确的。 ①轴力是轴向拉压杆横截面上唯一的内力；②轴力必垂直于杆件的横截面；③非轴向拉压的杆件，横截面上不可能有轴向力；④轴力作用线不一定通过杆件横截面的形心。 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 受拉压变形的杆件，各截面上的应力为________。 A．正应力 B．扭应力 C．剪应力 D．弯应力 受拉压变形的杆件，各截面上的内力为________。 A．正应力 B．剪应力 C．拉压应力 D．轴力 受拉压变形的杆件，各截面上的应力为________。 第三章直杆的基本变形复习资料机械和工程结构中的零部件在载荷的作用下，其形状和尺寸发生变化，为了了保证机械零部件正常安全工作，必须具有足够的、和。零件抵抗破坏的能力，称为。零件抵抗破坏的能力，称为。受压的细长杆和薄壁构件，当所受载荷增加时，可能失去平衡状态，这种现象称为丧失稳定。是零件保持原有平衡状态的能力。 基本的受力和变形有、、，以及由两种或两种以上基本变形形式叠加而成的组合变形。 一、轴向拉伸与压缩 （一）拉伸与压缩 1、在轴向力作用下，杆件产生伸长变形称为轴向拉伸，简称， 在轴向力作用下，杆件产生缩短变形称为轴向压缩，简称. 2、轴向拉伸和压缩变形具有以下特点: （1）受力特点——。 （2）变形特点——。 （二）内力与应力 1、杆件所受其他物体的作用力都称为外力，包括和。 2、在外力作用下，构件产生变形，杆件材料内部产生变形的抗力，这种抗力称为。 3、外力越大，构件的变形越大，所产生的内力也越大。内力是由于外力的作用而引起的，内力随外力。当内力超过一定限度时，杆件就会被破坏。 4、轴向拉、压变形时的内力称为，用F N表示。 剪切变形时的内力称为，用F Q表示。 扭转变形时的内力称为，用M T表示。 弯曲变形时的内力称为(M)与F Q) 5、内力的计算——截面法 将受外力作用的杆件假想地切开，用以显示内力的大小，用以显示内力的大小，并以平衡条件确定其合力的方法，称为截面法。F N=F 6、应力 1）同样的内力，作用在材料相同、横截面不同的构件上，会产生不同的效果。 2）构件在外力作用下，单位面积上的内力称为。轴向拉伸和压缩时应力垂直于截面，称为，记作σ。 3）轴向拉伸和压缩时横截面上的应力是均匀分布的，其计算公式为 A F N =σ，其中σ为横截面上的正应力，MPa ；F N 为横截面上的内力，N ；A 为横截面面积，mm 2。 4）正应力的正负号规定为：拉伸压力为 ，压缩应力为 。 7、强度计算 1）、材料丧失正常工作能力的应力，称为 。塑性材料的极限 应力是其 应力σs ，脆性材料的极限应力是其 应力σ b 。 2）当构件中的应力接近极限应力时，构件就处于危险状态。为了确保构件 安全可靠地工作，必须给构件留有足够的强度储备。即将极限应力除以一个大 于1的系数作为工作时允许的最大应力。这个应力称为材料的 ， 常用符号[σ]表示。 脆性材料：S s σσ=][ 塑性材料：S b σσ=][ S 为 ，它反映了强度储备的情况，是合理解决安全与经济矛 盾的关键，若取值过大，许用应力过低，造成材料浪费；若取值过小，用料减 少，但安全得不到保证。 静载荷作用时，塑性材料一般取安全系数S= ，脆性材料S= 3）为了确保轴向拉、压杆有足够的强度，要求杆件中最大工作应力σmax 材料在拉伸（压缩）时的许用应力[σ]， 即][max σσ≤=A F N F N 和A 分别为危险截面上的内力和横截面面积。 4）产生最大应力σmax 的截面称为危险截面，等截面直杆的危险截面位于 ，而变截面杆的危险截面必须综合 和 方 面来确定。 5）运用强度条件，可以解决 、 、 等三种类型问题。 8、应力集中 1）局部应力显著增大的现象，称为 。如阶梯轴的孔、槽、 轴肩的 。 2）应力集中使零件破坏的危险性增加。 具有缓和应力集中 的性能，中、低强度钢结构件，一般不考虑应力集中对构件强度的影响； 对应力集中比较敏感。当构件受到 或 作用 时，不论是塑性材料还是脆性材料，应力集中对构件的强度都有影响。 第三章三角恒等变换单元测试题及答案 一、选择题 1、sin105cos105的值为 （ ） Ａ． 14 Ｂ．－ 1 4 Ｃ．4 Ｄ．－4 2、函数2 1()cos 2 f x x =- 的周期为 （ ） Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3、已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ． 16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13 18 4、化简1cos 2tan cot 2 2 α α α +-，其结果是 （ ） Ａ．1 sin 22α- Ｂ．1sin 22α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5. （ ） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0..2A B C D -7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （ ） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23 αβαβ+= -= ，则tan tan αβ为 （ ） A.5 B .1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、 满足sin αβ== αβ+等于 （ ） 3A.4 π 3B.4 4 ππ或 C.4 π ()3D.24 k k π π+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ） Ａ．()sin 2f x x = ()2sin cos g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12sin g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 2 2tan ()1tan x g x x =- 二、填空题 11. 已知cos α= 35,且α∈3,22ππ?? ??? ,则cos(3πα- )=＿＿＿＿. 12. 已知1sin cos 2 θθ-= ，则3 3 sin cos θθ-=＿＿＿＿. 13. tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 . 14. ABC 中，3sin 5A =，5 cos 13 B =，则cos C = . 三、解答题 15. 求函数2 ()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ?? - ??? ?上的最值. 16. 已知α，β为锐角，1 tan 7 α= ，sin 10β=，求2αβ+. 17. 已知2tan 3tan A B =，求证：sin 2tan()5cos 2B A B B -=-. 18. 已知函数2 ()5sin cos f x x x x =-（其中x ∈R ） ，求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间; (3)函数()f x 图象的对称轴和对称中心． 高中数学必修4第三章《三角恒等变换》测试题A 卷 考试时间：100分钟，满分：150分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．计算1－°的结果等于 ( ) 2．cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)等于 ( ) C ．－12 D ．－3 2 3．已知cos ? ????α－π4＝14，则sin2α的值为 ( ) B ．－78 D ．－3 4 4．若tan α＝3，tan β＝4 3，则tan(α－β)等于 ( ) A ．－3 B ．－1 3 C ．3 5．cos 2 75°＋cos 2 15°＋cos75°·cos15°的值是( ) D ．1＋ 23 6．y ＝cos 2 x －sin 2 x ＋2sin x cos x 的最小值是 ( ) B ．－ 2 C ．2 D ．－2 7．已知sin ? ????α－π3＝13，则cos ? ????π6＋α的值为 ( ) B ．－1 3 D ．－233 等于 ( ) C ．2 9．把12[sin2θ＋cos(π3－2θ)]－sin π12cos(π 12＋2θ)化简，可得 ( ) A ．sin2θ B ．－sin2θ C ．cos2θ D ．－cos2θ 10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)·tan α的值为 ( ) A ．±4 B ．4 C ．－4 D ．1 二、填空题（每小题6分，共计24分）. 11．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. 12．化简3tan12°－3 sin12°·4cos 2 12°－2 的结果为________． 13．若α、β为锐角，且cos α＝110，sin β＝2 5 ，则α＋β＝______. 14．函数f (x )＝sin ? ????2x －π4－22sin 2 x 的最小正周期是________． 第三章测试 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 C.34 解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°答案 B 2．若sin2α＝1，π<α<π ，则cos B ．－3 2 D ．－34 α＝1－14＝3 4. ∴cos α 4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22 C.32 D. 2 解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋1 2cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A 5．已知tan θ＝1，则cos 2θ＋1 sin2θ等于( ) B ．－45 D.65 ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝6 5. A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2. 7．设a＝ 2 2(sin17°＋cos17°)，b＝2cos 213°－1，c＝3 2，则() A．c高教版(多学时)机械基础》第三章习题()
第三章：三角恒等变换中角变换的技巧.
杆件的基本变形
项目二-直杆的基本变形说课材料
第三章 三角恒等变换(教案)
高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结
项目二直杆的基本变形讲解
机械基础杆件的基本变形单元检测题
机械基础第三章杠杆的基本变形
新编人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换导学案
(完整版)《杆件的四种基本变形及组合变形、-直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计
结构杆件的受力变形
第三章材料力学的基本概念第六节杆件变形的基本形式
第三章 直杆的基本变形 复习资料(学生)
第三章三角恒等变换单元测试题及答案
人教版必修高一数学第三章三角恒等变换测试题及答案
必修4 第三章 三角恒等变换测试题
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