数列通项公式求法归纳
高考数列问题第一问一般是对数列通项公式的求解。在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式求解往往是解决数列难题的瓶颈。此文归纳出解数列通项公式求解的一般方法，各位同学须熟练掌握。
一、公式法
若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式
??
?≥???????-=????????????????=-2
1
11n S S n S a n n n 求解。
【例1】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n
n n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=?-==a a S a
当2≥n 时，有
,)1(2)(211n
n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?-
,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a
11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-
].)1(2[3
2
3
]
)2(1[2)
1(2
)]2()2()2[()1(21211
211--------+=----=-++-+--+=n n n n
n n n n n
经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3
212
---+=n n n a
二、由递推式求数列通项法
No.1累加法
递推公式为)(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
【例2】.已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1
11)1(112
1+-=+=+=
-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即
)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+??????+-+-+-=
所以n
a a n 1
11-=-
211=a ，n
n a n 1231121-=-+=∴
【真题】(2004全国卷I.22)已知数列{}n a 中,12211,(1),k k k a a -==+-且a 2123k
k k a a +=+,
其中1,2,3,k =……，求数列{}n a 的通项公式。
No.2累乘法
递推公式为n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 【例3】已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a 。 解：由条件知1
1+=+n n
a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即
1342312-??????????n n a a a a a a a a n
n 1
433221-?
?????????=n a a n 11=? 又3
21=
a ，n a n 32
=∴
【迭代法定义】
由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得：
由已知递推式有1)1(--=n n a n f a ， 21)2(---=n n a n f a ，???，12)1(a f a =依次向前代入，得
1)1()2()1(a f n f n f a n ???--=，
简记为11
1))((a k f a n k n -=∏= )1)(,1(0
1
=∏≥=k f n k ，这就是迭代法的基本模式。
【例4】已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=+ )1(≥n ，求n a 。 解：12
31
32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---=
3437
52633134
8531n n n n n --=
????=---。
三、构造法
No.1构造等比数列法（待定系数法）
类型1 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解．
【例5】（07全国I 理22）已知数列{n a }中，1a =2，1n a +=(21)-(2)n a + n N *
∈
（I ）求{n a }的通项公式。
解：构造新数列{}n a p +，使之成为21q =
-的等比数列
1n a p ++=(21)-()n a p + 整理得：1n a +=(21)-n a +(22)p -
使之满足已知条件 1n a +=(21)-n a +2(21)-∴(22)2(21)p -=-解得
2p =- ∴{2}n a -是首项为22- 21q =-的等比数列，由此得
2n a -=(22)-1(21)n -- ∴n a =2(21)2n -+
类型2 同理，用待定系数法把原递推公式转化为：{}n a n λ+
【例6】设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得
[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n
??????+-=-=∴1
3323A B B A A ?
??==11
B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n
n n b 32361?=?=-代入（１）得132--?=n a n
n
说明：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2
;(2)
本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为q pb b n n +=-1求之.
【真题】(2006.重庆.14）在数列
{}
n a 中，若
111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n
a =
类型3 递推式为11+++=n n n q pa a （p 、q 为常数）时，可同除1
+n q ，得
111+?=++n
n
n n q a q p q a ，令n n n
q a b =从而化归为q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）型．
【例7】 已知数列{}n a 中，651=
a ,1
1)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。 解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以1
2+n 得：1)2(3
2211+?=?++n n n n a a
令n n
n a b ?=2，则1321+=+n n b b ,应用例7解法得：n n b )3
2(23-=
所以n
n n
n n b a )31(2)21(32-==
【真题】（2006全国I.22）（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项的和1412
2333
n n n S a +=-?+，1,2,3,n =
（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；
解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1
+n q
，得：
q
q a q p q a n n n n 1
11+?=++
No.2构造等差数列法
数列{n a }既不等差，也不等比，递推关系式形如1
1()n n n a ba b f n ++=++，那么把两边
同除以1
n b
+后，想法构造一个等差数列，从而间接求出n a 。
【例8】（07石家庄一模）数列{n a }满足1221n
n n a a -=+-(2)n ≥且481a =。求(1
)1a 、2a 、
3a (2)是否存在一个实数λ，使此数列{
}2
n n a λ
+为等差数列？若存在求出λ的值及n a ；若不存在，说明理由。
解：(1)由4a =43221a +-=81 得3a =33；又∵3a =3
2221a +-=33得2a =13；
又∵2a =2
1221a +-=13，∴1a =5
(2)假设存在一个实数λ，使此数列{
}2
n n a λ
+为等差数列 即1122n n n n a a λλ--++-= 122n n n a a λ---= 212n n λ--= 112
n
λ
+- 该数为常数 ∴λ=1- 即1{
}2n n
a -为首项111
22a -=，d=1的等差数列
∴
12
n n
a -=2+(1)1n -?=n+1 ∴n a =(1)21n
n +?+ 【例9】数列{n a }满足1n a += 12(2)n n a +-+- (n N *
∈)，首项为12a =-，求数列{n a }的通
项公式。
解：1n a += 12(2)n n a +-+- 两边同除以1
(2)n +-得
11(2)n n a ++-=(2)
n
n
a -+1 ∴数列{
}(2)n n a -是首项为12
(2)--=1，d=1的等差数列∴(2)n n
a -=1+(1)1n n -?=
故n a =(2)n
n -
【例10】（07天津理21）在数列{n a }中，1a =2，且1
1(
2)2n n
n n a a λλλ++=++- （n N *
∈）
其中λ＞0，()I 求数列{n a }的通项公式。 解：1
n λ
+的底数与n a 的系数相同，则两边除以1
n λ
+得
1
1
1
1
221n n
n n
n n
n n
a a λ
λ
λ
λ
++++=
++
-
即
1
11
221n n
n n n n
a a λλ+++--=
+∴2{
}n
n n
a λ-是首项为
12
0a λ
-=，公差d=1的等差数
列。 ∴20(1)1n
n n
a n n λ-=+-=- ∴(1)2n n n a n λ=-+。
No.3构造法 For }{1--n n a a
递推式为n n n qa pa a +=++12（p 、q 为常数）时，可以设)(112n n n n sa a t sa a -=-+++，其待定常数s 、t 由p t s =+,q st -=求出.
【例11】（2006.福建.文.22）（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足
*
122
11,3,32().
n n n
a a a a a n N ++===-∈ （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；
（II ）求数列{}n a 的通项公式；
【例12】数列{}n a 中，n n n a a a a a +===++122123,2,1，求数列{}n a 的通项公式。
解：由n n n a a a +=++1223得,3
1
3212n n n a a a +=
++设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++ 比较系数得31
32=-=+kh h k ，，解得31,1-==h k 或1,31=-=h k
若取31,1-==h k ，则有)(3
1
112n n n n a a a a --=-+++
∴}{1n n a a -+是以31
-为公比，以11212=-=-a a 为首项的等比数列
∴1
1)3
1(-+-=-n n n a a
由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
=11)3
1
()31()31()
3
1(232
++-+-++-+--- n n
=13
11)31
(11
++---n =11)31(43471)31(143---?-=+??????--n n
【例13】已知数列{}n a 满足11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++求n a ．
解：设)(112n n n n sa a t sa a -=-+++?
n n n sta a t s a -+=++12)(???
????
-==+?3132st t s ?????-==?311t s 或????
?=-=131t s 则条件可以化为)(3
1
112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -?+1是以首项为112=-a a ，公比为
31-的等比数列,所以11)3
1
(-+-=-n n n a a ．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得1
)3
1(4347---=n n a ．
四、特征根法
1、设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。作出一个方程,d cx x +=则当10a x =时，n a 为常数列，即
0101,;x b a a x a a n n n +=≠=时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即
01111,x a b c b b n n -==-.
【例14】已知数列}{n a 满足：,4,N ,23
111=∈--=+a n a a n n 求.n a
解：作方程.2
3,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.211
23,1101=+=≠a b x a
数列}{n b 是以3
1
-为公比的等比数
列.于是
.N ,)3
1
(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n
2、对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程
02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，
数列{}n a 的通项为1
211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1
211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，
代入1
1)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。
【例15】已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列
{}n a 的通项公式。
解法一（待定系数——迭加法） 由025312=+-++n n n a a a ，得
)(3
2
112n n n n a a a a -=
-+++， 且a b a a -=-12。
则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，
3
2
为公比的等比数列，于是 11)3
2
)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入，得
a b a a -=-12，
)32
()(23?-=-a b a a ，
234)3
2
()(?-=-a b a a ，
???
21)3
2
)((---=-n n n a b a a 。
把以上各式相加，得
])3
2()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3
21)32(11
a b n ---=
-。 a b b a a a b a n n n 23)3
2
)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。
解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532
=+-x x 。
3
2,121=
=x x , ∴1
211--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-?+=n B A 。
又由b a a a ==21,，于是
???-=-=???
?
?
?+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1
)
3
2
)((323--+-=n n b a a b a
3、如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h
ra q
pa a n n n ++=+1（其中p 、
q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h
rx q px x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ?
?
?
?-??
是等差数列;当特征方程有两个相异的根1λ、2λ时，
则12n n a x a x ??
-?
?-??
是等比数列。
【真题】(2006.重庆.文.22)．（本小题满分12分）
数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足求数列}{n a 的通项公式.
解：由已知，得125168n n n a a a ++=
-，其特征方程为25168x x x +=-，解之，得15
24
x x ==或
116()122168n n n a a a +-∴-=-，15
12()544168n n n
a a a +-∴-=- 111112255244n n n n a a a a ++-
-∴=--，11111
1422()552244n n n n a a a a ---∴=?=--- 125
24
n n n a -+=+。 P26 (styyj)
【例16】已知数列}{n a 满足性质：对于,3
24
,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公
式.
解: 数列}{n a 的特征方程为,3
24
++=
x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
.N ,)2
21211(2313)(1
1212111∈?-?-?+-=--?--=
--n r p r p a a c n n n λλλλ
∴.N ,)5
1(521
∈-=
-n c n n ∴.N ,1)5
1(521
)51
(5221
1112∈----?-=--=--n c c a n n n n
n λλ 即.N ,)
5(24
)5(∈-+--=n a n
n n 【例17】已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3
25
131+-=
+n n n a a a
（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？
解：作特征方程.3
25
13+-=
x x x 变形得,025102=+-x x
特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a
(2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λ
λr p r
n a b n --+-=
)1(11
51131
)1(531?-?
-+-=
n ,8
121-+-=n
令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在， 当n ≤4，N ∈n 时，5
17
51--=+=
n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8
1
1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=
λλ
令,0=n b 则.7n n ?-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,743
558
1111
∈++=+-+
=+=
n n n n b a n
n λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，
51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=
n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,1
13
51∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当1
13
51--=
n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知：当1a 在集合3{-或
,:1
13
5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在.
说明：形如:)
(11
b a k ma a n n n +=
--递推式，考虑函数倒数关系有
)11(11m a k a n n +=-?m
k a k a n n +?=-111令n n a b 1=则{}n b 可归为q pa a n n +=+1型。(取倒
数法) 【例18】1,1
3111
=+?=
--a a a a n n n
解：取倒数：
1
1113131---+=+?=n n n n a a a a ?
?????∴n a 1是等差数列，
3)1(111?-+=n a a n 3)1(1?-+=n 231
-=?n a n
构造法归纳
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联
想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
【例19】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，都有等式：
n n n S a a 422
=+成立，求{}n a 的通项an.
解：n n n S a a 422
=+?112
142---=+n n n S a a ， ∴n n n n n n n a S S a a a a 4)(422112
12=-=-+----
0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，∵01≠+-n n a a ，∴21=--n n a a . 即{}n a 是以2为公差的
等差数列，且2421112
1=?=+a a a a . ∴n n a n 2)1(22=-+=
【例20】数列{}n a 中前n 项的和n n a n S -=2，求数列的通项公式n a . 解
：
∵
1
21111=?-==a a S a 当n ≥2时，
[]12
1
2)1(221111+=?++-=----=-=----n n n n n n n n n a a a a a n a n S S a )2(2
1
21-=-?-n n a a
令2-=n n a b ，则12
1
-=n n b b ，且1211-=-=b
{}n b 是以21为公比的等比数列，11)21()21(1---=?-=n n n b
∴1
)2
1(2--=n n a .
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
【例21】设{}n a 是首项为1的正项数列，且012
12=-----n n n n na na a a ，（n ∈N*），求数列
的通项公式an.
解：由题设得0))((11=--+--n a a a a n n n n . ∵0>n a ，01>-n a ，∴01>+-n n a a . ∴n a a n n =--1
2
)
1(321)()()(123121+=
++++=-+-+-+=-n n n a a a a a a a a n n n 例27： 数列{}n a 中，3,121==a a ，且n n n a n a n a )2()3(12
+-+=++，（n ∈N*），求通项公式n a .
解： =-++12n n a a =-++))(2(1n n a a n ))(1)(2(1--++n n a a n n
)1)(2(++==n n )!2()(3412+=-?n a a
∴!!3!21)()()(123121n a a a a a a a a n n n +++=-++-+-+=-（n ∈N*）
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
【例22】数列{}n a 中，211=
a ，前n 项的和n n a n S 2
=，求1+n a . 解：12
21221)1()1()1(----=-?--=-=n n n n n n n a n a n a n a n S S a
11
1+-=?-n n a a n n ，
∴112211a a a a a a a a n n n n n ??=--- )
1(1
2131211+=?-?+-=n n n n n n
∴)
2)(1(1
1++=+n n a n
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
【例23】设正项数列{}n a 满足11=a ，2
12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.
解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设1log 2+=n a
n b ， 则12-=n n b b
{}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b .
11221--=?=n n n b ，1221log -=+n a n
，12log 12
-=-n a n ， ∴1
2
1
2--=n n a
【例24】已知数列{}n a 中，21=a ，n ≥2时1
33
711+-=
--n n n a a a ，求通项公式.
解：∵1344111+-=---n n n a a a ，两边取倒数得
4
3
11111+-=--n n a a . 可化为等差数列关系式.
4
13)1(4311111+=-+-=-n n a a n ∴1
35
3++=n n a n
求数列通项公式的常用方法 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之 一。 2．解题步骤：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 练习. 已知数列 } {n a 满足31=a ， ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n a n 1 2- = 评注：已知a a =1,) (1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函
数、指数函数、分式函数，求通项 n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 二、累乘法 1. 适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之 二。 2．解题步骤：若 1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1 11 1()n n k a a f k a +==?∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故1 32 112 21 12211(1)(2)21 (1)1 2 [2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53 32 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--= ??? ??=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1 2 325 !.n n n n a n --=??? 练习. 已知 1 ,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式 答案： =n a ) 1()!1(1+?-a n -1.
数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例1. 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。 解：∵111n a ==时， 213243121 23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=??-=??-=???-=-?? 时, 这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222 n n n a -+= (n N *∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。 解：n=1时, 1a =1212323431122 22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=??-=??-=????-=?时, 以上n-1个等式累加得 21122...2n n a a --=+++=12(12)12 n ---=22n -，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴21n n a =- (n N *∈)。 二、累乘法 形如1 ()n n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。
常见数列通项公式的求法 公式： 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.
2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=， 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.
数列通项公式的求法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公 式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123 a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2 455d a d a +=??+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5 353)1(53=?-+=】 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 二、公式法 若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-2111n S S n S a n n n 求解。 例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。 解：由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时，有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?- ,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-L ].)1(2[323])2(1[2)1(2)] 2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n n n n n n n Λ 经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3 212---+=n n n a 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =
（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。
几种常见的数列的通项公式的求法 一． 观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,1716 4,1093,542,211 （3） ,5 2 ,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 2 2 ++=n n n a n （3）;12 += n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 二、公式法 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2， ∴2 213)2(q q b b -==q 2 ，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例 3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是 （ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 解析：设等差数列的公差位d ，由已知???==+??+12348)()(3 333a d a a d a ， 解得 ?? ?±==2 4 3d a ，又 {} n a 是递减数列， ∴ 2 -=d ， 8 1=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。 例 4. 已知等比数列 {}n a 的首项11=a ，公比10< （1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结 一、 形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ； 的通项公式，进而求得n a 。 二、 形n a a * ； 三、 形 ()x f x =） 情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是 以公比为A 的等比数列。 情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。 设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根； （1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列； （2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。 【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时， 由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】 几种常见的数列的通项公式的求法 一、观察法 1、根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1） ,5 4,43,32,21-- （2） ,5 2,21,32,1 （3）9，99，999，9999，… 二、叠加法：对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式 2、已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 3、若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。 三、叠乘法：对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式 4、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 5、已知数列{}n a 中，3 11= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。 四、S n 法利用1--=n n n S S a (n ≥2) 6、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12-=n s n 五、辅助数列法 7、已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。 六、倒数法 8、已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。 1． 已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = 3n-2 ． 2．已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a 1433n -?-． 3．已知数列{}n a 的11a =，22a =且121()(3)2n n n a a a n --=+≥，则1lim n x n a a →∞+= 构造法在数列中的应用——数列通项公式的求法 一、形如)(1 n f a a n n +=+(其中f （n ）不是常数函数)型数列（累加法） 一般地，对于形如)(1 n f a a n n +=+(其中f （n ）不是常数函数)类的通项公式，且 )()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。 即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥； 〖例1〗.（2015江苏理数11）.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列 }1 { n a 的前10项和为 。 二、形如 n 1 n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）型数列（累乘法） 一般地对于形如“已知a 1，且 n 1 n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：1 2 112 1 n n n n n a a a a a a a a ---= ??? ?(2)n ≥； 〖例2〗．在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n·n a ，求n a 的表达式。 〖练1〗.在数列{an}中，a1=1，（n+2）?an+1=（n+1）?an ，则an= 〖练2〗.数列{}n a 中，2 11=a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a . 三、形如1n n a pa q +=+型数列 构造的思路有两种： （1）是待定系数法构造，设1()n n a m p a m ++=+，展开整理1n n a pa pm m +=+-，比 较系数有 pm m b -=，所以1b m p =-，所以1 n b a p +-是等比数列，公比为p ，首项为 11 b a p + -。（2）是用作差法直接构造，1n n a pa q +=+，1n n a pa q -=+，两式相减有11()n n n n a a p a a +--=-，所以1n n a a +-是公比为p 的等比数列。 〖例3〗、已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式. 〖例4〗、在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。 四、形如 C Bn Aa a n n ++=+1型数列， 一 般地，对于型如C Bn Aa a n n ++=+1型数列可化为 ])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式来求通项。 〖例5〗、设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。 求数列通项公式常用八种方法 一、 公式法： 已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解. 二、前n 项和法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .（分3步） 三、n s 与n a 的关系式法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .（分3步） 四、累加法： 当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时， 就可以用这种方法. 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 六、构造法： ㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面 形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的 方法:------＋常数P ㈡、取倒数法：这种方法适用于1 1c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N * ≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠） ，两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子. ㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数） 例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a 分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a > ∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1 lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列 故1 12lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -= 七、“1p ()n n a a f n +=+（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。 八、形如21a n n n pa qa ++=+型，可化为211a ()()n n n n q xa p x a a p x ++++=+++ ，令x=q p x + ,求x 的值来解决。 除了以上八种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这8种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握。 常见数列通项公式的求 法(超好) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 常见数列通项公式的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式.n a n 53= 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++ +=）求n a ，用作差法：{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。 例2：已知数列}{n a 的前n 项和s n ，12-=n s n 求}{n a 的通项公式。 解：（1）当n=1时，011 ==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式 。 ∴? ??≥-==)2(12)1(0 n n n a n 练习：数列{a n }满足a n =5S n －3，求a n 。 答案：a n =34 （－14 ）n-1 3.累加法： 若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。 例3：（1）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+3n －2（n ≥2），求a n 。 （2）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+1 2n （n ≥2），求a n 。 解：（1）由a n =a n －1+3n －2知a n －a n －1=3n －2，记f （n ）=3n －2= a n －a n －1 则a n = （a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =（3n －2）+[3（n －1）－2]+ [3（n －2）－2]+ …+（3×2－2）+1 =3[n+（n －1）+（n －2）+…+2]－2（n －1）+1 =3×（n+2）（n －1）2 －2n+3=3n 2－n 2 （2）由a n =a n －1+12n 知a n －a n －1=12n ，记f （n ）=1 2n = a n －a n －1 则a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =12n +12n －1 +12 n －2 +…+122 +1=12 －12n 练习：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211 ，求n a 。答案：n a n 1-23= 4.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121 n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。 例4：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得 1 1+=+n n a a n n ， 数列通项公式的求法及数列求和方法详解 专题一：数列通项公式的求法 关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17 16 4,1093,542,211（3） ,5 2 ,21,32 , 1（4） ,5 4 ,43,3 2 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+?-=+n n a n n . 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和 { b n }的通项公式； 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 常见数列通项公式的求法-中学数学论文 常见数列通项公式的求法 邹后林 （会昌中学，江西赣州342600） 摘要：数列的通项求法灵活多样，需要充分利用化归与转化思想。非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。现举数例。 关键词：数列；通项公式；求法 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-12-0031-01 例1：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，等差数列{bn}中，bn0 (n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列。 (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn。 解：(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)， ∴an＝2Sn－1＋1 (n∈N*，n1)， ∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)， 即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an (n∈N*，n1)。 而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1。 ∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n－1 (n∈N*)。∴a1＝1，a2＝3，a3＝9， 在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15， ∴b2＝5。 又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2。 ∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn0 (n∈N*)，∴舍去d ＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1 (n∈N*)。 (2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)3n，② ∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n-1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n-1)－(2n＋1)3n 1 【典型例题】 [例 1] a n 1 (1)k (2) k 比较系数: {a n a n [例 2] a n 1 (1)k 例: 已知 解: a n a n a 3 a n 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 1 时，a n 1 1时，设a n km m ka n 1 时, a n ｝ 是等比数列, (a i f (n) 型。 a n 1 a n {a n }满足a i a n a n a n a 2 对这（n b ｛a n ｝ 是等差数列, a n b n 佝 b) k(a n m) a n 1 ka n km 公比为 1) k ”1 f(n) k ，首项为 a n 1 a n a i a n (a 1 k n1 f （n ）可求 和, 则可用累加消项的方 法。 n （n 1）求｛a n ｝的通项公 式。 1 n(n 1 ) a 2 a n 1 a n a 1 1 个式子求和得: a n a 1 a n 2 - n (2) k1时, 当f(n) an b则可设a n A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k (k 1)A 1)B 解得: a 2 (k 1) ,? {a n An B｝是 以 a1 B为首项, k为公比的等比数列 a n An (a1 B) k n1 a n (a1 B) k n1An B将A、B代入即可 (3) f(n) 0, 1) 等式两边同时除以 a n 1 1 c n 1 得q a n n q C n 令C n 1 {C n}可归为a n 1 ka n b型 [例3] a n f(n) a n型。 (1)f(n)是常数时, 可归为等比数 列。 f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知: a1 2n 1 a n 1 2n 1 2)求数列｛a n｝的通项。 解: a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a n a 1 a n 2 a n 3 k m a n 1 m a n 1 型。a3 a2 a2 a1 2n 1 2n 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 2n 1 2n 3 7 5 2n 1 [例4] 一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列 {}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及 前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12-=n s n 变式练习： 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和21 2n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列： 求通项公式 类型2 特征：递推公式为 n n a n f a )(1=+ 对策：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，求n a 。 变式练习： 求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则???-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =12-n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 3 4 1=+n n a a ()2≥n 又1123131a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥? ? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1 -n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就 可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( )* ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11n n n a a n -= - ∴11 n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈ 故3241123123411231 n n n a a a a n a a n a a a a n -===- ()2,n n N *≥∈ 而11a =也适合上式，所以() n a n n N * =∈ 六、构造法： ㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是 关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法: 一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ 1． 观察法（求出a1、a2、a3，然后找规律） 即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。 例1.设11=a ，)(222 1*+∈++-= N n b a a a n n n ，若1=b ，求32,a a 及数列}{n a 的通项公式． 解：由题意可知：11111+-==a ， 112212212 12+-==++-=a a a ， 113121222223+-=+=++-=a a a . 因此猜想11+-=n a n . 下面用数学归纳法证明上式． （1）当n ＝1时，结论显然成立． （2）假设当n ＝k 时结论成立，即11+-=k a k . (3)则11)1(11)1(11)1(12222 1+-+=++-=++-=++-=+k k a a a a k k k k ， 即当n ＝k ＋1时结论也成立． 由（1）、（2）可知，对于一切正整数n ，都有)(11* ∈+-=N n n a n ．（最后一句总结很重要） 2．定义法（已知数列为等差或者等比） 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。 例2.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=，求{}n a 的通项公式。 解：设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =. 又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n = . 3．公式法 若已知数列的前n 项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解。（一定要讨论n=1，n≥2） 例3.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式。 解：（Ⅰ）由 233n n S =+ 可得：当1=n 时， 111(33)32 a S == +=， 当2≥n 时，11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥ 而 11133a -=≠， 所以 13,1,3, 1.n n n a n -=?=?>? 4．累加法 当递推公式为)(1n f a a n n +=+时，通常解法是把原递推公式转化为。 例4.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列{a n }的前10项和为 解：由题意得： 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- 12)1(+++-+= n n 2 )1(+=n n 5．累乘法 当递推公式为)(1n f a a n n =+时，通常解法是把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 n s n a {}n a n a 1()n n a a f n +-=高中数学数列通项公式的求法(方法总结)
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