问题 1:已知数列{a } , a 1 = 1 , a n +1 = n + 2 ,求{a n }的通项公式。
2
常见递推数列通项公式的求法
一、课题:常见递推数列通项公式的求法 二、教学目标
(1)会根据递推公式求出数列中的项,并能运用叠加法、叠乘法、待定系数
法求数列的通项公式。
(2) 根据等差数列通项公式的推导总结出叠加法的基本题型,引导学生分
组合作并讨论完成叠乘法及待定系数法的基本题型。
(3)通过互助合作、自主探究培养学生细心观察、认真分析、善于总结的良
好思维习惯,以及积极交流的主体意识。
三、教学重点:根据数列的递推关系式求通项公式。
四、教学难点:解题过程中方法的正确选择。
五、教学课时: 1 课时
六、教学手段:黑板,粉笔
七、教学方法: 激励——讨论——发现——归纳——总结 八、教学过程
(一)复习回顾:
1、通项公式的定义及其重要作用
2、区别递推公式与通项公式,从而引入课题
(二)新知探究:
a n
变式: 已知数列 {a n } , a 1 = 1 , a n +1 = a
n + 2n ,求{a n }的通项公式。
活动 1:通过分析发现形式类似等差数列,故想到用叠加法去求解。教师引导学 生细致讲解整个解题过程。
解:由条件知: a
n +1
- a = 2n
n
分别令 n = 1,2,3,? ? ? ? ??,(n - 1) ,代入上式得 (n - 1) 个 等式叠加之,
即 (a 2 - a 1 ) + (a 3 - a 2 ) + (a 4 - a 3 ) + ? ? ? ? ? ? +(a n - a n -1 )
= 2 + 2 ? 2 + 2 ? 3 + 2 ? (n - 2) + 2 ? (n - 1)
所以 a - a = (n -
1)[2 + 2 ? (n - 1)]
n
1
a = 1,∴ a = n 2 - n + 1
1 n
+ 1 = 2(a + 1) ,
如 :a - a = 常数 ; n +1 = 常数
a
a
总结:类型 1: a
n +1
- a = f (n ) ,可用叠加相消法求解。 n
问题 2: 已知数列{a n }满足 a 1 = 1, a n +1 = 2a n , (n ∈ N * ) ,求{a n }的通项公式。
变式:若条件变为 a n +1 = 2 n a n , ( n ∈ N * ) ,求{a n }的通项公式。
活动 2:类比类型 1 推导过程,让学生分组讨论研究相关解题方案。
总结:类型 2: a n +1 = a n ? f (n ) ,可用叠乘相消法求解。
问题 3: 已知数列{a n }满足 a 1 = 1, a n +1 = 2a n + 1, (n ∈ N * ) ,求{a n }的通项公式。
解:发现:
a
n +1
+ 1 = 2a + 1 + 1, 即 a
n
n +1
n
令 b n = a n + 1,则 b n +1 = a n +1 + 1 , 即
b n +1 = 2 ,故{b n }是以 b 1=2 为首项,2
b
n
为公比的等比数列, ∴b = 2n 即a = 2n -1 。
n
n
总结:类型 3:形如 a
n +1
= pa + q ( p ≠ 1, pq ≠ 0) 递推式均可通过待定系数构造法:
n
设 a
n +1
+ k = p (a + k ) 与原式比较系数可得 pk - k = q ,即 k=
n q p - 1
,从而得等比
数列 { + k }。 n
九、课堂小结: (1)定义法:
a
n +1 n n
(2)叠加(乘)相消法:
如 :a
n +1
- a = f ( n ); a
n
n +1
= f ( n ) ? a
n
(3)构造法:
形如 : a
n +1
= pa + q (通常用待定系数法构造 ) ( p ≠ 0, p ≠ 1, q ≠ 0)
n
{a }满足 a = 2
, a a ,求 a n
3 n + 1 n
= a
十、课堂练习:
1.已知数列{a
n
} ,
a
1
=1, a
n +1
- a =
n
1
2n
,求 a n 。
2.已知数列
n 1 n +1
n 。
3. 已知数列 { n }, a 1 = 3, a n +1 = 4a n - 6, (n ∈ N * )
,求 a n
。
十一、作业布置:请同学将本节课的求通项公式的方法总结一下写成数学小论文
的形式。
十二、板书设计:略