《机械优化设计》复习题及答案
、填空题
1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x/)2+(1- x i) 2的最优解时,设X(0) =[,] T,第一步迭
代的搜索方向为[-47;-50] _________________ 。
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因
子_________ 。
3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下,任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和
终点,它们的函数值形成高-低-高 ___________ 趋势。
5、包含n个设计变量的优化问题,称为_n ________ 维优化问题。
1
6、函数-X T HX B T X C的梯度为HX+B 。
2
7、设G为n Xn对称正定矩阵,若n维空间中有两个非零向量d°, d1,满足(d°)T Gd=O, 则d0、d1之间存在—共轭______ ■关系。
8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数_____________ 是优化设计问题数学模型的基
9、对于无约束二元函数f(x「X2),若在X°(X10,X20)点处取得极小值,其必要条件是_梯度
为零,充分条件是海塞矩阵正定______________ 。
10、库恩-塔克_________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作
用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数f (x) x2 10x 36的极小点,初始搜索区间
[a,b] [ 10,10],经第一次区间消去后得到的新区间为_□________________ 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设 _________ 、
13、牛顿法的搜索方向d k=_______ ,其计算量大,且要求初始点在极小点逼近位置。
14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X“0x 1-4x2+60 表示成-X T HX B T X C 的形
2
式________________________ 。
15、存在矩阵H,向量d1,向量d2,当满足(d1)TGd2=0 __________ ,向量d 1和向量d2是关于H共轭。
16、采用外点法求解约束优化问题时,将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因
子r数列,具有____________ 由小到大趋于无穷________________ 特点。
17、采用数学规划法求解多元函数极值点时,根据迭代公式需要进行一维搜索,即
求_____________ 。
1、下面_________ 方法需要求海赛矩阵
A、最速下降法
B、共轭梯度法
C、牛顿型法
D DFP法
2、对于约束问题
min f X2X
1
2
X24X24
g1 X x2
X2 1 0
g2 X3X10
g3 X X20
根据目标函数等值线和约束曲线,判断X1 [1,1]T为
为_____________ 。
A. 内点;内点
B. 外点;外点
C. 内点;外点
D. 外点;内点
3、内点惩罚函数法可用于求解___________ 化问题。
A无约束优化问题
B只含有不等式约束的优化问题
C只含有等式的优化问题
D含有不等式和等式约束的优化问题
4、对于一维搜索,搜索区间为[a , b],中间插入两个点a1、h, avb,计算出f(a 1) A [a 1, b] B [ b 1, b] C [a 1, b] D [a , b] 5、_________ 是优化设计问题数学模型的基本要素 B约束条件 C目标函数 D最佳步长 6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k- a 屮f(X k),下列不属于耳必须满足的条件的是 。 A. H k之间有简单的迭代形式 B. 拟牛顿条件 C. 与海塞矩阵正交 D. 对称正定 7、函数f (X)在某点的梯度方向为函数在该点的 _____________ 。 A、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D下降方向 &下面四种无约束优化方法中, ____________ 构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。 A梯度法 B牛顿法 C变尺度法 D坐标轮换法 9、设f(X)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数,则f(X)在R上为凸函数的 充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处______ 。 A正定 B半正定 C负定 D半负定 10、 __________________________________________________________________________ 下列关于最常用的一维搜索试探方法一一黄金分割法的叙述,错误的是__________________ 假设要求在区间[a,b]插入两点a i、a 2,且a i< a 2。 A、其缩短率为 B、a 1=b- X( b-a) C、a 1=a+ 入(b-a) D在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。 11、与梯度成锐角的方向为函数值上升方向,与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向,与梯度成直角的方向为函数值不变方向。 A、上升 B、下降 C、不变 D为零 12、二维目标函数的无约束极小点就是 ___________ 。 A、等值线族的一个共同中心 B、梯度为0的点 C、全局最优解 D海塞矩阵正定的点 13、最速下降法相邻两搜索方向d k和d k+1必为_________ 向量。 A相切 B 正交 C成锐角 D共轭 14、下列关于内点惩罚函数法的叙述,错误的是 _________ 。 A可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。 B惩罚因子是不断递减的正值 C初始点应选择一个离约束边界较远的点。 D初始点必须在可行域内 15、通常情况下,下面四种算法中收敛速度最慢的是 A 牛顿法 B 梯度法 C 共轭梯度法 D 变尺度法 16、一维搜索试探方法一一黄金分割法比二次插值法的收敛速度 A、慢 B、快C 一样D不确定 17、下列关于共轭梯度法的叙述,错误的是。A 需要求海赛矩阵 B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度 C 共轭梯度法具有二次收敛性 D 第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度 三、问答题 1、试述两种一维搜索方法的原理,它们之间有何区 答:搜索的原理是:区间消去法原理 区别:(1)、试探法:给定的规定来确定插入点的位置,此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快,而不顾及函数值的分布关系,如黄金分割法 (2)、插值法:没有函数表达式,可以根据这些点处的函数值,利用插值方法建立函数的某种近似表达式,近而求出函数的极小点,并用它作为原来函数的近似值。这种方法称为插值法,又叫函数逼近法。 2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么? 答,基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后,和原目标函数结合形成新的目标函数一一惩罚函数求解该新目标函数的无约束极值,以期得到原问 题的约束最优解 3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。 答主要用数值解法,利用计算机通过反复迭代计算求得最佳步长因子的近似值 4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点。 答:最速下降法此法优点是直接、简单,头几步下降速度快。缺点是收敛速度慢,越到后面收敛越慢。牛顿法优点是收敛比较快,对二次函数具有二次收敛性。缺点是每次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵,维数高时及数量比较大。 5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式,并说明公式中各变量的意义, 并说明迭代公式的意义。 四、解答题 1、试用梯度法求目标函数f(X)=+ x I X A2X I的最优解,设初始点x(0) =[-2,4]T,选代精度 £ =(迭代一步)。 2、试用牛顿法求f( X )=(x 1-2) 2+(X I-2X2)2的最优解,设初始点x(0)=[2,1] 3、设有函数f(X)=x 12+2x22-2x 1X2-4X1,试利用极值条件求其极值点和极值。 4、求目标函数f( X )=x 12+X1X2+2X22 +4x 1+6x2+10的极值和极值点。 5、试证明函数f( X )=2x 12+5x22 +x 32+2X3X2+2X3X1-6X2+3在点[1,1,-2] T处具有极小值。 6、给定约束优化问题 min f(X)=(x 1-3) 2+(x 2-2) 2 22 g i(X)= —X i —X2 + 5》0 g2(X)= —X i —2x2 + 4》0 g3(X)= X 1》0 g4(X)=X 2》0 验证在点X [2,i]T Kuhn-Tucker条件成立。 7、设非线性规划问题 min f(X)2 (X1 2)2 2 X2 s.t.g1(X)X1 0 g2(X)X2 0 g3(X)X12X2210 . . * ~r 用K-T 条件验证X*i,0 T为其约束最优点 10、如图,有一块边长为6m的正方形铝板,四角截去相等的边长为x的方块并折转, 造一个无盖的箱子,问如何截法(X 取何值)才能获得最大容器的箱子。试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB^件求解的程序。 11、某厂生产一个容积为8000cm的平底无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB^件求解的程序。 12、一根长l 的铅丝截成两段,一段弯成圆圈,另一段弯折成方形,问应以怎样的比例截断铅丝,才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB^件求解的程序。 13、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB^件求解的程序。 14、薄铁板宽20cm,折成梯形槽卜,求梯形侧边多长及底角多大,才会使槽的断面积最大。写出这一优化设计问题的数学模型,并用matlab软件的优化工具箱求解(写出M文件和求解命令)。 判断题 1,二元函数等值线密集的区域函数值变化慢x 2海塞矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式大于零x 3;当迭代点接近极小点时,步长变得很小,越走越慢v 4二元函数等值线疏密程度变化 5变尺度法不需海塞矩阵v 6梯度法两次的梯度相互垂直v 机械优化设计实验指导 书 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 《机械优化设计》 实验指导书 武秋敏编写 院系:印刷包装工程学院 专业:印刷机械 西安理工大学 二00七年九月 上机实验说明 【实验环境】 操作系统: Microsoft Windows XP 应用软件:Visual C++或TC。 【实验要求】 1、每次实验前,熟悉实验目的、实验内容及相关的基本理论知识。 2、无特殊要求,原则上实验为1人1组,必须独立完成。 3、实验所用机器最好固定,以便更好地实现实验之间的延续性和相关性,并便于检查。 4、按要求认真做好实验过程及结果记录。 【实验项目及学时分配】 【实验报告和考核】 1、实验报告必需采用统一的实验报告纸,撰写符合一定的规范,详见实验报告撰写格式及规范。 (一)预习准备部分 1. 预习本次实验指导书中一、二、三部分内容。 2. 按照程序框图试写出汇编程序。 (二)实验过程部分 1. 写出经过上机调试后正确的程序,并说明程序的功能、结构。 2. 记录4000~40FFH内容在执行程序前后的数据结果。 3. 调试说明,包括上机调试的情况、上机调试步骤、调试所遇到的问题是如何解决的,并对调试过程中的问题进行分析,对执行结果进行分析。 (三)实验总结部分 实验(一) 【实验题目】 一维搜索方法 【实验目的】 1.熟悉一维搜索的方法-黄金分割法,掌握其基本原理和迭代过程; 2.利用计算语言(C语言)编制优化迭代程序,并用给定实例进行迭代验证。 【实验内容】 1.根据黄金分割算法的原理,画出计算框图; 2.应用黄金分割算法,计算:函数F(x)=x2+2x,在搜索区间-3≤x≤5时,求解其极小点X*。 【思考题】 说明两种常用的一维搜索方法,并简要说明其算法的基本思想。 【实验报告要求】 1.预习准备部分:给出实验目的、实验内容,并绘制程序框图; 2.实验过程部分:编写上机程序并将重点语句进行注释;详细描述程序的调过程(包括上机调试的情况、上机调试步骤、调试所遇到的问题是如何解决的,并对调试过程中的问题进行分析。 3.实验总结部分:对本次实验进行归纳总结,给出求解结果。要求给出6重迭代中a、x1、x2、b、y1和y2的值,并将结果与手工计算结果进行比较。 4.回答思考题。 基于MATLAB工具箱的机械优化设计 长江大学机械工程学院机械11005班刘刚 摘要:机械优化设计是一种非常重要的现代设计方法,能从众多的设计方案中找出最佳方案,从而大大提高设计效率和质量。本文系统介绍了机械优化设计的研究内容及常规数学模型建立的方法,同时本文通过应用实例列举出了MATLAB 在工程上的应用。 关键词:机械优化设计;应用实例;MATLAB工具箱;优化目标 优化设计是20世纪60年代随计算机技术发展起来的一门新学科, 是构成和推进现代设计方法产生与发展的重要内容。机械优化设计是综合性和实用性都很强的理论和技术, 为机械设计提供了一种可靠、高效的科学设计方法, 使设计者由被动地分析、校核进入主动设计, 能节约原材料, 降低成本, 缩短设计周期, 提高设计效率和水平, 提升企业竞争力、经济效益与社会效益。国内外相关学者和科研人员对优化设计理论方法及其应用研究十分重视, 并开展了大量工作, 其基本理论和求解手段已逐渐成熟。 国内优化设计起步较晚, 但在众多学者和科研人员的不懈努力下, 机械优化设计发展迅猛, 在理论上和工程应用中都取得了很大进步和丰硕成果, 但与国外先进优化技术相比还存在一定差距, 在实际工程中发挥效益的优化设计方案或设计结果所占比例不大。计算机等辅助设备性能的提高、科技与市场的双重驱动, 使得优化技术在机械设计和制造中的应用得到了长足发展, 遗传算法、神经网络、粒子群法等智能优化方法也在优化设计中得到了成功应用。目前, 优化设计已成为航空航天、汽车制造等很多行业生产过程的一个必须且至关重要的环节。 一、机械优化设计研究内容概述 机械优化设计是一种现代、科学的设计方法, 集思考、绘图、计算、实验于一体, 其结果不仅“可行”, 而且“最优”。该“最优”是相对的, 随着科技的发展以及设计条件的改变, 最优标准也将发生变化。优化设计反映了人们对客观世界认识的深化, 要求人们根据事物的客观规律, 在一定的物质基和技术条件下充分发挥人的主观能动性, 得出最优的设计方案。 优化设计的思想是最优设计, 利用数学手段建立满足设计要求优化模型; 方法是优化方法, 使方案参数沿着方案更好的方向自动调整, 以从众多可行设计方案中选出最优方案; 手段是计算机, 计算机运算速度极快, 能够从大量方案中选出“最优方案“。尽管建模时需作适当简化, 可能使结果不一定完全可行或实际最优, 但其基于客观规律和数据, 又不需要太多费用, 因此具有经验类比或试验手段无可比拟的优点, 如果再辅之以适当经验和试验, 就能得到一个较圆满的优化设计结果。 传统设计也追求最优结果, 通常在调查分析基础上, 根据设计要求和实践 机械优化设计习题及参考答案 1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答:优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T n x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l ==L ()0 (1,2,)j g x j m ≤=L 2-1.何谓函数的梯度?梯度对优化设计有何意义? 答:二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的 形式:?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f ρ 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]2 1[)0(, 则称它为函数f (x 1,x 2)在x 0点处的梯度。 (1)梯度方向是函数值变化最快方向,梯度模是函数变化率的最大值。 (2)梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向,也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。 2-2.求二元函数f (x 1,x 2)=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向和数值。 解:由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向,这里用单位向量p 表示,函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ?。求f (x1,x2)在x0点处的梯度方向和数值,计算如下: ()??? ???-=????? ?+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2 221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p ? 2-3.试求目标函数()2 221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下 降方向,并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解:求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向是 ??????-=??????-+-=?????? ??????????-=-?=====462446)(0 121210 1210 2121x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量是: 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点是机械优化设计实验指导书
机械优化设计论文(基于MATLAB工具箱的机械优化设计)
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