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导数与三次函数—专题

三次函数()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠）是中学数学利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、导数等相关知识，完善知识结构，又能体会其中蕴涵的数学思想方法。近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数的取值范围的探究等函数性质，凸显“在知识网络交汇点上”命题的理念。例1、已知函数()33f x x x =-

⑴求函数()f x 的单调区间及极值；⑵求()f x 在[]0,3上的最值。解：令()2123301,1f x x x x '=-=?==- x 、()f x '、()f x 的变化情况如下表

∴()f x 的单调递增区间是(),1-∞-和()1,+∞ ()f x 的单调递减区间是()1,1-

当1x =-时，()f x 有极大值()()()3

11312f -=--?-= 当1x =时，()f x 有极小值()311312f =-?=- ⑵()00f =，()3333318f =-?=

∵()f x 在[]0,3上只有一个极值点()12f =- ∴()f x 在[]0,3上的最小值为－2，最大值为18 变式一、已知函数()3233f x x x x =++，其他不变

解：()()2

2363310f x x x x '=++=+≥

∴()f x 在(),-∞+∞单调递增，()f x 没有极值

()f x 在[]0,3上的最小值为()00f =，最大值为()363f = 变式二、已知函数()323f x x x x =++；其他不变解：()2323f x x x '=++

△22433200=-??=-<

∴()0f x '=没有实数根 ∴()0f x '>在R 上恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，()f x 没有极值

()f x 在[]0,3上的最小值为()00f =，最大值为()345f =

变式三、已知函数1y t =，323y x x =-，实数t 为何值时，函数1y 与2y 的图象的

交点有一个、二个、三个？

解：由例1画出函数2y 的大致图象如图，观察图象，可得

当2t >或2t <-时，函数1y 与2y 只有一个交点。

当2t =-或2t =时，函数1y 与2y 有二个交点。

当22t -<<时，函数1y 与2y

变式四、a 为何值时，函数3()3f x x x a =-+有一个零点？两个零点？三个零点？

解：令()2

123301,1f x x x x '=-=?==-

x 、()f x '、()f x 的变化情况如下表

∴()f x 的单调递增区间是(),1-∞-和()1,+∞ ()f x 的单调递减区间是()1,1-

当1x =-时，()f x 有极大值()()()3

11312f a a -=--?-+=+ 当1x =时，()f x 有极小值()311312f a a =-?+=-

要使()f x 有一个零点，需且只需20

20a a +

要使()f x 有二个零点，需且只需20

20a a +=??-

要使()f x 有三个零点，需且只需20

a a +>??-

变式五、已知函数()33,0f x x x a =->，如果过点(),2A a 可作曲线()y f x =的

三条切线，求a 的取值范围

解：设切点为()00,x y ，则()233f x x '=-

∴切线方程()()000y y f x x x '-=- 即 ()2300332y x x x =-- ∵切线过点A (),2a ∴()23

002332x a x =--

即 ()32

0023320x ax a -++=*

∵过点(),2A a 可作()y f x =的三条切线 ∴方程()*有三个相异的实数根

设()320002332g x x ax a =-++，则()()2

00000666g x x ax x x a '=-=-

当0x 变化时，()0g x '、()0g x 的变化情况如下表

(),0-∞

0 ()0,a

a (),a +∞

()0g x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()0g x

极大值

32a +

极小值

332a a -++

由单调性知：①若极大值320a +<或极小值3320a a -++>，方程()00g x =只有一个实数根；②若320a +=或3320a a -++=，方程()00g x =只有两个相异的实数根，综上，要使方程()00g x =有三个相异的实根，须且只须

2320233202a a a a a a ?

+>?>-?

??>??-++?，所以，所求的a 的取值范围是()2,+∞。变式六、已知函数()3

213

f x x x ax a =

-+- ()a R ∈，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围。

解：∵()22f x x x a '=-+ ∴()4441a a ?=-=- ①若1a ≥，则0?≤

∴()0f x '≥在R 上恒成立 ∴()f x 在R 上单调递增 ∵()00f a =-< ()320

f a => ∴当1a ≥时，函数()f x 的图象与x 有且只有一个交点。 ②若1a <，则0?>

∴()0f x '=有两个不相等的实根，不妨设为1x 、2x 且12x x <，

则1212

x x x x a +=??=? 当x 变化时，()f x '、()f x 的取值变化情况如下表

∵21120x x a -+= ∴2112a x x =-+

∴()32111113f x x x ax a =-+-322111111

23x x ax x x =-++-

()311123x a x =+- ()2

111323x x a ??=+-?

? 同理 ()()2

2221323

f x x x a ??=+-?? ∴()()()()22

121212132329

f x f x x x x a x a ????=+-+-???? ()()()()2222121212132929x x x x a x x a ??=+-++-?? ()()(){}

212121322929

a a a x x x x a ??=+-+-+-??

()2

4433339924a a a a a ????=-+=-+?? ?????

令()()120f x f x > ，解得0a >

当01a <<时，()00f a =-<，()320f a => ∴当01a <<时，函数()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点

∴()f x 的大致图象如图所示：综上所述，a 的取值范围是()

0,+∞

4导数研究三次函数的性质

4导数研究三次函数的性质复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数的零点。复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况；【典型例题】题型一：三次函数单调性的讨论例1．已知函数32()2f x ax x x =++在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围. 例2．已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

题型二：三次函数极值，最值的讨论例3. 已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-；（1）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．例4．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<. （1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值；（2）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++?，试判断函数()F x 的极值点个数．

【课后作业】 1.过曲线y ＝x 3+x-2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x-1,则切点P 0的坐标为 2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围． 3．函数f (x )=x 3＋x 2－x 在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是 4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为 31812343 y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 5．设函数b x a ax x x f +-+-=223323 1)( (0