初中几何做辅助线知识点 中点问题： 说明：当考试题目中出现了“中点”两个字的时候，同学们可以构造：中位线、倍长中线、斜边中线、三线合一这四种辅助线。当然如果题目非常难，很有可能同时构造这四种辅助线当中的两种甚至三种。 梯形构造辅助线的8种方法： 说明： 平移一腰:当梯形的两个底角互余时，可以选择平移一腰，把一个梯形分割成一个平行四边形和一个直角三角形。 做双高：当梯形的底角出现特殊角时，可以构造高。
构造底边中点：目的构造三个全等等边三角形。 平移对角线：当已知出现“上底加下底”，并且题目中出现对角线时，可选择平移对角线。 取一腰中点：当已知出现“上底加下底”，并且题目中无对角线时，可取一腰中点。 过上底中点平移两腰：目的构造直角三角形。 过腰中点：可构造平行四边形 延长两腰：构造三角形（可能出现三线合一） 三大变换： 说明：三大变换是初中几何的精华所在，在初三的上学期期末，一模考试以及中考中都占有很重要的位置，初二的期末考试开始逐渐向初三过度，同学们在平常的联系中也会感觉到运用三大变换进行解题的方便，故而在此次期末考试复习中，一定要尽快熟悉起三大变换。 1、平移：平移模型有三种。 a)“相等线段相交模型”我们需要通过平移将两条线段构造成共顶点的图形，进而构造出三角形去凸显条件。 b)“相等线段不相交模型”此类模型的辅助线构造方法与第一种类似，都是通过平移线段使得两条线段共顶点，进而解决问题。实际上平移线段就是构造平行四边形，而我们
初二的学习重点就是平行四边形，所以在复习过程中有关平移的题目一定不能马马虎虎。 c)当题当中出现了两条相等的线段并且相等线段共线或平行时，可选择平移。 2、旋转：一般来说旋转的模型都有着“共顶点的等长线短”这个特点，当然有些很难的题目没有这种特点那么我们则需要去将此特点构造出来，例如费马点的证明。当同学们做了很多有关旋转的题目之后可以总结出来哪些题目比较“像”能有旋转做出来的题，要多总结一些模型，例如半角模型，构造等边三角形的模型等等。下面说一些关键点给同学们参考。 a)确定有没有“共顶点等长线短”，没有则需要构造。 b)确定要旋转谁。一般来说旋转对象为等长线短其中一条所在的三角形。 c)确定转多少度。这个度数基本上由等长线短的夹角决定。 d)确定旋转之后的等量关系以及是否需要添加其他辅助线以构成特殊图形。 3、轴对称：轴对称是我们初二上学期的学习内容，期末也会考察希望同学们不要遗忘掉这部分知识。下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形。 a)线段或角度存在2倍关系的，可考虑对称。 b)有互余、互补关系的图形，可考虑对称。 c)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称。
用旋转法………作辅助线证明平面几何题 旋转法就是在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法。 1、旋转方法主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条 件。 2、旋转时要注意旋转中心、旋转方向、旋转角度的大小（三要素：中心、方向、大小）； 3、旋转方法常用于竺腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。 例1： 例2 已知，在Rt ABC中 B=AC；∠BAC=90?； D为BC边上任意一点，求证：2AD2=BD2+CD2. 证明：把ABD绕点A逆时钍方向旋转90?，得?ACE，则ABD??ACE，∴BD=CE，∠B=∠ACE； ∠BAD=∠CAE， AD=AE。 又∠BAC=90?；∴∠DAE=90? 所以： D E2=AD2+AE2=2AD2。 因为：∠B+∠ACB=90? 所以：∠DCE=90? CD2+CE2=DE2=2AD2 即： 2AD2=BD2+CD2。 注：也可以把ADC顺时针方向旋转90?来证明。 注 E C D
已知，P 为等边ABC 内一点，PA=5，PB=4，PC=3，求 ∠BPC 的度数。 证明：把 ABP 绕点B 顺时钍方向旋转90 ?，得?CBD ，则 ABP ??CBD ，∴BP=BD AP=CD=5， ∠ABP=∠CBD ，所以 ∠BAP+∠PBC=∠CBD+∠PBC=60?，所以 BPD 为等边三角形。 ∠PBD=60? PD=PB=4所以： C D 2=PD 2+PC 2。因为： ∠DPC=90?所以： ∠BPC=∠BPD+∠DPC=60?+90?=150? 注：也可以把CAP 绕点C 逆时针方向旋转60?来证明。 D C 例3： 如图：在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，BF 平分∠CBE 交CD 于F 点。求证：BE=CF+AE 证明：把ABE 绕点B 顺时针方向旋转90?得BCN 。则：ABE ?BCN ，所以： ∠ABE=∠CBN ，BE=BN ，AE=CN 。因为：四边形ABCD 是正方形，所以：CD AB ，∠NFB=NBF 因为：∠ABF=∠ABE+∠EBF ，∠NBF=∠NBC+∠CBF ，而：∠EBF=∠FBC ；∠NBF=∠NFB 所以：BN=NF=CN+CF 所以：BE=AE+CF 。注：也可以把BCF 绕点B 逆时针方向旋转90?来证明。
初中几何辅助线技巧大全 一初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 注意点 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 二 由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地 去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。 图1-1 B D B C
最新初中-数学几何图形的辅助线添加方法 大全 作辅助线的基本方法 一：中点、中位线，延长线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有
两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表） 五：两圆若相交，连心公共弦。 如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。六：两圆相切、离，连心，公切线。 如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。 七：切线连直径，直角与半圆。 如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。 如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。 如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。 如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦
题型切片（三个）对应题目 题型目标三角形中位线例1，例2，例7，练习1，练习2，练习3；中点四边形例3，练习4； 直角三角形斜边中线例4，例5，例6，练习5． 题型切片 知识互联网 与中点有关的几何辅助线与模型
E D C B A F A B C E G E D C B A F E D C B A 三角形中位线 定义：连接三角形两边中点的线段； 定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 如图：若DE 为ABC △的中位线,则DE BC ∥，且1 2 DE BC = 三角形中位线中隐含的重要性质： ①一个三角形有三条中位线． ②三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． ③三角形的三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． ④三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一． 如图：EF 、GE 、GF 是ABC △的三条中位线，则有 ①AEG EBF GFC FGE △≌△≌△≌△ ②AEFG EBFG EFCG S S S ==平行四边形平行四边形平行四边形 ③12EFG ABC C C =△△，1 4 EFG ABC S S =△△ 【引例】 如图，已知ABC △，D E 、分别是AB AC 、的中点，求证：DE BC ∥且1 2 DE BC =． 【解析】 延长DE 到点F ，使EF=DE ，连接FC ，DC ，AF ． ∵AE=EC ∴四边形ADCF 是平行四边形 ∴CF//DA 且CF=DA ， CF //BD 且CF=BD 例题精讲 思路导航 题型一：三角形中位线
一初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 注意点 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
立体几何中添加辅助线的主要策略：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整；二是要把已知量和未知量统一在一个图形中，如统一在一个三角形中，这样可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中。下面加以说明。 一、添加垂线策略。 因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面、线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理，就需要把没有的垂线补上。尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线定理或其逆定理。 例1.在三棱锥ABC O-中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB 边的中点，则OM与平面ABC所成的角的大小是________（用反三角函数表示）。 图1 解：如图1，由题意可设a OA=，则3 ABC O a 6 1 V ,a2 CA BC AB= = = = - ，O点在底面的射影D为底面ABC ?的中心，a 3 3 S 3 1 V OD ABC ABC O= = ? -。又a 6 3 MC 3 1 DM= =，OM与平面 ABC所成角的正切值是2 a 6 6 a 3 3 tan= = θ，所以二面角大小是2 arctan。 点评：本题添加面ABC的垂线OD，正是三棱锥的性质所要求的，一方面它构造出了正三棱锥里面的ODM Rt?，ODC Rt?，另一方面也构造出了OM与平面ABC所成的角。 二、添加平行线策略。 其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线。 例2.如图2，在正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-中， 4 B A F D E B1 1 1 1 1 = =，则 1 BE与DF所成角的余弦值是（） A. 17 15 B. 2 1 C. 17 8 D. 2 3
三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 ∵?? ???=∠=∠∠=∠)()() (已知已证公共角AC BD CAE DBE E E ∴△DBE ≌△CAE （AAS ） ∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时 A E F A B C D E 1 7-图O
CE 与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。 ∵BE ⊥CF （已知） ∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， ∵ ?? ???∠=∠=∠=∠)() () (21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC （ASA ）∴CE=FE= 2 1 CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知） ∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中 ?? ? ??∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC ∴△ABD ≌△ACF （AAS ）∴BD ＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图11-1：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 分析：由AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，想到如取AD 的中点N ，连接NB ，NC ，再由SAS 公理有△ABN ≌△DCN ，故BN ＝CN ，∠ABN ＝∠DCN 。下面只需证∠NBC ＝∠NCB ，再取BC 的中点M ，连接MN ，则由SSS 公理有△NBM ≌△NCM ，所以∠NBC ＝∠NCB 。问题得证。 证明：取AD ，BC 的中点N 、M ，连接NB ，NM ，NC 。则AN=DN ，BM=CM ，在△ABN 和△DCN 中 ∵ ?? ???=∠=∠=)() () (已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN 1 11-图D C B A M N
人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。
作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。六：两圆相切、离，连心，公切线。如条件中出现两圆相切（外切，切），或相离（含、外离），那么，辅助线往往是连心线或外公切线。七：切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。
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要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 一、见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 二、在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 三、对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四、在解决圆的问题中 1、两圆相交连公共弦。 2、两圆相切，过切点引公切线。 3、见直径想直角 4、遇切线问题，连结过切点的半径是常用辅助线 5、解决有关弦的问题时，常常作弦心距。
手拉手模型教学目标: 1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点 2：掌握手拉手模型的应用 知识梳理： 1、等边三角形 条件：△OAB，△OCD均为等边三角形 结论：；； 导角核心： 2、等腰直角三角形 条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形 结论：；； 导角核心： 3、任意等腰三角形 条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：；；
核心图形： 核心条件：；； 典型例题： 例1:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC； （3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB； （5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥AC 例2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： （1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°； （4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 例3：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： （1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°； （4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 例4：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？ （3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？
例5：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？ （3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？ 例6：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立？ （2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？ （4）HB是否平分∠AHC？ 例7：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ， AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。探 索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。 例8：如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD 于点E. （1）如图1，猜想∠QEP=_______°； （2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明； （3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
巧添辅助线 解证几何题 [引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以 归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。 一、倍角问题 研究∠α＝2∠β或∠β=1 2 ∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形： 1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=1 2 ∠α，然后证明∠1=∠β；或把 ∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一） 2、 ∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构 造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二） [例题解析] 例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC,BD ⊥AC 于D 。 求证：∠DBC= 1 2 ∠BAC. 分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C ，可利用 三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。 证法一：∵在△ABC 中，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC ）=90°-12 ∠BAC 。 ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90 ° ∴∠DBC=90° -∠C=90° -(90° - 12∠BAC)= 1 2 ∠BAC 即∠DBC= 1 2 ∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ?∠BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把?∠ A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。 证法二：如图2，作AE ⊥BC 于E ，则∠EAC+∠C=90°
学生姓名学生年级学校 上课时间辅导老师科目 教学重点中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法;构造斜边中线法） 教学目标系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线 开场:1.行礼;2.晨读；3.检查作业;4.填写表格 新 课 导 入 知识点归纳 1.已知任意三角形(或者其他图形)一边上的中点,可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形)；2．已 知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线； ３．已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线； 4．已知等腰三角形底边中点，可以考虑:连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质. 新 课 内 容 做辅助线思路一：倍长中线法 经典例题1:如图所示，在△AＢC中,AB＝20，ＡC=12,求ＢC边上的中线AＤ的取值范围． 【课堂训练】 1.如图，已知CB、ＣＤ分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且ＡＣ=AB,给出下列结论： ①AＥ=2AC；②CE=２CD；③∠ACＤ=∠BＣE；④CB平分∠DCＥ，则以上结论正确的是 ( ） A．①②④ B．①③④ C.①②③ D.①②③④ 第1题图第２题图 2.如图,在正方形ABCD中，Ｅ为AB边的中点,G、F分别为ＡD，BC边上的点，若AG＝1， BF＝2，∠GEＦ＝90°，则GＦ的长为（) Ａ. ２ B. 3 C. 4 D. 5 3.如图，在△ABC中,点D、E为边BC的三等分点,则下列说法正确的有( ） ①BD=DE=EC;②ＡＢ+AE＞2AＤ；③ＡD＋AＣ>2AE;④AB＋AC>AＤ＋AE。 A. 1个Ｂ. 2个 C. 3个 D. 4个
4.如图,在△ＡBC 中,A Ｂ＞BC,E 为BC 边的中点，ＡＤ为∠BAC 的平分线,过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交C Ａ的延长线于G,求证：BF=ＣＧ． ５.如图所示,已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点,连接BE 并延长交ＡC 于点Ｆ，AE ＝ＥF ，求证：AC ＝B Ｆ. 6.如图所示,在△ABC 中，分别以ＡB 、ＡＣ为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ＡCE,F 为BC 边上中点，FA 的延长线交DE 于点G ，求证：①DE=２AF ；②ＦG ⊥DE ． F G E D B C A F D B C A E G F B C A D E
初中几何常见辅助线作法口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
作辅助线的常用方法
在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出 来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如： 例1、 已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一） 将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ， 在△AMN 中，AM+AN > MD+DE+NE;（1） 在△BDM 中，MB+MD>BD ； （2） 在△CEN 中，CN+NE>CE ； （3） 由（1）+（2）+（3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2） 延长BD 交 AC 于F ，廷长CE 交BF 于G ， 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有： AB+AF> BD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边）…（1） GF+FC>GE+CE （同上）………………………………..（2） DG+GE>DE （同上）…………………………………….（3） 由（1）+（2）+（3）得： AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC 。 一、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两 点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC 。 因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于 在内角的位置； 证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC 的外角， A B C D E N M 1 1-图A B C D E F G 2 1-图A B C D E F G 1 2-图
几何专题——辅助线 平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证实题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证实题，往往束手无策。 一、辅助线的定义： 为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。 二、几种常用的辅助线：连结、作平行线、作垂线、延长等 注意：1）添加辅助线是手段，而不是目的，它是沟通已知和未知的桥梁，不能见到题目，就无目的地添加辅助线。一则没用、二则辅助线越多，图形越乱，反而妨碍思考问题。 2）添加辅助线时，一条辅助线只能提供一个条件 三、正确添加辅助线歌 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证实有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证实是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆假如碰到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证实题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注重勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时把握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线； 知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线； 线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘； 全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办； 四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线； 两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便； 非凡角、非凡边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙； 圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，碰到直径周角连； 切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦； 切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。
八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法 数学组 田茂松 八年级数学的几何题，有部分题需要做出辅助线才能完成。有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。 常见辅助线的作法有以下几种： 1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 常见辅助线的作法举例： 例1 如图1,//AB CD ，//AD BC . 求证：AD BC =. 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。 证明：连接AC （或BD ） ∵//AB CD , //AD BC （已知） ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等） 在ABC ?与CDA ?中 ?????∠=∠=∠=∠)(43) ()(21已证公共边已证CA AC ∴ABC ?≌CDA ?（ASA ） ∴AD BC =（全等三角形对应边相等） 例2 如图2,在Rt ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，12∠=∠，CE BD ⊥的延长于E .求证：2BD CE =. 分析：要证2BD CE =，想到要构造线段2CE ，同时CE 与ABC ∠的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，CE 交于点F . ∵BE CF ⊥ （已知） ∴90BEF BEC ∠=∠=?（垂直的定义） 在BEF ?与BEC ?中， ?????∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE A B C D 1234图1 D A E F 12图2
初中数学辅助线 1.三角形问题添加辅助线方法 方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。 2.平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线： （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 （5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等. 3.梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有： （1）在梯形内部平移一腰。 （2）梯形外平移一腰 （3）梯形内平移两腰 （4）延长两腰 （5）过梯形上底的两端点向下底作高 （6）平移对角线 （7）连接梯形一顶点及一腰的中点。 （8）过一腰的中点作另一腰的平行线。 （9）作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。 作辅助线的方法 一：中点、中位线，延线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可