中考几何辅助线专题---遇到中点时的辅助线

第一节

等腰底 中垂分

解题方法技巧 1. 等腰三角形中有底边中点或证是底边中点时，常连底边中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题

2. 有中点时，也可过中点作垂线，构造垂直平分线，利用垂直平分线上的点和线段两个端点距离相等证题

如图，在ABC 中，AB=AC,取BC 中点D ，连接AD,则AD 是BAC ∠的平分线，又是BC 边上的高和BC 边上的中线，这样为证明题目增添了很多条件。

例1 已知：如图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC=CE,F 为AE 的中点。求证：

BF FD ⊥.

例2 如图，AB=AE,ABC AED ∠=∠,BC=ED,点F 是CD 的中点

（1） 求证：AF CD ⊥

（2） 在你连接BE 后，还能得出什么新结论？请写出三个（不要求证明）。

练习 1.如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 的中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 等于（ ） A 65 B 95 C 125 D 165

2.已知：如图，在等腰ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，过A 的直线MN//BC,在直线MN 上点A 的两侧分别取点E,F 且AE=AF.求证：DE=DF.

3. 已知:如图，在等腰ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，过A 作,,

AE DE AF DF ⊥⊥且AE=AF.求证：EDB FDC ∠=

第二节 斜边中 是一半

解题方法技巧

直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线

如图，在Rt ABC 中，D 为斜边AB 的中点，连接CD ，则得CD=AD=BD,从而构造出等腰三角形。

如图，在Rt ABC 中，AB=2BC,作斜边AB 的中线CD ，则得相等的线段AD=BD=CD=BC,从而得到BCD 为等边三角形，为研究等边三角形，求角的大小提供了条件。

例 如图，在Rt ABC 中，AB=AC,90BAC ∠=?,O 为BC 的中点。

（1） 写出点O 到ABC 的三个顶点A,B,C 的距离的关系：（不需证明）

（2） 如果点M,N 分别在线段AB,AC 上移动，在移动中保证AN=BM,请判断OMN 的形状，

并证明你的结论。

练习 1.如图，在ABC 中，BE,CF 分别为边AC,AB 的高，D 为BC 的中点，M 为EF 的中点。求证： DM EF ⊥

2.已知：ABCD 中，DE AB ⊥于E 交AC 于F,且AD=

12FC.求证：3DAB ACD ∠=∠

3.已知：ABC 中，2,B C AD BC ∠=∠⊥于D,M 为BC 的中点。求证：DM=

12

AB

第三节

遇中线 可倍长

解题方法技巧 1. 将三角形的中线延长一倍构造全等三角形或平行四边形，即为倍长中线法

如图，AD 为ABC 的中线，如延长AD 至E ，使DE=AD.连接BE,则ADC EDB ? ，再连接CE ，则四边形ABEC 是平行四边形，可用平行四边形的有关知识证题。

2. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形

如图，E 为ABC 中线AD 上一点，如延长AD 至F 使DF=DE.连接BF,CF,则四边形BFCE 是平行四边形，可用平行四边形的有关知识证题。

3. 可以在中线上截取线段与中线上的某一部分线段相等

4. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形

如图，O 为AB 中点，若延长CO 至D 使OD=CO,则ACO BDO ? (COB DOA ? ),四边形ADBC 为平行四边形。

例1 已知：如图，AD 为ABC 的中线，AE=EF.求证：BF=AC

例2 已知：如图，在ABC 中，90C ∠=?，M 为AB 的中点，P,Q 分别在AC,BC 上，且

PM QM ⊥于M,求证：PQ 2=AP 2+BQ 2

例3 已知：如图，ABC 的边BC 的中点为N,过A 的任一直线AD BD ⊥于D,CE AD

⊥于E.求证：NE=ND.

练习 1.已知：AD 为ABC 的中线，F 为AC 上一点，连接BF 交AD 于E.求证：

2AE AF ED FC

=

2.已知：在ABC 中，AD 为中线，并且90BAD ∠=?,45DAC ∠=?.求证：AB=2AD

3.已知：如图，ABC 中，过AB 的中点F 作DE BC ⊥,垂足为E,交CA 的延长线于点

D.若EF=3，BE=4,45C ∠=?,求证：DF:FE 的值。

第四节 同中垂 构全等

解题方法技巧

有三角形中线时，可过中线所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形

如图，AN 为的中线，若作BD AN ⊥的延长线于D ，作C E A N ⊥于E,则有B D N C E N ? .

例 已知：如图，在ABC 中，90,,BAC AB AC AD CD AF BD ∠=?==⊥，于E 交BC 于F.求证：BF=2FC.

练习 1.已知：如图，在ABC 中，BD=DC,BF 交AD,AC 于E,F,若AF=EF,求证：BE=AC.

2.已知：如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，直线EG AD ⊥于点F,且交AB 于E,交AC 于G.求证：2+AB AC AD AE AG AF

=

第五节 两中点 中位线

解题方法技巧

在进行证明时，有中点可以构造中位线，利用三角形，梯形中位线定理来证题。通常有以下几种情况时作中位线。

1. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线

如图，D,E,F 分别是ABC 的三边中点，连接DE,EF,FD ，利用三角形中位线性质得线段之间大小关系与平行关系，从而为解决问题提供帮助。

2. 有一边中点，并且已知或求证中涉及线段的倍分关系时，常过中点作另一边的平行线，

构造三角形的中位线。

如图，在ABC 中，若2,B C AD BC ∠=∠⊥,E 为BC 边的中点，则取AC 边中点F,连接EF,DF,利用三角形中位线得到平行关系。

3. 连接圆心与弦的中点，构造三角形的中位线

如图，C 为O 中弦AB 的中点，作直径AD ，连接OC,DB,则OC//BD 且OC=12

BD ，从而为证题创造平行条件与线段的倍，半关系。

4. 有一腰中点，可另取另一腰中点，利用梯形中位线有关性质证明

如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,F 为CD 的中点，取AB 的中点E,连接EF ，则EF//AD//BC,EF=12

(AD+BC) 例1 已知：如图，E,F 分别为四边形ABCD 对角线的中点，AB>CD.求证：EF>12

(AB-CD)

例2 如图，在四边形ABCD 中，E,F 并分别是AD,BC 的中点，G,H 分别是对角线BD,AC 的

中点。求证：EF 与GH 互相平分。

例3 如图，在四边形ABCD 中，一组对边AB=CD,另一组对边AD ≠BC.分别取AD,BC 的中点

M,N,连接MN ，则AB 与MN 的关系是（ ）

A.AB=MN

B.AB>MN

C.AB

D.上述三种情况都有可能

练习 1.如图，四边形ABCD 为平行四边形，AD=a ，BE//AC,DE 交AC 的延长线于F 点，交BE 于E 点。

（1） 求证：DF=FE(2)若AC=2CF ，60,ADC AC DC ∠=?⊥，求BE 的长。

2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD,E,F 分别为BC,AD 的中点，BA,CD 的延长线分别交EF 的延长线于M,N.求证：BME CNE ∠=.

3.已知：如图，五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=?∠=∠，F 为CD 的中点。求证：BF=EF 。

第六节 腰中平 造全等

解题方法技巧

过梯形一腰的中点作另一腰的平行线，把梯形问题转化成平行四边形的问题来解决 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,E 为CD 的中点，如过E 作GF//AB 交BC 于F ，交AD 的延长线于G 。

////,AD BC ABFG AD BC GDC DCB DE EC DEG CEF

DEG CEF DG CF ∴∴∠=∠=∠=∠∴?∴= 四边形为平行四边形。

这样就把梯形ABCD 割补成平行四边形了，可利用平行四边形的性质证题。

例 已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC,EF 为中位线。 求证：14

S AEF S =

梯形ABCD

练习 1.已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC,E 为DC 的中点

求证：S ABE =12

S 梯形ABCD

2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,9045,14B C AD BC ∠=?∠=?==，，，E 为AB 的中点，EF//DC 交BC 于点F.

求EF 的长。

第七节

延顶中 有全等

解题方法技巧 在梯形中，有一腰中点时，连接一顶点与此中点并延长与一底的延长线相交，把梯形问题转化成三角形问题来解决

如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,E 为CD 的中点，如连接AE ，并延长与BC 的延长线交于点N.

//,,,AD BC N DAN

DE CE AED NEC

ADE NCE AE EN AD CN

∴∠=∠=∠=∠∴?∴== 这样相当于把梯形ABCD 割补成ABN ，可利用三角形的有关定理证题。

例 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,AB>DC,M 为AD 的中点，且BM CM ⊥。求证：BM 平分ABC ∠，CM 平分DCB ∠且AB+CD=BC

练习 已知：梯形ABCD 中，AD//BC,AB=AD+BC,M 为CD 的中点

求证：BM 平分CBA ∠

第八节 底中现 平腰见

解题方法技巧

有底的中点时，常过此点引两腰的平行线，把梯形问题转化成平行四边形和三角形问题来解决

如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC,E 为AD 的中点，如过E 作EF//AB,EN//CD,分别交BC 于

F,N,则得到,ABFE ENCD

EFN 和,这样可以利用平行四边形和三角形的有关性质证题。

例 已知：在梯形ABCD 中，AB//CD,AB>CD,90A B ∠+∠=?,E,F 分别是AB,CD 的中点 求证：1()2

EF AB CD =-

练习 1.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,E,F 分别是AD,BC 的中点，且()12

EF BC AD =-.求.B C ∠+∠

2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,AB=DC,P,Q 分别为AD,BC 的中点。求证：PQ BC ⊥

第九节 对角线 顶中线

解题方法技巧

在梯形中，有对角线中点时，常把一顶点和对角线中点连接，并延长与一底相交，把梯形问题转化成三角形问题来解决

如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC,E 为AC 的中点，如连接DE,并延长交BC 于N. //,,AD BC DAC BCA

AED NEC AE EC AED CEN DE NE AD CN

∴∠=∠∠=∠=∴?∴==

例 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,E,F 分别是AC,BD 的中点。求证：EF//AB,且()12

EF AB CD =-

练习 1.如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,中位线EF 与对角线AC,BD 交于M,N 两点，若EF=18cm,MN=8cm,则AB 的长等于（ ）

A.10cm

B.13cm

C.20cm

D.26cm

2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,12

AD BC =,点O 为AC 的中点。求证：OD//AB

第十节

弧弦中 心中连

解题方法技巧 1. 连经过弧中点的半径，可以利用垂径定理得推论证题

如图， AB = BC

，连接AC,OB,则有OB AC ⊥,且OB 垂直平分AC ，从而能为证题创造垂直和线段中点的条件。

2. 连等弧对的弦，根据圆心角，弧，弦，弦心距关系定理证题

如图，B 为 AC 的中点，连接AB,BC,则有AB=CB,从而为证题创造线段相等条件。

3. 连等弧对的圆心角（或圆周角）利用圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及同弧（或等

弧）所对圆心角与圆周角关系定理的推论证题

如图，连接OA,OB,OC,AD,BD,CD

12,2

AB BC

AOB BOC ADB ADC ADB CDB AOB =∴∠=∠=∠=∠∠=∠=∠ 从而为证明角相等（或倍，半关系）创造条件

4. 连接圆心与弦的中点，利用垂径定理得推论可得到垂直条件

如图，点C 是弦AB 的中点，连接OC,则有OC AB ⊥

例1 如图，O 的半径为3，M 为 AB 的中点，N 为 CD

的中点，弦MN 交AB 于F ，交CD 于G,延长AB,CD 相交于点E.若

MN=求E ∠的度数。

例2 不过圆心的直线l O 交于C,D 两点，AB 是O 的直径，AE l ⊥于E,BF l ⊥于F 。

（1） 请你在下面三个图中，分别画出满足上述三个条件的具有不同位置关系的图形

（2） 请你观察（1）中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论

（3） 请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得到的结论

练习 1.如图所示，O 是等边三角形ABC 的外接圆，O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ）

A. 2.如图，AB 是O 的弦，圆心O 到AB 的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是

3.本市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A,B,C 三根木柱，使得A,B 之间的距离与A,C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图，请你帮他们求出滴水湖的半径。

5. 已知：如图，M 是 AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设O 的半径为4cm ，

MN =cm.

（1） 求圆心O 到弦MN 的距离

（2） 求ACM ∠的度数

初中几何常用辅助线专题.doc

初中几何常见辅助线做法 一、三角形常见辅助线做法 方法 1：有关三角形中线的题目，常将 中线加倍 ； 含有中点的题目，常常做 三角形的中位线 ，把结论恰当的转移 例 1、如图 5-1：AD 为△ ABC 的中线，求证： AB ＋AC ＞ 2AD 。 【分析】：要证 AB ＋ AC ＞ 2AD ，由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋ CD ＞AD ，所以有 AB ＋AC ＋ BD ＋CD ＞AD ＋ AD ＝ 2AD ，左边比要证结论多 BD ＋CD ，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长 AD 至 E ，使 DE=AD ，连接 BE ，则 AE ＝2AD A ∵AD 为△ ABC 的中线 （已知） ∴BD ＝ CD （中线定义） 在△ ACD 和△ EBD 中 BD CD (已证 ) B D C ADC EDB ( 对顶角相等 ) AD ED (辅助线的作法 ) E 图5 1 ∴△ ACD ≌△ EBD （SAS ） ∴BE ＝CA （全等三角形对应边相等） ∵在△ ABE 中有： AB ＋ BE ＞AE （三角形两边之和大于第三边） ∴AB ＋ AC ＞2AD 。 例 2、如图 4-1：AD 为△ ABC 的中线，且∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，求证： BE ＋CF ＞ EF 证明：延长 ED 至 M ，使 DM=DE ，连接 CM ， MF 。在△ BDE 和△ CDM 中， BD 中点的定义 ) A CD( ∵ 1CDM (对顶角相等 ) ED MD ( 辅助线的作法 ) E F ∴△ BDE ≌△ CDM （SAS ） 2 3 4 C 1 又∵∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4 （已知） B D ∠1＋∠ 2＋∠ 3＋∠ 4＝ 180°（平角的定义） ∴∠ 3＋∠ 2=90°，即：∠ EDF ＝90° 图 4 1 M

初中数学几何辅助线技巧

几何常见辅助线口诀三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，倍长中线得全等。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形问题巧转换，变为三角或平四。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。 如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形

半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径联。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等： 如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自己试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等： 如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 三、三线合一构造等腰三角形： 如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。 分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。四、角平分线+平行线： 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。

中考数学几何辅助线大全及常考题型解析

2017年中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法 等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。 梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线 很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A 字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线 初中数学辅助线的添加浅谈

2018年度中考数学几何辅助线题

中考压轴题专题几何（辅助线） 图中有角平分线，可向两边作垂线。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线加一倍。 梯等式子比例换，寻找相似很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，弦高公式是关键。 计算半径与弦长，弦心距来站中间。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内切圆，内角平分线梦园。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 精选1.如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，DE 垂直平分AC ，垂足为O ，AD ∥BC ，且AB =3，BC =4，则AD 的长为 ． 精选2．如图，△ABC 中，∠C ＝60°，∠CAB 与∠CBA 的平分线AE ，BF 相交于点D ， 求证：DE ＝DF ． 精选3.已知：如图，⊙O 的直径AB=8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接 D E F

AC ． (1) 若∠ACP=120°，求阴影部分的面积； (2)若点P 在AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交AC 于点M ，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数。 精选4、如图1，Rt △ABC 中，∠ ACB=90°，AC=3，BC=4，点O 是斜边AB 上一动点，以OA 为半径作⊙O 与AC 边交于点P ， （1）当OA=时，求点O 到BC 的距离； （ 2）如图1，当OA= 时，求证：直线BC 与⊙O 相切；此时线段AP 的长是多少？ （3）若BC 边与⊙O 有公共点，直接写出OA 的取值范围； （4）若CO 平分∠ACB ，则线段AP 的长是多少？ ． 精选5．如图，已知△ABC 为等边三角形，∠BDC ＝120°，AD 平分∠BDC ， 求证：BD +DC ＝AD ． E B

初中平面几何辅助线专题复习

初中平面几何辅助线专题复习 目录 第01讲辅助线的初步认识 第02讲截长补短法 第03讲中点模型——倍长中线 第04讲三垂直模型 第05讲角平分线模型（一） 第06讲角平分线模型（二） 第07讲手拉手模型——全等 第08讲最短路径问题 第09讲平面直角坐标系中的几何问题

第01讲辅助线的初步认识 【知识提要】 初中辅助线的添加时几何部分学习的重要内容，同时也是学生学习的难点之所在。当 问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立 已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 辅助线的添加通常有两种情况： 1.按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线 段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2.按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往 往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫 做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。 本节课我们就以启东作业中的问题为例，来介绍常见的辅助线的画法. 【典型例题】 例1：小春在做数学作业时，遇到一个这样的问题：如图，AB=CD，BC=AD，请说明 ∠A =∠C 的道理. BC=AD，所以只需连接BD，构造全等三角形即可. D

例2. 如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC. 你能说明OB +OC < AB + AC 的理由吗？ 【思路点拨】要证明线段之间的不等关系，要将线段放在三角形中，利用三边关系来证明。△ABC 和△OBC 中无法解决，所以只需要将OB （OC ）延长交AC （AB ）于点D ，在△ABD （△ACD ）和△OCD （△OBD ）利用三边关系解决即可. 归纳：构造线段时辅助线的写法： 1. 连接**。例如：连接AB 2. 延长**。①例如：延长AB 交CD 于E 点；②延长AB 到E ，使BE = AB . 例题3：已知：如图AB ∥DE . 求证：∠B +∠C +∠D = 360° 【思路点拨】要证明这三个角的和是360°，可以 构造周角，2个180度或四边形的内角和来证明。 通过作平行线就可实现角的位置的转移，将角移动到 适当的位置。 归纳：构造平行线时辅助线的写法： 1. 过*作* ∥ *。例如：过点A 作AB ∥CD. 练习：叙述并证明三角形内角和定理。 例题4：已知：如图，△ABC 的∠B 的外角的平分线BD 和∠C 的外角平分线CE 相交于点P 求证：点P 也在∠BAC 的平分线上。 【思路点拨】已知CP 和BP 为外角平分心线，要证明P 角平分线上，只需要过P 向AM 、AN 、BC 归纳：构造垂线，中线，角平分心线时辅助线的写法： 1. 垂线：过*作*⊥*于点*。例如：过点A 作AB ⊥CD 于点B . C E A N B

初中几何辅助线大全 最全

三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 ∵?? ???=∠=∠∠=∠)()() (已知已证公共角AC BD CAE DBE E E ∴△DBE ≌△CAE （AAS ） ∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE 与 ∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。 ∵BE ⊥CF （已知） ∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， 1 9-图D C B A E F 1 2 A B C D E 1 7-图O

中考数学几何辅助线：倍长中线法

中考数学几何添加辅助线：倍长中线中线或中点是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。 此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角进而用“SAS”证明对应边之间的关系。 常规的倍长中线可以出全等，但需要证明“三点共线”，遇到“中点+平行”，我们“延长出全等”，而非“倍长出全等”. 用“倍长中线法”作辅助线解几何题，是一种重要的技巧套路。它可以有效地生发出全等、平行等基本条件，关联好多基本图形，帮助解题，大家务必好好掌握。也给我们解题的启示：抓住核心，找到关键，才能快速解题。 逢中点，便倍长，全等观，平行现. 倍长中线法:是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造“8字形”的全等三角形。 在与中点有关的线段尤其是涉及线段的等量关系时，倍长中线应用较常见，常见添加如图（AD是底边中线） 典例1．已知：AD是ΔABC的中线，AE=EF．求证：AC=BF． 名师指点： 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，再根据等腰三角形的性质证明即可．

满分解答： 证明：延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ， ∵AD 是△ABC 中线， ∴CD ＝BD ， ∵在△ADC 和△MDB 中，{CD ＝BD ∠ADC ＝∠MDB AD ＝DM ， ∴△ADC ≌△MDB （SAS ）， ∴BM ＝AC ，∠CAD ＝∠M ， ∵AE ＝EF ， ∴∠CAD ＝∠AFE ， ∵∠AFE ＝∠BFD ， ∴∠BFD ＝∠CAD ＝∠M ， ∴BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF ． 名师点评： 倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角、线段的代换是解决问题的关键． 1．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（ ） A ．4BF = B ．2AB C ABF ∠>∠

初中几何常见辅助线作法口诀

初中几何常见辅助线作法口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

作辅助线的常用方法

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出 来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如： 例1、 已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一） 将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ， 在△AMN 中，AM+AN > MD+DE+NE;（1） 在△BDM 中，MB+MD>BD ； （2） 在△CEN 中，CN+NE>CE ； （3） 由（1）+（2）+（3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2） 延长BD 交 AC 于F ，廷长CE 交BF 于G ， 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有： AB+AF> BD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边）…（1） GF+FC>GE+CE （同上）………………………………..（2） DG+GE>DE （同上）…………………………………….（3） 由（1）+（2）+（3）得： AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC 。 一、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两 点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC 。 因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于 在内角的位置； 证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC 的外角， A B C D E N M 1 1-图A B C D E F G 2 1-图A B C D E F G 1 2-图

几何证明题(添加辅助线试题)

几何证明题（添加辅助线）1.已知AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,点F是CD的中点，求证AF⊥CD 2.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 3.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 4.如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC的延长线上取点E，使得BD=CE，连接DE交BC于点G，求证：DG=GE． 5.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC D E B 2 1 D E B A F A D C

6.如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于C ，?∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm ， 求AO+BO 的值． 7.如图：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BE 。 8.已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 9.已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 10.如图，AB=AC,∠BAC=900 ，∠1=∠2，CE ⊥BE,求证BD=2CE D B C A E A B C D 2 1D E C A C O P A B

F E D C B A 11.正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数. 12.已知：如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在CD 上，∠FAE=∠BAE ． 求证：AF=BC+FC ． 13.如图，已知F 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点E 在BC 上，且∠DAF=∠EAF 求证：AE=CD+CE 14.△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由． 15.△ABC 是等腰直角三角形，，∠A=900 ，点P 、Q 分别是AB 、AC 上的动点，且满足BP=AQ ，D 是BC 的中点.（1）求证：△PDQ 是等腰直角三角形。 （2）当点p 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形？说明理由。 D A B E Q D C A B P

初中数学巧添辅助线解证几何题完整版

初中数学巧添辅助线解 证几何题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

巧添辅助线解证几何题 [引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。 一、倍角问题 研究∠α＝2∠β或∠β=1 2 ∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形： 1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=1 2 ∠α，然后证明∠1= ∠β；或把∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一） 2、∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问 例1：如图1AB=AC,BD⊥AC于D。 求证：∠DBC=1 2 ∠BAC. 分析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，可利用

三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。 证法一：∵在△ABC 中，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C= 12（180°-∠BAC ）=90°-12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90° ∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°- 12∠BAC)= 12∠BAC 即∠DBC= 12∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠ DBC= ∠BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把∠A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。 证法二：如图2，作AE ⊥BC 于E ，则∠EAC+∠C=90° ∵AB=AC ∴∠EAG= 12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D ∴∠DBC+∠C=90° ∴∠EAC=∠DBC （同角的余角相等） 即∠DBC= 12∠BAC 。 证法三：如图3，在AD 上取一点E ，使DE=CD

八年级几何辅助线专题训练

常见的辅助线的作法 1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 4.垂直平分线联结线段两端：在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形. 7.角度数为30度、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 8.面积方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、等腰三角形“三线合一”法 1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E， 求证：CE=BD. 中考连接：

E D F C B A O E C B ABC ?（2014?扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB =60°，点P 在边OA 上， OP =12，点M ，N 在边OB 上，PM =PN ，若MN =2，则OM =（ ） A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 二、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3， 则中线AD 的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. 中考连接： （09崇文）以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt 和等腰Rt ACE ?，90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的关系．（1） 如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ； （2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转? θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 三、借助角平分线造全等 1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD 2、如图，已知点C 是∠MAN 的平分线上一点，CE ⊥AB 于E ，B 、D 分别在AM 、AN 上， AE=（AD+AB ）.问：∠1和∠2有何关系？ 且 中考连接： ()如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全

中考数学专题-辅助线的添加

个性化教案（内部资料，存档保存，不得外泄） 海豚教育个性化教案编号：教案正文： 辅助线的添加 【知识要点】 平面几何是中学数学的一个重要组成部分，证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何证明题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策。在这里我们介绍"添加辅助线"在平面几何中的运用。 一、三角形中常见辅助线的添加 1. 与角平分线有关的 ⅰ可向两边作垂线。 ⅱ可作平行线，构造等腰三角形 ⅲ在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 2. 与线段长度相关的 ⅰ截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可 ⅱ补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可 ⅲ倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。 ⅳ遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。 3. 与等腰等边三角形相关的 ⅰ考虑三线合一 60 ⅱ旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转 二、四边形 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 1、和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形 ⅱ．利用两组对边平行构造平行四边形 ⅲ．利用对角线互相平分构造平行四边形 2、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. ⅰ. 作菱形的高； ⅱ．连结菱形的对角线. 3、与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：

初中几何辅助线大全最全

初中几何辅助线大全-最全 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1 :已知AC= BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求证：AD= BC 分析：欲证AD = BC,先证分别含有AD, BC的三角形全等，有几种方案：△KDC与ABCD , △XOD与△BOC’MBD与ABAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可 设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA CB它们的延长交于E点, ?/ AD丄AC BC丄BD （已知） ???/ CAE=Z DBE = 90 ° （垂直的定义） 在厶DBE与△ CAE中 E E（公共角） DBE CAE（已证） BD AC（已知） ? A DBE^A CAE （AAS ?ED= EC EB = EA （全等三角形对应边相等） ?ED- EA= EC— EB 即：AD= BC （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1 :在Rt△ ABC中，AB= AC, / BAC= 90°,/ 1 = Z 2, CEL BD的延长于E。求证：BD= 2CE

分析：要证BD = 2CE，想到要构造线段2CE，同时CE

与/ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA CE交于点F。 ?/ BEX CF （已知） ???/ BEF=/ BEC= 90°（垂直的定义） 在厶BEF与厶BEC中， 1 2（已知） BE BE（公共边） BEF BEC（已证） 1 ? △ BEF^A BEC（ASA ?- CE=FE」CF （全等三角形对应边相等） 2 ?// BAC=90 BE 丄CF （已知） ???/ BAC=/ CAF= 90°/ 1 + / BDA= 90°/ 1 + Z BFC= 90° ???/ BDA=/ BFC 在厶ABM A ACF中 BAC CAF （已证） BDA BFC （已证） AB = AC（已知） ? △ ABD^A ACF （AAS ? BD= CF （全等三角形对应边相等）? BD= 2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图11-1 : AB= DC / A=/ D 求证：/ ABC=/ DCB 分析：由AB = DC ,ZA =/D，想到如取AD的中点N，连接NB , NC,再由SAS公理有△ ABN也Q CN，故BN = CN , ZABN =ZDCN。下面只需证/ NBC =ZNCB，再取BC的中点 M，连接MN，则由SSS公理有△ NBM也A CM，所以/NBC = ZNCB。问题得证。 证明：取AD, BC的中点N、M连接NB NM NC贝U AN=DN BM=C皿在厶ABN和厶DCN

几何证明题辅助线典型作法

几何证明题辅助线典型作法 补形法的应用 一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。 一、补成三角形 1.补成三角形 例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点； 证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。 分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的 三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。 略证： 2.补成等腰三角形 例2 如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE 分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可。 略证： 3.补成直角三角形 例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。 分析：从∠B、∠C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。 略解： 图3

4.补成等边三角形 例4.图4，△ABC 是等边三角形，延长BC 至D ，延长BA 至E ，使AE ＝BD ，连结CE 、ED 。 证明：EC ＝ED 分析：要证明EC ＝ED ，通常要证∠ECD ＝∠EDC ，但难以实现。这样可采 用补形法即延长BD 到F ，使BF ＝BE ，连结EF 。 略证： 二、补成特殊的四边形 1.补成平行四边形 例5.如图5，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点，并且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分。 分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边 形GEHF 是平行四边形。 略证： 2.补成矩形 例6.如图6，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝200m ，CD ＝100m ，求AD 、BC 的长。 分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角 形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。 略解： 图6

中考数学专题初中几何辅助线几种常见添法培优试题.doc

2019-2020 年中考数学专题初中几何辅助线的几种常见添法培优试题 一、由角平分线想到的辅助线 1、截取构全等 例1：如图 1， AB∥ CD， BE 平分∠ ABC， CE平分∠ BCD，点 E 在 AD上。求证： BC=AB+CD。例2：已知，如图 2，AB=2AC，∠ BAD=∠ CAD， DA=DB。求证： DC⊥ AC。 例 3：如图 3，在△ ABC中，∠ C=2∠ B， AD平分∠ BAC。求证： AB-AC=CD。 2、角平分钱上的点向角两边作垂线构全等

例1：如图 4，已知 AB>AD，∠ BAC=∠ FAC， CD=BC。求证：∠ ADC+∠ B=180° 例 2：已知，如图5，△ ABC的角平分线BM、 CN相交于点P，求证：∠ BAC的平分线也经过点P。 3、作角平分线的垂线构造等腰三角形 例1：已知，如图 6，∠ BAD=∠ DAC， AB>AC， CD⊥ AD于 D，H 是 BC的中点。 1 求证： DH( AB AC) 例 2：如图 7， AB=AC，∠ BAC=90°， BD平分∠ ABC， CE⊥ BE。求证： BD=2CE。

例 3：已知，如图8，在△ ABC中， AD、 AE分别是△ BAC的内、外角平分线，过顶点B作 BF⊥ AD，交AD的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE于 M。 求证： AM=ME。 例 4：已知，如图9，在△ ABC中， AD平分∠ BAC，AD=AB，CM⊥ AD交 AD延长线于 M。 求证： AM 1 ( AB AC) 。 2 二、截长补短法 例 1：如图 10，正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF。求∠ EAF的度数。

初中几何证明题思路及做辅助线总结

中考几何题证明思路总结 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 三、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，错角相等或同旁角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。 四、证明两直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 11.利用半圆上的圆周角是直角。

(完整)八年级数学上几何证明中的辅助线添加方法

八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法 数学组 田茂松 八年级数学的几何题，有部分题需要做出辅助线才能完成。有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。 常见辅助线的作法有以下几种： 1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 常见辅助线的作法举例： 例1 如图1,//AB CD ，//AD BC . 求证：AD BC =. 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。 证明：连接AC （或BD ） ∵//AB CD , //AD BC （已知） ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等） 在ABC ?与CDA ?中 ?????∠=∠=∠=∠)(43) ()(21已证公共边已证CA AC ∴ABC ?≌CDA ?（ASA ） ∴AD BC =（全等三角形对应边相等） 例2 如图2,在Rt ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，12∠=∠，CE BD ⊥的延长于E .求证：2BD CE =. 分析：要证2BD CE =，想到要构造线段2CE ，同时CE 与ABC ∠的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，CE 交于点F . ∵BE CF ⊥ （已知） ∴90BEF BEC ∠=∠=?（垂直的定义） 在BEF ?与BEC ?中， ?????∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE A B C D 1234图1 D A E F 12图2

初中几何常见辅助线作法50种

初中常见辅助线作法 任何几何题目都需分析题目条件和结论找到解题思路，本讲从常见的条件和结论出发说明50种辅助线作法，分三角形部分、四边形部分、解直角三角形部分、圆。每种辅助线作法均配备了例题和练习。 三角形部分 1．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某 边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 例：如图，已知D 、E 为△ABC 内两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE . 证法（一）：将DE 向两边延长，分别交AB 、AC 于M 、N 在△AMN 中， AM ＋ AN ＞MD ＋DE ＋NE ① 在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ② 在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ③ ①＋②＋③得 AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE 证法（二）延长BD 交AC 于F ，延长CE 交BF 于G , 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有， ①AB ＋AF ＞BD ＋DG ＋GF ②GF ＋FC ＞GE ＋CE ③DG ＋GE ＞DE ∴①＋②＋③有 AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证 有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题. 练习：已知：如图P 为△ABC 内任一点， 求证： 1 2 (AB ＋BC ＋AC )＜P A ＋PB ＋PC ＜AB ＋BC ＋AC 2.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来， 可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 证法（一）：延长BD 交AC 于E ， F G N M E D C B A