8数项级数习题课[1]

n

n u n n

ln 11

∑

∞

=收敛。

2）、这是一个具体的级数，按常规的程序分析。

首先证明原级数的收敛性。由于

1

1|sin |1sin

2

n

k k =￡

?，

且1{

}ln n n

单调递减趋于0，因而，由Dirichlet 判别法，1

sin ln n n n n

￥

=?

收敛。

其次，考虑绝对级数1

|sin |ln n n n n

￥

=?

的收敛性。

由于

2

2|sin |2sin 1cos 2ln ln ln ln n n n n n

n n

n n

n n

?

-

，

类似前述证明：

1

cos 2ln n n n n

￥

=?

收敛，而

1

1

ln n n n

￥

=?

发散（积分判别法），因而，

1

|sin |ln n n n n

￥

=?

发散，故，原级数条件收敛。

注、上述方法是处理这类题目的典型处理方法，特别要掌握三角函数的部分和公式：

212sin

(sin sin 2sin )cos

cos

22

2

x x n x x nx x ++++=-L ，

212sin (cos cos 2cos )sin

sin

2

2

2

x n x x x nx x ++++=-L ，

因此，成立

1

1|cos ||sin

|

2n

k kx x =￡

? ，1

1|

sin ||sin

|

2n

k kx x =￡

?

，2x k p

1。

注、从上述证明中可知，

2

1

1ln n n n

￥

=?

收敛，而

1

1ln n n n

￥

=?

发散。我们知道，

1

1p

n n

￥

=?

当p>1时收敛，当

1p ￡时发散，p ＝1是临界指标，并且我们知道，级数是否收敛和通项收

敛于0的速度有关，因此，上述几个结论表明，

1

1n n

￥

=?

的通项收敛于的速度不能保证级数的收敛性，分

母上贡献一个因子lnn 后，仍不足以保证级数的收敛性，但是，一旦这个因子的幂次大于1，级数就收敛了，

因而，p ＝1也是

1

1ln p

n n n

￥

=?

的临界指标。

例18 证明：若

∑∞

=-1

1

2n n a

与

∑∞

=1

2n n

a

都收敛，则

∑∞

=1

n n

a

也收敛。

分析 这是抽象级数敛散性的判别，通过已知级数和待研究级数的形式可以看出，借助部分和可以将它们联系起来，因而用定义法判别其收敛性。

证明：设

∑∞

=-1

1

2n n a

、

∑∞

=1

2n n

a

、

∑∞

=1

n n

a

的部分和分别为n A 、n B 、n S ，且设B B A A n n →→ , ，

则

B A B A S B A B A S n n n n n n +→+=+→+=--1122 ,

故， B A S n +→，因而，

∑∞

=1

n n

a

收敛。

下面两个例子与例18结构相同，处理方法与例18类似。

例19 证明：若

∑∞

=-+1

21

2)(n n n a a

收敛，且0lim =+∞

→n n a ，则∑∞

=1

n n a 收敛。

证明：设

∑∞

=-+1

21

2)(n n n a a

、∑∞

=1

n n a 的部分和分别为n n B A , ，则

n n A B =2，1212+++=n n n a A B ，

故 n n n n n n A B B +∞

→++∞

→+∞

→==lim

lim lim 122，因此，∑∞

=1

n n a 收敛。

例20 设

∑∞

=1n n

a

收敛且0lim =+∞

→n n na ，证明：

∑∞

=+=

-1

1)(n n n

a a

n ∑∞

=1

n n

a

。

证明：记

∑∞

=+-1

1)(n n n

a a

n 的部分和为n S ，则

11

1

11

)1(++=+=+-=

-=

∑∑n n k k

n n k k

n a n a

na a

S

取极限即可得到结论。

注、从证明过程中发现，除去定量关系，上述结论的逆也成立，即在条件0lim =+∞

→n

n nu

下，若

11

()n n n n u u ￥

+=-?

收敛，则∑∞

=1

n n

u 也收敛。

注、同样，在

11

()n n n n u u ￥

+=-?

、∑∞

=1

n n

u 都收敛的条件下，{}n nu 也收敛。

下面我们研究级数更进一步的性质。

例21 设正项级数

∑

∞

=1

n n a 发散，n S 为其部分和，证明：∑

∞

=1

n n

n S a 发散。

分析 仍是抽象级数，考虑用定义方法或Cauchy 收敛准则。 证明：考察其Cauchy 片段

p

n n n p n p

n p

n n k k p

n p

n n k k

k S S S S S a S S a +++++=+++=-

=-=

≥

∑

∑

1}[111

1

因为+∞→n S ，故对任意n ，存在p>0，使得

2

1<

+p

n n S S ，

因此，

∑

++=≥

p

n n k k

k S a 1

2

1，

故，

∑

∞

=1

n n

n S a 发散。

更一般的结论是：

例22 设正项级数

∑

∞

=1

n n a 发散，则级数∑

∞

=1

n p

n

n S a 当p>1时收敛，当p 1≤时发散。其中n S 仍是级数

∑∞

=1

n n

a

的部分和。

证明：利用第16题的结论知，当1≤p 时，

n

n p

n

n S a S a ≥

，

由比较判别法，此时级数发散。

下证 当p >1时，

∑

∞

=1

n p n

n S

a 收敛。事实上，由于

p

n

n n p

n

n S S S S a 1

--=

，

?

--->

n

n S S n n p n

p

S S S

dx x

1

)(111

另一方面，

][1

111111

p

n

p n S S p

S S p dx x n

n -----=?

-，因而

][1

1111p

n

p n p n

n S S p S

a -----≤

；

另外，由于级数

∑∞

=----1

111

)(n p

n

p

n S S

的部分和

p

p

n

p

n S S S A ---→-=11

111

，

因而其收敛，由比较判别法，

∑

∞

=1

n p n

n S

a 当p >1时收敛。

注、当p =2时，利用下式有更简单的证明方法：

n

n n n n n n

n n n

n S S S S S S S S S S

a 1101

1

121

2-

=

-≤

-=

<

----

而用定义可以证明级数

1

1

11()n n n

S S ∞

=--

∑

收敛。

注、用余和代替部分和还有下述结论。

例23 设

∑

∞

=1

n n a 是收敛的正项级数，∑∞

+==

1

n k k n a r 为余和，则级数∑

∞

=1

n p

n

n r a 当p<1时收敛;1≥p 时

发散。

证明：由于

∑∞

=1

n n

a

收敛，故有0→n r 。

先处理最简单的临界情形。 当p =1时，考察其Cauchy 片段

111

1

1

11()()n p

k n n p n n p k n k

n n a a a r r r r r +++++=+++?

+=

-?

L

1

11n p

n r , p r +

+=-

+

故

∑

∞

=1

n n

n r a 发散。

当p>1时，对充分大的n ，则

n

n p

n

n r a r a ≥

，

故，

∑

∞

=1

n n

n r a 发散。

当p<1时， 由于

p

n

n n p

n

n r r r r a 1

+-=

，而

)(111

+->

?

+n n p

n

r r p

r r r x

dx n

n ；

另一方面，

)(1111111

p

n p

n

r r p

r r p

dx x

n

n -+---=

?

+，

故，

)(11111p

n p

n

p

n

n r r p

r a -+---≤

，

由于

)(1

11

1∑

∞

=-+--n p n p n

r

r

收敛于p r

-11

（部分和方法），故此时，

∑

∞

=1

n p

n

n r a 收敛。

下面的例子说明没有万能判别法。

例24 若正项级数

∑

∞

=1

n n u 收敛，则存在收敛的正项级数∑∞

=1

n n v ，使得0lim

=+∞

→n

n n v u ，即对任意收敛

的正项级数，存在比其收敛更慢的收敛的正项级数。因而，不存在最慢的收敛的正项级数。

分析 由于构造的级数的通项必须满足0n v ?，而从条件中，相应的信息只有余和0n r ?，

这是我们的出发点。

证明：设

∑∞

=1

n n

u

S =，则

1

0n n k k n r S S u ￥

=+=-=

?

。取1+-=

n n n

r r v ，则

其部分和S r r r v

A n n

k k

n =

→

-

=

=

+=∑1111

，故∑∞

=1

n n v 收敛。

另一方面，

l i m

l i n n n

n

u v ?

ギ

+

=

1lim

()

n

n n n u r r ?

+=

-

lim 0n ?

=

=

由此，结论得证。

例25 设正项数列{}n u 单调递减且

1

(1)n

n

n u ￥

=-?

发散，证明：

11

1n

u n n

￥

+=?

的收敛性。

分析 关键在于挖掘{}n u 的性质，一旦确定了其性质，很容易证明结论。 证明：由于正项数列{}n u 单调递减，因而，{}n u 必收敛，设其极限是a ，则0a

3，由于

1

(1)n

n

n u ￥

=-?

发散，则利用Leibniz 级数的性质，必有0a >，利用极限性质，则存在N,使得n>N

时，

302

2

n a a u <

<<

，

故，

112

11

0n

a u n

n

++

<

<，

由比较判别法，则

11

1n

u n n

￥

+=?

收敛。

例26 若

11

()n n n u u ￥

-=-?

绝对收敛，1

n

n v ￥=?

收敛，证明：

1

n n n u v ￥

=?

收敛。

分析 从结论形式看，要处理的级数的结构特点是：通项为乘积形式的抽象级数，我们知道处理这类级数有两个判别法，但是，结论的基础是Abel 变换，因此，当不能直接由定理得到结论时，就要考虑用其思想方法了。

证明：由给出的收敛条件，利用Cauchy 收敛准则，则对任意0e >，存在N ，当n N

>时，

对任意正整数

p 成立

12||n n n p

v v v e +++

+++

21321

||||||n n n n n p n p u u u u u u e ++++++

--+-++-

利用插项法从第二个不等式得到， 121321

||||||||n p

n n n n n n p n p u u u u u u u u e +

+++++++

--?+-++-

记1n

n

k

k V v ==

?

，由于其收敛，故有界，且由于

11

()n n n u u ￥

-=-?

绝对收敛，不妨设

||n V M

￡，

11

||n n n u u M

￥

-=- ?

。

利用Abel 变换级数，n N

>时，则

1122||n n n n n p n p

u v u v u v ++++++

+++L

＝112211

|()()()|n n n n n n n p n p n p u V V u V V u V V ++++++++

--+-++-L

1121232|()()n n n n n n n n u V u u V u u V +++++++=-+-+-+L

1

1

()|n p n p n p n p n p

u u V u V +-++

-++

+-+

1||n p n p n n M u V u V e +++?-

11|()()|n p n n p n n p n M u u V u V V e +++++?-+-

1(1)||n M

u e e +?+

又，利用插项方法，

11

1211||||||||||n n n n n u u u u u u u u ++-?+-++-+L

111

||||n n n u u u ￥

+=?+?

，

因而，

11221||(21||)n n n n n p n p

u v u v u v M

u e ++++++

+++?+L ，

于是，由Cauchy 收敛准则，1

n n n u v ￥

=?

收敛。

第十二章无穷级数练习题含答案知识分享

第十二章 无穷级数练习 1.判别下列级数的敛散性： 21 2 1 1 1 1 11 ! 21sin ;ln(1);;( )32 n n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ∞ +====++-∑∑∑∑ 2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 211 (1)[3n n n n ∞ -=-+ ∑； 21 cos 3n n n n ∞ =∑； 1 (1)n n ∞ -=-∑。 3. 求幂级数0 n n ∞ =的收敛区间。 4.证明级数1 !n n n n x n ∞ =∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。 注：数列n n n x )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。 5.在区间(1,1)-内求幂级数 1 1 n n x n +∞ =∑ 的和函数。 6.求级数∑∞ =-2 22)1(1 n n n 的和。 。

7.设1111 2,()2n n n a a a a +== + （1,2,n =L ）证明 1）lim n n a →∞ 存在； 2）级数 1 1 ( 1)n n n a a ∞ =+-∑收敛。 8.设40tan n n a xdx π = ? ， 1） 求211 ()n n n a a n ∞ +=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1 n n a n λ∞ =∑收敛。 9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞ =-1)1(n n n a 发散，试问∑∞ =??? ? ??+111n n n a 是否收敛？并说明理 由。 10.已知222111358π+++=L [参见教材246页]，计算1 011ln 1x dx x x +-???。 。

数项级数敛散性判别法。(总结)

华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日

摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。

无穷级数习题

第十二章 无穷级数习题课资料 丁金扣 一、本章主要内容 常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点 用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 三、本章难点 用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级 数收敛定理。 四、例题选讲 例1：判别级数()2 1ln 1ln ln 1n n n n ∞ =??+ ???+∑的敛散性。 （用定义） 解：原式=()()2 2ln 1ln 11 ()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞ ∞==+-=-++∑∑ 级数的部分和1 11111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ??????=-+-++- ? ? ?+?????? 111ln 2ln(1)ln 2 n = -→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于 1 ln 2 。 例2：证明级数 2 cos cos(1) n n n n ∞ =-+∑收敛。（利用柯西审敛原理） 证明：1 cos cos(1) n p n p n m n m m S S m ++=+-+-= ∑ ()()()11cos 1cos 11 ()cos 111n p m n n n p m n m m n p +-=+++=--+- +++∑ 得1 111112 ()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑， 对任意的0ε>，取2N ε??=???? ，则当n N >时，对所有p N ∈，都有 n p n S S ε +-<，

第十二章数项级数31263

第十二章 数项级数 1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解 2012,n n y a a x a x a x =+++ + 则必有0i a i n = ( =1,2, ,) . 2．试确定系数01,, ,, ,n a a a 使0n n n a x ∞ =∑满足勒让德方程 2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++= 2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) 1 1 ;(54)(51)n n n ∞ =-+∑ (2) 2 11 ;41 n n ∞ =-∑ (3) 1 1 1(1);2 n n n -∞ -=-∑ (4) 1 21 ;2n n n ∞ =-∑ (5) 1sin ,n n r nx ∞ =∑||1;r < (6) 1 cos ,n n r nx ∞ =∑|| 1.r < 2．讨论下列级数的敛散性：

(1) 1;21n n =-∑ (2) 111( );23n n n ∞ =+∑ (3) 1cos ;21n n π ∞ =+∑ (4) 1 1 ;(32)(31)n n n ∞ =-+∑ (5) 1 n ∞ = 3．证明定理10.2. 4．设级数 1 n n u ∞ =∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 ,n n U ∞ =∑即 1112,n n n n k k k U u u u ++++=++ +0,1,2, n =， 其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<< 若1 n n U ∞ =∑收敛，证明原来的级数也收敛. 3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： (1) n ∞ = (2) 21 11 ;(21)2 n n n ∞ -=-∑ (3) 1n ∞ = (4) 1 sin ;2 n n π ∞ =∑

正项级数敛散性地判别方法

正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。

第十二章 数项级数习题课

第十二章 数项级数习题课 一 概念叙述 1． ∑∞ =1 n n u 收敛于S ?部分和数列{}n S 收敛于S ?S S n n =∞ →lim 2．n u ∑收敛的柯西准则?0,0,,,N m n N ?ε>?>?>有12m m n u u u +++++<ε ． 3． n u ∑发散的柯西准则?0ε? N ?，0()m N ?>，0p ?，有 0210000ε≥++++++p m m m u u u 二 疑难解析与注意事项 1．有人说，既然一个级数是无限多个数“相加”的结果，而数的加法满足交换律和结合律，所以在一个级数中，可以任意交换项的次序，也可以任意加括号．这种说法对吗？ 答：不对．一个收敛级数，适当改变项的次序以后，可能得到一个发散级数；即使得到的仍收敛级数，其和也可能与原级数的不同．这就是无限项相加与有限项相加的质的不同． （条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数；条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数．） 当然，如果仅仅交换一个级数的有限项的次序，则级数的敛散性不变． （去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性；级数的敛散性与级数的有限个项无关，但当收敛时其和可能是要改变的．） 如果一个级数是正项级数或是绝对收敛的级数，则可以任意改变一个级数的项的次序，其收敛性不变，且和也不变． （绝对收敛的级数任意重排后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.） 类似地，一个收敛级数可以任意加括号，加括号后的级数与原来的级数有相同的收敛性与相同的和； （在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．） 但一个发散级数，经适当添加无限个括号后，可能变成一个收敛级数．有一种特殊情形，如果添加括号后，每个括号中的项都保持同一正，负号，则所得级数与原级数同收敛，且和（如有的话）也不变． 2.级数n u ∑，n v ∑，()n n u v +∑的敛散性有何联系？ 答：1）若n u ∑与n v ∑都收敛，则()n n u v +∑收敛，且()n n n n u v u v +=+∑∑∑； 2）若n u ∑与n v ∑中有一个收敛有一个发散，则()n n u v +∑发散； 3）若n u ∑与n v ∑都发散，则()n n u v +∑可能收敛可能发散． 例如，11,n n ??- ???∑∑都发散，但110n n ?? -= ??? ∑收敛， 11,n n ∑∑都发散，但112n n n ?? += ??? ∑∑发散．

数项级数敛散性的判别法毕业论文

数项级数敛散性的判别法毕业论文

关于数项级数敛散性的判别法 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法 1 引言 设数项级数 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 的n 项部分和为: 12n S a a =++ +1 n n i i a a ==∑ 若n 项部分和数列{} n S 收敛,即存在一个实数S,使 lim n n S S →∞ =. 则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞ 是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则, 可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]:

数项级数1 n n a ∞ =∑收敛0,N N ε+ ??>?∈,对,n N p N + ?>?∈有 12n n n p a a a ε ++++++<. 2 正项级数敛散性判别法 设数项级数1n n a ∞ =∑为正项级数(n a ≥0).则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增,由数列的单调有界公理,有 定理2.1[1] 正项级数1n n u ∞ =∑收敛?它的部分和数列{}n S 有上界. 由定理2.1可推得 定理2.2 [2] ：设两个正项级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑,存在常数c 0 >及正整数N ，当n ＞N 时有 n u ≤c n v ,则 （i ）若级数1 n n u ∞=∑收敛，则级数1 n n v ∞ =∑也收敛； （ii ）若级数1 n n u ∞=∑发散，则级数1 n n v ∞ =∑也发散. 一般常及其极限形式: 定理2.2’（比较判别法的极限形式） [2] ：设1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑是两个正项级数且有 lim n n n u v →∞=λ， （i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散； （ii ）若 λ＝0，级数1 n n v ∞ =∑收敛，则级数1 n n u ∞ =∑也收敛； （iii ）若 λ＝＋∞，级数1 n n v ∞=∑发散，则级数1 n n u ∞ =∑也发散. 由比较判别法可推得:

常数项级数敛散性判别法总结

常数项级数敛散性判别法总结 摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。 关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点 无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。 1 级数收敛的概念 给定一个数列{un}，称 u1+u2+...+un+ (1) 为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。 注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。 借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。 当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。 例2：判别级数的敛散性。 解：因为 由比值判别法知级数收敛。 2.3 根植判别法

数学分析：第章数项级数

数学分析：第章数项级数 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

第十二章 数 项 级 数 目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1. 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么. 1 级数的概念 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1）

称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项. 级数（1）简记为：∑∞ =1n n u ，或∑n u . 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和. 3 级数的收敛性 定义2 若数项级数∑∞ =1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项 级数∑∞=1 n n u 收敛 ，称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321. 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例1 试讨论等比级数（几何级数） ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ，)0(≠a 的收敛性. 解：见P2. 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1431321211n n

8数项级数习题课共32页文档

第八章数项级数习题课 一、主要内容 1、基本概念 数项级数及其部分和、正项级数、交错级数、正部级数、负部级数、级数的敛散性、绝对收敛、条件收敛 2、性质 收敛级数的运算性质、级数收敛的必要条件、各种收敛关系 3、判别法则 任意项级数的判别法则： 定义法定量和定性分析，既可以判断级数的收敛性、也可以判断级数的发散性，收敛的情形下，还可以求和； Cauchy收敛准则定性分析，可以判断级数的收敛和发散性； 必要条件――用于判断级数的发散性； 正项级数的各种判别法判别正项级数的敛散性； 交错级数的判别法判断交错级数的敛散性； Abel判别法和Dirichlet判别法判断通项可以视为两个因子乘积形式的任意项级数的收敛性。 4、判别原则 A）、抽象和半抽象级数的基本判别法 1）、比较判别法――定性判别法通常选择几何级数和调和级数为

比较对象，也用于两个相互关联的级数间的比较。 2）、Cauchy收敛准则――定性判别方法，常用于简单级数的判断，也可以判断发散性。 3）、定义法――定量和定性，用于简单级数的判别。 B）、简单的具体级数的判别法 1）、定义法特别时要求计算和或有和的关系式时，多用此法； 2）、Cauchy收敛准则 C）、一般的具体级数 1)、正项级数判别法 2）、交错级数判别法 3）、Abel判别法和 Dirichlet判别法 5、判断级数敛散性的一般程序 1）、检验通项是否收敛于0 2）、能否计算部分和 3）、是否可以与几何级数作比较 4）、能否用比较、根式或Raabe判别法 5）、能否用积分判别法 6）、考虑用Cauchy收敛准则 7）、更精细的判别法如Kumer 、Gauss判别法等、 注、对较为复杂的数项级数，在使用上述一般程序前，一定要充分利

第十二章-无穷级数(整理解答)

第十二章 无穷级数 一. 常数级数的审敛，常数级数的性质 收敛： 12.3下列级数中收敛的是( )； A ． ( ) ∑∞=-+1 1n n n B ．∑ ∞ =+11 1n n C ．n n n n ∑∞ =?? ? ??+123 D ．∑∞ =??? ??+1211n n 1 2(1)n =≥≥+，所以( ) ∑∞ =-+11n n n 发散； ∑∞ =+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞ =??? ? ? +1211n n 发散，因此选C 。 12.7 下列级数中收敛的是( ) A. ∑ ∞ =+1 121n n B.∑∞ =+11 3n n n C.)1|(|1001<∑∞=q q n n D.∑∞=-1132n n n 解： 121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1 lim 313n n n →∞=+，∑∞ =+1 13n n n 发散；||1q <时，100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q q n n 发散；2 13n =<，∑∞ =-1132n n n 收敛，所以选D 。 12.11 下列级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．11ln(1)n n ∞=+∑ D ．∑∞ =??? ? ? +1311n n 解：1121lim 12n n n →∞-=，∑∞=-1121n n 发散； 2 12(1)12lim 122n n n n n +→∞+=<，∑∞=122 n n n 收敛；1ln(1)lim 11n n n →∞+=，11ln(1)n n ∞ =+∑发散；11n ∞=∑发散，∑∞=??? ??+1311n n 发散。所以选B 。 12.15 下列正项级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1 ∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n

数项级数敛散性判别方法

华北水利水电 大学 课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结） 专业班级:水利港航39班 成员组成:丁哲祥 201203901 联系方式: 2012.05.23

数项级数敛散性判别法（总结） 摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。 关键词：数项级数敛散性判别方法总结 Several series gathered of the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod. Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary

数项级数的敛散性的练习题及解析

数项级数的敛散性的练习题及解析 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1n n U ∞=∑（ D ） A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛 解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n ∞=∑收敛 选D 2．设 1n n U ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ） A ． 1n n U ∞=∑ B.()12008n n U ∞=∑ C ．()10.001n n U ∞ =+∑ D ．11n u U ∞=∑ 解： ()12008n n U ∞=∑＝20081n n U ∞=∑ 1 n n U ∞=∑收敛∴由性质()12008n n U ∞ =∑收敛 3．下列级数中一定收敛的是…( A ) A ．21014n n ∞ =-∑ B ．10244n n n n ∞=-∑ C ．101n n n n ∞=?? ?+?? ∑ D +… 解：214n U n =- 0n ≥21n = lim 1n n n U V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ） A ．11n n n ∞=+∑n （－1） B ．()211n n n ∞=-∑ C ．1n n ∞=- D ．()1312n n n ∞=??- ???∑ 解：（ 1 ）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（ 2）1 1n n ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C 5．级数() 1 11cos n n k n ∞=??-- ???∑ （k>0）…（ B ） A ．发散 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．敛散性与K 相关 解：11(1)(1cos )1cos n n n k k n n ∞ ∞-=??--=- ???∑∑

级数补充题

无穷级数 1. 已知数列{}n na 收敛，求证级数 ∑∞ =--1 1)(n n n a a n 收敛的充要条件是级数∑∞ =1 n n a 收敛。 分析：考虑 ∑∞ =--1 1)(n n n a a n 与∑∞ =1 n n a 的部分和n S 与n σ，验证n S n n na a +--=-01σ。 2. 设{}n u 是单调增加的正数数列，试证当{}n u 有界时级数 ∑∞ =+??? ? ??-111n n n u u 收敛。 分析：11n 11n 0u u u u u u a n n n n -≤ -=≤+++，验证级数∑∞ =+-1 1)(n n n u u 收敛。 3. 设 ∑∞ =1 n n u 为正项级数，{}n v 为正实数列，记11 ++-= n n n n n v u v u a ，如果a a n n =∞→lim ，且a 为 正实数或正无穷，证明级数 ∑∞ =1 n n u 收敛。 分析：验证级数 ∑∞ =++-1 11)(n n n n n v u v u 收敛，使用比较判别法。 4. 设 3,2,1),1 (21,211=+==+n a a ? a a n n n ，证明：（1）n n a ∞→lim 存在；（2）级数∑∞ =+??? ? ??-111n n n a a 收敛。 5. 设n F 为斐波那契数列，10=F ，11=F ，n F 21--+=n n F F ，1>n 。（1）证明 1 1 2 23--≤≤?? ? ??n n n F ；（2）级数∑∞ =01n n F 收敛，级数∑∞ =2ln 1 n n F 发散。 6. 设{}n a 满足不等式n k a a 1000≤≤，其中 ,2,1,2=≤≤? n n k n ，又级数∑∞ =1 n n a 收敛， 证明：0lim =∞ →n n na 。

第十二章 无穷级数(答案)

第十二章 无穷级数 (一) 1．解：∵( ) ∑ =∞→-+=+-+=n k n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数 发散。 2．解：∵() ∑∑==→??? ??+-=??? ??+-=+=n k n k n n k k k k S 1141 221212122121212221， (∞→n )，∴原级数收敛且和为 4 1。 3．解：∵41 215 11511513113113151315131 111+→-? ?? ?? -+-??? ??-= +=??? ??+=∑∑∑===n n n k k n k n k k k k n S 4 3= ，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。 4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001 lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n n n n ，∴由比值判别法知原级 数发散。 5．解：∵()11 11lim 1lim lim 11<=??? ??+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U e n e n n e n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。 6．解：∵02 1 21lim lim ≠=+=∞ →∞ →n n U n n n ，∴原级数发散。 7．解：∵()()2332lim 1lim =++=∞→∞→n n n n n U n n n ，而∑∞ =11 n n 发散，∴由比较判别法知原级数发散。 8．解：∵13113lim 13lim lim <=+=?? ? ??+=∞→∞→∞→n n n n U n n n n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。 9．解：∑ ∑∞ =-∞ ==1 1 1 2 ||n n n n n U ，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原 级数绝对收敛。

第十三章---函数项级数习题课

第十三章 函数项级数习题课 一 概念叙述 1．{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε??>??>?∈有ε<-)()(x f x f n ． 2．{}n f 在D 上不一致收敛于0000,,,f N n N x D ε??>??>?∈使得0 000()()n f x f x ε-≥． 3．{}n f 在数集D 上一致收敛?柯西准则 0,,,,N m n N x D ε?>??>?∈，有()()n m f x f x ε-<． ?柯西准则 0,,,,0N n N x D p ε?>??>?∈?>，有()()n p n f x f x ε+-<． 4．{}n f 在数集D 上不一致收敛?柯西准则 00000,,,,N m n N x D ε?>??>?∈使得0 000()()n m f x f x ε-≥． ?柯西准则 00000,,,,0N n N x D p ε?>??>?∈?>使得0 000()()n p n f x f x ε+-≥． 5． 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛于函数()S x ?部分和函数列{}()n S x 在数集D 上一致收敛于函 数()S x ． 二 疑难解析与注意事项 1．为何要讨论函数列与函数项级数的一致收敛性？ 答：函数列理论中重要问题是(){} n f x 的性质（连续性，可积性，可导性）在极限过程中是否依旧保持？比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性．又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限．对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D 上的收敛是不够的，必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行，这就是所要讨论的一致收敛性问题．由于函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑的收敛性可以转化为相应部分和函 数列{}()n S x 的问题来讨论，因此研究函数项级数逐项求极限，逐项求导，逐项求积分时，要讨论函数项级数的一致收敛性． 2．判断函数列{}n f 在D 上一致收敛有哪些方法？ 答：1）定义：{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε??>??>?∈有ε<-)()(x f x f n ； 2）柯西准则：0,,,,N m n N x D ε?>??>?∈，有()()n m f x f x ε-<，用于抽象的函数列的一致收敛性的判断； 3）确界（最大值方法）：0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n D x n ； 4）估计方法（放大法）：|()()|0n n f x f x a -≤→；

第十二章无穷级数自测题(含答案)

第十一章练习题 一、 填空题 1．级数 )21)1(1(1 n n n n -+∑∞ =的和为（ ） ． 2．若∑∞ =1 n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞ =1 n n u 收敛的充要条件是（ ）． 3.级数∑∞ =1 22 sin 2n n n π 的敛散性为（ ）． 4.幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛区间为（ ）． 5.幂级数∑∞ =-1 22) 1(n n n n x 的收敛域为（ ）． 6.将函数 2 ) 1(1x +展开成x 的幂级数为（ ）． 7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0 x f S f x +→=-=则=（ ） ． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （ ），=n b （ ）． 二、 单项选择题 1. 若级数∑∞ =1 n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）. A. 交换律成立； B.结合律成立； C.分配律成立； D.以上都不成立。 2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）． A. ∑ ∞ =+1121n n ； Ｂ．n n n )2 3()1(1 ∑∞ =-； Ｃ． 3 1 1) 1(n n n ∑ ∞ =-； Ｄ．n n n n 1) 1(1 --∑∞ =． 3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）.

A. ∑∞ =+-1 1 ) 1(n n n n ；Ｂ．∑∞ =-1 1) 1(n n n ；Ｃ．∑∞ =-1 2 1) 1(n n n ；Ｄ．∑∞ =+-1 ) 1(1)1(n n n n 4. 已知级数∑∑∞ =∞ =--==-1 1 1 21 5, 2) 1(n n n n n a a ，则级数∑∞ ==1 n n a （ ） A. 3 ； Ｂ． 7 ； Ｃ． 8 ； Ｄ． 9 5．幂级数n x n n ∑ ∞ =1 的和函数是（ ）． Ａ．)1ln(x --； Ｂ． )1ln(x -； Ｃ．)1ln(x +; Ｄ． )1ln(x +- 6. 函数2 )(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）. A. ∑ ∞ =0 2! n n n x Ｂ．∑ ∞ =?-0 2! )1(n n n n x Ｃ．∑ ∞ =0 ! n n n x Ｄ．∑ ∞ =?-0 ! )1(n n n n x 7. 若∑∞ =-1 )1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ ）. A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。 8.已知级数∑∞ =1 2n n a 收敛，常数λ>0,则级数∑∞ =+-1 2 ) 1(n n n n a λ （ ）. A. 发散 ； Ｂ．条件收敛； Ｃ．绝对收敛； Ｄ．收敛性与λ有关。 9.设),3,2,1(0 =≠n u n ，且1lim =∞ →n n u n ，则级数∑∞ =+++ -1 1 1 )11( ) 1(n n n n u u （ ）. A.发散。Ｂ．绝对收敛。Ｃ．条件收敛。Ｄ．收敛性根据所给条件不能判定。 三、计算题 1. 判定下列级数的收敛性。 (1) ∑ ∞ =+1 3 2 ) 1(3cos n n n n λ, (2) )sin ( 1 ∑ ∞ =-n n n π π ; (3) ∑ ∞ =--1 1 2) 1 3( n n n n 2．讨论下列级数的敛散性 （1）∑ ? ∞ =+1 1 2 1n n dx x x （2）∑∞ =+ -1 )]11ln(1[ n n n 3．求幂级数∑ ∞ =1 22 n n n x n 的收敛域。

关于数项级数敛散性的判定

关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.

无穷级数习题课及答案

第十一章 无穷级数 (A) 用定义判断下列级数的敛散性 1． ( ) ∑∞=+-+1 12n n n ；2．()∑ ∞ =+1 2221 n n n 判断下列正项级数的敛散性 1．∑∞ =1100!n n n 2．() ∑∞ =++133 2n n n n ；3．∑∞=14!n n n ； 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 1．() ∑∞ =---11 1 21n n n n ； 2．Λ+-+-0001.1001.101.11.1； 3． Λ++-+++-1 44 133********； 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 1．∑ ∞ =13n n n x n ；2．∑∞ =1 !n n x n ；3．() ∑ ∞ =-1121 n n n x n ；4．∑ ∞ =+-11 21 2 1 n n n x ；5．∑∞ =123 n n n x n 求下列级数的和函数 1．∑∞ =-11 n n nx ；2．121 1 2 1+∞ =+∑ n n n x ； 将下列函数展开成0x x -的幂的级数 1．x 2cos ，00=x ；2．()()x x ++1ln 1，00=x ；3． x 1 ，30=x ； (B) 用定义判断下列级数的敛散性 ()() ∑∞ =++043131 n n n 判断下列正项级数的敛散性 1．∑ ∞ =+1n )1(1 n n ；2．1131++∑∞=n n n ；3．∑∞ =13 n n n ； 判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛

1．() ∑∞ =-?-1 1 311n n n n ；2．()∑∞ =--1 n 121 1n n ； 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间 1．()∑∞ =-1 21n n n n x ； 求下列幂级数的收敛区间、和函数与级数和 求∑∞ =--11 ) 1(n n x n 的收敛区间与和函数，并由此求数项级数∑ ∞ =-1 1 2 n n n 的和； 将下列函数展开成0x x -的幂的级数 1．()13212+-= x x x f ，00 =x ；2．()2 1 x x f =，10=x

数学分析第12章数项级数

第十二章 数 项 级 数 目的与要求:１。使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2． 掌握判别正项级数敛散性的各种方法,包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义，基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法;难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道:任意有限个实数n u u u ,,,21 相加,其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征。如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1． 其和无意义; 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为:0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同)。 问题:无限多个实数相加是否存在和; 如果存在,和等于什么。 1 级数的概念 定义１ 给定一个数列{}n u ,将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 (1)

称为数项级数或无穷级数(简称级数）,其中n u 称为级数(1）的通项． 级数(1）简记为：∑∞ =1n n u ,或∑n u 。 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和． 3 级数的收敛性 定义２ 若数项级数∑∞ =1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S (即S S n n =∞ →lim ),则称数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛 ,称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321． 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例１ 试讨论等比级数(几何级数) ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ,)0(≠a 的收敛性. 解：见P2． 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1431321211n n