（3）函数与导数
一、选择题：
1. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科）
已知二次函数
2．(福建省泉州市2012届高三3月质量检查文科)函数()4log 2-+=x x x f 的零点所在的区间是
A ． 1
,12??
???
B ． ()2,1
C ． ()3,2
D ． ()4,3 【答案】
C [0,1]λ∈恒成立，那么就称函数()f x 在[],a b 上“k 阶线性近似”．
若函数2
y x x =+在[]1,2上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为
A ．10,4??????
B ．[)0,+∞
C ．1,4??+∞????
D ．17,4??
+∞????
【答案】C
5．(福建省厦门市2012年3月高三质量检查文科)已知函数()y f x =在R 上满足
(1)(1)f x f x +=-，且在[)1,+∞上单调递增，则下列结论正确的是（ D ）
A ．(0)(1)(3)f f f >>
B ．(0)(3)(1)f f f >>
C ．(3)(1)(0)f f f >>
D ．(3)(0)(1)f f f >>
8．(福建省宁德市2012年高三毕业班质量检查文科)若函数2()23f x x bx a =-+在区间（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是 （ C ）
A ．1b <
B ．1b >
C ．01b <<
D ．1
2
b <
10．(福建省宁德市2012年高三毕业班质量检查理科)若函数()f x 在给定区间M 上，存在正数t ，使得对于任意x M ∈，有x t M +∈，且()()f x t f x +≥，则称()f x 为M 上的t 级类增函数，则以下命题正确的是 （ D ） A ．函数4()(1,)f x x x
=
++∞是上的1级类增函数
B ．函数2()|log (1)|(1,)f x x =-+∞是上的1级类增函数
C ．若函数()sin ,2f x ax π
??
=++∞??
??
为上的3π级类增函数，则实数a 的最小值为
2
D ．若函数[)2
()31,f x x x =-+∞为上的t 级类增函数，则实数t 的取值范围为[)1,+∞
数，且当0x >时，()12x f x =+。则2(log 3)f -的值等于（ A ）
A ．-4
B ．2
C ．3
D ．4
14．(福建省莆田市2012年3月高三毕业班教学质量检查文科)设()f x 是定义在R 上的奇
函数，且当0x >时，2()log ,f x x =则(2)f -的值等于 （ B ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
17. (福建省晋江市四校2012届高三第二次联合考试文科)下列函数中，既是偶函数又在
()0,+∞单调递增的函数是
( )
11
12
A.3y x = B . 1y x =+ C.21y x =-+ D. 2x
y -=
二、填空题：
19. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查理科)函数)()(3R x ax x x f ∈+=在1=x 处有极值，则曲线)(x f y =在原点处的切线方程是_____。
20 30x y +=【解析】因为函数)()(3R x ax x x f ∈+=在1=x 处有极值，则'
2
(1)310, 3.f a a =?+==-所求切线的斜率为3,k a ==-因此切线方程为3.y x =-
22. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科） 已知
{}()()
,min ,a b a a b a b b ≤??=?
>??，设()31min ,f x x x ?
?=????，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线x e =所围成的封闭图形的面积为 .
23.
54
【解析】1
3
4
1
1115ln .0
1
4
4
e
e S x dx dx x
x
x
=+=
+=
??
24．(福建省厦门市2012年3月高三质量检查文科)已知1()cos ,f x x =且
*
1()'()()n n f x f x n N +=∈，则2012()f x = 。sin x
25．(福建省厦门市2012年3月高三质量检查文科)如果函数()y f x =在定义域D
的子区
间[a ，b]上存在00()x a x b <<，满足0()f x =
()()f b f a b a
--，则称0x 是函数
()[,]y f x a b =在上的一个“均值点”
。例如，0是2y x =在[-1，1]上的一个“均值点”。已知函数4()1f x x mx =-++在区间[-2，2]上存在“均值点”，则实数m 的取值范围是 。(-5,15)
27．(福建省宁德市2012年高三毕业班质量检查理科)1
2
(2)x dx +?= 。
73
28．(福建省莆田市2012年3月高三毕业班教学质量检查理科)如图是定义在[-4，6]上的函
数()f x 的图象，若(2)1,f -=
则不等式2(1)1f x -+<的解集是 。( 三、解答题：
22．本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．满分12分．
解：（Ⅰ）当1-=a 时，()2
ln f x x x =-+，()x
x x f
1
2/
+-=，()11/-=f ，
令()0/
=x f
，则a
x 21-
=
.
当??
?
?
?-
∈a x 21,0时，()0/
>x f ；当????
?
?+∞-
∈,21
a x 时， ()0/
. 故a x 21- =为函数()x f 的唯一极大值点， ∵当[]10,1∈x 时，()2 120g x x '=- >，∴()x g y =在[]10,1上为增函数， 即()x f y / =在[]10,1上为增函数. …………………………………………12分 又()10 20110 110210/ =+ ?=f ， 所以，对任意的[]10,1∈x ，总有()10 201/ ≤ x f . k （k 100<）个正数321,,x x x …k x . ………………………14分 20. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科）（本小题满分14分） 已知()0x f x x e =?，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x -'=（n N *∈）. (Ⅰ)请写出()n f x 的表达式（不需证明）； (Ⅱ)设()n f x 的极小值点为(),n n n P x y ，求n y ； (Ⅲ)设()()2 2188n g x x n x n =--+-+， ()n g x 的最大值为a ，()n f x 的最小值为 b ，试求a b -的最小值. (Ⅲ) 解法一：∵()()()()2213n g x x n n =-+++-，所以()2 ((1))3n a g n n =-+=-. 又()()() 11n n b f n e -+=-+=-， ∴()() 2 13n a b n e -+-=-+， 令()()() ()2130x h x x e x -+=-+≥，则()()() 123x h x x e -+'=--. ∵()h x '在[)0,+∞单调递增，∴()()1 06h x h e -''≥=--， ∵()4 30h e -'=-<，()5 420h e -'=->， ∴存在()03,4x ∈使得()00h x '=. ∵()h x '在[)0,+∞单调递增， ∴当00x x ≤<时，()00h x '<；当0x x >时，()00h x '>， 解法二： ∵()()()()2213n g x x n n =-+++-，所以()2 ((1))3n a g n n =-+=-. 又()()() 11n n b f n e -+=-+=-， ∴()() 2 13n a b n e -+-=-+， 令()() 2 13n n c n e -+=-+， 则12 1 1 125n n n n c c n e e +++-=-+- ， 当3n ≥时， 22．(福建省晋江市四校2012届高三第二次联合考试文科)（本题满分14分） 已知函数11()()ln f x m x x m x =+ + -，（其中常数0m >） （1）当2m =时，求()f x 的极大值； （2）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性； （3）当[)3,m ∈+∞时，曲线()y f x =上总存在相异两点11(,())P x f x 、22(,())Q x f x ，使得曲线()y f x =在点P 、Q 处的切线互相平行，求12x x +的取值范围. 22.（1）当2m =时，51()ln 2f x x x x = + - 22 5 1 (2)(21) ()122x x f x x x x --'= - -=- (0)x > … … … … … 1分 当102x <<或2x >时，()0f x '<；当1 22x <<时，()0f x '> ∴()f x 在1(0,)2和(2,)+∞上单调递减，在1 (,2)2 单调递减 … 3分 故53 ()=(2)ln 222 f x f =-极大 … … … … … … … 4分
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