11.2三角形全等的判定基础知识
一. 教学内容：
三角形全等的判定
1. 三角形全等的判定；
2. 直角三角形全等的判定；
3. 学习掌握综合证明的格式、步骤。
二. 知识要点：
1. 三角形全等的判定
A
B C
D
E F
（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。表示
方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，
AB DE AC DF BC EF
=
?
?
=
?
?=
?，
∴△ABC≌△DEF（SSS）。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或
“ASA”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，
B E B
C EF
C F
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠?，
∴△ABC≌△DEF（ASA）。
（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角
角边”或“AAS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，
A D
B E B
C EF
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?，
∴△ABC≌△DEF（AAS）。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或
“SAS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，
AB DE
B E
BC EF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?，∴△ABC
≌△DEF（SAS）。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。表示方法：如图所示，在R t△ABC和R t△DEF中，
∵AB＝DE，
BC＝EF，∴R t△ABC≌R t△DEF（HL）。
A B C
D E F
注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。
②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC 和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。
2. 全等三角形的基本图形
在平面几何中，有很多问题都可以借助于三角形全等来解决，比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。在运用三角形全等这一工具时，主要是找两个三角形，并找出它们满足全等的条件来；解题时经常需要通过观察图形的运动状况，把两个全等三角形中的一个看成是另一个的平行移动、翻折、旋转等方法得到的，这需要对常见的全等三角形做到心中有数，如下图列举了几个常见的基本图形。掌握这些全等形的对应边和对应角的位置关系，对我们在复杂的几何问题中迅速、准确地确定全等三角形是至关重要的。
三. 重点难点：
1. 重点：能够快速准确地找出适合题意的三角形全等的判定方法。理解证明的基本过程，掌握综合法证明的格式。
2. 难点：分析证明命题的途径，这一步学习起来比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力。
A
B
C
D
四．考点分析：
三角形全等的判定是一个非常重要的知识点，在中考题目中必有一道三角形全等证明题，一般是选择题和填空题，探究题也会常常用到全等的判定知识。
典型例题
例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。求证：△ABC ≌△DCB 。
A B
C
D
分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。
证明：在△ABC 和△DCB 中，
∵???AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB
，
∴△ABC ≌△DCB （SSS ）
评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。
例2. 已知：如图所示，AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，BE ＝CF 。求证：AC ∥DF 。
A
B
C
D
E F
分析：欲证AC ∥DF ，可通过证明∠ACB ＝∠F ，由平行线的判定定理即可得证。而∠ACB 与∠F 分别是△ABC 和△DEF 的内角，所以应先证明△ABC ≌△DEF 。由BE ＝CF 易得BC ＝EF ，再结合已知条件AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF 即可达到目的。
证明：∵BE ＝CF ，
∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF 。
在△ABC 和△DEF 中，AB DE ABC DEF BC EF =??
∠=∠??=?
，
∴△ABC ≌△DEF （SAS ）。 ∴∠ACB ＝∠F 。
∴AC ∥DF 。
评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。这里大括号中的条件按照“SAS ”顺序排列。
例3. 如图所示，R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CD 于D ，BF ⊥CD 于F ，AB 交CD 于E ，求证：AD ＝BF －DF 。
A
B
C
D
E F
分析：要证AD ＝BF －DF ，观察图形可得CF ＝CD －DF ，只需证明CF ＝AD ，CD ＝BF 即可，也就是要证明△CFB ≌△ADC 。由已知BC ＝AC ，∠CFB ＝∠ADC ＝90°，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BF ⊥CD ，∠ACB ＝90°，易证得∠CBF ＝∠ACD ，问题便得到证明。
证明：∵∠ACB ＝90°，BF ⊥CD
∴∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∠CBF ＋∠BCD ＝90° ∴∠CBF ＝∠ACD （同角的余角相等） 又∵AD ⊥CD ，∴∠CFB ＝∠ADC ＝90°
在△CFB 和△ADC 中，CBF ACD CFB ADC BC AC ∠=∠??
∠=∠??=?
（已知） ∴△CFB ≌△ADC （AAS ）
∴CF ＝AD ，BF ＝CD （全等三角形的对应边相等） 又∵CF ＝CD －DF ∴AD ＝BF －DF
评析：由条件AC ＝BC 和垂直关系可得，AC 、BC 为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用AAS 证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。
例4. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。
A
B
E
F
C
D
分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可
证明两三角形全等。 证明：∵AB ∥CD ，
∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）
又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，
()()
()B C BF CE AFB CED ∠=∠??
=??∠=∠?
已证已证已证
∴△ABF ≌△DCE （ASA ）
∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）
评析：由平行条件转化角，由线段和差关系转化线段，为证三角形全等做准备。解题思路：由已知条件，探寻三角形全等的条件，证得全等，再利用全等的性质解决相关问题。
例5. 如图所示，R t △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动。 问点P 运动到AC 上什么位置时，△ABC 才能和△PQA 全等？
B
C
A
P
Q
M
分析：要使△ABC 与△PQA 全等，由于∠C ＝∠PAQ ＝90°，PQ ＝AB ，则只需AP ＝CB 或AP ＝CA ，由HL 即可知道它们全等，从而容易确定P 点的位置。 解：由题意可知，∠C ＝∠PAQ ＝90°，又AB ＝PQ ， 要使△ABC ≌△PQA ，则只需AP ＝CB 或AP ＝CA 即可，
从而当点P 运动至AP ＝5cm ，即AC 中点时，△ABC ≌△QPA ； 或点P 与点C 重合时，即AP ＝CA ＝10cm 时，△ABC ≌△PQA 。
评析：要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨
出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。
例6. 如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，A 、B 、D 三点在同一直线上，连结CD 、AE ，并延长AE 交CD 于F 。
（1）求证：△ABE ≌△CBD 。
（2）直线AE 与CD 互相垂直吗？请证明你的结论。
A B C
E
F D
分析：根据已知条件易得AB ＝BC ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠CBD ＝90°正好是△ABE 和△CBD 全等的条件。对于AE 与CD 垂直关系的证明需要推证出∠CFA ＝90°。 证明：（1）∵△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，
∴AB ＝CB ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠CBD ＝90° ∴△ABE ≌△CBD （SSA ） （2）AE ⊥CD ，
∵在△ABE 和△CEF 中，∠EAB ＝∠ECF ，∠AEB ＝∠CEF ， 且∠ABE ＝90°，
∴∠ECF ＋∠CEF ＝∠EAB ＋∠AEB
∴∠ECF ＋∠CEF ＝180°－（∠EAB ＋∠AEB ） 即∠AFC ＝∠ABE ＝90° ∴AE ⊥CD 。
评析：利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，逐步分析解决问题，把握解题思路。
拓展提高
1.(07北京中考)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上， 设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，1
2
DCB EBC A ∠=∠=∠． 请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形 是等对边四边形；
（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且
1
2
DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明
你的结论．
B
O
A
D
E
C
2.(09宣武一模)已知等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， △DMN 也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M 在点B 左侧时，请你连结EN ，并判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？请写出结论，并说明理由；
（2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点M 在点C 右侧时，请你判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
（第23题图1） （第23
题图2） （第23题图3）
3.(09崇文一模)在等边ABC D 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为
ABC 外一点，且60MDN
°?,120BDC °? ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直
线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN D 的周长Q 与等边ABC D 的周长L 的关系．
图1 图2 图3
（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是___________； 此时
Q
L
=__________； N F E D C B A M A E
F D
B
N C M
F E D C B A M E
（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM 1DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q=________（用x 、L 表示）．
课堂试题（答题时间：60分钟） 一. 选择题
1. 下列条件不能判定两个三角形全等的是 （ ） A. 有两边和夹角对应相等 B. 有三边分别对应相等 C. 有两边和一角对应相等 D. 有两角和一边对应相等
2. 下列条件能判定两个三角形全等的是 （ ） A. 有三个角相等 B. 有一条边和一个角相等 C. 有一条边和一个角相等 D. 有一条边和两个角相等
3. 如图所示，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，那么图中共有全等三角形（ ）
A. 1对
B. 2对
C. 4对
D. 8对
4. 如图所示，已知∠A ＝∠D ，∠1＝∠2，那么要得到△ABC ≌△DEF ，还应给出的条件是（ ） A. ∠E ＝∠B B. ED ＝BC
C. AB ＝EF
D. AF ＝CD
5. 如图所示，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1＝∠2，∠E ＝∠C ，AE ＝AC ，则 （ ）
A. △ABC ≌△AFE B . △AFE ≌△ADC C. △AFE ≌△DFC D. △ABC ≌△ADE
6. 我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有（ ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
7. 如图所示，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝DC ，那么图中的全等三角形有 （ ）
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
A
B C D O 第3题
A B C D E
12第4题
F A
B
C D
E 12
3第5题F A B
C
D
E F
8. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BC ＝6cm ，则BD 的值（ ）
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm 9. 如图所示，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AE ＝AF ，则下列结论成立的是 （ ）
A. BD ＝CD
B. DE ＝DF
C. ∠B ＝∠C
D. AB ＝AC
二. 填空题
10. 如图所示，AC ∥BD ，AC ＝BD ，那么__________，理由是__________.
11. 已知△ABC ≌△A'B'C'，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，AC ＝9cm ，∠A'＝70°，∠B'＝80°，则A'B'＝__________，B'C'＝__________，A'C'＝__________ ∠C'＝__________，∠C ＝__________.
12. 如图所示，已知AB ＝AC ，在△ABD 与△ACD 中，要使△ABD ≌△ACD ，还需要再添加一个条件是____________________.
13. 如图所示，已知△ABC ≌△DEF ，AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AC ＝5cm ，CF ＝2cm ，∠A ＝70°，∠B ＝65°，则∠D ＝__________，∠F ＝__________， DE ＝__________，BE ＝__________.
A B
C D
第8题
A
B
C D
E
F 第9题A
B
C D O 第10题A
B C D 第12
题
14. 如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点O ，AE ＝AD ，要使△ABE ≌△ACD ，需添加一个条件是__________（只要求写一个条件）.
15. 如图，AC 、BD 相交于点O ，∠A ＝∠D ，请你再补充一个条件，使得△AOB ≌△DOC ，你补充的条件是__________.
三. 解答题
16. 已知：如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：AC ＝AD.
17. 如图，A 、E 、B 、D 在同一直线上，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，AC ＝DF ，AC ∥DF. （1）求证：△ABC ≌△DEF ；（2）你还可以得到的结论是__________（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母）
A B C
D
12
A B C D
E
F
18. 你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O 上下转动，立柱OC 与地面垂直. 当一方着地时，另一方上升到最高点. 问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA'、BB'有何数量关系？为什么？
19. MN 、PQ 是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C 等距离的B 、E 两处，这时他们分别从B 、E 两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A 、D 两点，他们的行走路线AB 、DE 平行吗？请说明你的理由.
20. 有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A 、B 的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由.
方案一：小明想出了这样一个方法，如图①所示，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在同一条直线上，测得DE 的长就是AB 的长. 你能说明一下这是为什么吗？
方案二：小军想出了这样一个方法，如图②所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A 、B 的点C ，连结AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连结BC 并延长到E ，使CE ＝CB ，连结DE ，量出DE 的长，这个长就是A 、B 之间的距离. 你能说明一下这是为什么吗？
C
O
A'A B'
B M N P Q
A
B C D E A B C
D
E F ①A B ②C E D
拓展提高答案：
1. 解：
（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可.
（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）
四边形DBCE是等对边四边形.
（3）此时存在等对边四边形DBCE.
证明1：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点.
∵∠DCB=∠EBC=1
2
∠A，BC为公共边
∴△BGC≌△CFB
∴BF=CG
∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A
∠GEC=∠ABE+∠A
∴△BDF≌△CEG
∴BD=CE
故四边形DBCE是等对边四边形.
证明2：如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF.
易证△BCD≌△CBF，故BD=CF，∠FCB=∠DBC.
∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A
∠CEF=∠ABE+∠A
∴CF=CE
∴BF=CE
故四边形DBCE是等对边四边形.
A
B C
D E
F
M
N P
F
E
D
C
B
A
M N
2．解：（1）判断： EN=MF ，点F 在直线NE 上．
证明：如答图1,连结DE 、DF 、EF ． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC ． 又∵D 、E 、F 是三边的中点， ∴DE 、DF 、EF 为△ABC 的中位线． ∴DE=DF=EF ，∴∠FDE=∠DFE ＝60°． ∵△DMN 是等边三角形， ∴∠MDN ＝60°，DM=DN ．
∴∠FDE ＋∠NDF=∠MDN+∠NDF ， ∴∠MDF=∠NDE ．
在△DMF 和△DNE 中，DF=DE ，∠MDF=∠NDE ， DM=DN ， （第23题答图1）
∴△DMF ≌△DNE ． ∴MF=NE ． 设EN 与BC 交点为P ，连结NF ．
由△ABC 是等边三角形且D 、F 分别是AB 、BC 的中点可得△DBF 是等边三角形， ∴∠MDN=∠BDF ＝60°,
∴∠MDN －∠BDN =∠BDF －∠BDN ，即∠MDB=∠NDF. 在△DMB 和△DNF 中，DM=DN ，∠MDB=∠NDF ，DB=DF ， ∴△DMB ≌△DNF ． ∴∠DBM=∠DFN ． ∵∠ABC =60°， ∴∠DBM =120°，
∴∠NFD =120°. （第23题答图2）
∴∠NFD+∠DFE =120°+60°=180°.
∴N 、F 、E 三点共线，∴F 与P 重合，F 在直线NE 上．…………………………………………4分
（2）成立。
证明：如答图2，连结DE 、DF 、EF ． ∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC ． 又∵D ，E ，F 是三边的中点， ∴DE ，DF ，EF 为△ABC 的中位线． ∴DE=DF=EF ，∠FDE=60°．
N
M
A
B C D E
F
又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°， ∴∠MDF=∠NDE ．
在△DMF 和△DNE 中，DF=DE ， ∠MDF=∠NDE ， DM=DN ，
∴△DMF ≌△DNE ． ∴MF=NE ．……………… 6分
（3） MF=NE 仍成立． ……………………………………7分 （第23题答图
3.解：（I ）如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ．
此时
3
2
=L Q ． （II ）猜想：结论仍然成立．
证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．
CD BD =,且 120=∠BDC ．∴ 30=∠=∠DCB DBC ．
又ABC ?是等边三角形，
∴90MBD NCD ∠=∠=．
在MBD ?与ECD ?中：
??
?
??=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM ∴??MBD ECD ?(SAS) ． ∴DM=DE, CDE BDM ∠=∠ ∴ 60=∠-∠=∠MDN BDC EDN
在MDN ?与EDN ?中：
??
?
??=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴??MDN EDN ?(SAS) ∴MN=NE=NC+BM
AMN ?的周长Q=AM+AN+MN
=AM+AN+(NC+BM)
=(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB
而等边ABC ?的周长L=3AB
∴
3
232==AB AB L Q . （III ）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，
则Q= 2x +
L 3
2
（用x 、L 表示）
．
课堂试题答案 1. C 2. D 3. C 4. D 5. D 6. A 7. C 8. C 9. B 10. △AOC ≌△BOD ；AAS 或ASA 11. 6cm 7cm 9cm 30° 30° 12. BD ＝CD 或∠BAD ＝∠CAD 13. 70° 45° 4cm 2cm
14. ∠B ＝∠C 、∠AEB ＝∠ADC 、∠CEO ＝∠BDO 、AB ＝AC 、BD ＝CE （任选一个即可）
15. AO ＝DO 或AB ＝DC 或BO ＝CO 16. 证△ACB ≌△ADB
17. （1）证明：∵AC ∥DF ，∴∠A ＝∠D ，在△ABC 和△DEF 中AB DE A D AC DF =??
∠=∠??=?
，
∴△ABC ≌△DEF （SAS ）
（2）答案不唯一，如：AE ＝DB ，∠C ＝∠F ，BC ∥EF 等. 18. 答：AA'＝BB'，证△AA'O ≌△BB'O 19. 平行. 理由如下：
由已知条件得，AB ＝DE ，BC ＝CE ， 在Rt △ABC 和Rt △DCE 中，AB=DE BC=CE ∴Rt △ABC ≌Rt △DCE （HL ），∴∠ABC ＝∠DEC ，∴AB ∥DE. 20. 小明的做法有道理，
其理由如下：因为AB ⊥BF ，DE ⊥BF ，
所以∠ABC ＝∠EDC ，又因为A 、C 、E 三点在同一条直线上， 所以∠ACB ＝∠ECD ，且BC ＝DC ， 所以△ABC ≌△EDC （ASA ），
所以AB ＝DE （全等三角形的对应边相等）. 小军的做法有道理，
其理由如下：因为在△ABC 和△DCE 中， CD ＝CA ，∠ACB ＝∠DCE （对顶角相等），CE ＝BC ， 所以△ABC ≌△DEC （SAS ），
所以AB ＝DE （全等三角形的对应边相等）.
全等三角形的性质及判定（讲义） ? 课前预习 1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合 吗，为什么？ ①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形； ③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图． ? 知识点睛 1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做 三角形．三角形可用符号“________”表示． 2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号 “_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等． 3. 全等三角形的判定定理：______________________________． ? 精讲精练 1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对 应角∠B =∠DEF ，_________，__________． F E D C B A A C B 1 2 O 第1题图 第2题图 2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________， 对应角∠1=∠2，____________，____________． 3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． 4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． E D C B A
全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=E G ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ， ∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F= C D B D E A B A C D F 2 1 E 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ， AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°， 求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ， CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则 ⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, C D B D C B A F E A B A C D F 2 1 E 11.2三角形全等的判定 A B C D E F （1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。表示 方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DE AC DF BC EF =?? =??=? ， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。 例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。求证：△ABC ≌△DCB 。 A B C D 分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。 证明：在△ABC 和△DCB 中， ∵???AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB ， ∴△ABC ≌△DCB （SSS ） 评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。 “ASA ”。表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F ∠=∠?? =??∠=∠? ， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。 例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。 A B E F C D 分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。 证明：∵AB ∥CD ， ∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等） 又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中， ()() ()B C BF CE AFB CED ∠=∠?? =??∠=∠? 已证已证已证 ∴△ABF ≌△DCE （ASA ） ∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等） 第十二章 全等三角形 第Ⅰ卷（选择题 共30 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列说法正确的是（ ） A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等 2. 如图所示，a,b,c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ） 3.如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ， 下列不正确的等式是（ ） A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE 4. 在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后 仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C /,则补充的这个条件是 ( ) A ．BC= B / C / B ．∠A=∠A / C ．AC=A /C / D ．∠C=∠C / 5.如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ） A.△ACE ≌△BCD B.△BGC ≌△AFC C.△DCG ≌△ECF D.△ADB ≌△CEA 6. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离，先在AB 的垂 线BF 上取两点C,D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ， 使A,C,E 在一条直线上（如图所示），可以说明 △EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ） A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.边边角 7.已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，则不 正确的结论是（ ） A ．∠A 与∠D 互为余角 B ．∠A=∠2 C ．△ABC ≌△CE D D ．∠1=∠2 8. 在△ABC 和△FED 中，已知∠C=∠D ，∠B=∠E ，要判定 这两个三角形全等，还需要条件（ ） 第3题图 第5题图 第7题图 第2题图 第6题图 A B C D 全等三角形的性质及判定 1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等． （2）全等三角形的对应边上的高相等， 对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等． （3）全等三角形的周长、面积相等． 3、全等三角形判定方法： （1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ） （2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ） 专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等 例题1：下列说法，正确的是（ ） A.全等图形的面积相等 B.面积相等的两个图形是全等形 C.形状相同的两个图形是全等形 D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠=. 【仿练1】如图2，已知ABC ADE ???，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是. 【仿练2】如图 3，ABC ADE ???，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= . 、 图4 E D C B A 图2 图3 M D N B C 图1 三角形全等的判定一（SSS ） 相关几何语言考点 ∵AE=CF ∵CM 是△的中线 ∴_____________( ) ∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF ∴____________________ ∴__________（） AB=AB （ ） 在△ABC 和△DEF 中 ∵?? ? ??___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） 例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？ 例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ． 求证△ACD ≌△CBE ． B F E C A F E D C B A C M B A B A 全等三角形经典题型题带答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥ AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. C D B A B A C D F 2 1 E 三角形全等的条件（一） 学习要求 1 ?理解和掌握全等三角形判定方法 1―― “边边边”， 2?能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 课堂学习检测 一、填空题 1 ?判断 ____ 的 _____ 叫做证明三角形全等. 2?全等三角形判定方法 1―― “边边边”（即 ________ ）指的是 _____ 3?由全等三角形判定方法 1―― “边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个 三角形的 _____ 也就确定了. 在厶 ______ 和厶 ______ 中， RP RQ(已知), PM _______ , _____ _______ (), 二 _____ 也 ______ ( )? / PRM = _______ ( ______ ) ? 即RM ? 5. 已知：如图 2 — 2, AB = DE , AC = DF , BE = CF. 求证：/ A =Z D . 4. 已 知： 求只要证_ 证明：如图 2 —〔，△ RPQ 中， RM 平分/ PRQ . 要证 RM 平分/ PRQ ，即/ PRM = M 为PQ 的中点（已知）， 分析：要证/ A =Z D，只要证_________ 也 ______ 证明：??? BE = CF ( ), 二BC = ____ . 在厶ABC和厶DEF中， AB _______ , BC _______ , AC _______ , 二 _____ 也______ ( ). ???/ A=Z D ( __________ ). 6. 如图2- 3, CE = DE, EA = EB, CA = DB , 求证：△ ABCBAD . 证明：??? CE= DE , EA= EB, ? _____ + _______ = _______ + 即 _____ = _______ . 在厶ABC和厶BAD中， = ______ (已知)， _____ _______ (已知), (已证), _____ ( ), ? △ ABC◎△ BAD ( ). 综合、运用、诊断 一、解答题 7. 已知：如图2 —4, AD = BC . AC= BD .试证明：/ CAD = /DBC . &画一画. 已知：如图2 —5,线段a、b、c . 求作：△ ABC，使得BC = a, AC= b, AB = c . 全等三角形的提高拓展训练 知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 例题精讲 板块一、截长补短 【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ?中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ， 试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． D O E C B A ③ ② ① 全等三角形的判定典型例题 1、如图1，已知∠A=∠D ，∠1=∠2，那么要得到△ABC ≌△DEF ，还应给出的条件是（ ） A 、∠E=∠ B B 、ED=B C C 、AB=EF D 、AF=CD 2、如图2在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ） A 、15° B 、20° C 、25° D 、30° 图（1） 图（2） 3．如果△ABC 和△DEF 全等，△DEF 和△GHI 全等，则△ABC 和△GHI ______全等， 如果△ABC 和△DEF 不全等，△DEF 和△GHI 全等，则△ABC 和△GHI ______全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”） 4.若△ABE ≌△DCF ，点A 与点D ，点E 与点F 分别是对应顶点，则AB ＝_____，∠A ＝______，AE ＝______ . 5. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，AB =CD ，BC =DE ，则∠ACE =____. D A C F E B D A C O E B 第8题图 第9题图 6. 如图，某人不小心把一块三角形的玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带去碎片中的第______块。 7.下列说法不正确的是( ) . A. 全等三角形周长相等 B. 全等三角形能够完全重合 C. 形状相同的图形就是全等图形 D.全等图形的形状和大小都相同 8.如图，已知△ABC ≌△DEF ，且AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6，则DE 的长为( ). 第5题 C B A D E 全等三角形判定的条件组合（二）(人教版) 一、单选题(共7道，每道14分) 1.已知：如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.AE=CE；SAS B.DE=BE；SAS C.∠D=∠B；AAS D.∠A=∠C；ASA 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 2.已知：如图，∠ADB=∠ADC，要使△ABD≌△ACD，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.BD=CD；SAS B.AB=AC；SAS C.∠B=∠C；ASA D.∠BAD=∠CAD；AAS 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 3.已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD，需添加一个 条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.AB=AC；AAS B.AE=AD；AAS C.BE=CD；ASA D.∠AEB=∠ADC；AAS 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 4.已知：如图，在△ABC和△ADE中，已知∠BAC=∠DAE，要使△ABC≌△ADE，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( ) ①AC=AE，AB=AD，SAS；②AC=AE，BC=DE，SAS； ③∠B=∠D，BC=DE，AAS；④∠C=∠E，AC=AE，ASA； ⑤∠B=∠D，AC=AE，ASA. A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②⑤ 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 5.已知：如图，在△ABC和△DEC中，AB=DE，要使△ABC≌△DEC，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( ) ①BC=EC，∠B=∠E，SAS；②BC=EC，AC=DC，SSS； ③∠B=∠E，∠ACB=∠DCE，ASA；④∠A=∠D，∠B=∠E，AAS． 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长. 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：BC=ED ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠ 2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 A D B C 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又，EF ∥AB ∴，∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2 ∴△AGC 为等腰三角形， AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E B A C D F 2 1 E A 全等三角形的判定 1 .如图,已知AC和BD相交于0,且B8 D0,A3 CO,下列判 断正确的是（ A.只能证明厶AOB^A COD B.只能证明厶AOD^A COB C.只能证明厶AOB^A COB D.能证明△ AOB^A CO併口△ AOD^A COB 2 .已知△ ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形 中和△ ABC全等的图形是（ ） A.甲和乙E.乙和丙C.只有乙D.只有丙 3.如图，已知MB= ND,/ MBA F Z NDC下列不能判定△ ABMP^ CDN的条件是（） A.Z M=Z N B. A吐CD C. AM= CN D. AM// CN 4.某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃 5.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ A.两条直角边对应相等 B.两个锐角对应相等 C.一条直角边和它所对的锐角对应相等 D.—个锐角和锐角所对的直角边对应相等 6.A ABC中,AB = AC,BD CE是AC AB边上的高，则BE与CD的大小关系为（ A. BE>CD B. BE= CD C. BEv CD D.不确定 7.如图，是一个三角形测平架，已知A吐AC,在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂.调整架身，使点A恰好在重锤线上,AD和BC的关系为___________ . 8 .正方形ABCD中,AC、BD交于O,/EOB 90°,已知AE= 3,CF = 4,则EF 的长为_____ . 那么最省事的办法是 A.带①去 B.带②去 C.带③去 D. 带①和②去 第3题第4题 9、若厶ABC的边a,b满足a2 12a b2 16b 100 0,则第三边c的中线长m的取值范围 为___________ 10. “三月三，放风筝”，如图1—24—4是小明制作的风筝，他根据DE= DF,EHhFH,不用度量，就知道/ DEHk/ DFH小明是通过全等三角形的识别得到的结论，请问小明用的识别方法是___________ （用字母表示）. 全等三角形判定基础练习（有答案） 一．选择题（共3小题） 1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（） A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD 2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（） A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④ 3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（） A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BD C．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA 二．解答题（共6小题） 4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF． 5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由． 6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC． 7．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B 作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE． 8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE． 求证：△ABE≌△ACD． 9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD． 全等三角形的判定（SAS ） 一、常用的知识点 1、全等三角形的性质： 2、等腰直角三角形的性质： 两锐角互余，相等，且等于?45。 3、等边三角形的性质： 三条边相等，三个角相等并且等于?60。 4、任意三角形三边的关系： 另外两边之差的绝对值 < 第三边<另外两边之和 5、三角形的内角和定理： 三角形的内角和等于?180。 6、关于三角形的外角的推论： 三角形的外角等于其不相邻两内角和。 7、 关于公共角公共边的问题 ①（公共角问题）若CAE BAD ∠=∠,则EAD BAC ∠=∠ ? 为什么 ？ ②(公共边问题)若AF DC =，则AC BF = ? 为什么 ？ 例题展示 1、（2014?吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC． 2、（2016?同安区一模）如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC． 3、（2016秋?宜兴市校级月考）已知，如图，BC上有两点D、E，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，AB和AC相等吗？为什么？ 4、（2015秋?江都市期中）已知：如图，A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE， 求证：△ABC≌△DEF． 5、（2015秋?泊头市校级月考）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE． 6、（2014?常州）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE． 求证：△ACD≌△CBE 7、（2014?漳州）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母） 8、（2014?黄冈模拟）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．求证：△ABC≌△CDE． 三角形全等的判定—边角边公开课教 案 授课教师：乐山市市中区关庙中学雷万建 一、背景介绍与教学资料 本教材强调直观和操作，在观察中学会分析，在操作中体验变换。教材的编排淡化概念的识记，强调图形性质的探索。全等三角形的判定是今后证明线段相等和角相等的重要工具，是学习后续课程的必要基础。在教学呈现方式上，改变了“结论——例题——练习”的陈述模式，而采用“问题——探索——发现”等多种研究模式。在直观感知、操作确认的基础上，适当地进行数学说理，将两者有机地结合起来，让学生体验说理的必要性，用自己的语言说明理由，学会初步说理。 二、教学设计 教学内容分析 本节课的主要内容是探索三角形全等的条件“边角边”以及利用“判定基本事实证明三角形全等。学生通过自己实验，经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的方法。由于本节课是学生探索三角形全等的条件的第一课时，所以对学生来讲是一次知识的飞跃，也为下面几节课的探索做铺垫。 教学目标： } 1、知识与技能： 探索、领会“判定两个三角形全等的方法 2、过程与方法： 经历探索三角形全等的判定方法的过程，能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单推理，并能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。 3、情感态度与价值观： 培养学生合理的推理能力，感悟三角形全等的应用价值，体会数学与实际生活的联系。重难点与关键： 1、重点：会用“边角边”证明两个三角形全等。 《 2、会正确运用“判定基本事实，在实践观察中正确选择判定三角形的方法。同时 通过作图，论证不能证明两个三角形一定全等。既是难点也是关键点。 教学方法： 采用“问题----操作---结论—运用”的教学方法，让学生有一个直观的感受。 教学过程： 一、创设情境。 1、因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。怎样测出A、B两杆之间的距离呢。（图见课件） 全等三角形证明经典50题（含答案） 1.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 至U E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE 形AEF 全等。所以Z BAF=Z EAF ( Z 1= Z 2)。 4.已知：/ 1= / 2, CD=DE , EF//AB，求证:EF=AC 证明：过E点，作EG//AC ，交AD延长线于G则 / DEG=Z DCA / DGE=/2 又；CD=DEU AD3" GDE ( AAS ) ??? EG=ACv EF//AB /-Z DFE=Z 1 v/ 1= / 2：丄 DFE=Z DG E A EF=EG：EF=AC 5.已知：AD 平分Z BAC, AC=AB+BD，求证：Z B=2 / C 证明：在AC上截取AE=AB，连接 ED ?/ AD 平分 Z BACA Z EAD=Z BAD又 ?/ AE=AB ， AD=AD ：?" AEM" ABD ( SAS) ?：Z AED=ZB ， DE=DB ?/ AC=AB+BD AC=AE+CE ?: CE=DE：Z C=Z ED C vZ AED=Z C+Z EDC=2Z C： Z B=2ZC 6.已知：AC平分Z BAD ,CE丄AB， Z B+ Z D=180 °，求证：AE=AD+BE 证明：在AE上取F，使EF = EB，连接CF因为CE丄AB 所以Z CEB=Z CEF= 90 °因 为EB = EF，CE = CE，所以△ CEB^A CEF 所以Z B=Z CFE 因为Z B+Z D= 180 Z CFE+Z CFA= 180 ° 所以Z D=Z CFA 因为AC 平分Z BAD 所以Z DAC=Z FAC 又因 为AC = AC 所以△ ADC^A AFC ( SAS) 所以AD = AF 所以AE = AF + FE = AD + BE 12.如图，四边形ABCD中，AB // DC，BE、CE分别平分Z ABC、Z BCD，且点E在AD 上。求证： BC=AB+DC。 B D A 全等三角形判定方法四 种方法 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 三角形全等的条件（一） 学习要求 1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”， 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 课堂学习检测 一、填空题 1．判断_____的_____ 叫做证明三角形全等． 2．全等三角形判定方法1——“边边边”（即______）指的是_____ ___________________________________________________________________________． 3．由全等三角形判定方法1——“边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的_____也就确定了． 图2－1 图2－2 图2－3 4．已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点． 求证：RM平分∠PRQ． 分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______， 只要证______≌______ 证明：∵M为PQ的中点（已知）， ∴______＝______ 在△______和△______中， ∴______≌______（）． ∴∠PRM＝______（______）． 即RM． 5．已知：如图2－2，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF. 求证：∠A＝∠D． 分析：要证∠A＝∠D，只要证______≌______． 证明：∵BE＝CF（）， ∴BC＝______． 在△ABC和△DEF中， ∴______≌______（）． ∴∠A＝∠D（______）． 6．如图2－3，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB， 求证：△ABC≌△BAD． 证明：∵CE＝DE，EA＝EB， ∴______＋______＝______＋______， 即______＝______． 在△ABC和△BAD中， ＝______（已知）， ∴△ABC≌△BAD（）． 综合、运用、诊断 一、解答题 7．已知：如图2－4，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.全等三角形经典题型50题含答案
(完整版)全等三角形判定经典
全等三角形练习题(很经典)
全等三角形的性质及判定(经典讲义)
全等三角形经典题型题带标准答案
全等三角形判定方法四种方法”_
全等三角形经典题型
全等三角形的判定典型例题
《全等三角形判定的条件组合(二)》热点专题高分特训(含答案)
全等三角形证明经典40题(含答案)
经典全等三角形判定练习题
全等三角形判定基础练习(有答案)
全等三角形 的判定SAS典型例题
全等三角形判定公开课教案
全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形判定方法四种方法
相关主题
文本预览