全等三角形判定方法四
种方法
标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
三角形全等的条件（一）
学习要求
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
课堂学习检测
一、填空题
1．判断_____的_____ 叫做证明三角形全等．
2．全等三角形判定方法1——“边边边”（即______）指的是_____
___________________________________________________________________________．
3．由全等三角形判定方法1——“边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的_____也就确定了．
图2－1
图2－2
图2－3
4．已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．
求证：RM平分∠PRQ．
分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______，
只要证______≌______
证明：∵M为PQ的中点（已知），
∴______＝______
在△______和△______中，
∴______≌______（）．
∴∠PRM＝______（______）．
即RM．
5．已知：如图2－2，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
求证：∠A＝∠D．
分析：要证∠A＝∠D，只要证______≌______．
证明：∵BE＝CF（），
∴BC＝______．
在△ABC和△DEF中，
∴______≌______（）．
∴∠A＝∠D（______）．
6．如图2－3，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB，
求证：△ABC≌△BAD．
证明：∵CE＝DE，EA＝EB，
∴______＋______＝______＋______，
即______＝______．
在△ABC和△BAD中，
＝______（已知），
∴△ABC≌△BAD（）．
综合、运用、诊断
一、解答题
7．已知：如图2－4，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.
8．画一画．
已知：如图2－5，线段a、b、c．
求作：ΔABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．
图2－5
9．“三月三，放风筝”．图2－6是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．
图2－6
三角形全等的条件（二）
学习要求
1．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”．
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等
图3－1
图3－2
课堂学习检测
一、填空题
1．全等三角形判定方法2——“边角边”（即______）指的是______ ___________________________________________________________________________．
2．已知：如图3－1，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．
求证：∠D＝∠B．
分析：要证∠D＝∠B，只要证______≌______
证明：在△AOD与△COB中，
∴△AOD≌△______ （）．
∴∠D＝∠B（______）．
3．已知：如图3－2，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．
分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，
又需证______≌______．
证明：∵AB∥CD（），
∴∠______＝∠______ （），
在△______和△______中，
∴Δ______≌Δ______ （）．
∴∠______＝∠______ （）．
∴ ______∥______（）．
综合、运用、诊断
一、解答题
4．已知：如图3－3，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．
求证：∠B＝∠C．
图3－3
5．已知：如图3－4，AB＝AC，BE＝CD．
求证：∠B＝∠C．
图3－4
6．已知：如图3－5，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．
求证：BC＝DE．
拓展、探究、思考
7．如图3－6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
图3－6
三角形全等的条件（三）
学习要求
1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
课堂学习检测
一、填空题
1．（1）全等三角形判定方法3——“角边角”（即______）指的是______ ___________________________________________________________________________；
（2）全等三角形判定方法4——“角角边”（即______）指的是______
___________________________________________________________________________．
图4－1
2．已知：如图4－1，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．
分析：∵PM＝PN，∴要证AM＝BN，只要证PA＝______，
只要证______≌______．
证明：在△______与△______中，
∴△______≌△______ （）．
∴PA＝______ （）．
∵PM＝PN（），
∴PM－______＝PN－______，即AM＝______．
3．已知：如图4－2，AC BD．求证：OA＝OB，OC＝OD．
分析：要证OA＝OB，OC＝OD，只要证______≌______．
证明：∵AC∥BD，∴∠C＝______．
在△______与△______中，
∴______≌______ （）．
∴OA＝OB，OC＝OD（）．
图4－2
二、选择题
4．能确定△ABC≌△DEF的条件是（）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
5．如图4－3，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）
图4－3
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
6．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF
三、解答题
7．阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－4，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD≌△COB．
证明：在△AOD和△COB中，
图4－4
∴△AOD≌△COB（ASA）．
问：这位同学的回答及证明过程正确吗为什么
综合、应用、诊断
8．已知：如图4－5，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．
求证：AD＝AC．
图4－5
9．已知：如图4－6，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.
图4－6
10．已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于F，BC＝10，BE＝4．求BM、CF的长．
拓展、探究、思考
11．填空题
（1）已知：如图4－7，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ______≌△______，理由为______．
（2）已知：如图4－8，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是
______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．
图4－7 图4－8
12．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．（1）请证明AD＝A'D'；
（2）把上述结论用文字叙述出来；
（3）你还能得出其他类似的结论吗
图4－9
13．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．
图4－10
（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．
①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．
图4－11
数学是科学的大门和钥匙--培根 数学是最宝贵的研究精神之一--华罗庚 全等三角形判定一（SSS,ASA ，AAS ）（基础） 责编：杜少波 【学习目标】 1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，判定方法2——“角边角”，判定方法 3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等． 2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】 【高清课堂：379110 全等三角形判定二，知识点讲解】 要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. 要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C . 要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C . 要点三、全等三角形判定3——“角角边” 1.全等三角形判定3——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等 .
全等三角形（一）SSS 【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质： （1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如DEF ABC? ?与全等，记作ABC ?≌DEF ? （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”． 如图，在ABC ?和DEF ?中 ? ? ? ? ? = = = DF AC EF BC DE AB ABC ? ∴≌DEF ? 【典型例题】 例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B与点D是对应点， ? = ∠26 BAC，且? = ∠20 B，1 = ?ABC S，求 A C D D C A D∠ ∠ ∠, ,的度数及ACD ?的面积． 例2．如图，ABC ?≌DEF ?，cm CE cm BC A5 , 9 , 50= = ? = ∠，求EDF ∠的度数及CF的长． A D
例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ 例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证： （1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF
三角形全等的条件（一） 学习要求 1 ?理解和掌握全等三角形判定方法 1―― “边边边”， 2?能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 课堂学习检测 一、填空题 1 ?判断 ____ 的 _____ 叫做证明三角形全等. 2?全等三角形判定方法 1―― “边边边”（即 ________ ）指的是 _____ 3?由全等三角形判定方法 1―― “边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个 三角形的 _____ 也就确定了. 在厶 ______ 和厶 ______ 中， RP RQ(已知), PM _______ , _____ _______ (), 二 _____ 也 ______ ( )? / PRM = _______ ( ______ ) ? 即RM ? 5. 已知：如图 2 — 2, AB = DE , AC = DF , BE = CF. 求证：/ A =Z D . 4. 已 知： 求只要证_ 证明：如图 2 —〔，△ RPQ 中， RM 平分/ PRQ . 要证 RM 平分/ PRQ ，即/ PRM = M 为PQ 的中点（已知），
分析：要证/ A =Z D，只要证_________ 也 ______ 证明：??? BE = CF ( ), 二BC = ____ . 在厶ABC和厶DEF中， AB _______ , BC _______ , AC _______ , 二 _____ 也______ ( ). ???/ A=Z D ( __________ ). 6. 如图2- 3, CE = DE, EA = EB, CA = DB , 求证：△ ABCBAD . 证明：??? CE= DE , EA= EB, ? _____ + _______ = _______ + 即 _____ = _______ . 在厶ABC和厶BAD中， = ______ (已知)， _____ _______ (已知), (已证), _____ ( ), ? △ ABC◎△ BAD ( ). 综合、运用、诊断 一、解答题 7. 已知：如图2 —4, AD = BC . AC= BD .试证明：/ CAD = /DBC . &画一画. 已知：如图2 —5,线段a、b、c . 求作：△ ABC，使得BC = a, AC= b, AB = c .
全等三角形的判定HL练习题 1．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE= 90，AB=DE，AC=DF，那么Rt△ABC与Rt △DEF （填全等或不全等） 2．如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，CD=CB那么Rt△ADC≌Rt△ABC 的理由是（） A．SSS B. ASA C. SAS D. HL 3．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFC 的理由是（）. A．SSS B. AAS C. SAS D. HL 4．下列说法正确的个数有（）. ①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等； ②有两边对应相等的两个直角三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．过等腰△ABC的顶点A作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是 6．如图，△ABC中，∠C= 90，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是cm.
7．在△ABC和△A`B`C`中，如果AB=A`B`，∠B=∠B`，AC=A`C`，那么这两个三角形（）. A．全等 B. 不一定全等 C. 不全等 D. 面积相等，但不全等 8．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（）（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC． A．1个B．2个C．3个D．4个 9.下列命题中正确的有（） ①两直角边对应相等的两直角三角形全等； ②两锐角对应相等的两直角三角形全等； ③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等； ④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等. A．2个B．3个C．4个D．1个 10．如图，△ABC和△EDF中,∠D=∠B=90，∠A=∠E，点B、F、C、D在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF 的是（） A．ED=AB B．EF=AC C．AC// EF D．BF=DC 11．如图，AC=AB ，AC⊥BD 于D，AB⊥CE 于E，图中全等三角形的组数是（）A．2 B．3 C．4 D. 5
全等三角形各种判定-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
F E D C B A １．三角形全等的判定一（SSS ） 1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗为什 么 ２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ． 求证△ACD ≌△CBE ． ３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ， AC =DF ， BE =CF ． 求证∠A =∠D ． ４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。 ５．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF. C A A C E A D C B
２．三角形全等的判定二（SAS） 1．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB． 2．如图，△ABC≌△A B C '''，AD，A D''分别是△ABC，△A B C '''的对应边上的中线，AD与A D''有什么关系证明你的结论． 3．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论． 4．已知：如图，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA． 5．已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB． 6．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE． A C D B A E B C F D A B C D A
H F E D C B A 7．已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC ∥DF ． 8．已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ． 9．如图, 在△ABC 中, 分别延长中线BE 、CD 至F 、H, 使EF ＝BE, DH ＝CD, 连结AF 、AH ． 求证：(1) AF ＝AH ； (2)点A 、F 、H 三点在同一直线上； (3)HF ∥BC. 10．如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, AC ＝BC, 直线EF 交AC 于F, 交AB 于E, 交BC 的延长线于D, 连结AD 、BF, CF ＝CD. 求证：BF ＝AD, BF ⊥AD. 11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证） A B E F
全等三角形判定的条件组合（二）(人教版) 一、单选题(共7道，每道14分) 1.已知：如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.AE=CE；SAS B.DE=BE；SAS C.∠D=∠B；AAS D.∠A=∠C；ASA 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定
2.已知：如图，∠ADB=∠ADC，要使△ABD≌△ACD，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.BD=CD；SAS B.AB=AC；SAS C.∠B=∠C；ASA D.∠BAD=∠CAD；AAS 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 3.已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD，需添加一个
条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.AB=AC；AAS B.AE=AD；AAS C.BE=CD；ASA D.∠AEB=∠ADC；AAS 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 4.已知：如图，在△ABC和△ADE中，已知∠BAC=∠DAE，要使△ABC≌△ADE，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( ) ①AC=AE，AB=AD，SAS；②AC=AE，BC=DE，SAS； ③∠B=∠D，BC=DE，AAS；④∠C=∠E，AC=AE，ASA；
⑤∠B=∠D，AC=AE，ASA. A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②⑤ 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 5.已知：如图，在△ABC和△DEC中，AB=DE，要使△ABC≌△DEC，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( ) ①BC=EC，∠B=∠E，SAS；②BC=EC，AC=DC，SSS； ③∠B=∠E，∠ACB=∠DCE，ASA；④∠A=∠D，∠B=∠E，AAS．
11．2 三角形全等的判定（一） 【学习目标】 1、能自己试验探索出判定三角形全等的SSS 判定定理。 2 、会应用判定定理SSS 进行简单的推理判定两个三角形全等 3、会作一个角等于已知角. 【学习重点】：三角形全等的条件． 【学习难点】：寻求三角形全等的条件． 【学习过程】：《课前预习案》 一、自主学习 1、复习：什么是全等三角形？全等三角形有些什么性质？ 如图，△ABC ≌△DCB 那么 相等的边是： 相等的角是： 2、讨论三角形全等的条件（动手画一画并回答下列问题） 已知一个三角形的三条边长分别为6cm 、8cm 、10cm ．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？ a ．作图方法： b ．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现 ，?这说明这些三角形都是 的． c ．归纳：三边对应相等的两个三角形 ，简写为“ ”或“ ”． d 、用数学语言表述： 在△ABC 和'''A B C ?中, ∵''AB A B AC BC =??=??=? ∴△ABC ≌ ( ) 用上面的规律可以判断两个三角形 ． “SSS ”是证明三角形全等的一个依据． C 'B 'A 'C B A D C B A
C O A B 二、合作探究 1、如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架． 求证：△ABD ≌△ACD ． 证明：∵D 是BC ∴ = ∴在△ 和△ 中 AB= BD= AD= ∴△ABD △ACD( ) 温馨提示：证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤： A 、写出在哪两个三角形中， B 、摆出三个条件用大括号括起来， C 、写出全等结论。 2、如图，OA ＝OB ，AC ＝BC. 求证：∠AOC ＝∠BOC. 3、如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边” 证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的 AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有一个条件：______________________，怎样才能得到这个条件？ F D C B E A
12.2三角形全等的判定---HL 班级：807班授课者：何小军时间：2015.10.14 教学目标 1．知识与技能 理解并掌握直角三角形全等判定定理-----HL，并能用于解决简单实际问题。 2．过程与方法 经历探索直角三角形全等判定定理形成的过程，掌握数学方法，提高合情推理的能力。 3．情感、态度与价值观 培养综合分析的几何推理意识，激发学生求知欲，感悟几何思维的内涵。 教学重点 理解并掌握直角三角形全等判定定理-----HL 教学难点 熟练运用直角三角形全等判定定理-----HL解决一些实际问题。培养学生综合分析的几何推理能力 教学过程 一、复习导入 1、口答：我们学过的判定三角形全等的方法哪些？ 2、认识：直角三角形------简写、直角边、斜边符号 3、思考：对于两个直角三角形，除了直角相等这个条件外，还要满足哪两个条件，这两个直角三角形就全等了？ 4、导入：设疑----两个直角三角形，如果满足斜边（L)和一条直角边(H)分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 二、探究新知： 斜边（L)和一条直角边(H)分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 1、画一画 任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′= 90°，B′C′=BC，A′B′= AB。 步骤 ⑴作∠MC′N=90°; ⑵在射线C′M上取段B′C′=BC; ⑶以B′为圆心,AB为半径画弧，交射线C′N于点A′; ⑷连接A′B′. 2、我发现：（） 3、交流归纳：直角三角形全等判定定理---HL
（）和（）分别相等的两个（）全等。简写成“（斜边、直角边）”或“（HL ）”。 4、建模： 三、学以致用： 1、例题：如图：AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D,AC=BD. 求证：BC=AD. 2、变式练习 （1）如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出 发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB 的距离相等吗？为什么？ （2）如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC， CE=BF. 求证：AE=DF.
三角形全等的判定—边角边公开课教 案 授课教师：乐山市市中区关庙中学雷万建 一、背景介绍与教学资料 本教材强调直观和操作，在观察中学会分析，在操作中体验变换。教材的编排淡化概念的识记，强调图形性质的探索。全等三角形的判定是今后证明线段相等和角相等的重要工具，是学习后续课程的必要基础。在教学呈现方式上，改变了“结论——例题——练习”的陈述模式，而采用“问题——探索——发现”等多种研究模式。在直观感知、操作确认的基础上，适当地进行数学说理，将两者有机地结合起来，让学生体验说理的必要性，用自己的语言说明理由，学会初步说理。 二、教学设计 教学内容分析 本节课的主要内容是探索三角形全等的条件“边角边”以及利用“判定基本事实证明三角形全等。学生通过自己实验，经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的方法。由于本节课是学生探索三角形全等的条件的第一课时，所以对学生来讲是一次知识的飞跃，也为下面几节课的探索做铺垫。 教学目标： }
1、知识与技能： 探索、领会“判定两个三角形全等的方法 2、过程与方法： 经历探索三角形全等的判定方法的过程，能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单推理，并能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。 3、情感态度与价值观： 培养学生合理的推理能力，感悟三角形全等的应用价值，体会数学与实际生活的联系。重难点与关键： 1、重点：会用“边角边”证明两个三角形全等。 《 2、会正确运用“判定基本事实，在实践观察中正确选择判定三角形的方法。同时 通过作图，论证不能证明两个三角形一定全等。既是难点也是关键点。 教学方法： 采用“问题----操作---结论—运用”的教学方法，让学生有一个直观的感受。 教学过程： 一、创设情境。 1、因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。怎样测出A、B两杆之间的距离呢。（图见课件）
图 4 C A D B E 图2 A B D C E F 图1 图3 45321全等三角形判定 测试题 班级 学号 姓名 分数_______ 一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！（每小题3分，共30分） 1．已知等腰三角形的一个内角为50o ，则这个等腰三角形的顶角为【 】. （A ）50o （B ）80o （C ）50o 或80o （D ）40o 或65o 2. 如图1所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，且ABC S △＝4平方厘米，则BEF S △的值为 【 】. （A ）2平方厘米 （B ）1平方厘米 （C ） 12平方厘米 （D ）1 4 平方厘米 3. 已知一个三角形的两边长分别是2厘米和9厘米，且第三边为奇数，则第三边长为【 】. （A ）5厘米 （B ）7厘米 （C ）9厘米 （D ）11厘米 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图2所示，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM =ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合．过角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是 【 】. （A ）HL （B ）SSS （C ）SAS （D ）ASA 5. 利用三角形全等所测距离叙述正确的是（ ） A.绝对准确 B.误差很大，不可信 C.可能有误差，但误差不大，结果可信 D.如果有误差的话就想办法直接测量，不能用三角形全等的方法测距离 6. 在图3所示的3×3正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5等于 【 】. （A ）145° （B ）180° （C ）225° （D ）270° 7. 根据下列条件，能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的是 【 】. （A ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，∠A =∠A ′ （B ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，AC =B ′C ′ （C ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∠C =∠C ′ （D ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，△ABC 的周长等于△A ′B ′C ′的周长 8. 如图4所示，△ABC 中，∠C =90°，点D 在AB 上，BC =BD ，DE ⊥AB 交AC 于点E ．△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6．则BC 的长为 【 】. （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 9. 将一副直角三角尺如图5所示放置，已知AE BC ∥，则AFD ∠的度数是 【 】. （A ）45o （B ）50o （C ）60o （D ）75o
全等三角形判定基础练习（有答案） 一．选择题（共3小题） 1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（） A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD 2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（） A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④ 3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（） A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BD C．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA 二．解答题（共6小题） 4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由． 6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC． 7．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE ⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE． 求证：△ABE≌△ACD． 9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．
《直角三角形全等的判定》教学设计中心发言人：DH 教学目标: （1）明确两个直角三角形的全等，可以利用“边边边，边角边，角边角，角角边”来证明；但是由于直角相等，所以两个直角三角形全等的判定，只需要增加两个条件即可。 （2）探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等，并会用“SSS，SAS，ASA，AAS及HL”证明两个直角三角形全等。 教学重点： 探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，并会用“SSS，SAS，ASA，AAS及HL”证明两个直角三角形全等。 教学难点： （1）满足“边边角”分别对应相等的两个三角形不一定全等，但满足“斜边和一条直角边对 应相等的两个直角三角形”符合“边边角”的条件，两个直角三角形却是全等的。 （2）要注意用HL直角三角形全等的证明格式 集体备教教学过程： 1、复习与回顾： （1）判定两个三角形全等的方法是，，， （2）回顾直角三角形的边、角的名称及相关性质。 2、尝试归纳两个直角三角形全等的判定方法： 如图，AB⊥BE于B，D E⊥BE于E， （1）若∠A=∠D，AB=DE， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）， 根据（用简写法）。 （2）若∠A=∠D，BC=EF， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），个性补教 A B C E F D
根据（用简写法）。 （3）若AB=DE，BC=EF， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）， 根据（用简写法）。 （4）若∠A=∠D，AC=DF 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）， 根据（用简写法）。 归纳：两个直角三角形全等的类型：ASA ,AAS ,SAS ,AAS (一锐角一直角边，一锐角一斜边，两直角边，共四种情形) 3、探究：一斜边一直角边对应相等，两直角三角形是否全等？（1）情景引入 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。 (2)情景分析 ∵∠ADB=∠ADC=90° ∴转化成：在Rt △ ABD 和Rt△ ACD中 已知AB=AC 探究：BD=CD？ 如果Rt△ABD≌Rt△ACD，那么BD=CD (全等三角形对应边相等). （3）画图探究 １、任意画出一个Rt△ ABC，使∠Ｃ＝９０°，
全等三角形判定方法四 种方法 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
三角形全等的条件（一） 学习要求 1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”， 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 课堂学习检测 一、填空题 1．判断_____的_____ 叫做证明三角形全等． 2．全等三角形判定方法1——“边边边”（即______）指的是_____ ___________________________________________________________________________． 3．由全等三角形判定方法1——“边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的_____也就确定了． 图2－1 图2－2 图2－3 4．已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点． 求证：RM平分∠PRQ． 分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______， 只要证______≌______ 证明：∵M为PQ的中点（已知）， ∴______＝______ 在△______和△______中， ∴______≌______（）． ∴∠PRM＝______（______）． 即RM． 5．已知：如图2－2，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF. 求证：∠A＝∠D． 分析：要证∠A＝∠D，只要证______≌______． 证明：∵BE＝CF（）， ∴BC＝______． 在△ABC和△DEF中， ∴______≌______（）． ∴∠A＝∠D（______）． 6．如图2－3，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB， 求证：△ABC≌△BAD． 证明：∵CE＝DE，EA＝EB， ∴______＋______＝______＋______， 即______＝______． 在△ABC和△BAD中， ＝______（已知）， ∴△ABC≌△BAD（）． 综合、运用、诊断 一、解答题 7．已知：如图2－4，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.
全等三角形的判定（人教版） 试卷简介:本套试卷主要考查全等三角形的五种判定方法，即SSS，SAS，ASA，AAS，HL。通过一些常见的题型结构，训练学生观察辨识图形，有序思考，整合条件等能力。 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列说法中正确的是( ) A.两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B.两锐角对应相等的两个直角三角形全等 C.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D.面积相等的两个三角形全等 答案：C 解题思路： 分析：三角形全等的判定方法有SSS，AAS，ASA，SAS，HL，所以需要找到三组条件，可以 从已知条件出发，结合全等的判定方法，通过分析推理，对结论一个个进行验证． 解： 选项A： 两腰对应相等的两个等腰三角形，只有两边对应相等，所以不一定全等； 选项B： 两锐角对应相等的两个直角三角形，缺少对应边相等，所以不一定全等； 选项C： 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，符合判定方法ASA； 选项D： 全等三角形的面积相等。但是反过来，面积相等的两个三角形不一定全等． 故选C． 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 2.如图,已知△ABC的六个元素,下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素,则与△ABC全等的三角形是( )
A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙 答案：D 解题思路： 分析：根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边、对应角． 解： ∵甲三角形与△ABC有两边相等，但夹角不一定相等， ∴二者不一定全等； ∵乙三角形与△ABC有两边及其夹角相等 ∴乙三角形与△ABC全等（SAS）； ∵丙三角形与△ABC有两角及一边相等 ∴丙三角形与△ABC全等（AAS）． 故选D． 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 3.如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形.根据图中标示的各点位置,判断△ACD与下列哪一个三角形全等?( ) A.△ACF B.△ADE C.△ABC D.△BCF 答案：B
全等三角形的性质及判定（习题）例题示范 例1：已知：如图，C 为AB 中点，CD=BE，CD∥BE．求 证：△ACD≌△CBE． 【思路分析】 ①读题标注： D D B B ②梳理思路： 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等．由 已知得，CD=BE； 根据条件C 为AB 中点，得AC=CB； 这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的 夹角． 由条件CD∥BE，得∠ACD=∠B． 发现两边及其夹角相等，因此由 SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】 先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需 要注意字母对应． 证明：如图 ∵C 为AB 中点 A C E A C E
∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B 在△ACD 和△CBE 中 AC = CB （已证） ACD = B （已证） CD = BE （已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ）
E C 巩固练习 1. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论： ①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． 其中正确的有（ ） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 E A A 1 F E B C 2 B D C D 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使 △ABC ≌△DEF ，还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是 ，理由是 ． 3. 如图，D 是线段 AB 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的 一对全等三角形是 ，理由是 ． A C A G D F H
东田中学讲学稿八年级数学编制：毛向阳审核：八年级数学组教学时间：2011年月日 3.4 全等三角形的判定（一）审批： 班级：组数：姓名： 【学习目标】 （1）熟记边角边公理的内容； （2）能应用边角边公理证明两个三角形全等. (3) 通过“边角边”公理的运用，提高逻辑思维能力； (4) 通过观察几何图形，培养识图能力. 【学习重点】：学会运用公理证明两个三角形全等. 【学习难点】：在较复杂的图形中，找出证明两个三角形全等的条件. 【学法指导】：认真阅读教材，独立思考，会做课前预习案的问题，尝试课堂合作探究案中的问题。不懂的问题，作出标识，激情参与，全力以赴，阳光展示，激情点评，做最好的自己。 自主学习（课前预习案）课堂笔记1．有___________和它们的___________分别对应相等的两个三角形全等，可简写成“边角边”或____________。 2．从题目的条件（已知）出发，通过一步步地讲道理得出它们的结论成立，这个过程叫做____________. 3．证明一般有以下三个步骤；（1）根据题意___________________； （2）写出______________；（3）__________________。 课堂合作探究案课堂笔记 1、探究 把所画的剪下，放在原三角形上，发现什么情况？请用证明的格式写出推理的过程： 2、讲解P74例1和P75例2 请大家一定要动手操作 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）
当堂检测： 2、如图2，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，求证：△ADF≌△CBE 3、如图，在△ABC中，AB⊥AC，且AB=AC，点E在AC上，点D在BA的延长线上，AD=AE。 求证：△ADC≌△AEB。 作业：P75练习题：T 1 、T 2 课后反思： 1、 C D A B E
课题：《11.2三角形全等的判定》(HL)导学案 编审:主备 审核 数学组 学科 数学 年级 八年级 时间 【学习目标】 姓名 ：班级 ；第 组 1、理解直角三角形全等的判定方法“HL ”，并能灵活选择方法判定三角形全等； 2．独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力； 【学习过程】 一、学 （一）、自主学习： 1、复习思考 (1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、 (2)、如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ，斜边是 (3)、如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ， ①若∠A=∠D ，AB=DE ， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法） ②若∠A=∠D ，BC=EF ， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法） ③若AB=DE ，BC=EF ， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法） ④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法） 2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ (1)自行预习：见书上13-14页探究8 ；动手画一画。 (2)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个特殊方法: 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 （可以简写成“ ”或“ ”） (3)用数学语言表述上面的判定方法 在Rt △ABC 和Rt '''A B C ?中, ∵''BC B C AB =??=? ∴Rt △ABC ≌Rt △ ( ) （5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ” 3、自行欣赏书上14页例题4 （二）、合作学习： 1、书上14页练习1、2题、 2、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？答： ， 说说你的理由 A B C A 1 B 1 C 1
13.2-3全等三角形的判定条件---ASA 【学习目标】 1.理解“角边角”定理，分清每个命题的题设和结论；2.能正确应用“角边角”定理证明三角形全等，线段（角）相等. 【自主学习】 课前用10分钟时间自主阅读教材本节内容，用红色笔进行圈点勾画，注意找 准概念中的关键词﹒ 1.如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要用“边角边”证明△ABC ≌△FDE ，还应该添加条件是_________________. 2．三角形全等“角边角”判定：如果两个三角形有两个角及夹边分别对应__________，那么这两三角形____________. 如图，在△ABC 与△DEF 中， 已知?????=∠==∠______________________________B AB A ∴△ABC ≌△DEF ( ). 【自主探究】 探究一 三角形全等条件判定 1.三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？分为：________________和________________. 2.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形是否全等？ (1) 动手试一试：画△ABC ，使∠A=450，∠B=600，AB=3cm. (2) 把你画的△ABC 剪下来和同学进行比较，看看是否完全重合？ (3) 归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定2： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形__________.（可以简写成“ ”或“ ”） (4)用数学语言表述全等三角形判定2 如图1，在△ABC 和'''A B C ?中, ∵'B B BC C ∠=∠??=??∠=? ∴△ABC ≌ 探究二 典型例题 例1.如图2，已知点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C.求证：BE=CD . C 'B 'A 'C B A 图 1 F D C B E A
1.全等三角形的判定方法 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS)。 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 1 边边边:三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS ) 2．证题的思路： ???????? ?????????????????????????????）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 基础： 题一：如图所示中，F 、C 在线段BE 上，若BC=FE ，AB=DE ，要利用SSS ?证明△ABC ≌ △DEF ，补充一条边相等的条件是________． 例1：如图，在ABC ?中,M 在BC 上，D 在AM 上，AB=AC , DB=DC 。 求证：MB=MC
变式：如图10所示，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，?PC=10，若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后得到△P ?′AB ，?则点P ?与点P ?′之间的距离为_______，∠APB=________． 2：边角边两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ） 基础：如图所示，已知∠1=∠2，AB=AC ，求证：BD=CD ．（要求：写出证明过程中的重要依据） . 例题：AD 与BC 相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：DBA CAB ∠=∠ 变式：已知，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在一条直线上求证：BE=AD E D C A B
1.3探索三角形全等的条件（1） 教学目标： 1．经历探索三角形全等条件的过程，会利用基本事实：“边角边”判别两个三角形是否全等； 2．在探索三角形全等条件及其基本事实“边角边”运用的过程中能够进行有条理的思考并进行简单的推理； 3．经历操作、探索、合作、交流等活动，营造和谐、平等的学习氛围． 教学重点：三角形全等的“边角边”条件的探索及应用． 教学难点：三角形全等的“边角边”条件的探索． 教学过程 一、创设情境 （1）如图，△ABC≌△DEF，你能得出哪些结论？ （2）小明想判别△ABC与△DEF是否全等，他逐一检查三角形的三条边、三个角是不是都相等．小红提出了质疑：分别检查三条边、三个角这6个元素固然可以，但是不是可以找到一个更好的方法呢？ 设计思路：温故知新，明确本节课学习的方向． 二、讨论交流 1．当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗？ 2．当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗？ 3．当两个三角形有3对边或角分别相等时，它们全等吗？ 设计思路：问题从简单到复杂，渗透由简到繁来解决问题的策略和方法．同时，通过学生讨论交流，让学生体会分类思想、举反例的方法． 三、探索活动一 如图，每人用一张长方形纸片剪一个直角三角形， 怎样剪才能使剪下的所有直角三角形都能够重合？二次备课 A B C D E F
（1）任意剪一个直角三角形，同学们得到的三角形都能够重合吗？ （2）重新利用这张长方形剪一个直角三角形，要使得全班同学剪下的都能够重合，你有什么办法？ （3）剪下直角三角形，验证是否能够重合，并能得出什么结论？ 探索活动二 如图，△ABC 与△DEF 、△MNP 能完全重合吗？ （1）直觉猜想哪两个三角形能完全重合？ （2）再用工具测量，验证猜想是否正确． 探索活动三 按下列作法，用直尺和圆规作△ABC ，使∠A ＝∠α，AB ＝a ，AC ＝b ． 作法：1．作∠MAN ＝∠α． 2．在射线AM 、AN 上分别作线段AB ＝a ，AC ＝b ． 3．连接BC ． △ABC 就是所求作的三角形． 图形：你作的三角形与其他同学作的三角形能完全 重合吗？ 四、提炼归纳 通过上面几个活动你对三角形全等所需要的条件有什么看法？试用语言叙述你的看法． 基本事实 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）． 几何语言：∵在△ABC 和△DEF 中， AB ＝DE ， ∠B ＝∠E ， BC ＝EF ， 二次备课 45?31.5C B A 60?3 D E 1.5P 45?3 1.5M N 二次备课