等比数列的所有公式
等比数列，又称等比级数，是一种有规律的数列，其特点是每一项都是前一项的一个固定比率乘积，它所特有的公式让其成为数学中最重要的数列之一。
首先，我们来看看等比数列的第一个公式，即通项公式a_n=a_1*q^{n-1}。这个公式表示，等比数列的每一项都是前一项的一个固定比率q乘积。比如，假设有一个数列，第一项是2，公比是3，则等比数列的第二项是2*3=6，第三项是2*3*3=18，以此类推。
其次，我们来看看等比数列的第二个公式，即求和公式S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)。这个公式表示，等比数列的前n项和可以通过第一项以及公比来计算。比如，假设有一个数列，第一项是2，公比是3，则等比数列的前三项和就是2*(1-3^3)/(1-3)=60。
再次，我们来看看等比数列的第三个公式，即等差数列的等比数列公式a_n=a_1*q^{n-1}+d*(1-q^{n-1})/(1-q)。这个公式表示，等比数列也可以用等差数列的方法来计算。比如，假设有一个数列，第一项是2，公比是3，等差数列的公差是4，则等比数列的第二项是
2*3+4*(1-3)/(1-3)=10，第三项是2*3^2+4*(1-3^2)/(1-3)=22，以此类推。
最后，我们来看看等比数列的第四个公式，即极限公式lim_{n->oo}a_n=a_1*q^n。这个公式表示，当n趋近于无穷大时，等比数列的每一项都会收敛到一个固定值。比如，假设有一个数列，第一项是2，公比是3，则等比数列的最后一项会收敛到2*3^∞=0。
等比数列的四个公式表明，它具有极强的规律性，在数学中有着重要的地位。它不仅可以用来计算等比数列的每一项，还可以用来计算等比数列的前n项和，甚至可以用等差数列的方法来计算等比数列，这些都使得等比数列具有极大的实用价值。
等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。称为公比，符号为q。 公比公式 根据等比数列的定义可得： 通项公式 我们可以任意定义一个等比数列 这个等比数列从第一项起分别是，公比为q，则有： a2 = a1q， a3 = a2q = a1q2， a4 = a3q = a1q3， ， 以此类推可得，等比数列的通项公式为： a n = a n ? 1q = a1q n ? 1， 求和公式 对于上面我们所定义的等比数列，即数列。我们将所有项进行累加。 于是把称为等比数列的和。记为： 如果该等比数列的公比为q，则有： （利用等比数列通项公式）(1) 先将两边同乘以公比q，有： (1)式减去该式，有： (q ? 1)S n = a1? a1q n (2) 然后进行一定的讨论 当时，
而当q = 1时，由(2)式无法解得通项公式。 但我们可以发现，此时： = na1 ?综上所述，等比数列的求和公式为： ?经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1时 （更正：分母为1-q） 当时, 等比数列无限项之和 由于当及n 的值不断增加时,q n的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和: （更正：分母为1-q）性质 如果数列是等比数列，那么有以下几个性质： ? 证明：当时， ?对于，若，则 证明： ∵ ∴
?等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项，，，其中，则有 ?在原等比数列中，每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。 ?也成等比数列。 等差数列 等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列 就是一个等差数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之差都等于2，即公差为2。 通项公式 如果一个等差数列的首项标为，公差标为，那么该等差数列第项的表达式为： . 等差数列的任意两项之间存在关系： 等差中项 给定任一公差为的等差数列。从第二项开始，前一项加后一项的和的値为该项的两倍。例： 证明： 设， 则 ∵(矛盾) ∴ 证毕
等比数列公式_公式总结 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 （1）等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1） 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 （2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 (5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an ①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q) ②当q=1时，Sn=n×a1（q=1） 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比数列的定义和通项公式 一、等比数列的定义和通项公式 1、等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么 这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。 （1）等比数列中任一项都不为0，且公比$q≠0$。 （2）若一个数列为常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，0，$\cdots$。 2、等比数列的通项公式 （1）通项公式 若等比数列${a_n}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则这个等比数列的通项公式是 $a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$。 在记忆公式时，要注意$q$的指数比项数$n$小1这一特点。 注：由$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，可推出$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$。 所以有：① 在已知等比数列${a_n}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用 $a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。 ②已知等比数列${a_n}$中的$a_m$和$a_n$两项，就可以使用 $\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$求出公比。 （2）等比数列中项的正负 对于等比数列${a_n}$，若$q<0$，则${a_n}$中正负项间隔出现，如数列1，-2，4，-8，16，$\cdots$；若$q>0$，则数列${a_n}$各项同号。综上，等比数列奇数项必同号， 偶数项也同号。 3、等比中项 如果在$a$与$b$中间插入一个数$G（G≠0）$，使$a$，$G$，$b$成等比数列，那么 $G$叫做$a$与$b$的等比中项。
等比数列知识点总结 等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，下面是小编收集整理的等比数列知识点总结，请参考！ 等比数列知识点总结篇1 1、等比数列的定义： 2、通项公式： a n =a 1q n -1=a 1n q =A B n (a 1q ≠0, A B ≠0)，首项：a 1；公比：q a n q =n a m a n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1推广：a n =a m q n -m q n -m = 3、等比中项： （1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2= ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{a n }是等比数列a n 2=a n -1a n +1 4、等比数列的前n 项和S n 公式： （1）当q =1时，S n =na 1 （2）当q ≠1时，S n = =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q a 1a -1q n =A -A B n =A B n -A （A , B , A , B 为常数） 1-q 1-q 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有a n +1=qa n 或a n +1=q (q 为常数，a n ≠0) {a n }为等比数列 a n （2）等比中项：a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) {a n }为等比数列 （3）通项公式：a n =A B n (A B ≠0){a n }为等比数列 6、等比数列的证明方法： a 依据定义：若n =q (q ≠0)(n ≥2, 且
高考数学等比数列知识点|等比数列的所有公式 (1)定义式： 任意两项 的关系为 (5)等比中项： 若 为 或者 无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。 (7)由等比数列组成的新的等比数列的公比： {an}是公比为q的等比数列 1.若A=a1+a2+......+anB=an+1+......+a2n C=a2n+1+ (3) 则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n 2.若A=a1+a4+a7+……+a3n- 2 B=a2+a5+a8+……+a3n- 1 C=a3+a6+a9+……+a3n 则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q 性质 (1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。
(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。 (3)若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab(G≠0)”。 (4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则 {a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3… {can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为 q1，q1q2，q1/q2。 (5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。 (6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。 (7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n- 1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) 在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。 (8)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。 求通项方法 (1)待定系数法：已知a(n+1)=2an+3，a1=1，求an? 构造等比数列a(n+1)+x=2(an+x) a(n+1)=2an+x，∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3
等比数列公式_高二数学等比数列公式归纳 定义： an+1/an=q(an≠0) q<0摆动数列 q=1常数列 常数列(除零外)即成等差又成等比 通项公式： an=a1·qn-1 变形： an=am·qn-m=A·qn(A为常数) =(a1/q)·qn 前n项和： Sn=a1·(1-qn)/(1-q)=A-A·qn =(a1-an·q)/(1-q) Sn=n·a1······(q=1) a1·(1-qn)/(1-q)·······(q≠1) 性质： 等比中项：an2=an+1·an-1隔项符号相同 序号公式：m+n=p+qam+an=ap+aq 抓好基础是关键
数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提， 是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想 到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。 严防题海战术 做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系 的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解 题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重 点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理 解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知 识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什 么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有 这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即 将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以 有一个科学的方法解决它。 归纳数学大思维 数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思 维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。在平时听 课时，一个明知的学生，应该听老师对该题目的分析和归纳。但还 有不少学生，不注意教师的分析，往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。听课是认真，但费力，听完后是满脑子的计 算过程，支离破碎。老师的分析是引导学生思考，启发学生自己设 计出处理这些问题的大策略、大思维。当教师解答习题时，学生要 用自己的计算和推理已经知道老师要干什么。另外，当题目的答案
等差等比数列公式大全 等差数列公式 1.n个项的等差数列的前n项和公式如下： Sn=(n/2)*(a+l) 其中，Sn表示前n项的和，a为首项，l为末项，n为项数。 2.等差数列通项公式如下： an = a + (n-1)d 其中，an表示第n项，a为首项，d为公差，n为项数。 3.等差数列求和公式如下： Sn=(n/2)*(2a+(n-1)d) 其中，Sn表示前n项的和，a为首项，d为公差，n为项数。 4.等差中项公式如下： a+c=2b 其中，a为首项，c为末项，b为中项。 等比数列公式 1.等比数列通项公式如下： an = a * r^(n-1) 其中，an表示第n项，a为首项，r为公比，n为项数。 2.等比数列求和公式（当公比r不等于1时）如下：
Sn=(a*(r^n-1))/(r-1) 其中，Sn表示前n项的和，a为首项，r为公比，n为项数。 3.等比数列求和公式（当公比r等于1时）如下： Sn=a*n 其中，Sn表示前n项的和，a为首项，n为项数。 4.无穷等比数列的和公式如下： S=a/(1-r) 其中，S表示无穷等比数列的和，a为首项，r为公比。 综合应用 1.如果已知等差数列的首项a、末项l和项数n，可以通过末项的求和公式反推得到公差d： d=(l-a)/(n-1) 2.如果已知等比数列的首项a、末项l和项数n，可以通过末项的求和公式反推得到公比r： r=(l/a)^(1/(n-1)) 3.如果已知等差数列的和Sn、首项a和项数n，可以通过和的求和公式反推得到末项l： l=a+(n-1)*d 4.如果已知等比数列的和Sn、首项a和项数n，可以通过和的求和公式反推得到末项l：
等比数列和公式 等比数列是一组等差或等比数列，它在数学中有着重要地位。它有着规律的递增，可以用一种明确的关系表达。在等比数列中，每一项都是前面的那一项的某个倍数。 例如，等比数列1, 2, 4, 8, 16，前三项的关系表示为：2= 1 2，4=2 2，8=4 2。这里的2为公比，其它项都是由它乘以1、2、4等得到的。在这个例子中，每一项都是前一项的两倍，关系表示为：an+1=an ×2。这种类型的等比数列分别称为以2为公比的等比数列，以3为公比的等比数列，以4为公比的等比数列等。 等比数列在数学中被广泛应用，例如在等比数列中可以找到贷款的还款计划，它的应用也扩展到计算机世界，在程序开发中，有许多通过等比数列获得有利的算法。 二、等比数列的公式 等比数列有着规律性，所以对等比数列应用某些公式就可以得出结论。 （1）极限公式 等比数列极限公式为：limn→∞an = limn→∞a1 qn。其中，a1 为等比数列的第一项，q为公比，n为等比数列中第n项。 极限公式说明了，当等比数列的项数趋向无穷时，等比数列的极限为其第一项的公比的幂次方。 （2）前n项和公式 等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 (1 - qn) / (1 - q)。
其中，a1 为等比数列的第一项，q为公比，n为等比数列中第n项，Sn 为前n项的和。 这个公式说明，要计算出等比数列的前n项的和，可以用等比数列的第一项与公比乘以（1 - qn）处理后再除以（1 - q）。 （3）等差数列的等比数列公式 等差数列可以由等比数列快速求解，其公式为：Sn = (a1 + an) n / 2。其中，a1 为等比数列的第一项，an 为等比数列中第n项，Sn 为前n项的和。 由此可以看出，等比数列要求的平均值是固定的，可以通过此公式快速求出等差数列的前n项的和。 三、等比数列的应用 1、金融领域 在金融领域，等比数列是很常用的，例如贷款时，把贷款按比例分期，就可以用到等比数列公式来计算。还有就是投资，用等比数列公式会事半功倍，可以迅速的计算投资相关的费用和投资回报。 2、计算机领域 等比数列在计算机领域也有着广泛的应用，它可以用来加快查找的速度和减少多次重复的工作量。例如当查找一个巨大的数据集时，可以使用等比数列的公式来实现，利用其快速的筛选功能加快查找的效率，让计算机更加高效。 综上所述，等比数列和等比数列公式在日常生活中有着十分重要的作用，它们可以用来计算贷款的还款计划，也可以使得计算机的查