第一部分 专题一 第3讲 二次函数、指数函数、对数函数
(限时60分钟,满分100分)
一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,共36分)
1.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=2x -3,则f (-2)=( ) A .-1 B .-114 C .1 D.1
4
解析:f (-2)=-f (2)=-(22-3)=-1. 答案:A
2.(精选考题·天津高考)设a =log 54,b =(log 53)2,c =log 45,则( ) A .a <c <b B .b <c <a C .a <b <c D .b <a <c
解析:由于b =(log 53)2=log 53·log 53<log 53<log 54=a <1<log 45=c ,故b <a <c . 答案:D
3.方程mx 2+2(m +1)x +m +3=0仅有一个负根,则m 的取值范围是( ) A .(-3,0) B .[-3,0) C .[-3,0] D .[-1,0]
解析:当m =0时,由原方程得x =-3
2<0成立,排除选项A 、B ;当m =-3时,原方程变为-3x 2
-4x =0,两根为x 1=0,x 2=-4
3
,也符合题意,∴选C.
答案:C
4.(精选考题·辽宁高考)设2a =5b =m ,且1a +1
b =2,则m =( )
A.10 B .10 C .20 D .100
解析:a =log 2m ,b =log 5m ,代入已知得log m 2+log m 5=2,即log m 10=2,所以m =10. 答案:A
5.方程(1
2
)x -|lg x |=0的实数根的个数为( )
A .0
B .1
C .2
D .3 解析:如图可知:
方程的实根个数即y =(1
2)x 与y =|lg x |的交点个数.
答案:C
6.已知f (x )=a
x +b
(a >0且a ≠1,b 为常数)的图象经过点(1,1),且0<f (0)<1,
设m =12 [f -1(x 1)+f -1(x 2)],n =f -1(x 1+x 2
2),其中x 1,x 2是两个不相等的正实数,则m 与n 的大小关
系为( )
A .m >n
B .m <n
C .m =n
D .m =2n 解析:∵f (1)=a b +
1=1,
又a ≠1,∴b +1=0,b =-1. ∵f (0)=1a ,0<1
a <1,∴a >1.
f -
1(x )=log a x -b =log a x +1.
12
[f -1(x 1)+f -
1(x 2)] =1
2
(log a x 1+1+log a x 2+1) =log a x 1x 2+1<log a x 1+x 2
2+1(x 1≠x 2).
而log a x 1+x 22+1=f -1(x 1+x 2
2),故m <n .
答案:B
二、填空题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分) 7.函数y =(1
3
)x -log 2(x +2)在[-1,1]上的最大值为________.
解析:函数y =(1
3)x -log 2(x +2)在区间[-1,1]上是单调递减函数,所以函数的最大值是f (-1)=3.
答案:3
8.若函数y =ax 2-2ax (a ≠0)在区间[0,3]上有最大值3,则a 的值是________.
解析:∵函数y =ax 2-2ax =a (x -1)2-a 的对称轴为定直线x =1,且1∈[0,3],由抛物线开口方向分两种情况讨论:
当a >0时,抛物线开口方向向上, 由y max =f (3)=9a -6a =3a =3,得a =1; 当a <0时,抛物线开口方向向下, 由y max =f (1)=-a =3,得a =-3. 答案:1或-3
9.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元,又知总收入k 是单位产品数Q 的函数,k (Q )=40Q -1
20
Q 2,则总利润L (Q )的最大值是________.
解析:总利润L (Q )=40Q -120
Q 2
-10Q -2000 =-1
20
(Q -300)2+2500.
故当Q =300时,总利润最大值为2500万元. 答案:2500万元
三、解答题(本大题共3个小题,共46分)
10.(本小题满分15分)已知函数f (x )=log a (8-2x )(a >0,且a ≠1). (1)若函数f (x )的反函数是其本身,求a 的值; (2)当a >1时,求函数y =f (x )+f (-x )的最大值. 解:(1)函数f (x )的反函数 f -
1(x )=log 2(8-a x ),
由题意可得log a (8-2x )=log 2(8-a x ), ∴a =2.
(2)由题意可知8-2x >0,解得x <3, 则y =f (x )+f (-x )的定义域为(-3,3). f (x )+f (-x )=log a (8-2x )+log a (8-2-
x )
=log a [65-8(2x +2-
x )].
∵2x +2-
x ≥2,当x =0时,等号成立,
∴0<65-8(2x +2-
x )≤49.
∴当a >1时,函数y =f (x )+f (-x )在x =0处取得最大值log a 49.
11.(本小题满分15分)某市出租车的计价标准是:3 km 以内(含3 km)10元;超出3 km 但不超过18 km 的部分1元/km ;超出18 km 的部分2元/km.
(1)如果某人乘车行驶了20 km ,他要付多少车费?某人乘车行驶了x km ,他要付多少车费? (2)如果某人付了22元的车费,他乘车坐了多远?某人付了10+x (x >0)元的车费,他乘车坐了多远? 解:(1)乘车行驶了20 km ,付费分三部分,前3 km 付费10(元),3 km 到18 km 付费(18-3)×1=15(元),18 km 到20 km 付费(20-18)×2=4(元),
故总付费10+15+4=29(元).
设付车费y 元,当0
?
10,0 2x -11,x >18. (2)付出22元的车费,说明此人乘车行驶的路程大于3 km ,且小于18 km.前3 km 付费10元,余下的12元乘车行驶了12 km ,故此人乘车行驶了15 km. 设乘车行驶了y km ,当0 x -152=12x +21 2 . 故y =???? ? x +3(0 x +212(x >15). 12.(本小题满分16分)已知函数f (x )=ax 2+(b -8)x -a -ab ,当x ∈(-3,2)时,f (x )>0,当x ∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时, f (x )<0. (1)求f (x )在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,ax 2+bx +c ≤0的解集为R? 解:由题意知f (x )的图象是开口向下,交x 轴于两点A (-3,0)和B (2,0)的抛物 线,对称轴方程为x =-1 2 (如图). 那么,当x =-3和x =2时,有y =0,代入原式得 ? ???? 0=a (-3)2 +(b -8)×(-3)-a -ab ,0=a ×22+(b -8)×2-a -ab , 解得????? a =0,b =8,或????? a =-3, b =5. 经检验知? ???? a =0, b =8,不符合题意,舍去. ∴f (x )=-3x 2-3x +18. (1)由图象知,函数在[0,1]内单调递减, 所以,当x =0时,y =18,当x =1时,y =12. ∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]. (2)令g (x )=-3x 2+5x +c , 要使g (x )≤0的解集为R. 则需要方程-3x 2+5x +c =0的根的判别式Δ≤0, 即Δ=25+12c ≤0,解得c ≤- 25 12 . ∴当c ≤-25 12 时,ax 2+bx +c ≤0的解集为R. 1.(精选考题·四川高考)2log 510+log 50.25=( ) A .0 B .1 C .2 D .4 解析:2log 510+log 50.25=log 5100+log 50.25=log 525=2. 答案:C 2.(精选考题·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=|lg x |,若a ≠b ,且f (a )=f (b ),则a +b 的取值范围 是( ) A .(1,+∞) B .[1,+∞) C .(2,+∞) D .[2,+∞) 解析:不妨设0<a <1<b ,由f (a )=f (b )得-lg a =lg b ,lg a +lg b =0,ab =1,因此, a +b =a +1a >2. 答案:C 3.函数f (x )=-x 2+(2a -1)|x |+1的定义域被分成了四个不同的单调区间,则实数a 的取值范围是( ) A .a >23 B.12<a <3 2 C .a >12 D .a <1 2 解析:函数f (x )=-x 2+(2a -1)|x |+1是由函数f (x )=-x 2+(2a -1)x +1变化得到,第一步保留y 轴右侧的图象,再作关于y 轴对称的图象.又因为其定义域被分成四个单调区间,所以f (x )=-x 2+(2a -1)x +1的对称轴在y 轴的右侧,使y 轴右侧有两个单调区间,对称后有四个单调区间.因此2a -1 2>0,即a >12 . 答案:C 4.已知定义在R 上的函数f (x )=(x 2-3x +2)·g (x )+3x -4,其中函数y =g (x )的图象是一条连续曲线,则方程f (x )=0在下面哪个范围内必有实数根( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4) 解析:f (x )=(x 2-3x +2)·g (x )+3x -4=(x -1)(x -2)·g (x )+3x -4,故f (1)=-1<0,f (2)=2>0,故存在一点x 0∈(1,2)使f (x 0)=0. 答案:B 5.(精选考题·扬州调研)已知函数f (x )=log 4(4x +1)+kx (k ∈R)是偶函数. (1)求k 的值; (2)若方程f (x )-m =0有解,求m 的取值范围. 解:(1)由函数f (x )是偶函数,可知f (x )=f (-x ). ∴log 4(4x +1)+kx =log 4(4- x +1)-kx . 即log 44x +1 4-x +1=-2kx , log 44x =-2kx , ∴x =-2kx 对一切x ∈R 恒成立.∴k =-1 2. (2)由m =f (x )=log 4(4x +1)-1 2x , ∴m =log 44x +12x =log 4(2x +1 2x ). ∵2x +12x ≥2,∴m ≥1 2 . 故要使方程f (x )-m =0有解,m 的取值范围为m ≥12 . 6.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出场单价就降低0.02元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过600件. (1)设一次订购x 件,服装的实际出厂单价为p 元,写出函数p =f (x )的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少? 解:(1)当0<x ≤100时,p =60; 当100<x ≤600时,p =60-(x -100)×0.02=62-0.02x . ∴p =? ???? 60, 0<x ≤100,62-0.02x , 100<x ≤600. (2)设利润为y 元,则 当0<x ≤100时,y =60x -40x =20x ; 当100<x ≤600时, y =(62-0.02x )x -40x =22x -0.02x 2. ∴y =? ???? 20x , 0<x ≤100,22x -0.02x 2 , 100<x ≤600. 当0<x ≤100时,y =20x 是单调增函数,当x =100时,y 最大,此时y =20×100=2000; 当100<x ≤600时, y =22x -0.02x 2=-0.02(x -550)2+6050, ∴当x =550时,y 最大,此时y =6050. 显然6050>2000. 所以当一次订购550件时,利润最大,最大利润为6050元. 2019年高考数学试题带答案 一、选择题 1.已知二面角l αβ--的大小为60°,b 和c 是两条异面直线,且,b c αβ⊥⊥,则b 与 c 所成的角的大小为( ) A .120° B .90° C .60° D .30° 2.设集合(){} 2log 10M x x =-<,集合{ } 2N x x =≥-,则M N ?=( ) A .{} 22x x -≤< B .{} 2x x ≥- C .{}2x x < D .{} 12x x ≤< 3.如图所示的组合体,其结构特征是( ) A .由两个圆锥组合成的 B .由两个圆柱组合成的 C .由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D .由一个圆锥和一个圆柱组合成的 4.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为 A .甲、乙、丙 B .乙、甲、丙 C .丙、乙、甲 D .甲、丙、乙 5.已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点,12F F , 为双曲线C 的左、右焦点,若112PF F F =,且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切,则C 的渐近线方程为( ) A .43y x =± B .34 y x =? C .3 5 y x =± D .53 y x =± 6.在△ABC 中,a =5,b =3,则sin A :sin B 的值是( ) A . 53 B . 35 C . 37 D . 57 7.圆C 1:x 2+y 2=4与圆C 2:x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12=0的公共弦的长为( ) A 2B 3 C .22 D .328.若干年前,某教师刚退休的月退休金为6000元,月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼,目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元,则目前该教师的月退休金为( ).2019年高考数学试题带答案
2020高考数学专题复习----立体几何专题