一、简答题
1、如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于P 点． （1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠P 的度数； （2）若∠A=60°，求∠P 的度数；
（3）那么∠A 和∠P 有什么样的数量关系？请简述理由． 2、已知△ABC 中，∠A=30°．(8分)
(1)如图①，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC= °． (2)如图②，∠ABC 、∠ACB 的三等分线分别对应交于O 1、O 2，则∠BO 2C= °.
(3)如图③，∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n-1（内部有n-1个点），求∠BO n-1C （用n 的代数式表示）． (4)如图③，已知∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n-1， 若∠BO n-1C=60°，求n 的值．
3、如图18，△ABC 中，BE ，CD 为角平分线且交点为点O ，
（1）当∠A=600
时，求∠BOC= ；
（2）当∠A=1000
时，求∠BOC 的度数； （3）若∠A=α0时，请直接写出∠BOC 的度数。 4、如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线， （1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED 的度数； （2）作出△BED 的BD 边上的高；
（3）若△ABC 的面积为60，BD=5，则点E 到BC 边的距离为多少？
5、如图，在△ABC 中，CE ，BF 是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF 与∠FBC 的度数．
6、Rt △ABC 中，∠C=90°，点D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，点P 是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α． （1）若点P 在线段AB 上，如图①，且∠α=50°，则∠1+∠2= ；
（2）若点P 在斜边AB 上运动，如图②，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ；
（3）如图③，若点P 在斜边BA 的延长线上运动（CE ＜CD ），请直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系： ； （4）若点P 运动到△ABC 形外（只需研究图④情形），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．
7、我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I ，过I 作DE ⊥AI 分别交AB 、AC 于点D 、E ．
（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）
（2）从上表中你发现了∠BIC 与∠BDI 之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．
8、生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
（1）图1中的∠ABC 的度数为 ．
（2）图2中已知AE ∥BC ，则∠AFD 的度数为 ．
9、 在中，
，点在
上，且.
求各角的度数.
10、如图，在△ABC 中，∠A=2∠C ，D 是AC 上的一点，且BD ⊥BC ，P 在AC 上移动． （1）当P 移动到什么位置时，BP=AB ． （2）求∠C 的取值范围．
11、已知如图①，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，
（1）若∠A =70°，则∠BOC = ，试判断∠BOC 与∠A 存在的某种等量关系并证明； （2）如图②，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点O 1、O 2，则
根据以上信息解决下列问题：
①试找出它们的规律（n 等分时，内部有n-1个点），
n 等分时∠BO 1C = ，∠BO n-1C = .（用含n 的式子表示）， ②根据你的猜想，取n=4时，证明∠BO 3C 表达式任然成立．
12、如图1，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于O 点，过O 点作BC 平行线交AB 、AC 于E 、F. (1)请写出图1中线段EF 与BE 、CF 间的关系，并说明理由.
(2)如图2，△ABC 中∠ABC 的平分线与△ABC 的外角平分线交于O ，过点O 作BC 的平行线交AB 于E ，交AC 于F.这时
EF 与BE 、CF 的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由
.
二、选择题
13、．如图三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，则∠γ与∠α+∠β之间的关系是（ ） A ．∠γ=∠α+∠β B ．2∠γ=∠α+∠β C ．3∠γ=2∠α+∠β D ．3∠γ=2（∠α+∠β）
14、如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为( )
A.15°
B.17.5°
C.20°
D.22.5°
15、如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE+CF 的大小关系是（ ）
A ．EF=BE+CF
B ．EF ＞BE+CF
C ．EF ＜BE+CF
D ．不能确定
16、如图，A ，B ，C ，D ，E ，F 是平面上的6个点，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数是（ ）
A.180°
B.360°
C.540°
D.720°
17、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（）A． 90° B． 135° C． 270° D． 315°
18、已知?ABC
（1）如图l，若P 点是ABC 和ACB
的角平分线的交点，则P=；
(2)如图2，若P 点是ABC
和外角ACE
的角平分线的交点，则P
=；
(3)如图3，若P
点是外角CBF 和BCE
的角平分线的交点，则P=
上述说法正确的个数是（）
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
三、填空题
19、如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=________.
20、三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，连接AP，若∠BPC=130°，则∠BAP= 。
21、把图1的△ABC沿着DE折叠,得到图2,
（1
）填空：（填“＜”,“＞”或“＝”）
（2）当∠ A=40°时,
= 度。
22、如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若已知∠2＝65°，则∠1＝__________。
23、如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得
∠A2；…∠A2 014BC和∠A2 014CD的平分线交于点A2 015，则∠A2 015= 度
.
参考答案
一、简答题
1、【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】注意充分运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和以及角平分线的概念，推导得出∠P和∠A之间的关系．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠A=60°．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=100°．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC=20°，∠PCD=50°，
∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD﹣∠PBC=30°；
（2）∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD﹣∠PBC．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC=，∠
PCD=．
∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠
P=（∠A+∠ABC
）﹣
==30°；
（3
）．
理由：∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD﹣∠PBC．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠
PBC=，∠
PCD=．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠
P=（∠A+∠ABC
）﹣
=．
【点评】特别注意此题发现的结论：∠
P=∠A．
2、（1）105
（2）80
（3）
（4）n=5
3、（1）120°…2′（2）140°…5′（3）∠BOC=90°+α…3′
4、（1）50°（2）略（3）6
5、【考点】直角三角形的性质．
【分析】在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF中∠FBC=40°求得∠FBC的度数．
【解答】解：在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，
∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，
又∵∠BCE=30°，
∴∠ACB=50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC=40°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
6、【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】探究型．
【分析】（1）连接PC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出．
【解答】解：（1）如图，连接PC，
∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，
∴∠1+∠2=50°+90°=140°，
故答案为：140°；
（2）连接PC，
∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，∵∠C=90°，∠DPE=∠α，
∴∠1+∠2=90°+∠α；
故答案为：∠1+∠2=90°+∠α；
（3）如图1，
∵∠2=∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1=90°+∠α；
如图2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；
如图3，∵∠2=∠1﹣∠α+∠C，
∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°．
故答案为；∠2﹣∠1=90°+∠α；∠2=∠1+90°；∠1﹣∠2=∠α﹣90°．（4）
∵∠PFD=∠EFC，
∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，
∴∠2=90°+∠1﹣α．
故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．
7、【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．
【分析】（1）通过画图、度量，即可完成表格；
（2）先从上表中发现∠BIC=∠BDI，再分别证明∠BIC=90°
+∠BAC，∠BDI=90°
+∠BAC．【解答】解：（1）填写表格如下：
（2）∠BIC=∠BDI，理由如下：
∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，
∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣
=90+∠BAC；
∵AI平分∠BAC，
∴∠DAI=∠DAE．
∵DE⊥AI于I，
∴∠AID=90°．
∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°
+∠BAC．
∴∠BIC=∠BDI．
8、【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【分析】（1）由∠F=30°，∠EAC=45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC=90°，易得∠ABC的度数；
（2）首先根据三角形内角和为180°，求得∠C的度数，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数．
【解答】解：（1）∵∠F=30°，∠EAC=45°，
∴∠ABF=∠EAC﹣∠F=45°﹣30°=15°，
∵∠FBC=90°，
∴∠ABC=∠FBC﹣∠ABF=90°﹣15°=75°；
（2）∵∠B=60°，∠BAC=90°，
∴∠C=30°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠C=30°，
∴∠AFD=∠CAE+∠E=30°+45°=75°．
故答案为：75°，75°．9
、解：∵,
∴
……………2分
设，则
∴……………5分在中，
∴……………7分
∴
,……………8分
10、解：（1）∵BD⊥BC，
∴△DBC是直角三角形，
当P移动到DC的中点时，DP=PC=BP，
∴∠C=∠PBC，∠APB=∠C+∠PBC=2∠C，
又∵∠A=2∠C，
∴∠A=∠APB，
∴△ABP是等腰三角形，
∴BP=AB；
（2）根据三角形的外角性质，在△ABD中，∠BDC＞∠A，
∵∠BDC+∠C=90°，
∴∠A+∠C＜90°，
即2∠C+∠C＜90°，
解得0°＜∠C＜30°．
11、解：（1）∠BOC= 125°，………………2分
证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
∴，
在△BOC 中，，
……………………6分
（2
）①…10分
②证明：当n=4时，
∴表达式任然成立。………………..14分
12、(1)EF=BE+CF.理由如下：
∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC.
∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，∴EO=BE.
同理可证：OF=CF.
∴EF=BE+CF.
(2)EF=BE-CF.理由如下：
理由：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC.
∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC,
∴∠ABO=∠EOB.∴EO=BE.
同理可得：OF=CF.
∴EF=OE-OF=BE-CF.
二、选择题
13、B【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】根据三角形的内角和定理表示出∠1+∠2，再根据折叠前后的两个图形能够完全重合，然后利用平角等于180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：如图，∠1+∠2=180°﹣∠γ，
∵三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，
∴∠α+2∠1+∠β+2∠2=180°×2，
即∠α+∠β+2（∠1+∠2）=360°，
∴∠α+∠β+360°﹣2∠γ=360°，
∴2∠γ=∠α+∠β．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换，利用整体思想根据平角等于180°列出算式是解题的关
键．
14、A 解析：如图，∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
即∠3+∠4=∠A+∠1+∠2，
∴ 2∠4=2∠2+∠A.
∵∠4=∠2+∠D，∴∠A=2∠D,
∴∠D=∠A=×30°=15°.故选A. 点拨：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和这一性质进行分析.
15、A【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】由平行的性质和角平分线的定义可得ED=BE，DF=CF，可得到EF=BE+CF．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=BE，同理可得FD=CF，
∴EF=ED+DF=BE+CF，
故选A．
16、B
17、C．
18、C
三、填空题
19、135°解析：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1=∠DBE.
又∵∠DBE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．
∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．
20、
40
21、= ，220
22、130
23、
三角形中的边角关系 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A ．1，1，2 B ．3，7，11 C ．6，8，9 D ．3，3，6 2、下列语句中，不是命题的是（ ） A ．两点之间线段最短 B ．对顶角相等 C ．不是对顶角不相等 D ．过直线AB 外一点P 作直线AB 的垂线 3、下列命题中，假命题是（ ） A ．如果|a|=a ，则a ≥0 B ．如果 ，那么a=b 或a=-b C ．如果ab>0，则a>0，b>0 D ．若，则a 是一个负数 4、若△ABC 的三个内角满足关系式∠B ＋∠C=3∠A ，则这个三角形（ ） A ．一定有一个内角为45° B ．一定有一个内角为60° C ．一定是直角三角形 D ．一定是钝角三角形 5、三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 6、下列命题中正确的是（ ） A ．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形 B ．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角 C ．三角形外角一定是钝角 D ．△ABC 中，如果∠A>∠B>∠C ，那么∠A>60°，∠C<60° 7、若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（ ） A ．3：2：1 B ．5：4：3 C ．3：4：5 D ．1：2：3 8、设三角形三边之长分别为3，8，1－2a ，则a 的取值范围为（ ） A ．－6
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 §13.1 三角形中的边角关系 第2课时 三角形的内角和 授课人：王锡山 时间：2014年11月12日 教学内容：教材第69～71页 教学目标： 1、知识与技能 ①掌握三角形的内角和定理 ②能应用三角形的内角和定理解决一些简单的实际问题 2、过程与方法 经历实验探究，得出三角形的内角和定理 3、情感、态度与价值观 ①通过带领学生探究三角形的角的数量关系，引起学生的好奇心，激发学生的求知欲 ②发展学生的合情推理能力，使学生养成独立思考的习惯 教学重难点： 重点：三角形的内角和定理 难点：三角形内角和定理的探究过程 教学过程： 一、创设情境，导入新知 师：上节课我们把三角形按边进行了分类，并研究了三角形三边之间的关系，同学们还记得三角形三边之间的关系吗？ 教师指定学生回答并给予评价 师：如果按角来分呢？ 学生思考后回答，教师总结并给出定义。 锐角三角形：三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 钝角三角形：三角形中，有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 直角三角形：三角形中，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 在直角三角形中，夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC 可以写成“ABC Rt ?”。 三角形按角分，可分为： ?? ??????钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形 情境：三角形三兄弟之争（出示课件） 学生思考讨论，教师提示：三角形三个内角的度数之和叫做三角形的内角和。 （板书）三角形的内角和 二、共同探究，获取新知 活动一：①量一量上述三个三角形的三个内角的度数并标注（测量时要认真，力求准确）
三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π ， 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B )， cos 2 C =sin( 2 A + 2 B )， tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 （a+b+c ） 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ，sinB=2b R ，sinC= 2c R a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列，则B=3 π 三边成等差数列，则0 教学目标 1、了解三角形的概念，掌握分类思想。 2、经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。 3、让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三 边关系在现实生活中的实际价值。 重点、难点 了解三角形的分类，弄清三角形三边关系；对两边之差小于第三边的领悟 考点及考试要求 考点1：三角形边与边的关系 考点2：三角形角与角的关系 考点3：三角形边与角的关系 教 学 内 容 第一课时 三角形边角中的边角关系知识梳理 1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ） A ．1cm ，2cm ，4 cm B ．8 crn ，6cm ，4cm C ．12 cm ，5 cm ，6 cm D ．2 cm ，3 cm ，6 cm 2.等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（ ） A ．15cm B ．20cm C ．25 cm D ．20 cm 或25 cm 3.如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=6，AC=35，AD=2，∠D=90○， 求CD 的长和四边形 ABCD 的面积． 4.三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三角形外角 中，最多有______个钝角，最多有______个锐角． 5.两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm 的范围是__________ 三角形边角性质主要的有： 1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成 一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下： 知识梳理 课前检测 三角形中的边角关系 知识点 一、 边 1、基本概念（三角形的定义、 边、 顶点、 △、 Rt △） 2、按边对三角形的分类：≠?? ?????? 不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形 ☆3、三边关系： （1）任意两边之和大于第三边 （2）任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角 1、基本概念（ 内角、外角、∠ ） 2、按角对三角形的分类：???? ???? 锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形 3、三角形的内角和 （1）三角形三个内角和等于180° （2)直角三角形的两个锐角互余 （3）一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角） 三、线 1、中线 (1) 定义 （2） 重心 （3）中线是线段 （4） 表述方法 2、高线 （1）定义 （2）垂心 (3）高是线段，垂线是直线 （4）表示方法 （5）3种高的画法 3、角平分线 （1）定义 (2)外心 （3）画法 （4）表示方法 四、数三角形的个数 （1）图形的形成过程 （2）三角形的大小顺序 （3）按某一条边沿着一定的方向 （4）固定一个顶点，按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数 基础练习 1、图中有____个三角形；其中以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有______________；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________. 2、用集合来表示“用边长把三角形分类”，下面集合正确的是（ ） A B C D 3、若三角形的三边长分别为3,4，x -1，则x 的取值范围是_________________________ 三角形中的边角关系知识点梳理 一、边 1、基本概念（三角形、边、顶点的定义；三角形的符号表示） 2、按边对三角形的分类：≠ ? ? ?? ? ??? 不等边三角形 三角形腰底 等腰三角形 等边三角形 ☆3、三边关系： （1）任意两边之和大于第三边（2）任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角 1、基本概念（角、外角） 2、按角对三角形的分类： ?? ?? ? ? ?? 锐角三角形 斜三角形 三角形钝角三角形 直角三角形 3、三角形的角和 （1）三角形三个角和等于180°；（2)直角三角形的两个锐角互余； （3）一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角。 三、线 1、中线 (1) 定义（2）重心（3）中线是线段（4）表示方法 2、高线 （1）定义（2）垂心(3）高是线段，垂线是直线（4）表示方法 （5）钝角三角形高的画法 3、角平分线 （1）定义(2)外心（3）画法（4）表示方法 四、方法技能 归纳法在规律探索中的应用。 基础练习 第1题-（1）第1题-（2）第1题-（2） 1、（1）以AB为边的三角形有______________；含∠ACB的三角形有；在△BOC中，OC的对角是___________；∠OCB的对边是___________. （2）图（1）中三角形的个数是____________;★图（2）中三角形的个数是____________。 2、三角形按角分类可以分为（） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形； C ．直角三角形、等边直角三角形； D ．以上答案都不正确 3、一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是___________________________ 4、若三角形的三边长分别为3,4，x -1，则x 的取值围是_________________________ 5、有3cm,6cm,8cm,9cm 长的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成_____个三角形 6、已知,,a b c 是ABC 的三条边，且()()0a b c a b ++-=，则ABC 是__________三角形 7、下列说确的是_____________________ （1）等边三角形是等腰三角形； （2）三角形的两边之差大于第三边； （3）有两边相等的三角形一定是等腰三角形； （4）一个钝角三角形一定不是等腰三角形。 8、若一个三角形的三个角之比为2:3:4，那么这个三角形是____________三角形。 9、已知△ABC 的面积是182 cm ,AD 是△ABC 的中线，则△ADC 的面积是___________ （第10题） （第11题） （第12题） 10、作出图中三角形的所有的高。 11、如图，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 比△ACD 的周长大6cm ，则AB 与AC 的差为________cm. 12、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，GC ⊥BC ，CF ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、C 、F 、E ，则: （1）在△ABC 中BC 边上的高是 ，AB 边上的高是 ;AC 边上的高是 ； （2）CF 还是哪些三角形的高？ 提升练习 专题训练一 三角形的三边关系 1、若,,a b c 是ABC 的三边长，请化简a b c b c a c a b --+--+-- 2、设三角形的三条边长为整数,c a b ， ，且a b c ≤≤，当4b =，满足条件的三角形共有多少个？其中等腰三角形有多少个？等边三角形有多少个？ 三角内角与外角典型题 1、①求下图各角度数之和。 ②如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________． 2、如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE、CF相交于点G，∠BDC=140°，∠BGC=110°。求∠A的 度数。 3、如图△ABC中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°，∠ACB=62°,求∠DFE的大小。 4、△ABC中，AD、BE、CF是角平分线，交点是点G，GH⊥BC。求证：∠BGD=∠CGH. A 2 1 P C B A 5.如图，已知CE 为△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，CE 交BA 的延长线于点E ， 求证：∠BAC > ∠B 6、△ABC 中，∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE 是AB 上的高，∠BHC=135° 求证：BD ⊥AC 7、三角形的最大角与最小角之比是4：1，则最小内角的取值范围是多少？ 8．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ． 9.如图，在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB ，∠A = 40°，P 是△ABC 内一点，且∠1 = ∠2．则∠BPC =________。 10.锐角三角形ABC 中，3条高相交于点H ，若∠BAC ＝70°，则∠BHC ＝_______ 11、如图，BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，AB、CD交于点O，且∠A=48?，∠D=46?，则∠BEC= 。 12.已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 13. △ABC的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 14、若?ABC的三个内角满足3∠A>5∠B，3∠C<2∠B，则三角形是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．都有可能 学生做题前请先回答以下问题 问题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=________，cosA=________，tanA=________． 问题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A越大，正弦sinA______，余弦cosA______，正切tanA______． 问题3：默写特殊角的三角函数值： 问题4：计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理． 直角三角形的边角关系 一、单选题(共14道，每道7分) 1.式子2cos30°-tan45°-的值是( ) A. B.0 C. D.2 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 2.如果△ABC中，，则下列说法正确的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 3.已知为锐角，且，那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性 4.如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=，则AC等于( ) A.3 B.4 C. D.6 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：解直角三角形 5.在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，，则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 八年级数学上册:三角形中角的关系练习(含答案) 一、选择题 1．一个三角形的两个内角和小于第三个内角,这个三角形是（ ）三角形． A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．等腰 2．三角形的三个内角（ ） A ．至少有两个锐角 B ．至少有一个直角 C ．至多有两个钝角 D ．至少有一个钝角 3．一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和,这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．何类三角形不能确定 4．一个三角形的两个内角之和小于第三个内角,那么该三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．都有可能 5．一个三角形的三个内角的度数比是1:2:1,这个三角形是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 6．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2=（ ） A ．90° B ．100° C ．130° D ．180° 7．如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D 点,∠A=50°,则∠D=（ ） A ．15° B ．20° C ．25° D ．30° 8．如图,直线l1∥l2,∠1=40°,∠2=65°,则∠3=（ ） A ．65° B ．70° C ．75° D ．85° 二、填空题 （第6题） （第7题） （第8题） （第9题） 9.如图,AE 是△ABC 的角平分线,AD⊥B C 于点D,若∠BAC=128°,∠C=36°,则∠DAE 的度数是_______ 10.如图,将三角尺的直角顶点放在直线a 上,a∥b ,∠1=50°,∠2=60°,则∠3的度数为_______11.（2008?沈阳）已知△ABC 中,∠A=60°,∠AB C 、∠ACB 的平分线交于点O,则∠BOC 的度数为________度． 12.如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点D 、E 分别是边AB 、AC 上,将△ABC 沿着DE 折叠压平,A 与A'重合,若∠A=70°,则∠1+∠2=____________. 13.一个角是80°的等腰三角形的另两个角为____________. 14.如图,已知,AB∥CD ,直线EF 分别交AB,CD 于E 、F,点G 在直线EF 上,GH⊥AB ,若∠EGH=32°,则∠DFE 的度数为____________. 15.如图,将∠BAC 沿DE 向∠BAC 内折叠,使AD 与A′D 重合,A′E 与AE 重合,若∠A=30°,则∠1+∠2=________． 16.如图,已知点P 是射线ON 上一动点（即P 可在射线ON 上运动）,∠AON=30°, （第10题） （第12题） （第14题） （第15题） （第16题） （第17题） 三角形㈠ 一、考点链接 ㈠三角形的分类： 1．按边分： 2. 按角分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 ㈡三角形中的主要线段： 三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) ㈢三角形的性质： 1．三角形中任意两边之和 第三边，两边之差 第三边． 2．三角形的内角和为 180° ． 3.外角与内角的关系：⑴ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ； ⑵ 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 ． 二、课前热身 1. （2011昆明）如图，点D 是△ABC 的边BC 延长线上一点，∠A =70o，∠ACD =105o，则∠B =________．35° 2． 如图在△ABC 中，AD 是高线，AE 是角平分线，AF 是中线. (1) ∠ADC ＝ ＝90°； (2) ∠CAE ＝ ＝12 ； (3) CF ＝ ＝1 2 ； (4) S △ABC ＝ ． 3.（07临沂）如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点D 、E 分别在AB 、AC 上，则∠1＋∠2的大小为（ ） A ．130° B .230° C .180° D .310° 4. （2011南通）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是 A. 3，8，4 B. 4，9，6 C. 15，20，8 D. 9，15，8 1. （2011济南）（1）如图1，△ABC 中，∠A = 60°，∠B ∶∠C = 1∶5．求∠B 的度数． C B A 2 1 A 三、典例精析 考点一：三角形的边之间的关系 1.以长度5厘米，7厘米，9厘米，13厘米中的三条线段为边能够组成的三角形的个数共有（ ） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 2．在△ABC 中，BC=20，AB=2x ，AC=3x ，则x 的取值范围是 。 3．下面五组线段的长度之比为：①2∶3∶4；②3∶4∶7；③7∶4∶2；④4∶2∶6；⑤7∶10∶2，其中能组成三角形的有 组，它们是 ． 4. 若三角形的三边长分别为x-1,x,x+1，则x 的取值范围是 . 5.（2011河北）已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．13 6．已知一个三角形的三边的长为5，10，2-a ，则a 的取值范围是 ． 7、若三角形中两条边的长分别为4厘米和1厘米，则第三边x 的长的范围是 ；周长l 的范围是 ；若周长为奇数，则第三边的长为 。 考点二：三角形的角之间的关系 1．已知三角形的三个外角的比为2∶3∶4，则这个三角形的三个内角之比为 。 2．一个外角等于它相邻的内角，这个三角形是 三角形；一个外角小于它相邻的内角，这个三角形是 三角形，每个外角都是钝角，这个三角形是 三角形． 3.（2011东营）一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是（ ） A ． 75 B ． 60 C ． 65 D ． 55 4、如图，∠A=20°，∠C=27°，∠D=45°，则∠ABC= 度。 5、如图，试求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 。 6. （2011山东济宁，3，3分）若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶4，那么这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 7、如图，已知∠A=∠30°，∠BEF=105°，∠B=20°，则∠D= 。 8.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ，∠B=500 ，求∠AEC 的度数. 9、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°． 2020中考数学专题练习：三角形的边角关系 （含答案） 1．已知在△ABC中，∠A＝70°－∠B，则∠C＝() A．35° B．70° C．110° D．140° 2．已知如图1中的两个三角形全等，则角α的度数是() 图1 A．72° B．60° C．58° D．50° 3．如图2，∠A，∠1，∠2的大小关系是() A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 图2 图3 4．王师傅用四根木条钉成一个四边形木架，如图3.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条() A．0根B．1根C．2根D．3根 5．下列命题中，真命题的是() A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等腰直角三角形都全等 6．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4,9,12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是() A B C D 7．不一定在三角形内部的线段是() A．三角形的角平分线B．三角形的中线 C．三角形的高D．三角形的中位线 8．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图3所示，则能说明∠AOC ＝∠BOC的依据是() A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等 图3 图4 9．如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝________cm. 10．如图5，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB.求证：BD＝CE. 图5 11．如图6，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF. 图6 三角形中边与角之间的不等关系 《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计教学目标： 1. 通过 实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系； 2. 通过实验探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略； 3. 提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣。教学重点：三角形中边与角之间的不等关 系及其探究过程。教学难点：如何从实验操作中得到启示，写成几 何证明的表达。教具准备：三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。教学过程一、知识回顾 1. 等腰三角形具有什么性质？ 2. 如何判定一个三角形是等腰三角形？从这两条结论来看，今后要在同 一个三角形中证明两个角相等，可以先证明它们所对的边相等；同样要证明两条边相等可以先证明它们所对的角相等。二、引入新课问题：在三角形中不相等的边所对的角之间又有怎样的大小关系呢？或者不相等的角所对的边之间大小关系又怎样？方法回顾：在探究 “等边对等角”时，我们采用将三角形对折的方式，发现了“在三角形中相等的边所对的角相等”，从而利用三角形的全等证明了这些性质。现在请大家拿出三角形的纸片用类似的方法探究今天的问题。三．探究新知实验与探究1：在△ABC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC沿∠BAC的平分线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，即AE=AC，这样得到∠AED=∠C，再利用∠AED是△BDE的外角的关系得到∠AED>∠B，从而得到∠C>∠B。由上面的操作过程得到启示， 请写出证明过程。（提示：作∠BAC的平分线AD，在AB边上取点E，使AE=AC，连结DE。）形成结论1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。思考：是否还 有不同的方法来证明这个结论？ 实验与探究2：在△ABC中，如果∠C>∠B，那么我们可以将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠，使点B落在点C上，即∠MCN=∠B,于是MB=MC，这样AB=AM+MB=AM+MC>AC. 由上面的操作过程得到启示，请写出证明过程。 形成结论2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边 14.1 三角形中的边角关系（1） -------边的关系 1.三角形的概念 2.三角形的表示方法及分类 3.三角形三边之间的关系 1．了解三角形的概念，掌握分类思想。 2．经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。 3．让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。 三教学重难点： 1.重点：了解三角形的分类，弄清三角形三边关系 2.难点：对两边之差小于第三边的领悟 四教学准备： 1.教师准备：多媒体课件 2.学生准备：四根小木条 五课时安排： 一节课 六教学过程： （一）创设情境，探究新知 1.请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的图形三角形，引入课题 我们在日常生活中几乎随处可见三角形，它简单、有趣，也十分有用。三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界，可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。 （二）合作交流，探究新知 你能画一个三角形吗? 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 3.自学指导： 认真看书67页的内容。注意三角形边的表示方法。 并思考下面问题： （1）知道三角形的顶点,边,角等概念,会用几何符号表示一个三角形; （2）会把三角形按边进行分类,知道每类三角形的特征; （3）知道等腰三角形的腰,底边,顶角,底角等概念; 依次向学生介绍有关知识 4.巩固练习（多媒体展示） 5.合作探究三角形的三边关系 有这样的四根小棒（6cm、8cm、12cm、18cm）请你任意的取其中的三根，首尾连接，摆成三角形。 （1）有哪几种取法? （2）是不是任意三根都能摆出三角形？若不是，哪些可以？哪些不可以？ （3）用三根什么样的小棒才能拼成三角形呢?你从中发现了什么？ 小组活动：学生自主探索并合作交流满足怎样的数量关系的三根小棒能组成三角形； 我们可以发现这四根小棒中，如果较短的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。 这就是说：三角形中任何两边的和大于第三边 三角形中任意两边的差与第三边有什么关系?你能根据上面的结论,利用不等式的性质加以说明吗? 三角形中任何两边的差小于第三边 6.讲解例题 例1 ：例：一根木棒长为7，另一根木棒长为2，若要围成三角形，那么则第三根木棒长度应在什么范围呢？ 解：设第三条边长为a cm，则 7－2＜a＜7＋2 即5＜a＜9 结论：其它两边之差< 三角形的一边< 其它两边之和 例2：已知：等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长？ 解（1）设等腰三角形的底边长为4 cm，则腰长为x cm。根据题意，得 x+x+4=18 解方程，得 x=7 2020中考数学几何专项突破 三角形的边角关系（含答案） 典例探究 例1 如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．70°B．55°C．50°D．40° 例2 如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为（） A．30° B．60° C．90° D．45° 例3 如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（） A.2 B.4 C.6 D.8 巩固练习 1.下列命题中,错误的是: ( ) A.三角形两边之差小于第三边. B.三角形的外角和是360°. C.三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分. D.等边三角形即是轴对称图形,又是中心对称图形. 2．下面四个结论中，正确的是（） A. 三角形的三个内角中最多有一个锐角 B. 等腰三角形的底角一定大于顶角 C. 钝角三角形最多有一个锐角 D. 三角形的三条内角平分线都在三角形内 3.下列说法正确的是（） 三角形的角平分线是射线。 B、三角形三条高都在三角形内。 三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外。 D、三角形三条中线相交于一点。 4.如图(1)，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整。若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？ (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 10 。 5.若一个三角形三个内角度数的比为2:3:4，那么这个三角形是 A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 6.已知a、b、c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a、b、c为边能组成的三角形是： ①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是．（只填序号） 7.如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交 于点．已知，则的度数为（） A． B． C． D． 8.已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（） A．4cm B．5cm C．6cm D．13cm 9.下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A．1cm， 2cm， 3．5cm； B．4cm， 5cm， 9cm C．5cm，8cm， 15cm D．6cm，8cm， 9cm Rt ABC △ο 90 = ∠B ED AC AC D BC Eο 10 = ∠BAE C ∠ ο 30ο 40ο 50ο 60 A D C E B 《三角形中的边角关系》测试卷 一、选择题 1、三角形的三边分别为3，1-2a,8,则a 的取值范围是（ ） 三角形边角关系及三线练习题 典型例题 【例1】 已知三角形的三边长分别为4、5、x ，则x 不可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 1. 【例2】 一个三角形的三条边中有两条边相等，且一边长为4，还有一边长为9，则它 的周长为（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 相关变形：一等腰三角形两边长分别为3，5，试求该三角形的周长。 等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A.150° B.80° C.50°或80° D.70° 【例3】 如图SX —02，AD ⊥BC ，则图中以AD 为高的三角形有___________个。 【例4】 如图SX —03，已知线段AD 、AE 分别是△ABC 的中线和高线，且AB=5cm ，AC=3cm ， (1) △ABD 与△ACD 的周长之差为_________；(2) △ABD 与△ACD 的面积关系为__________。 【例5】 已知△ABC 中，给出下列四个条件：(1) ∠A+∠B=∠C; (2) ∠A=90°－∠B; (3) ∠A ：∠B ：∠C=1：1：2; (4) ∠A ：∠B ：∠C=1：2：3. 其中能够判定△ABC 是直角三角形的有（ ）个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【例6】 如图SX —04，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，AB=13cm ，BC=12cm ，AC=5cm ，求：(1) △ABC 的面积； (2) CD 的长。 【例7】 如图SX —05，△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点P ，且∠BPC=130°，求∠ BAC SX — 02 SX —03 SX — 04 1、如图,BE是ZABD的平分线,CF是ZACD的平分线,BE、CF相交于点G, ZBDC=140° , ZBGC=110° o 求ZA 的度数. 2、如图,已知P是Z\ABC内一点，连结AP, PB, PC 求证:(1) PA+PB+PC > - (AB+AC+BC) 2 (2) PA+PB+PC < AB+AC+BC 4、如图1,在厶ABC中，AD丄BC,AE是角平分线， (1)求ZDAE与ZB、ZCZ间的关系； (2)如图2,AE是ZBAC的角平分线,FD垂直于BC于D,求ZDFE与ZB、ZC之间的关系. (3)如图3,当点F在AE延长线上时，FD仍垂直于BC于D,继续探讨ZDFE与ZB、ZC的关 系A 5、如图Z\ABC 中，ZBAD=ZCBE=ZACF, ZABC=506 , ZACB=62°，求ZDFE 的大小. 6、AABC中，AD、BE、CF是角平分线，交点是点G, GH丄BC 求证：ZBGD=ZCGH. A 7、如图，厶0y=90°，点A、B分别在坐标轴Ox、Oy上移动,BF是ZABP的平分线,BF的反向延 反线与ZOAB的平分线交于点C,求证ZACB的度数是定值. 8、在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A在第一象限， 点B是x正半轴上一点。过点0做OD〃AB, ZBA0的平分线与 ZM0D的平分线相交于点Q, 求仝竺的值 ZAON 9、直角坐标系中，0P平分ZXOY, B为 Y轴正半轴上一点，D为第四象限内一点, BD 交x 轴于C , DE // 0P 交x 轴于点E , BCE交0P于A, ZBDE的平分线交0P于G,交直线AC于 M,如图 求证2ZOGD - ZOED ZOAC 为定值 CA 平分Z D 直角三角形的边角关系知识考点 知识讲解: 1.锐角三角函数的概念 如图，在ABC中，∠C为直角，则锐角A 的各三角函 数的定义如下： (1)角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA， 即sinA＝ (2)角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA， 即cosA＝ (3)角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA， 即tanA＝ (4)角A的余切：锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA， 即cotA＝ 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2 (2)锐角之间的关系：A＋B＝90° (3)边角之间的关系： sinA＝cosB ＝， cosA＝sinB ＝ tanA＝cotB ＝， cotA＝tanB ＝ 3.三角函数的关系 (1)同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1 2)倒数关系：tan A·c otA＝1 3)商的关系：tanA ＝，cotA ＝ (2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA tan(90°－A)＝cotA， cot(90°－A)＝tanA 4．一些特殊角的三角函数值 0°30°45°60°90°sinα01 cosα10 tanα01----- cotα-----10 5．锐角α的三角函数值的符号及变化规律. (1)锐角α的三角函数值都是正值 (2)若0＜α＜90°则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小. 6．解直角三角形 (1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角. (2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形. 7．解直角三角形的应用， 解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念： (1)仰角、俯角 视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角 (2)坡度=坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示， 直角三角形的边角关系测试题 1、在Rt △ABC 中，∠A=90o，AB=6，AC=8，则sinB= ，cosC= 2、在△ABC 中，∠B=90o，2 1 cos =C ，则∠C= 3、在△ABC 中，∠C=90o，∠A=60o，AC=34，则BC= 4、在△ABC 中，∠C=90o，BC=3，AB=32，则∠A= 5、在△ABC 中，∠C=90o，若tanA= 2 1 ，则sinA= 6、在△ABC 中，若∠C=90o，∠A=45o，则tanA+sinB= 7、如图1，在△ABC 中，∠C=90o，∠B=30o，AD 是∠BAC 的平分线。已知AB=34， 那么AD= 8、正方形ABCD 中，AM 平分∠BAC 交BC 于M ，AB=2，BM=1，则cos ∠MAC= 9、如果3)20tan(3=?+α，那么锐角α= 10、某校数学课外活动小组的同学测量英雄纪念碑的高，如图2所示，测得的数据为： BC=42m ，倾斜角o?=30α，测得测角仪高CD=1.5m ，则AB= 。（结果保留四位 有效数字） 11、在△ABC 中，∠C=90o，BC=5，AC=12，则tanA=（ ） A 、512 B 、125 C 、513 D 、13 5 12、在Rt △ABC 中，∠C=90o，5 3 cos = A ，AC=6cm ，则BC=（ ）cm A 、8 B 、4.8 C 、3.6 D 、1.2 13、菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BD=6cm ，那么=2tan A （ ） A 、53 B 、54 C 、34 343 D 、34345 14、已知：如图3，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=45o，∠C=120o，AB=8，则CD 的长为（ ） A 、 638 B 、64 C 、238 D 、24 15、在平面直角坐标系内P 点的坐标为（cos30o，tan45o），则P 点关于y 轴对称点A 的坐标为（ ） A 、（ 23，1） B 、（—1，23） C 、（1,23-） D 、（1,2 3 --） 16、若等腰三角形的腰长为10cm ，顶角为60o，则等腰三角形的面积为（ ）cm 2 A 、25 B 、325 C 、350 D 、50 17、如图4，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么滑梯长l 为 A ． h sin a B ． h tan a C ． h cos a D ． h ·sin a 18、在△ABC 中，∠A 、∠B 均为锐角，且0)3sin 2(3tan 2 =-+-A B ，则△ABC 是（ ） A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 19、河堤横断面如图5所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1：3（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ） A ．53米 B ．10米 C ．15米 D ．103米 20、计算：（1）、?+?+?-?45tan 30cos 230tan 330sin （2）、?-?+? -? -?60tan 45tan 30sin 160cos 45cos 222 图2 a C A E B D A B 图1 B C D A 图3 图4 图5三角形边角中的边角关系一对一辅导讲义
(完整word版)沪科版八年级数学三角形中的边角关系
三角形中的边角关系
三角形边角关系培优训练经典
直角三角形的边角关系(含答案)
八年级数学上册：三角形中角的关系练习(含答案)
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三角形中边与角之间的不等关系
三角形边角关系教案
2020中考数学 几何专项突破：三角形的边角关系(含详解版)
三角形中的边角关系测试卷
三角形边角关系专项练习
三角形边角关系-经典例题.docx
直角三角形的边角关系知识点
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