课题21.3二次根式的加减(1)
第一课时
【教学目标】
1．知识技能：能够正确进行简单的二次根式加减法的运算.
2．解决问题：通过二次根式加减法运算培养学生运算能力.
3．数学思考：通过整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较体会类比思想.
4．情感态度：通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学 习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣.
【教学重难点】
1． 重点：二次根式加减法的运算.
2． 难点：探讨二次根式加减法运算的方法,快速准确进行二次根式加减法 的运算.
【课前预习】
1.在12,b a 245, x 30, x 3x
y 中最简二次根式的有哪些？请把不是最简二次根式的化为最简二次根式
2.计算下列各式．
（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2； （3）x+2x+3y ； （4）3a 2-2a 2+a
3 3.仿照上式计算下列各式．
（1）（2）
（3（4）4.由上题可以得出二次根式加减法运算法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，?再将被开方数 的二次根式进行合并．
〖设计说明〗 1.通过第一题的练习让学生巩固最简二次根式的概念和化为最简二次根式的方法
2.通过第二题的练习让学生认识到他们是我们所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．
3.由第三题可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如的，但它们可以合并吗？也可以．
3 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【教学设计】
一．预习交流
1.教师检查学生预习作业，并且问学生：
①合并同类项叫最简二次根式？如何化为最简二次根式？
②什么叫同类项？合并同类项的法则？
③对于 x ，那么此式可以看成合并同类项，由此得出：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并．
2.板书二次根式加减法运算法则
3. 二次根式加减法运算的步骤？
（第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次 根式进行合并．）
〖设计说明〗1.通过预习作业的检查，既督促学生复习旧知识和探讨新知识，又通过学生的讲解教师的板书帮助差生预习，以防差生产生
2.通过对最简二次根式和合并同类项的复习，类比出二次根式加减运算的法则，使学生逐步认识类比的数学思想在数学研究中的作用
二．展示探究
例1.指出下列每组的二次根式中，哪些是可以合并的二次根式？（字母均为正数）
（1）8,12，27；
（2）72，7521，50
1； （3）38ab ，b a 2，5332b a
〖师生行为〗教师巡视、指导，学生完成、交流，师生评价.提醒学生注意先化简成最简二次根式后再判断.
〖设计说明〗培养学生观察、归纳能力.通过例题练习题使学生能够正确找到可以合并的二次根式.
例2.计算:（1
（2
（3）3238
14182+-； （4）)7581()31232(--- 〖师生行为〗学生独立完成然后小组交流，教师巡视、指导，师生共同评价
〖设计说明〗使学生利用这简单的题目树立学困生的自信心.，同时对二次根式加减法运算的步骤得到巩固和理解
〖学生练习〗计算:（1）a a 259+；（2）4580-
（3）()279818-+
；（4）()???? ??--+6815.024 例3.先化简，再求值．
（
-（
，其中x=32，y=27． 〖师生行为〗学生小组讨论交流，教师巡视、指导，教师提醒学生注意根号内的字母的正
负性
〖设计说明〗进一步培养学生战胜困难的信心
例4.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0
，求（23
-（x
）的值． 〖师生行为〗学生小组讨论交流，教师巡视、指导，教师分析本题首先将已知等式进行变形，
把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=1
2，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
〖设计说明〗使学生熟练掌握二次根式加减法的运算方法和技巧，综合运用新旧知识，使知识能融会贯通，从而提高了课堂效率，也培养了学生及时发现问题并解决问题的习惯，调动了学生的主观能动性．
三.检测反馈
1．下列各式：①1
7=1错误的有（ ）．
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
2．计算二次根式________．
3计算:
（1）223-；
（2）27122+；
（3）2
918-； （4）x x 2242+；
（5）3222x a x -；
（6）23218+-；
（7）108965475-+-；
（8）)272(4
3)32(21--+ 四.评价小结：通过今天的学习你有何收获？
1.二次根式加减法的运算方法和步骤是什么?
2.二次根式加减法应注意先化简成最简二次根式，以及运算的准确性.
3.在学习过程中运用了类比的学习方法.
五、课后作业
1_________．
2．下列根式中与其他三个不同类的是（ ）
A B C D 3．下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）
A B C D ．18 4．下列根式合并过程正确的是（ ）
A ．-=2
B ．
C ．112
D ．13-14
=112
5．若，则y 值为（ ）
A B ．1 C ． D ．3
6．一个等腰三角形的两边分别为 ）
A ．
B ．
C ．
D ．或
7a ，小数部分是b ，计算的值为________．
8．如图所示，数轴上表示1A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，
则点C 所表示的数是（ ）
A B ． C ． D
9.计算：
（1） （2）
（3 （4）14-3a
10． 1.414≈1.732，求（精确到0.01）．
设计意图：本节课是全章的起始课，也是幂有关运算法则的起始课。而幂的运算是单项式乘除运算的基础，单项式的乘除运算又是整式运算的基础，所以本课内容的学习对全章来说尤其重要。
本节课的关键是让学生自主地探究同底数幂的运算法则，明白算理，掌握算法，进而通过练习逐步形成技能。而学生自主构建本节课新知的基础是幂的意义及其有关概念，所以本课引入时重视旧知的复习，加强新旧知识的联系。
本课从一个现实问题导入，感受同底数幂运算的现实意义，通过从特殊到一般，先猜测再证明，通过探究得到同底数幂的运算法则，然后通过练习内化法则，通过变式训练灵活运用法则，同时渗透转化的思想，培养学生逆向思维和批评性思维。其实，这也是法则教学的常用流程，这
一学法经验的积累为学生下节课的学习提供指导。
教学点评：根据教材内容的逻辑顺序和结构框架，确定此节课的重点，由自己的教学班学生的心理，年龄，现有的认知水平，确定此节课的重点。因此，难点的确定应该是与班级学生相吻合，不同教师所教学生不同，往往难点也不同教学设计应该符合教材的内容的知识结构和学生的认知规律，新建的数学模型例题和习题的衔接符合逻辑的联系，变式教学自然合理，唏嘘渐进是重要原则，有组织能力与应变能力，.语言表达能力与数学语言的应用能力，.恰当地使用多媒体教学,板书设计合理
2.7二次根式（3） 基础导练 1. 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. C. D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3. ） A. B. C. D. 4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若12x ） A. 21x - B. 21x -+ C. 3 D. -3 6. 10+=，则x 的值等于（ ） A. 4 B. 2± C. 2 D. 4± 7. 的整数部分为x ，小数部分为y y -的值是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是（ ） A. = B. a b =- C. (a b =- D. 22==
9. 是同类二次根式的是 。 10.若最简二次根式____,____a b ==。 11. ，则它的周长是 cm 。 12. 是同类二次根式，则______a =。 13. 已知x y ==33_________x y xy +=。 14. 已知 x =21________x x -+=。 15. )()20002001232______________+=。 能力提升 16. 计算： ⑴. ⑵. (231?+ ? ⑶. (()2771+-- ⑷. ((((22221111+- 17. 计算及化简： ⑴. 22 - ⑵. ⑶.
⑷ . a b a b ??+-- 18. 已知：x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。 19. 已知：11a a + =+221a a +的值。 20. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 21. 已知 1 1039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。
16.3二次根式加减法教学设计（第一课时） 一、教材分析： 本节主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混和运算。学习本节之前，学生已经掌握了把二次根式化简成最简二次根式的方法，这是学习本节课的基础。本节课的重点是二次根式的加减及混合运算。本节课在以前及后续学习中起承上启下作用，因为本节既是第五章相关内容的发展，又是后面将学习的解直角三角形、一元二次方程、等章节的重要基础。 二、学情分析 我所带八年级一二班学生基础较差，两极分化较严重有部分学生对第五章平方根、立方根的知识掌握的不够扎实，对整式加减运算欠账比较多，因此学习本章时有困难。 三、教学目标： 1.知识与技能：探究二次根式加减法运算法则，会用二次根式加减法法则进行计算。 2.过程与方法：学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力。通过加减法运算，培养学生的运算能力。 3.情感态度与价值观：通过加减法运算解决生活中实际问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。 四、教学重难点 1.重点：首先把二次根式化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式。 2.难点：二次根式加减法的实际应用，去括号问题。 五、教学方法：自主探究、合作、讨论。 六、教学媒体：多媒体，白板。 七、教学活动过程 1、引入新课 【活动一】：计算下列各式 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合
并就是字母不变，把系数相加减。 【活动二】： 现有一块长7.5dm 、宽5dm 的木板，能否采用如教科书图16.3-1所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板？ 分析：由于大小正方形的边长分别为8和18，显然木板够宽，下面考虑木板是否够长。由于两个正方形的边长和为188+，这实际上是求8和18这两个二次根式的和，计算188+之前，我们先来看下面几道题怎么算？ 22+32（1）8-38+58（2）2 7+27+397 ?（3）3-23+2（4）3 师生行为:（1）学生分组讨论，探求方案。 （2）教师倾听学生的交流，指导学生探究。 教师关注：学生能否将8和18化成最简二次根式；能否将分配律运用到计算 中 。 师生行为：分析188+的计算过程 教师讲解点评： 师：用自己的语言描述二次根式加减法的法则. 生：二次根式加减法时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方
16.3二次根式加减法教学设计 （第一课时） 一、教材分析： 本节主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混和运算。学习本节之前，学生已经掌握了把二次根式化简成最简二次根式的方法，这是学习本节课的基础。本节课的重点是二次根式的加减。 二、学情分析 我班学生基础较差，两极分化较严重有部分学生对平方根、立方根的知识掌握的不够扎实，对整式加减运算欠账比较多，因此学习本章时有困难。 三、教学目标： 1.知识与技能：探究二次根式加减法运算法则，会用二次根式加减法法则进行计算。 2.过程与方法：学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力。通过加减法运算，培养学生的运算能力。 3.情感态度与价值观：通过加减法运算解决生活中实际问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。 四、教学重难点 1.重点：首先把二次根式化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式。 2.难点：二次根式加减法的实际应用，去括号问题。
五、教学方法：自主探究、合作、讨论。 六、教学媒体：多媒体，白板。 七、教学活动过程 1、引入新课 【活动一】：计算下列各式 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同 类项合并就是字母不变，把系数相加减。 【活动二】： 现有一块长7.5dm 、宽5dm 的木板，能否采用如教科书图16.3-1所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板？ 分析：由于大小正方形的边长分别为8和18，显然木板够宽，下面考虑木板是否够长。由于两个正方形的边长和为188+，这实际上是求8和18这两个二次根式的和，计算188+之前，我们先来看下面几道题怎么算？ 22+32（1）8-38+58（2）2 7+27+397 ?）3-23+2（4）3 师生行为:（1）学生分组讨论，探求方案。 （2）教师倾听学生的交流，指导学生探究。 教师关注：学生能否将8和18化成最简二次根式；能否将分配律运 用到计算中 。 师生行为：分析188+的计算过程 教师讲解点评：
二次根式的加减法 【学习目标】 1、熟练进行二次根式的化简。 2、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。 3、会利用二次根式的加减运算法则进行计算。 教学重难点及突破 重点：二次根式加减法运算。 难点：1、同类二次根式的概念及其判断方法 2、熟练进行二次根式加减法的运算。 突破：二次根式加减法运算的关键在于二次根式化简，在讲解过程中引入几个整式加减法的运算。 教学方法：启发引导，讲练结合为主，自主探究 教学准备： 教师准备：多媒体课件精选二次根式的加减的例题。 学生准备：复习最简二次根式，预习二次根式的加减运算法则。 教学步骤 （一）、明确目标: 学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）、整体感知: 同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力． 教学设计： 一、复习回顾最简二次根式、整式加减法等知识，引入二次根式加减法 1、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？ 2可以化简吗？ （学生回答）
A、判断是否为最简二次根式的两条标准： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2。 B可以化简 3、什么是同类项？ （https://www.doczj.com/doc/c414051085.html,/view/313812.htm） 4、如何进行整式的加减运算？ https://www.doczj.com/doc/c414051085.html,/view/b2f6351252d380eb62946d99.html （课件出示练习题让学生计算）（计算17题1、2小题） 5、计算：（1）2x-3x+5x （2） 22 23 a b ba ab +- （教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．） （教师提出问题）二次根式的加减运算与整式的加减运算有什么相似之处？这就是今天要探讨的问题——二次根式的加减运算 二、引出同类二次根式并让学生进行判断 1、自学课本第10—11页内容，完成下面的题目： A、什么是同类二次根式？ B、判断是否同类二次根式时应注意什么？ （学生回答）：几个二次根式化成_______________后，如果它们的 ________相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式。 判断是否同类二次根式注意问题： （1）被开方数相同。 （2）二次根式不能再化简。 （3）与二次根式的系数无关 （学生练习） 2、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：https://www.doczj.com/doc/c414051085.html,/Math/Ques/Detail/5ecac9ed-127c-453b-b76a-a0acb7b 79d5b C、如何进行二次根式的加减运算？
16.3 二次根式的加减(1) 教学内容 二次根式的加减 教学目标 知识与技能目标：理解和掌握二次根式加减的方法． 过程与方法目标：先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简． 情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 重难点关键 1．重点：二次根式化简为最简根式． 2．难点关键：会判定是否是最简二次根式． 教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与同类项进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。 学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式加减的模型，形成有效的学习策略。 2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。 3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。 4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。 媒体设计：PPT课件，展台。 课时安排：1课时。 教学过程:一、复习引入 学生活动：计算下列各式． （1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减． 二、探索新知 学生活动：计算下列各式． （1）（2） （3（4） 老师点评： （1当成x，不就转化为上面的问题吗？ =（2+3
第三讲：二次根式的加减 二、二次根式的加减 1、同类二次根式的概念：化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式就叫做同类二次根式。 例1．当a ＝________时，最简二次根式12-a 与73--a 是同类二次根式． 2、二次根式加减法运算步骤：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 例2：计算： （1）483 2315311312--+ （2）)5.0420010 1(08.027252+-+ （3）a a a a a a a 1082 363273223-+-
(4) 2 + + - + a b b a b a a b 三、二次根式的混合运算： 注：1、在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内仍成立； 2、在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用. 例3：计算： （1） 2 2)3 2 2 3( )3 2 2 3(- - + （2） )7 5 3 )( 7 5 3 (- + + -
（3 ） 2 1 2 (π) --++-+ （4） ? ÷ - 4 8 ) 8 3 2 (3 x x x x （5） 101 10010 3 10 3） （ ） （- +．
《二次根式》全章复习与巩固 一、化简 1、无条件的（所有字母取正数） ① 2、有附加条件的 a＜ ①0)
② 5(03)x x --＜＜ 3、 有隐含条件的（有意义的字母的取值范围） ① 2+ ② - 4、 需要分类讨论的 ① -
二、因式分解（实数范围内） ① 4 a++ ② 2 x x +-- ③ 2 215 x+- 三、解方程（组）
16.1 二次根式教案 第一课时二次根式的概念教学目标 知识与技能 1 理解二次根式的概念 2 a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围． 过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围 情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐 教学重难点关键 1 a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2． a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的 坐标是___________． 问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以 ， ．问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得 . 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平 a≥0）?的式子叫做二次根式， ”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 老师点评: 有意义的条件 例1．下列式子，哪些是二次根式， 、 1 x x>0） 、 、 、 1 x y + x≥0，y?≥0）． 分析 ”；第二，被开方数是正数或0． x>0） 、 x≥0，y≥0）；不是二 、 1 x 、 1 x y + ． 例2．当x是多少时，2 - x在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2 - x?才能有意义． 解：由x-2≥0，得：x≥2 当x≥2时，2 - x在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材练习1、2、3． 四、应用拓展
21.3二次根式的加减法 班级 座号 姓名 成绩 一、填空与选择（每小题4分，共40分）． 1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数 ，称这几个二次根式为同类二次根式． 2．二次根式的加减：①先把各个二次根式化成 ____________；②再把 _____________分别合并． 3．下列各式中，与2是同类二次根式的是 （ ）. A ．23 B ．6 C ．8 D ．10 4. 已知二次根式42-a 与3是同类二次根式，则的a 值可以是（ ）. A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．计算8－2的结果是（ ）. A ．6 B ．6 C ．2 D ．2 6． 下列计算正确的是（ ） A 3= B ．532=+ C ． = D ．224=- 7．化简：3＋（5－3）=_____________. 8 ．计算：计算：_____________ 9．如果两个最简二次根式3213+-a a 与能合并，那么=a ________ 10．如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所 示的折线从A →B →C 所走的路程为_______m ．（结果保留根号） 二、计算与解答（60分）． 11．（20分）计算： （1）481227+- （2） ()() 1515-+
（3）225213 32+- （4）22)2332()2332(--+ 12.（8x ，小数部分为y ，求xy 的值. 13. （10分）先化简再求值： 215),6()3)(3(+= --+-a a a a a 其中 14．（提升与拓展）（10分）计算 211+＋321+＋431+＋…＋100 991+ 15.（提升与拓展）（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝472,472-=+BD ，求菱 形的边长和面积.
16.3二次根式的加减(一） 一、教学目标 知识与技能目标：通过自主探究概括同类二次根式的概念及二次根式加减法 法则 过程与方法目标：了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式，会利用 法则进行二次根式的加减运算 情感态度与价值观目标：通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣 二、教学重难点 重点：同类二次根式的概念及二次根式加减运算法则 难点：探讨二次根式加减法运算的方法，准确进行二次根式加减法的运算 三、教法学法 启发式、探讨式 四、教学过程设计 （一）类比引入，探求新知. 1、化简下列两组二次根式 2、观察上述两组二次根式，他们各有什么特征？ 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 3. 与 是同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 4、做一做 如何合并同类二次根式? ()=801=45()=a 92= a 255354)1(、）（、）（0532≥a a a 2412325 ()=-53541()= +a a 5323
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部都不变.
（二）理解应用，体验成功 1、例题讲解 总结：二次根式加减法的步骤 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式 （3）合并同类二次根式。 简称为：一化、二找、三合并 （三）课内练习 1.判断:下列计算是否正确? 2.计算 三.清点收获 由教师开出清单，学生进行清点 1.同类二次根式的定义? 2.二次根式加减运算的步骤? 3.如何合并同类二次根式? （六）课后作业 P14 1、2 2 4188)2(++7512)1(-()1232=-()94943+=+()2 22234=-) 62()5.024)(5(--+)53()2012)(3(-++) 2798(18)4(--5 2080)2(+-()3 121=+7 672)1(-
【最新整理，下载后即可编辑】 21.1 二次根式(3) 第三课时 教学内容 a （a ≥0） 教学目标 理解 （a ≥0）并利用它进行计算和化简． （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1 a （a ≥0）． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清a ≥0 a 才成立． 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如 a ≥0）的式子叫做二次根式； 2． a ≥0）是一个非负数； 3． )2＝a （a ≥0）． 那么，我们猜想当a ≥0 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空： =_______=______； =________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： =2=23=037 ． 例1 化简 （1 （2 （3 （4
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32 （a≥0）?去化简．解：（1 （2 （4 三、巩固练习 练习2． 教材P 7 四、应用拓展 例2 填空：当a≥0 ；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题． （1）若 ，则a可以是什么数？ （2）若 ，则a可以是什么数？ （3 ，则a可以是什么数？ 分析： （a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时， -a≥0． （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2 │a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1 ，所以a≥0； （2 ，所以a≤0； （3）因为当a≥0 ，即使a>a所以a不存在；当a<0 ，即使-a>a，a<0综上，a<0 例3当x>2 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： （a≥0）及其运用，同时理解当a<0 a的应用拓展． 六、布置作业 1．教材P 习题21．1 3、4、6、8． 8 2．选作课时作业设计．
21．3 二次根式的加减 1．若a a=_______，b=_______． 2_________． 3． 4，则它的周长是________． 5．在实数范围内分解因式：a 2-4=_________． 6大小关系是_________． 7．下列根式中与其他三个不同类的是（ ） A B C D 8．下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ） A B ．18 9．下列根式合并过程正确的是（ ） A ．-=2 B ． C ．1212 ．13-14=112 10+13 ） A ．． 11．若，则y 值为（ ） A ．1 C ．．3 12．一个等腰三角形的两边分别为 ） A ． B ． C ． D ．或 13．计算： （1） （2）
（3（4）14 14．如果△ABC 的三边，P ． 15的整数部分是a ，小数部分是b ，计算+b 的值为________． 16．如图所示，数轴上表示1的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数 是（ ） A -1 B ． C ． D 17．已知，，则代数式a 2-b 2-c 2-2bc 的值是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．无法确定 18．已知2（a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ）的值． 19 1.414 1.7320.01）．
答案: 1．1 1 2 3．． 5．（a 2+2）（）（） 67．C 8．C 9．D 10．C 11．?D 12．D 13．（1）（2）（3）19413， （4 14． 15．．C 17．B 18．?30 ? 19．43+94 5.49 20．解：∵S AE ⊥BC ， ∴×AE=5 2， ∵∠B=30°，∴AB=2AE=?5，? ∴ ABCD 周长C=AB+BC+CD+DA=2AB+2BC=2×5+2×， ∴ 所求ABCD 周长C 的值为
第二章 实数 7．二次根式（第2课时） 一、学生起点分析 在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。 二、教材任务分析 二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册 第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是： 1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法． 3.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识． 4.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 三．教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：复习引入 内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？ 这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？ 点明本节课研究课题 面积8 面积2
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。 第二环节：知识探究 1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？ 例3 计算： （1）326?；（2）2 36?；（3）52。 解： （1）略 （2）23 6?＝236?＝236?＝9＝3 （3）52 ＝＝52＝5 552??=510 说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数． 第三环节：巩固练习 例4 计算： （1）3322?（2）5312-?；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+； （5）3)3112(?-；（6）2 188+。 解：（1）3322?=32??32?=66； （2）5312-?＝5312-?＝536-＝6－5＝1； （3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52； （4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4； （5）3)3112(?-51613633 1312=-=-=?-?=；
二次根式加减法及混合运算 同类二次根式的定义： 几个二次根式化简成最简二次根式后， 如果它们的被开方 数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式 合并同类二次根式的法则：只把系数相加减，根号部分不变 1. 若最简二次根式 1+a 与 4–2a 是同类二次根式，则 a 的取值范围是 ______ 2.在 12 ， 34 ， 48 ， 6 中能与 3 进行加减合并的根式有 _________． 3. 下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ） A ． 12 与 72 B ． 63 与 78 C ． 8x 3 与 2 2x D ． 18 与 6 4.一个三角形的三边长分别为 8cm, 50 cm, 18cm ，则它的周长是 cm ． 5.下列说法正确的是： (A) 最简根式一定是同类根式 (B) 1 与 a 3 不是同类二次根式 a (C)任何两个根式都可以化成同类二次根式 (D) 任何两个根式都可以化为最简根式 6.已知 x ， y 为实数，且满足 1 x ( y 1) 1 2011 2011 y =0，那么 x ﹣ y = 7. 计算：① 20 5 1 45 125 ② 5 x 2 x ③ 2 12 27 18 5 ④3 2 + 3 － 2 2 － 3 3 ⑤ 2 3 8 1 12 1 50 ⑥ 12 75 2 5 ⑦（ 48 + 20 ） +（ 12 - 5 ） ⑧ 54 96 2 12 4 1 3 48 27 ⑨ 2 9a 3 4a ⑩ 90 2 40 5 4 2 8 1 18 1 32 3 9 5 2 4 ⑴ + 18－ 8－ 32 ⑵ 12 1 1 ) ⑶–– 20+ 75 ( 27 27 45 3 1 2 4 1 2 2 a ⑷ 2 27–3 18–( 3–4 2) ， ⑸2 a －3 a b ＋ 5 4a －2b b ， ⑹ ( 3 2) 2002 ( 3 2) 2003 ⑺ ( 3 1) 2 ⑻（ 5 3 （） 5 ＋ 3 ）－（ 2 ＋ 6 ） 2 ⑼（ x ＋ 2 xy ＋ y ）÷（ x ＋ y ） ⑽（ x 2－ y 2）÷（ x ＋ y ） 1 2 1 2 2 （2 12 － 4 1 ＋ 3 48 ） ⑾ 3 3 ⑿ 3 8 ⒀（ a 3 b ab 3 ab ) ab ⒁ (3 10)( 2 5) ⒂ ( 3 2 ) ( 3 2)
二次根式的加减法 一、知识概述 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似． 2、二次根式的加减法法则 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并； (2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变． 3、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”； (2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式． 二、重难点知识 1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．
2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律． 三、典型例题讲解 例1、计算： ． 分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并． 解： ． 例2、计算： 分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．
2.7二次根式（第三课时） 精讲案 第一环节：复习引入 （1）最简二次根式的概念； （2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？ （3）上节课课后作业：若414.12≈，732.13≈，449.26≈，求2 3．你是怎样解决的？ 第二环节：知识巩固 1.巩固提升 例4 计算： （1）3223-；（2）8 1818+-； 2．以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？ 3练习 化简： （1）10152-；（2）31312+-；（3）8)2 118(?-． 第三环节：知识提升 1.知识探索 问题：2a （0>a ）等于多少？ 根据算术平方根的定义，可知a a =2（0>a ）． 2.知识运用 例5 化简： （1）3325b a （0>a ，0>b ）；（2）3)(y x +（0≥+y x ）；（3） a b b a （0>a ，0>b ）． 3.课堂练习 1.当0>a ，0>b 时化简： （1）)(a b b a ab +；（2）324b a ；（3）ab b a ?-)1(；
（4）b a a b ab a 155102÷?． 4.求代数式ab b a ?-)1(的值，其中3=a ，2=b ． 解：由题知0>a ，0>b ． ab b a ?-)1(＝ab b ab a ?-?1＝ab b ab a ?-?1＝2ab b - ＝a b b -． 当3=a ，2=b 时，a b b -＝322-． 第四环节：课堂小结 （1）二次根式的化简： 二次根式的化简一定要化成最简二次根式． （2）利用式子a a =2（0>a ）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式． 第五环节：课后作业 习题 2．11 1， 3 预习案 1.a b ?= （ ），=b a （ ） 2.二次根式加减的条件：化为 后，被开方数 的二次根式才能加减。 3.二次根式的加减法则：将化简后被开方数相同的二次根式前面的系数 ，根号和被开方数 。 精练案 一、计算： （1） 3223-； （2）81818+-；
16.3二次根式的混合运算 第1课时二次根式的加减运算 教学目标 知识与技能：能够正确进行简单的二次根式加减法的运算。 过程与方法：1.通过整式加减运算与二次根式加减运算的比较，体会类比思想。2.通过二次根式加减运算培养学生运算能力。 情感.态度与价值观：通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程来，使他们体验到成功的乐趣。 重点难点 重点：二次根式加减法的运算 难点：探讨二次根式加减法运算的方法，快速准确地进行二次根式加减法的运算。 教学设计 一．复习引入 问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式? （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?
二．自主探究 1.习题引入 归纳总结 将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以 合并. 注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断. 2.例题讲解 例 1 若最简根式 与 可以合并，求 的值. 例2. 现有一块长7.5dm 、宽5dm 的木板，能否采用如图的方式， 在这块木板上截出两个分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板？ 2n ++()m n +=+
归纳总结 一般地，二次根式加减时， 可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 加减法的运算步骤： (1)化 ——将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； (3) 并——把被开方数相同的二次根式合并. 一化简二判断三合并 =2+3=（.=
八年级数学上册《二次根式的加减运算》教案 教学内容：二次根式的加减 教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法． 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简． 重难点关键： 1．重点：二次根式化简为最简根式． 2．难点关键：会判定是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习引入学生活动：计算下列各式． （1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减． 二、探索新知学生活动：计算下列各式． （1）22+32（2）28-38+58 （4）33-23+2 （3）7+27+397 老师点评： （1）如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题吗？ 22+32=（2+3）2=52 （2）把8当成y；28-38+58=（2-3+5）8=48=82 （3）把7当成z；7+27+97=27+27+37=（1+2+3）7=67（4）3看为x，2看为y． 33-23+2 =（3-2）3+2 =3+2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的． （板书）32+8=32+22=52 33+27=33+33=63 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例1．计算（1）8+18（2）16x+64x 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52 （2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x 三、巩固练习 P169 练习1、2． 四、应用拓展 例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2 9 3 x x+y2 3 x y ）-（x2 1 x -5x y x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即 x=1 2 ，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次 根式，最后代入求值．解：
公开课教案二次根式的加减法 〔第1课时〕 一、教学目标 1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念． 2．能判定二次根式中的同类二次根式． 3．通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力． 二、学法引导 通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法那么． 三、重点及难点 1．教学重点同类二次根式的识不、合并，正确进行二次根式加减法。 2．教学难点二次根式的化简． 四、教学步骤 〔－〕明确目标 学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课确实是研究二次根式的加减法． 〔二〕整体感知 同类二次根式的概念应分二层含义去明白得〔1〕化简后〔2〕被开方数还相同．通过正确明白得二次根式加减法的法那么来准确地实施二次根式加减法的运算，应专门注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法那么以增加对合并同类二次根式的明白得，增强综合运算的能力．〔三〕教学过程 【复习引入】 什么样的二次根式叫做最简二次根式？〔由学生回答〕 ，能够化简吗？ +，能够化简吗？ 这确实是本节课研究的内容——二次根式的加减法． 【讲解新课】 咨询题：△ABC中，假如∠C＝90°，AB ，BC ，那么△ABC的 周长L等于多少呢？ 分析：要想明白周长L，必须先求出AC长度，因为△ABC为Rt △，因此可由勾股定理求得AC。 解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴利用勾股定理，可得： AC = = =(m) 故周长L＝AB＋BC＋AC m〕 C B
能够化简吗？我们明白 ===觉这几个二次根式化成最简二次根式以后，它们的被开方数完全相同，那么象如此 的几个二次根式就叫做同类二次根式。因此周长L ＝AB ＋BC ＋AC ＝＝(53++定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，假如被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 类比、迁移、感悟：合并同类二次根式能够类似于合并同类项法那么进行。〔通过一段视频让学生了解。〕 二次根式加减法的一样思路： (1)假如几个二次根式被开方数相同,那么能够直截了当依照分配律进行加减运算； (2)假如所给二次根式不是最简二次根式,应该先化简,再考虑进行加减运算. 例题分析 例 1 以下各式2，48， 21，271，3，3832ab ，b a b 26中，哪些是同类二次根式？ 解：∵ === =2=， =9= 3832ab ===223 ?= 6 =6b =6b =6b =∴ 2，21是同类二次根式， 48，27 1，3是同类二次根式， 383 2ab ，6 小结：要想了解几个二次根式是否为同类二次根式，必须先化成最简二次根式，再看被开方数相同是否相同,与最简二次根式前面的因式及符号无关． 课堂练习一： 1.在以下各组根式中，是同类二次根式的是〔 〕
21.1 二次根式(3) 第三课时 教学内容 a （a ≥0） 教学目标 （a ≥0）并利用它进行计算和化简． （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1a ≥0）的式子叫做二次根式； 2a ≥0）是一个非负数； 3．2＝a （a ≥0）． 那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空： =_______=______； =________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： =0.01=11023=037． 例1 化简 （1 （2 （3 （4
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32（a≥0）?去化简． 解：（1=3 （2=4 （3（4=3 三、巩固练习 教材P7练习2． 四、应用拓展 例2 填空：当a≥0；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题． （1，则a可以是什么数？ （2，则a可以是什么数？ （3，则a可以是什么数？ 分析（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应 变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2） │a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1，所以a≥0； （2，所以a≤0； （3）因为当a≥0，，即使a>a所以a不存在；当a<0， ，即使-a>a，a<0综上，a<0 例3当x>2 分析：(略) 五、归纳小结 （a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展． 六、布置作业 1．教材P8习题21．1 3、4、6、8． 2．选作课时作业设计．
二次根式的加减法(第1课时) 教学目标： 1．类比同类项概念，了解同类二次根式的意义，学会识别同类二次根式(难点) 2．能熟练进行简单二次根式的运算(重点) 教学重点： ⒈同类二次根式的概念 ⒉二次根式加减运算的方法 本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式的加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．二次根式的加减法运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点． 教学难点： 二次根式的加减法首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了． 整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项．但是学生初次接触二次根式的加减法，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握二次根式的加减法运算是本节的难点． 教学过程： 一、情景导入与练习： 1．同类项的特点如何合并同类项 2．计算：a +a = ，a +2a = ，a +2b －b +2a = ， 类似地：33+ = ，323+= ，223+－32+= ， 3．思考并尝试说明：你对以上加减法的理解 二、探究与训练： 活动1：例题探究，计算：3233-，a a 23+ 学生根据前面的经验体验，讨论尝试，交流互助，达成共识 教师引导学生归纳所感 要点：①同类二次根式：根号和根号内的部分完全相同的根式就是同二次根式
(分类区别标志，只需看根号内是否相同) ②同类二次根式的合并方法：合并同类二次根式时，根号部分(视为一个整体)不变，只需将根号的系数相加减。 ③利用整体思想和类比方法，合并同类项与合并二次根式实际上是同一种变形。 活动2：例题探究，计算：a b b a 4223-+- 3223-， a b b a 2323-+- 学生练习研究、分歧及争论 教师引导学生叙述所思所得：非同类二次根式不能合并 活动3：同类二次根式的识别： 指出下列各组二次根式是否同类二次根式： 2与22 2 与 －2 a b 与 b a ab b 与 ba a －8与22 b a b 2 与 2 ab a (其中a 、b 是正数) 8、50 与 －18 b a b 3 与 3ab a (其中a 、b 是正数) 讨论：还能简单地认为“只有根号内完全相同的二次根式才是同类二次根式”吗 究竟怎样的式子才是同类二次根式 教师点评：同类二次根式是化简后被开方数相同的根式。如遇到还可以化简的根式，应化简后再作判断。 活动4：计算与训练： 3250+ 18128-+ 453227-- 182 72 27+- 学生练习，教师综合点评，提醒学生注意相关要点。