第2章 多分辨分析
2.1 多分辨分析-----MRA 2.1.1 多尺度空间
［例2－1］ 右图由(2)t φ和(21)t φ-的线性组合构成了()t φ，因此，我们说函数1,()k t φ，
k =0，1生成了()t φ，或者说1,()k t φ包含了()t φ，即1,()k t φ?()t φ。
［例2－2］尺度函数,()(2)j
j k t t k φφ=-， j ＝0，1，2，3；k =0，1,2，…,21j -（这里暂对j 和k 的范围做了限制）形成了伸缩平移系统，其中j 不同，张成了不同的子空间，如图：
3(2)t k φ-，k=0，1，…，7，张成了3V 子空间； 2(2)t k φ-，k=0，…，3，张成了2V 子空间；
1(2)t k φ-，k=0，1，张成了1V 子空间；
(2)t k φ-，k=0, 张成了0V 子空间。
由上图可见，3V ?2V ，2V ?1V ，1V ?0V ，即3V ?2V ?1V ?0V 。
0V 函数子空间 是当分辨率0j =，尺度为0
221j ==时 ，由尺度函数()t k φ-的平
移系统张成的函数子空间。0V 中的任一函数0()f t 均可用()t k φ-的平移系统的线性组合表示
紧支撑（有限个，其余为零K C ）00
) 0()f t =
()k k Z
c t k φ∈-∑，k c R ∈
[例2－2] 下图是一个定义在区间[-1，4]上，所有不连续点仅在整数集中的分段常量函数波形。（也可能在整数点处连续，但不连续点一定在整数点处。）满足线性空间定义的两个运。）
而当10123,,,,c c c c c -均为零时，构成零向量），因此构成向量空间。这个特定的,即由宽度为1＝1/2j
＝0
1/2的5个基向量组成的基底所张成的向量空间，就是一个0V 子空间。
图示为由尺度函数组成的一组基
例中波形给出的函数可表达为
0()f t =10,100,010,120,230,3()()()()()c t c t c t c t c t φφφφφ--++++ 当K 遍历-1、0、1、2、3时，0,()k t φ构成了0V 子空间的一组标准正交基。
1V 函数子空间 是当分辨率1j =，尺度为1
222j
==时 ，由尺度函数(2)t k φ-的平移系统张成的函数子空间。1V 中的任一函数1()f t 均可用尺度函数()t k φ-的平移系统的线性组合表示
1()f t =
(2)k k Z
c t k φ∈-∑ ， k c R ∈ [例2－3] 下图是一个定义在区间[-1/2，2]上，所有不连续点仅在半整数点{0,1/2,1,3/2,....±±±}（也可能在半整数点处连续，但不连续点一定在半整数点处。）的分段常量函数波形,满足线性空间定义的两个运算和7个公理。这个特定的,即由宽度为1/2＝
1/2j ＝11/2的5个基向量张成的向量空间就是一个1V 子空间。例中波形可表达为
1()f t =21,231,3()()c c
t c t φφ+
注释: 这里由1,()k t φ的平移系统构成1V 的这组基不是标准正交基，若将尺度函数乘上因子
，成为标准正交基。
◆ V j 函数子空间-----是当分辨率为j ，尺度为2j 时 ，由尺度函数(2)j
t k φ-的平移系
统张成的函数子空间。
V j 中的任一函数()j f t 均可用尺度函数(2)j t k φ-的平移系统的线性组合表示为
()j f t =(2)j k k Z
c t k φ∈-∑ ， k c R ∈
注释： 例如，所有不连续点为{...,1/2,0,1/2,0,2/2,3/2,...}j j j j
-的分段常数函数组成的函数子空间，就是一个V j 子空间。
2.1.2 不同尺度空间的关系
◆ 任何高分辨率的尺度函数，可以构造出低分辨率的尺度函数，如以下两个图形所示。条件是二者之间符合二进制尺度规律，既(2)j t φ和1
(2)j t φ-就符合这种规律。而分辨率j 就
是对尺度0
2的j 次细分。
注释： 不能随意定义()at φ，a Z ∈，原因是，譬如(4)t φ不包含(3)t φ，即1／2的倍数不包含1／3的倍数。
（a ） (b) 顺序嵌套包含关系
1011.........{0}j j j j
V V V V V V ---∞+-∞←????????=2()j L R V +∞→+∞
=
j 越大，分辨率越高，分辨越精细，多分辨率的空间关系图如下。
注释：通俗地讲，在不同的尺度空间，以不同的分辨率对信号进行分析，叫多分辨分析，或多尺度分析。
2.1.3 多分辨分析
定义 2.1 令j V ，...,2,1,0,1,2,...j =--为2
()L R 中的一个函数子空间序列。如果满足以下5条，称{}j j z V ∈为2
()L R 的一个MRA （多分辨分析）： （1）单调性：11......j j j V V V -+????，j z ?∈。 这一条表明各子空间是按j 的大小顺序嵌套的空间序列。 （2）逼近性：,
{0}j j z V ∈= ，2
()j j z
V L R ∈= 这一条表明各子空间不相交和稠密性。
（3）二进制伸缩性：()j f t V ∈?1(2)j f t V +∈，j z ?∈
任何两个相邻子空间相差一个二进制尺度，反映了j V 和1j V +子空间的递推关系。 （4）平移不变性：0()f t V ∈?0()f t k V -∈，j z ?∈
()f t 平移后还在0V 中。
（5）Riesz 基存在性：存在函数0()t V φ∈，使得{()}k Z t k φ∈-是0V 的Riesz 基。 这个条件比正交基弱，易满足。其实，Haar 尺度函数/2
2(2)j j t k φ-的平移系统已构成
了V j 子空间的标准正交基。
注释：由于任何两个相邻子空间相差一个二进制尺度，因此只要知道任一子空间的基，便可通过尺度的伸缩性，立刻得到相邻子空间中的基，进而可得到所有子空间中的基。
2.1.4 V j 子空间的标准正交基
◆ 由{V }j j Z ∈为2
(R)L 空间的MRA 知，Riesz 基存在性是一个较弱的条件，只要求
｛,()j k t φ=/2
2
(2)j j t k φ-}j z ∈线性无关。
◆ 可由Riesz 基的标准正交化构造出{V }j j Z ∈中的标准正交基，因而也就可以构造出任何子空间的标准正交基。 ◆ 构造正交基的方法：
①设()t φ是非正交的尺度函数，则由()t φ构造出规范正交基的充要条件是：
2?|(2)|1m Z
m φωπ∈+=∑
，R ω?∈ 证明：要证明()}k z t k φ∈-构成标准正交基，只要证明 ,(),()k l t k t l φδ--==1,
0,
k l k l
=??
≠?
根据与之对应的傅立叶变换的关系应也为
^
^
[()],[()]
t k t l φφ--=,1,0,
k l k l k l
δ=?=?
≠?
而这里
^
^
[()],[()]
t k t l φφ--=??(),()ik il e e ωωφ
ωφω-- =
*1
??()[()]2ik il e e d ω
ωφωφ
ωωπ∞
---∞? =
2()1
?|()|2i k l e d ωφ
ωωπ
∞
---∞
?
=
22(1)()21?|()|2m i k l m m
e d π
ωπφ
ωωπ
+--∑? 在一个周期里做积分，再将各周期的积分相加，与在-∞+∞ 上积分结果一样。
=
2
2()1
?|()|2i k l m
e d π
ωφωωπ
--∑? =
2
2()1
?|(2)|2i k l m
m e d π
ωφωπωπ
--+∑? （做变换：2ωωπ→+，因为()i k l e ω
--是以2π为周期的三角函数，所以变换对它不
起作用。）
要使??(),()ik il e e ωωφ
ωφω--,k l δ=恒等成立，则应有
=
20
2()1
?|(2)|2i k l m m e d π
ωφωπωπ
--+∑?
1,0,
k l k l
=?≡?≠?
从而必有 2
?|(2)|1m Z
m φωπ∈+=∑ 证毕。
②设{()}k z g t k ∈-是子空间0V 的Riesz 基，{}j j z V ∈为2
()L R 的一个MRA ，则存在函
数0()t V φ∈，使{()}k z t k φ∈-构成0V 的标准正交基，且
21/2
???()[(|()2)|)()]m
g m g ?
ωωπω=+∑
证：由于{()}k z g t k ∈-为子空间0V 的Riesz 基，设0()t V ?∈ 有
()()k k
t c g t k ?=-∑
??()()ik k k
c g e ω?
ωω-=∑ =?(
)()ik k k
c e g ωω-∑=??()()c g ωω 式中，?()ik k k
c
c e ωω-=∑是以2π为周期的函数，故 ?(2)()c
m c ωπω+=
由于要使{()}k z t k φ∈-为标准正交，应有
2
?|(2)|1m Z
m ?ωπ∈+=∑ 于是， 2
?|(2)|m Z m ?ωπ∈+=∑2
2
|(||(2)|m
c g m ωωπ+∑
取 21/2()[|(2)|]m m
c g m ωωπ-=+∑∑
所以
?()?
ω=?()()c g ωω=21/2
??[(|()2)|)()]m
g m g
ωπω+∑ 再取反变换，得()t ?，故证得{()}k z t k φ∈-为标准正交系统。
由MRA 性质，当K 遍历Z 域全部整数，则{()}k z t k φ∈-构成0V 中的标准正交基，既
0{()}k z V span t k ?∈=-
证毕。
③推论，,j k ??→： 设{}j j z V ∈为2
()L R 的一个MRA ， {()}k z t k φ∈-是0V 的标准正
交基，则对任意
j z ∈
,()j k t φ={/22(2)j j
t k φ-,}j k Z ∈
为j V 的一个标准正交基，既/2
{2(2)}j j j k z V span t k ?∈=-。
证：用/2
2
(2)j j t k φ-与,()j l t φ做内积，得
,,(),()j k j l t t φφ=*2
(2)(2)j j j t k t l dt ??∞
-∞
--?
用2j
y t =进行变量代换，则2j
dy dt =，得 *2(2)(2)j j j t k t l dt ??∞
-∞
--?=*()()y k y l dy ??∞
-∞
--?
故
*()()y k y l dy ??∞
-∞
--?=,k l δ
从而， ,()j k t φ=/2
2
(2)j j t k φ-构成j V 的一个标准正交基。
证毕。
2.1.5 2(R)L 空间的标准正交基
? 多分辨分析的基本思想是先在2(R)L 中的任一子空间找到一个基，再通过它找出整个
2(R)L 空间的基。在同一子空间，有相同的j 不同的k ，因此是正交的；任意两个子空
间，不同的j 却不正交，例如V j 和1V j-不是正交而是包含关系。
? 我们的目的是要找出2
(R)L 空间的标准正交基，以方便在2
(R)L 空间描述函数。解决的
方法是通过正交尺度函数()t φ及正交多分辨分析｛V j }j Z
∈出
正交的子空间族{W }j j Z ∈及小波函数()t ψ，使2
()L R 分解成W j 的正交和2
(R)L ＝
j Z
∈⊕W j ，并使()t ψ的伸缩平移系统/2
{2
(2)}j k Z j t k ψ∈-构成W j 的标准正交基，也就
找到了2
()L R 的标准正交基。
? 具体方法是把V j 子空间分解成V j-1和及其正交补子空间1W j -。 例如，1j =，00001V V V W W φψ
→⊥??
?
???由（t ）的平移系统构成二者互为正交补期望由（t ）平移系统构成。
与1V 的关系为 100V =V W ⊕,
［例2－4］本例中，由2t -k φ（）可构造出t -k φ（），因此1V ?0V ；由图可见t -k φ（）
和 t -k ψ（）
正交，即t -k t -k φψ（）,（）=0，因此00V W ⊥，所以100V =V W ⊕。
[例2－5]本例中，由4t -k φ（）可以构造出2t -k φ（），因此21V V ?；由图可见2t -k φ（）与 2t -k ψ（）
正交，既(2),(2)t k t k φψ--=0，因此11V W ⊥，所以211V =V W ⊕。 由上例和本例可以看出，t -k ψ（）与2t -k ψ（）正交以及01W W ⊥。
[例2－6] 与上例类似，本例中，由32t -k φ（）可构造出t -k φ2
（2），因此3V ?2V ；由图可见2V 中任意尺度函数t -k φ2（2）与2W 中t -k ψ2（2）正交，即t -k t -k φψ2
2
（2）,（2）=0，因
此22V W ⊥，所以322V =V W ⊕。
类似，由上例和本例可以看出2t -k ψ（）与4t -k ψ（）
正交以及12W W ⊥，以及0W ⊥12W W ⊥。推广到一般情况，W j 中任意函数j t -k ψ（2）与相邻子空间1W j -中任意函数和1
j-t -k ψ（2）正交，从而有1j W -⊥j W 。
综上所述，可得 1V =V W j j j+⊕， (V W )j j ⊥ 这个过程可一直分解下去：
1V =V W j j j+⊕＝11V W j j-j-W ⊕⊕＝221V W W W j j-j-j -⊕⊕⊕
＝……
即 1V =V W j+l k l
⊕k=j
, l j <
令
,j l →+∞→-∞时，得
2
(R)W j j L ∞
=-∞
=+⊕
可见，……321W W W W j j-j-j -⊥⊥⊥……，即相邻二子空间正交，也就是相邻二个子空间中的函数相互正交。后面将证明/2
,{()
2
(2)}j j k k Z j t t k ψ
ψ∈=-构成W j 的标准正交基。
从而形成2
()L R 空间的标准正交基。W j 称为小波空间，而/2
,()2
(2),j j k j t t k k z
ψψ=-∈为正交小波函数。对1V j+空间来説，V j 反映了1V j+的“概貌”，W j 反映了1V j+的“细节”；
1V j-反映了V j 的概貌”，1W j -反映了V j 的“细节”。
2．2 一维正交多分辨分析 2.2.1 基本定义 2.2.2 正交小波基
? 已知正交尺度函数f ,求正交小波。 ? 两尺度方程
若()t φ是正交尺度函数，它生成2
(R)L 的多分辨分析{V }j j Z ∈，必然存在系数序列
{}k k Z h ∈，使得以下关系成立：
()(2)k k z
t h t k φφ∈=
- （2.1）
由于()t φ∈0V 1V ?，(2)}k z t k ∈-构成1V 的一个Riesz 基，故存在系数{}k k Z h ∈，使
()t φ(2)k h t k φ-
对于Haar 尺度函数，因为
()(2)(2)t t t k φφφ=--1
(2)k k o
h t k φ=-
所以，｛
01,h h ｝＝。 引理2.1 对于正交尺度函数f 及生成的正交多分辨分析{V }j j Z ∈, 1) 在两尺度方程中,有
((2)k h t t k f =-
证明： 将式（2.1）()t φ=
(2)n n
h t n φ-(2)t k -作内积，
左边得 ((2)t t k φ=-
右边得 (2(2)n n
h t n t k φ=
--2(2),(2)n n
h t n t k φ=--∑
1
22
k
n
h =∑k h = 2)两尺度系数序列{}k k Z h ∈具有下列性质: (ⅰ) *
22,k l k m l m k Z
h h δ--∈=∑
这是尺度函数()t φ正交平移性的等价形式。 (ⅱ) 2
1k k Z
h ∈=∑
(ⅲ)
k k Z
h ∈=∑(ⅳ)
212k k Z
k Z
k h h +∈∈==
∑∑对所有的,l m Z ∈成立，其中，*表示对复数取共轭。 2）的证明：
(ⅰ)
*
22,k l k m l m k Z
h h δ--∈=∑
由于()(2)k k z
t h t k φφ∈=
-，用t l -代t ，得
()(22)k k z
t l h t l k φφ∈-=--
令2M l k =+，右边为
2(2)M Z
M l t M h φ∈-=-∑
仍记为
2()(2)k l k z
t l h t k φφ-∈-=-；
而
()(22)k k z
t m h t m k φφ∈-=
--
令 2N m k =+
2(2)N m N Z
h t N φ-∈- 仍记为
()t m φ-=
2(2)k m k Z
h t k φ-∈-
由同尺度平移系统中，各尺度函数的正交性有 (),()t l t m φφ--＝,l m δ
左边 22(2(2)k l k m Z
k Z
h t k h t k φφ--∈∈--
＝*
222
k l k m k Z
h h --∈∑(2),(2)t k t k φ--
＝*221
2
2
k l k m
k Z
h h --∈∑
＝
*22k l k m k Z
h h --∈∑ 因而
*
22k l k m k Z
h h --∈∑＝,l m δ 证毕 (ⅱ)
2
1k k Z
h ∈=∑
证明：在
*
22k l k m k Z
h h --∈∑＝,l m δ中，令0l m == 得证。 ………………………………………………………………
(ⅲ)
k k Z
h ∈=∑
证明：对两尺度方程()(2)k k z
t h t k φφ∈=-两边积分，得
()t dt φ∞
-∞?(2)k k
h t k dt φ∞
-∞
-? 令2t k y -=，12
dt dy =
＝1()2k k
h y dy φ∞
-∞?
仍记为 1()2
k
k
h t dt φ∞
-∞=
? 因为
()0t dt φ∞
-∞≠?，故上式两边除以()t dt φ∞-∞
?，得
1k k h =
，即k k
h =∑ (ⅳ)
212k k Z
k Z
k h h +∈∈==
∑∑证明：在（ⅰ）式22,*k l k m l m k Z
h h δ--∈=∑中，用l -代l ，且令0m =，然后对l 求和，得到 *
2,0()1k l k l l Z k Z l Z h h δ+∈∈∈==∑∑∑（只有0l =时，,01l d =，故,01l l Z
δ∈=∑） 将上式
*
2()1k l k l Z k Z
h h +∈∈=∑∑中关于k 的和式分为奇、偶两部分，有
**
22221221()k l k k l k k Z
k Z
l Z h h h h ++++∈∈∈=+∑∑∑
**22221221()()1k l k k l k k Z k Z Z
l Z
l h h h h ++++∈∈∈∈=+=∑∑∑∑
将括号h 中的下标(22)k l +用2M 代替再将M 以l 替换，得
**
222121()()l k l k k Z l Z k Z l Z
h h h h ++∈∈∈∈=+∑∑∑∑
**
*
222121(
)()()()1l k k l k Z l Z k Z l Z
O O E E h h h h ++∈∈∈∈=+=∑∑∑∑
既 2
2
*
*
1EE OO E O +=+=
将（ⅲ）式
k k Z
h ∈=∑2k k Z h ∈+
∑212k k Z
h +∈=∑
亦即
E O +=
或O E =
，代入**1EE OO +=式，得
*
*
210EE += 因式分解，得
*
1)0--=
解得
2k k Z
h ∈=
∑2E =
=，21k k Z
h +∈=
∑2O == 右图是圆2
2
*
*
1EE OO E O +=+=
和直线O E =
在点E =
，O = …………………………………………………………………………………………………… 3）若令 *1(1)k k k h g -=- （2－13）
则以下等式 （ⅰ）
22,k l k m l m k Z
g g δ*
--∈=∑ 这是小波函数()t ψ的正交平移性的等价形式。 （ⅱ）
*
220k l k m k Z
h g --∈=∑ 这是尺度函数()t φ和小波函数()t ψ正交性的等价形式。 （ⅲ）
*
*
2222,()l k m k l k m k l m k Z
h h g g δ----∈+=∑ 对所有,l m 成立.其中,*
表示对复数取共轭.
===============================================================================
3）的证明：
（ⅰ）
22,k l k m l m k Z
g g δ*
--∈=∑ 根据*
1(1)k k k
g h -
=-，知g 与h 有确切关系，故可从2）中的（ⅰ）式
*
22
,k l k m
l m
k Z
h h δ
--∈=∑简单推出 22,k l k m l m k Z
g g δ*
--∈=∑ 证毕。 ……………………………………………………………………………………………..
（ⅱ）
*
220k l k m k Z
h g --∈=∑ 证明：用2k m -代替k ，则式*
1(1)k k k g h -=-成为*
221(2)(1)
k m k m k m g h ----=-，于是
*
22k l k m k Z h g --∈∑*
221(2)(1)k m k l k Z
k m h h --∈--=-∑ 令221k j l m =-+++ 则有 1212(1)j j
j m j l h h -+-++-=
-∑ 幂21j l -++和1j -+相同，1j -+和1j +也相同，不改变（－1）的奇偶性
1212(1)j j
j m j l h h +-++-=-∑11(2)2(1)j j
j m j l h h -+---=-∑
在用k 代替j ，得
11(2)2(1)k k
k m k l h h +---=-∑1(2)2(1)k k
k m k l h h ---=--∑
用g 换回h ，得
*
22k
k l k m h g --=-∑
移项，得
*
220k l k m k Z
h g --∈=∑ 证毕。 (ⅲ)
*
*
2222,()l k m k l k m k l m k Z
h h g g δ----∈+=∑ 证明：
由于*
12212(1)m k
m k k m g h -+-+-=-，*
12212(1)l k l k k l g h -+-+-=-，代入（ⅲ）式左边，得
＝
**
2222()m k l k m k l k k Z
h h g g ----∈+∑＝*
*
222121((1))k l k m l m
m k m l m Z
h h
h h ---+-+-∈+-∑ (*)
当l 与m 的奇偶相同，即2l m n =+时，上式中(1)
1m l
--=，且
*
*
2222m k l k m k l k k Z k Z
h h h h --++∈∈=∑∑ （**） **212121221k m k l k m n k m k Z k Z
h h h h +-+-+--+-∈∈==∑∑
*2121k m k l k Z
h h ++++∈=∑ (***)
将式（*）、（**）代入（*）右端，则有
*
*
2222()l k m k l m m k k Z
h h g g ----∈+∑ *
*
222121()k l k m k m k l k Z
h h h h ++++++∈=+∑ *
,k m k l m l k Z
h h δ++∈=
=∑ （****） 注意到2l m n =+，当l 与m 的奇偶不同，即2l m n =+＋1，此时（*）中(1)1m l
--=-，
式（**）仍成立，而式（＊＊）右端第二项为
*
*
212121(21)21k l k m k m n k m k Z k Z
h h h h +-+-+-+++-∈∈=∑∑ **2222222122k n m m k n m n m
k m k l k Z k Z
h h h h --+--+++++∈∈==∑∑ （*****） 将(1)
1m l
--=-和式（**）和（****）代入（*）式，则有
*
*
2222()0l m k m l m k m k Z
h h g g ----∈+=∑ 综合式（****）和（*****），得
*
*
2222,()l k m k l k m k l m k Z
h h g g δ----∈+=∑。 证毕。
……………………………………………………………………………………………………… 定理2.1 设正交尺度函数生成了多分辨分析{V }j j Z ?,{}k k Z h ?是满足两尺度方程的滤波器,令
()(2)n n
t g t n ψφ=
- （2－14）
其中,n g 满足式(2-13)*
1(1)k
k k g h -=-,则()t ψ为小波,且它的平移系统构成0W 的标准正
交基,其中0W 是0V 在1V 中的正交补空间，从而,,{
()}j k j k Z t ψ∈构成2
(R)L 的一个标准正交基。定理的证明等价于证明以下几点:
1) {
()}k Z t k ψ∈-是标准正交的; 2)对任意k Z ?,0()W t k ψ-∈;
3) 0W 中的每一个函数可写成()t k ψ-的线性组合;
4)()t ψ是一个小波，即()0R
t dt ψ=?. 证明:
1） 将式()(2)n n
t g t n ψφ=
-中的t 用t l -代替，得
()(2())n n
t l g t l n ψφ-=--
(2(2))n n
g t l n φ=-+
令2l n m += 2(2)m l m
g t m φ-=-
仍以n 记，即 2()(2)n l n
t l g t n ψφ--=-
同理，得 2()(2)n m n
t m g t n ψφ--=
-
所以 (),()t l t m ψψ--=*
222
(2),(2)n m n l n
g g t n t n φφ----∑
而 (2),(2)t n t n φφ--=(1)/2
/2
1
(2)(2)2
n n t n t n dt φφ+--=?
由引理
*
22,k l k m l m k
g g δ--=∑ (),()t l t m ψψ--*
22,n l k m l m n
g g δ--==∑
从而 {
()}k Z t k ψ∈-是标准正交的。 2) 由于{()}k Z t k φ∈-是0V 的标准正交基,所以只须证明对任意,l m Z ?,{()}l Z t l φ∈-和
{()}m Z t m ψ∈-是正交的.
事实上
(),()
t l t m φψ--
(2(2)
l
m
h t l g t m φφ=
--
22(2(2)
n m n l n
n
h t n g t n φφ--=
--
*222(2),(2)
n m n l n
h g t n t n φφ--=--∑
根据引理2.1.3)中(ⅱ)*
220k l k m k Z
h g --∈=∑
(),()t l t m φψ--=0
从而证得()()t l t m φψ-⊥-，既对任意,l m Z ?,{()}l Z t l φ∈-和{
()}m Z t m ψ∈-是正交的.由此推出00V W ⊥，0()W t k ψ-∈。
3)由于100V V W =⊕,所以只要证明对任意,l m Z ∈,存k a 在k b 和,使得
(2){()()}k k k
t m a t k b t k φφψ-=-+-∑
设想上式具有形式
*
*
22{()m k m k k
h t k g t k φψ---+-∑()} 由于
2()(2)n l n t l h t n φφ--=
-
2()(2)n k n
t k g t n ψφ--=-
所以
＝
*
*
2222{(2)m k l k m k l k k l l
h h t l g g t l φφ-----+-∑∑∑(2)} ＝ *
*
2222{(2)l k m k l k m k l k
h h g g t -l φ----+∑∑)} 根据引理2.13)
*
*
2222,()l k m k l k m k l m k Z
h h g g δ----∈+=∑，则有 ,1
)
()l m l
l,m l=m
t -l 2t -m δδφφ===
∑(2
由此证明
{()()}k k k
a t k
b t k φψ-+-∑是(2)
t m φ-的线性组合。
而
2()(2)k m m
t k g t m ψφ--=-，因而{()}k Z t k ψ∈-张成了子空间0W ，所以0W 中的每
一个函数可写成()t k ψ-的线性组合。
4）要证明()t ψ是一个小波，
()t dt ψ∞
-∞?＝0，只要证明?(0)0ψ=
记g 的傅立叶变换为?()ik k k
g
g e ωω-=∑ 根据式（2--13) *
1(1)k k k g h -=-及根据引理2.1 2)
中（ⅳ）
212k k Z
k Z
k h h +∈∈==
∑∑ *
1?(0)(1)k
k k k k
g
g h -==-∑∑1k l
-==*(1)l l h --∑
写成奇偶形式，得（）
*
*
2120k k k k
h h +-=∑∑ 故 ?(0)0g
=
再对（2－14）
，即()(2)n n
t g t n ψφ=
-两边求付里叶变换，得小波方程的频域形式：
?()(
(2)k k i t g t k e dt ωψ
ωφ∞
∞
-∞=-∞
-=-∑
(2)k k i t g t k e dt ωφ∞
∞
-∞
=-∞
--∑? 令2t k u -=，则/2/2t k u =+
)()(2
()(
)i k k k i u
u g u e d e ωω
φ∞
∞
--∞=-∞
-∑?
＝
2
)()([()i u
k k i k g e u e du
ωω
φ∞
∞
--∞
=-∞
-∑?
)2(?[]()2k i k g e ωωφ∞
=-∞
-∑
??()()2
2g ωω
φ （小波方程的频域形式）
于是
???(0)(0)(0)g ψφ=
＝0 故()t ψ是小波。 这里，?(0)0φ≠，因此?(0)0g =（上面已证明过）。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ◆ 利用式（2－9）由?()j w 计算?()f w ，可将一个非正交的函数()t j 转化为一个正交尺度函
数：
21/2
?()?()?[(2)]
k Z
k ?
ωφ
ω?ωπ∈=+∑ ◆ 计算?()h
w 与小波函数的两尺度方程的频域形式的推导类似，可推导出尺度函数的两尺度方程的频域形式为
???()()()22w w f w f =
变换成
?
??(2)()()f w w f w =
故
?()h
w =
◆ 计算?()g
w 由式（2－13），即*
1(1)k
k k g h -=-出发，两边取傅立叶变换，得
*1?()()ik k ik k k k
k
g
g e h e ωω
ω---==-∑∑ *
11(1)l l l
l k
i il h e ωω-=--+=
-∑ *
(1)l il l l
i h e e ωω-=--∑ *()(1)l
i l l il e h e ω
ω-=--∑ 由于l Z ∈，(1)l
-和cos sin i i e π
ππ=+cos π=等价，故
*()l
i l il e h e ωωπ-+=-∑ *
?()i l e
h ωω
π-=-+
◆ ()t φ，{}k h ，()t ψ的频域形式 1）. 正交尺度函数的频域形式
若2
()(R)t L φ∈，则{()}n Z n φ∈-
是标准正交基的必要条件是：
2
?()2
1k
k φωπ+=∑， R ω?∈ ^
[()]()i t
t k t k e
dt
ωφφ∞
-∞
--=-?'''(')'i i k k t t t t t k
t e e dt ωωφ∞
-∞
--=-=+=
?
(')'i k i t e t e dt ωωφ∞
-∞
--=?
?()i k
e
ωφ
ω-= 根据Parseval 定理
^[()]()f t F w =，^[()]()g t G w =
(),()f t g t ＝*()()f t g t dt ∞-∞
?
＝12p *
??()()f g
d ωωω∞
-∞? ＝
1
2p
2?|()|f
d ωω∞
-∞
?―――――（Parseval 定理）
小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的概念 两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi 标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。 二、离散化的处理 傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不?,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件?后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件???,就是? 题目： 多分辨率分析＆连续小波变换 TITLE: MULTIRESOLUTION ANALYSIS & THE CONTINUOUS WA VELET TRANSFORM 院系： 电气信息工程系 专业： 通信工程 姓名： 学号： 毕业设计（论文）外文资料翻译 多分辨率分析＆连续小波变换 多分辨率分析 虽然时间和频率分辨率的问题是一种物理现象（海森堡测不准原理）无论是否使用变换，它都存在，但是它可以使用替代方法分析，称为信号多分辨率分析（MRA）。MRA，如它的名字一样，分析了不同分辨率不同频率的信号。每个频谱分量不能得到同样的解决是因为在STFT的情况下。 MRA是为了在高频率时，能够得到良好的时间分辨率和较差的频率分辨率，而在低频率时，能够得到良好的频率分辨率和较差的时间分辨率而设计的。这种方法是十分有意义的，特别是当手头的信号高频成分持续时间短和低频成分持续时间长时。幸运的是，在实际应用中所遇到的信号往往是这种类型。例如，下面显示了这种类型的信号。它有一个贯穿整个信号相对较低的频率分量，而在信号中间有一个短暂的、相对较高的频率成分。 连续小波变换 连续小波变换作为一种替代快速傅里叶变换办法来发展，克服分析的问题。小波分析和STFT的分析方法类似，在这个意义上说，就是信号和一个函数相乘，{\它的小波}，类似的STFT的窗口功能，并转换为不同分段的时域信号。但是，STFT和连续小波变换二者之间的主要区别是： 1、Fourier转换的信号不采取窗口，因此，单峰将被视为对应一个正弦波，即负频率是没有计算。 2、窗口的宽度是相对于光谱的每一个组件变化而变化的，这是小波变换计算最重要的特征。 连续小波变换的定义如下： 公式3.1 从上面的方程可以看出，改变信号功能的有两个变量，τ和s，分别是转换参数和尺度参数。psi(t)为转化功能，它被称为母小波。母小波一词得名是由于如下所述的两个小波分析的重要性质： 这个词意味着小波浪。小指的条件是本（窗口）函数的有限长度的（紧支持）。波指的条件是这个函数是振荡的。这个词意味着母波在支持不同类型波的转型过程中起主要作用，或者叫母小波。换句话说，母小波是产生其他窗口功能的原型。 这个术语的解释和它在STFT中的意义一样，它关系到窗口的位置，因为窗口是通过信号转换而来的。这个词，很明显，对应变换域的时间信息。但是，我们没有一个频率参数，因为我们之前STFT。相反的我们具有放缩参数，它定义为$ 1/frequency $。这个词的频率是留给STFT的。下一节对放缩参数进行了更详细的描述。 放缩 小波分析中的参数放缩类似地图使用参数。正如在地图中，高尺度对应一个非详细的整体视图（信号），低尺度对应的详细视图。同样，在频率方面，（高比例）低频率对应的信号整体信息（即通常跨越整个信号），而（小比例）高频率对应一个信号中的一个隐藏模式的详细信息（通常持续时间相对较短的时间）。余弦信号的对应，下图例子中给出不同尺度。 1 绪论 1.1概述 小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法。其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标所顶，物理中的间断现象等。而频域分析的着眼点在于区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量，典型应用包括细胞膜的识别，金属表面的探伤，金融学中快变量的检测，INTERNET的流量控制等。 从以上的信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是由于这类需求发展起来的。 在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。 而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。 全文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，它们的主要性质包括紧支集长度、滤波器长度、对称性、消失矩等，都做了简要的说明。在不同的应用场合，各个小波函数各有利弊。 小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。文中给出了详细的程序范例，用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。 小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。文中给出了详细的程序范例，用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。 小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。文中给出了详细的程序范例，用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。 1.2 傅立叶变换与小波变换的比较 小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。它自产生以来，就一直与傅立叶分析 时间序列-小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换 若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2 ∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为： dt )a b t ( f (t)a )b ,a (W R 2 /1-f ? -=ψ （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数； )a b x ( -ψ为)a b x (-ψ的复共轭函数。地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ?， 一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率。在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。 小波分析最早应用在地震数据压缩中, 以后在图像处理、故障诊断等方面取得了传统方法根本无法达到的效果. 现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用 几种时频分析方法综述1——傅里叶变换和小波变换 夏巨伟 (浙江大学空间结构研究中心) 摘要：传统的信号理论，是建立在Fourier 分析基础上的，而Fourier 变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier 变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波变换与Fourier 变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis ），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。本文对傅里叶变换和小波变换进行了详细介绍，并用算例分析指出了两者的差别。 关键词：傅里叶变换；小波变换；时频分析技术； 1 傅里叶变换（Fourier Transform ） 1 2/201 22/0()()()()1()()()(::::)N j nk N ft N ft j nk N n H T h kT e H f h t e d DFT FT IFT IDFT t NT k h t H f e dt h nT H e N NT ππππ--∞ --∞∞--∞?=??=??????????→????=?=??? ∑??∑离散化(离散取样) 周期化（时频域截断） 2 小波变换（Wavelet Transform ） 2.1 由傅里叶变换到窗口傅里叶变换（Gabor Transform(Short Time Fourier Transform)/） 从傅里叶变换的定义可知，时域函数h(t)的傅里叶变换H(f )只能反映其在整个实轴的性态，不能反映h （t ）在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时域区间（比如：t ∈[a,b]）内的频率成分，很直观的做法是将h(t)在区间t ∈[a,b]与函数[][]11,t ,()0,t ,a b t a b χ?∈?=? ∈??，然后考察1()()h t t χ傅里叶变换。但是由 于1()t χ在t= a,b 处突然截断，导致中1()()h t t χ出现了原来h （t ）中不存在的不连 续，这样会使得1()()h t t χ的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点， D.Gabor 在1944年引入了“窗口”傅里叶变换的概念，他的做法是，取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0，然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT 变换以考察h(t)在特定时域内的频域情况。 22(,)()()()()(,)ft f ft f STFT ISTF G f h t g t e dt h t df g t G f e d T ππτττττ +∞ --∞ +∞+∞ -∞ -∞ =-=-??? ：： 第10章 离散小波变换的多分辨率分析 在上一章，我们给出了连续小波变换的定义与性质，给出了在),(b a 平面上离散栅格上小波变换的定义及与其有关的标架问题。在这两种情况下，时间t 仍是连续的。在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研究b a ,及t 都是离散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意义。由Mallat 和Meyer 自80年代末期所创立的“多分辨率分析”技术[87,88,8]在这方面起到了关键的作用。该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法[34,33]结合起来，构成了小波分析的重要工具。本章将详细讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。 10.1多分辨率分析的引入 10.1.1信号的分解近似 现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。 给定一个连续信号)(t x ，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。如图10.1.1(a)所示，令 ???=0 1)(t φ 其它 10<≤t (10.1.1) 显然，)(t φ的整数位移相互之间是正交的，即 )()(),(k k k t k t '-=?'--?δφφ Z k k ∈', (10.1.2) 这样，由)(t φ的整数位移)(k t -φ就构成了一组正交基。设空间0V 由这一组正交基所构成，这样，)(t x 在空间0V 中的投影（记作)(0t x P ）可表为： )()()()()(,t k a k t k a t x P k 0k k 0φ φ∑∑=-= (10.1.3) 式中)()(,0k t t k -=φφ,)(k a 0是基)(,0t k φ的权函数。)(0t x P 如图10.1.1(b)所示，它可以看作是)(t x 在0V 中的近似。)(k a 0是离散序列，如图10.1.1(c)所示。 一、高斯调幅的线性调频脉冲信号sig 在取窗函数好h=1时的时频联合分布 clear close all clc %产生非平稳信号 sig=real(amgauss(128).*fmlin(128)); %%时域波形 figure(1) plot(sig,'LineWidth',2); xlabel('时间 t'); ylabel('幅值 A'); %设置窗函数 h=1; %计算短时傅立叶变换 [tfr,t,f]=tfrstft(sig,1:128,128,h); %时频表示 figure(2) contour(t,f(1:128),abs(tfr)); xlabel('时间 t'); ylabel('频率 f')； 二、同一信号在同一窗函数但不同窗长度时的短时傅立叶变换和Gabor 变换的时频分布图 clear close all clc %产生非平稳信号 %%暂态信号1 sig1=real(amgauss(128,45).*fmconst(128,0.25,45)); %%暂态信号2 sig2=real(amgauss(128,85).*fmconst(128,0.25,85)); sig=sig1+sig2; %时域波形 figure(1) plot(sig,'LineWidth',2); xlabel('时间 t'); ylabel('幅值 A'); %设置窗函数1 h1=window(@hamming,65); %计算短时傅立叶变换 sig=hilbert(sig); [tfr,t,f]=tfrstft(sig,1:128,128,h1); %短时傅立叶变换时频表示 figure(2); contour(t,2*f(1:128),abs(tfr)); xlabel('时间 t'); ylabel('频率 f'); %gabor 变换的时频表示 [tfr,dgr,gam]=tfrgabor(sig,64,32,h1); figure(3); tfrgabor(sig,64,32,h1); xlabel('Time [s]'); ylabel('Frequency [Hz]'); %设置窗函数2 h2=window(@hamming,17); %计算短时傅立叶变换 [tfr,t,f]=tfrstft(sig,1:128,128,h2); %短时傅立叶变换时频表示 figure(4) 第八章吸光光度法 基于物质对光的选择性吸收而建立的分析方法称为吸光光度法。包括比色法、可见及紫外分光光度法等。本章主要讨论可见光区的吸光光度法。利用可见光进行吸光光度法分析时，通常将被测组分通过化学反应转变成有色化合物，然后进行吸光度的测量。例如：测量钢样中Mn的 含量，在酸性溶液中将Mn氧化为MnO 4-，然后进行吸光 度的测量。 与化学分析法比较它具有如下特点： （一）灵敏度高 吸光光度法常用于测定试样中1－0.001%的微量组分。对固体试样一般可测至10-4 %。 （二）分析微量组分的准确度高 例如：含铁量为0.001%的试样，如果用滴定法测定，称量1g试样，仅含铁0.01mg，无法用滴定分析法测定。如果用显色剂1，10-邻二氮菲与亚铁离子生成橙红色的1，10-邻 二氮菲亚铁配合物，就可用吸光光度法来测定。 Fe2++ 3(1,10-phen) → [ Fe(1,10-phen)3] 2+（三）操作简便，测定快速 （四）应用广泛 几乎所有的无机离子和许多有机化合物都可直接或间接地用分光光度法测定。可用来研究化学反应的机理、溶液中配合物的组成、测定一些酸碱的离解常数等。 §8-1 吸光光度法基本原理 一、物质对光的选择吸收 当光束照射到物质上时，光与物质发生相互作用，产生了反射、散射、吸收或透射（p238, 图9-1）。若被照射的是 均匀的溶液，则光在溶液中的散射损失可以忽略。 当一束由红、橙、黄、绿、青、蓝、紫等各种颜色的光复合而成的白光通过某一有色溶液时，一些波长的光被溶液吸收，另一些波长的光则透过。当透射光波长在400-700nm 范围时，人眼可觉察到颜色的存在，这部分光被称为可见光。透射光和吸收光呈互补色，即物质呈现的颜色是与其吸收光呈互补色的透射光的颜色。 溶液由于吸收了580-600 nm的黄色光，呈例如：CuSO 4 现的是与黄色呈互补色的蓝色。不同波长的光具有不同的颜色，见P238，表9-1。 给我们一个信号时，我们从时域中观察这个信号时，我们得到的信息是信号的持续的时间，随着时间的变化，信号的幅度起起伏伏。如果我们更进一步，就是起伏速度较快的部分对应着信号中高频部分。变换缓慢的部分对应着代表信号中的频率低频部分。我们也可以估算信号中直流分量的大小。当然这都是我们直观的理解。这种单纯的从时域中的信号的波形得到的信息是不全面的。有的时候我们想要知道我们的信号中含有那些频率成分，相应频率的强度，相位。这就是从从频域的角度来看待我们的信号。这就需要一个数学变换的工具，将我们的信号变换到频域。这个强大的数学工具就是傅里叶变换，变换后我们希望我们还可以回到时域中，也就是我们的变换是可可逆的，事实上，傅里叶变换就有这个信息不损失的性质。如今傅里叶变换已经成为一个体系。一切来自于数学中的分解思想，在这里我们选择一组正交基。对我们信号函数的分解就像是对空间中某一一向量分解到三个坐标系一样，只不过函数的坐标是傅里叶系数而已。这样，我们经过傅里叶变换就可以知道我们的信号中含有的频率成分。但是这里有一个隐含的假设，或者说是傅里叶变换的致命弱点，那就是他潜在的假设了我们的信号是平稳信号。何为平稳信号？所谓的平稳信号就是信号的各种频率成分在信号的全部持续时间中都存在。举个例子，假如我们对一个持续时间在[0,100s]的平稳信号做傅里叶变换，得出信号中有59HZ，那么就说明，对该平稳信号，59HZ从0开始，在这100s中的任何一个时刻都存在。 可是，当我们的信号不是平稳信号时，例如59HZ产生50s 处，强度和上一个信号的完全相同，其他频率也完全相同，如果我们对这一个信号做傅里叶变换，由于傅里叶变换的积分域是从负无穷到正无穷，所以不幸的是，我们得到了和上一信号完全一样的结果，我们无法再从频域回到时域了。也就是FT并没有告诉我们非平稳信号的各种频率分别出现在那个时间段上。 事实上，在现实生活中，非平稳信号和平稳信号交织在一起的。例如 心电图(ECG)、脑电图(EEG)和肌电图(EMG)。所以知道哪些频率出现在何种时间段的需求是那么的紧迫。换句话说，就是我们想要同时知道信号的时间信息和频率信息。解决方案就是FT的改进版：STFT（短时傅里叶变换）。 小波变换： 小波（wavelet）的意思是:a small wave。FT中，我们选用的是exp（jwt）函数作为我们变换空间的一组标准正交基，exp（jwt）函数在时间轴上一直存在，从-∞到+∞上均存在的信号，不会衰减，而我们在小波变换中选用的小波不仅持续时间是有限的，即只在某一个时间段内存在，而且小波的频率也是有限的，即超过一定的频率之外，该频率的强度（幅度）会逐渐衰减到0。小波变换较之于傅里叶变换的优点可以归结为如下方面：1）使得信号的存储较之于傅里叶变换后再去存储更加的有效，也就是更易于压缩，进而传输图像。2）方便了对信号的分析，因为能够更好地去近似现实中的信号（non stationary signal）。3）当信号函数中有不连续的点的时候，如果用FT得到信号的近似，会有吉布斯现象（虽然在功率上会很好的近似，但是在不连续点附近却有一个固定的误差，无法进一步减小），比之于FT的这个缺点，我们的小波变换能够更好的对数据中的不连续点进行近似。 [转载]时频分析与小波变换的发展历程 已有 1441 次阅读2010-6-13 13:07|个人分类:学术|系统分类:科研笔记|关键词:时频分析，发展 傅立叶分析的发展历程 1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立叶分析。 （1）操作过程：从数学角度而言，对一个函数进行傅立叶变换 （Fourier Transform，FT）。从信号处理的角度而言，对任意信号f(t) 的频谱F(ω)进行分析。 （2）优点：能够准确刻画平稳信号在整个时（空）域的频率性质。 （3）缺点：不能反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT 在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。 1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT）。 （1）操作过程：对信号进行加窗，再对加窗后的信号进行傅立叶变换，从而得到信号在局部区域的频谱。 （2）优点：能够分析信号局部频域特征。 （3）缺点：由于STFT中时间窗的宽度与频率无关，它仍然是一种恒分辨率分析。 1948年，Ville提出了维格纳-威尔分布（Wigner-Ville Distribution，WVD），并引入时频信号分析。 （1）操作过程：信号中心协方差函数的傅立叶变换。 （2）优点：具有对称性、时移不变性、真边缘性、平均瞬时频率等优良性质，WVD的时频分辨率比STFT的分辨率高。 （3）缺点：存在交叉干扰项（Cross-Term Interference，CTI），这是二次型时频分布的固有结果，大量的CTI会淹没或严重干扰信号的自项，模糊信号的原始特征。 小波分析的发展历程 一、小波分析 1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。 （1）操作过程：Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。 （2）优点：Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。 小波分析小结 小波分析的形成 小波分析是一门数学分支，是继Fourier 变换之后新的时频域分析工具。小波理论的形成经历了三个发展阶段： Fourier 变换阶段： Fourier 变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别进行分析。设信号()f t ，其Fourier 变换为： ()()i t F f t e dt ωω∞ --∞ =? () F ω确定了()f t 在整个时间域上的频谱特性。但 Fourier 变换不能对信号从时域和频域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。 例：()1,(22)f t t =-<=<=，其Fourier 变换对应图如下： 短时Fourier 变换阶段： 短时Fourier 变换即加窗Fourier 变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier 分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，达到时频局部化目的。其表达式为： (,)(),()()()j t j t f R G f t g t e f t g t e dt ωωωτττ-=?-?=-? 式中，()g t 为时限函数，即窗口函数，j t e ω-起频限 作用，(,) f G ωτ大致反映了()f t 在τ时、频率为ω的信 号成分含量。 由上式，短时Fourier 变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和形状固定，所得时频分辨率单一。 小波分析阶段： 为了克服上述缺点，小波变换应运而生。小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。对信号可以进行概貌和细节上的分析。 每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。而该小波的basis 函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。 还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。小波展开的近似形式是这样： 其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？ 在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。 首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。但是，母小波并非唯一的原始基。在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。它和母小波一样，也是归一化 了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交： 另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。 其中是母小波，是父小波。需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性，并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。但大部分小波变换的基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）。说到这里，你的问题可能会井喷了：好好的为什么出来一个父小波呢？这个scaling function是拿来干嘛的？它背后的物理意义是什么？wavelet function背后的物理意义又是什么？这个多解析度分析又是什么呢？不急，下面，我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识，同时再引出新的特性。 假设我们有这样一个信号： 小波分析的要点： 1.目的 小波分析是一个强有力的统计工具，最早使用在信号处理与分析领域中，通过对声音、图像、地震等信号进行降噪、重建、提取，从而确定不同信号的震动周期出现在哪个时间或频域上。现在广泛的应用于很多领域。 在地学中，各种气象因子、水文过程、以及生态系统与大气之间的物质交换过程都可以看作是随时间有周期性变化的信号，因此小波分析方法同样适用于地学领域，从而对各种地学过程复杂的时间格局进行分析。如，温度的日变化周期、年变化周期出现在哪些事件段上，在近100年中，厄尔尼诺-拉尼娜现象的变化周期及其出现的时间段，等等。 2.方法 小波变换具有多分辨率分析的特点，并且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。小波变换通过将时间系列分解到时间频率域内，从而得出时间系列的显著的波动模式，即周期变化动态，以及周期变化动态的时间格局（Torrence and Compo, 1998）。小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊的、长度有限，平均值为零的波形。它有两个特点：一是“小”，二是具有正负交替的“波动性”，即直流分量为零。小波分析是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，能自动适应时频信号分析的要求，可聚焦到信号的任意细节。小波分析将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波（mother wavelet）函数经过平移与尺度伸缩得来的。用这种不规则的小波函数可以逼近那些非稳态信号中尖锐变化的部分，也可以去逼近离散不连续具有局部特性的信号，从而更为真实的反映原信号在某一时间尺度上的变化。小波分析这种局部分析的特性使其成为对非稳态、不连续时间序列进行量化的一个有效工具（Stoy et al., 2005）。小波是一个具有零均值且可以在频率域与时间域内进行局部化的数学函数（Grinsted et al., 2004）。一个小波被称为母小波（mother wavelet），母小波可沿着时间指数经过平移与尺度伸缩得到一系列子小波。子小波可以通过尺度（s，频率的反函数）函数和时间（n）位置或平移来描述。利用一系列子小波，一个信号可以在不同的时间尺度上进行计算并显示出详细的特征尺度。拉伸更大的小波窗口，使其宽度更大便可以分析时间系列中波动较大的部分并捕捉大尺度（低频）事件的特征。相反，压缩较小的窗口将包含小尺度（高频）的事件信息。当信号被子小波相乘，被s与n唯一的表达，我们可以计算出信号在时间频率域一个具体位置的系数。如果信号在时间n上的谱成分可以与小波s比较，那么计算的小波系数具有相对较大的值。在其它n与s的组合（如其它的子小波）上都进行这样的计算，那么将会产生一系列系数（小波变化）来表达信号在时间频率域内的分解。通过这样的变化便可得到时间系列的波动模式（周期变化模式）以及这些模式随时间的变化（Furon et al., 2008; Jevrejeva et al., 2003）。 小波变化可以分为连续小波变化（the Continuous Wavelet Transform, CWT）与离散小波变换（Discrete Wavelet Transform, DWT）。离散小波变化DWT是数据的紧凑表示，长用于降噪与数据压缩。连续小波变化CWT更适合于信号特征的提取（Grinsted et al., 2004）。CWT 第2章 多分辨分析 2.1 多分辨分析-----MRA 2.1.1 多尺度空间 ［例2－1］ 右图由(2)t φ和(21)t φ-的线性组合构成了()t φ，因此，我们说函数1,()k t φ， k =0，1生成了()t φ，或者说1,()k t φ包含了()t φ，即1,()k t φ?()t φ。 ［例2－2］尺度函数,()(2)j j k t t k φφ=-， j ＝0，1，2，3；k =0，1,2，…,21j -（这里暂对j 和k 的范围做了限制）形成了伸缩平移系统，其中j 不同，张成了不同的子空间，如图： 3(2)t k φ-，k=0，1，…，7，张成了3V 子空间； 2(2)t k φ-，k=0，…，3，张成了2V 子空间； 1(2)t k φ-，k=0，1，张成了1V 子空间； (2)t k φ-，k=0, 张成了0V 子空间。 由上图可见，3V ?2V ，2V ?1V ，1V ?0V ，即3V ?2V ?1V ?0V 。 0V 函数子空间 是当分辨率0j =，尺度为0 221j ==时 ，由尺度函数()t k φ-的平 移系统张成的函数子空间。0V 中的任一函数0()f t 均可用()t k φ-的平移系统的线性组合表示 紧支撑（有限个，其余为零K C ）00 ) 0()f t = ()k k Z c t k φ∈-∑，k c R ∈ [例2－2] 下图是一个定义在区间[-1，4]上，所有不连续点仅在整数集中的分段常量函数波形。（也可能在整数点处连续，但不连续点一定在整数点处。）满足线性空间定义的两个运。） 而当10123,,,,c c c c c -均为零时，构成零向量），因此构成向量空间。这个特定的,即由宽度为1＝1/2j ＝0 1/2的5个基向量组成的基底所张成的向量空间，就是一个0V 子空间。 图示为由尺度函数组成的一组基 例中波形给出的函数可表达为 0()f t =10,100,010,120,230,3()()()()()c t c t c t c t c t φφφφφ--++++ 当K 遍历-1、0、1、2、3时，0,()k t φ构成了0V 子空间的一组标准正交基。 1V 函数子空间 是当分辨率1j =，尺度为1 222j ==时 ，由尺度函数(2)t k φ-的平移系统张成的函数子空间。1V 中的任一函数1()f t 均可用尺度函数()t k φ-的平移系统的线性组合表示 1()f t = (2)k k Z c t k φ∈-∑ ， k c R ∈ [例2－3] 下图是一个定义在区间[-1/2，2]上，所有不连续点仅在半整数点{0,1/2,1,3/2,....±±±}（也可能在半整数点处连续，但不连续点一定在半整数点处。）的分段常量函数波形,满足线性空间定义的两个运算和7个公理。这个特定的,即由宽度为1/2＝ 几种时频分析方法简介 1． 傅里叶变换（Fourier Transform ） 1 2/201 22/0()()()()1()()()(::::)N j nk N ft N ft j nk N n H T h kT e H f h t e d DFT FT IFT IDFT t NT k h t H f e dt h nT H e N NT ππππ--∞ --∞∞--∞?=??=??????????→????=?=??? ∑??∑离散化(离散取样) 周期化（时频域截断） 2． 小波变换（Wavelet Transform ） a. 由傅里叶变换到窗口傅里叶变换（Gabor Transform(Short Time Fourier Transform)/） 从傅里叶变换的定义可知，时域函数h(t)的傅里叶变换H(f )只能反映其在整个实轴的性态，不能反映h （t ）在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时域区间（比如：t ∈[a,b]）内的频率成分，很直观的做法是将h(t)在区间t ∈[a,b]与函数 [][]11,t ,()0,t ,a b t a b χ?∈?=? ∈?? ，然后考察1()()h t t χ傅里叶变换。但是由于1()t χ在t= a,b 处突然截断，导致中1()()h t t χ出现了原来h （t ）中不存在的不连续，这样会使得1()()h t t χ的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点，D.Gabor 在1944年引入了“窗口” 傅里叶变换的概念，他的做法是，取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0，然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT 变换以考察h(t)在特定时域内的频域情况。 22(,)()()()()(,)ft f ft f STFT ISTF G f h t g t e dt h t df g t G f e d T ππτττττ+∞ --∞ +∞+∞ -∞ -∞ =-=-??? ：： 图：STFT 示意图 STFT 算例外文翻译---多分辨率分析 & 连续小波变换
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