第一章 行列式
习题1.1
1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆.所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++.我们有
3
)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域.所以有理数的和、差、积仍然为有理数.所以
)
3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a .则必有22,b a 不同时为零.从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数.所以
)3(33)
(3)3()
3)(3()3)(3(3
32
2
22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=
-+-+=
++。
综上所述.我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域.这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数.则)()(q Q p Q ⊄。 （反证法）如果)()(q Q p Q ⊆.则q b a p Q b a +=⇒
∈∃,.从而有
q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数.而q 是无理数.所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。
如果0=a .则2
qb p =.这与q p ,是互异素数矛盾。
如果0=b .则有a p =.从而有“有理数=无理数”成立.此为矛盾。
所以假设不成立.从而有)()(q Q p Q ⊄。 同样可得)()(p Q q Q ⊄。
（4）因为有无数个互异的素数.所以由（3）可知在Q 和ℜ之间存在无穷多个不同的数域。
2. 解：（1）)1(-P 是数域.证明略（与上面类似）。
（2）)1(-Q 就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。 而=-=-ℜ)1()1(C 复数域。
（3）)1(-Z 不是数域.这是因为他关于除法不封闭。例如
)1(2
1
-∉Z 。 3. 证明：（1）因为K F ,都是数域.所以K Q F Q ⊆⊆,.从而K F Q ⋂⊆。故K F ⋂含
有两个以上的复数。
任给三个数K F c K F b a ⋂∈≠⋂∈0,,.则有F c b a ∈,,且K c b a ∈,,。因为K F ,是数域.所以有F c a ab b a ∈±,,且K c a ab b a ∈±,,。所以K F c
a
ab b a ⋂∈±,,。 所以K F ⋂是数域。
（2）K F ⋃一般不是数域。例如)3(),2(Q K Q F ==.我们有K F ⋃∈3,2.但是K F ⋃∉=326。
习题1.2
2. 解：项651456423123a a a a a a 的符号为 =-+)
312645()234516()1(ττ
习题1.3
1．证明：根据行列式的定义
11
111111
1
=
121212
()
12(1)
n n
n
j j j j j nj j j j a a a τ-∑
1
ij a =
12
12
()
(1)n n
j j j j j j τ-∑
=0。
所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多.(-1)是由奇排列产生的.而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n 阶排列.故可以得到全体n 阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多.各占一半。
2．解 (1) 199819992000
2001
20022003
20042005200632
C C -199819991200120021200420051
21
C C -199811200111200411
=0； （2）
1
001022003304
4--3241C C C C -+10000
2
0003604008
-下三角形
1268=96⨯⨯⨯；
（3）
1110
1101101101112131R R R R --1
11000
1101
0101
1
1
--24R 1
1100
11101
1
11--32R R +111001
1100
1
2
0011
-
43R R +1110
11100120003
上三角形
1113=3⨯⨯⨯；
（4）
222222a b c
a a
b b
c a b c
c
c a b ------123
R R R ++2222a b c a b c a b c b b c a b c
c
c a b
++++++----
提取公因子
111()2222a b c b b c a
b c
c c a b ++----
2131
(2)(2)R b R R c R --111()000
a b c b c a
c a b
++------=3
()a b c ++。
（5）72222272222272222272
222275
12i
i C C =+∑152222
157222
152722
152272152227
12,3,4,5
i R R i -=1522220
500000500000500
0005
上三角形
515555535⨯⨯⨯⨯=⨯。
3．解：（1）11
121321
222331
32
33
x y x y x y x y x y x y x y x y x y 提取每行的公因子
1
231231
231
2
3
y y y x x x y y y y y y 性质4
0。
（2）左端
14,3,2
i i C C i --=2
22
2
212325
212325212325212325
a a a a
b b b b
c c c c
d d d d ++++++++++++4332C C C C --
222
2
2122212221222122
a a
b b
c c
d d ++++=0=右端。
（3）121
112
1122
11
2
11
1111
n n n n n a a a a b a a a a b a a a a b -----+++12,
i R R i n
-=121
12
1
10000000
n n a a a b b b --
上三角形
12
1n b b b -。
（4）原式（先依次12211,,,C C C C C C n n n n ------ ）=。
。。=⎩
⎨⎧>=2,2
,n if n if 。 （5）原式（先依次12211,,,R R R R R R n n n n ------ ）=。。。=⎩⎨
⎧>=2
,2
,n if n if 。
4．解：设展开后的正项个数为x 。则由行列式的定义有!2)!(n x x n x D -=--=。又因为
=D （利用n i R R i ,,3,2,1 =+）
2
210210
01
（下三角行列式）1
2
-=n 。所以有
2
!
2,!22
11
n x n x n n +=-=--。
5．证明：（1）左端
123C C C ++提取公因子
11111112222222333
33332a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ++++++++++++2131
C C C C --
1111122222333
3
3
2a b c b c a b c b c a b c b c ++--++--++--1233
C ;(1)C C C C ++-2(-1)1
11
22233
3
2a b c a b c a b c =右端。
（2）利用性质5展开。 6．解：（3）与上面3（3）类似可得。 7．解：利用行列式的初等变换及性质5。
8．解：
1122110000
00000111
11
n n a a a a a a ----
-11,2,
,1
i i C C i n ++=-
1210000000
000
01
2
3
1n a a a n n
-----下三角形
12
1(1)n n na a a --。
9．证明：设原行列式=D 。则对
D
进行依次如下变换后
∑=+⨯⨯5
2
14323
14
,10,100,10,10i i C C C C C C 所得的行列式D ′第一列由题设中所给的5个数
字构成。从而由行列式的定义可知D ′可被23整除。又由行列式的性质知D ′D 10
10=。因为23是素数.且10
10不可能被23整除.所以D 可以被23整除。
习题1.4
1．解：(1) 0
000
00
000x
a b c
y d
e z f
g
h k u l
v
5按第行展开00
000
0x
a b y v e
z g
h k
u
按第4列展开000
x a b vu y e z
按第1列展开
0y xuv
e
z
=xyzuv ；
(2) 1111
2341
3412
4123
1
4,3,2
i i
R R
i
-
-
=
1111
1230
1131
1311
-
-
1
2,3,4
i
R R
i
-
=
1111
0121
0040
0400
-
-
-
按第1列展开121
040
400
-
-
-
1.27(4)
-
习题第题3(31)
2
(1)(1)(4)(4)
-
----=16；
(3)方法一
01000
00100
00010
a b c d e
e d c b a
按第1列展开
1000
0100
0010
a
d c b a +51
1000
(1)
0100
0010
b c d e
e
+
-
第2个行列式按第4列展开241
100
(1)010
001
a e e
+
+-=22
a e
-；
方法二逐次均按第2行展开可得同样结果, 具体解法可参见下例。
(4)逐次按第2行展开
1
2
3
1
0001
0000
0000
000
10
00
n
n
a
a
a
a
a
-
=
1
3
2
01
00
10
n
a
a
a
a
==
1
231
1
1
n
n
a
a a a
a
-
=
2311
(1)
n n
a a a a a
-
-；
(5)
123
111
221232
222
123
222
331233
110001
000
111
000
x x x
a b c
a b x x x c
x x x
a b x x x c
36
C
123
111
222231
222
123
222
333231
111000
000
111
000
x x x
a b c
a b c x x x
x x x
a b c x x x
-35
R
123222123222231111222
3
3
3
2
3
11110000000001
1
1x x x x x x a b c x x x a b c a b c x x x 45R 1232221231112222
3
1222
3
3
3
2
3
1111000000000111x x x x x x a b c a b c x x x a b c x x x -
=2
123(,,)D x x x -=222313221()()()x x x x x x ----；
(6)
23
11
11122144
188
x x x --=(1,2,2,)D x -=(2)(2)(1)(22)(21)(21)x x x +-------
2
12(1)(4)x x =--；
（7）换行后可得到范德蒙行列式；
（8）先把第一行加到第三行.再提取第三行的公因式.换行后可得到范德蒙行列式。
2．解：(1)
000
00
00
00000000
x y x y x x y y
x 按第1
列展开
11000
0(1)00
x
y x y x
x
+-+1
00
00
(1)0
000
n y
x
y y x x y
+- =1
(1)n
n n x y ++-；
(2)
1231231231
2
3
111n
n n n
a a a a a a a a a a a a a a a a +++12,3,
,i R R i n
-=12
31
1
100
1010
1
1
n
a a a a +---12n
i
i C C =+∑ =1+
1
n
i
i a =∑；
（此处有笔误）
(3)
111212122212
111111111n
n n n n n
x y x y x y x y x y x y x y x y x y +++++++++
12,3,
,i R R i n
-=
11121211212211112
1111()()()()()()n n
n n n n
x y x y x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y +++------
=1112
112
213111
2
111()()()
n
n
n n n
x y x y x y y y y x x x x x x y y y y +++---.
据此当2n =时.原式=2121()()x x y y --；当2n >时.原式=0。 3
．解：（
1）将n D 按第n 列展开得:
n D =
0000
00000000
x y y y y z
x z
x x z
x
=10000(1)000000
n z
x z
x
y
x
z
+-+000
0000
x y y y z x x z
x
x
=1
11(1)
n n n yz xD +---+。
（2）略（参考课本例中的叙述）。 4．解：（1）交换行、列后得到三角块行列式.然后利用例1.4.6的结果；或者直接利用Laplace 定理。
（2）左端先做变换3241,C C C C ++.再做变换2314,R R R R --.然后利用P30推论。
5．解：（1）765
43
29
7
8
9437
497005361000056000
6
8
再分块
24
7
4975361
32
(1)43
00560
6
8
⨯-⋅
=
327456
435368
⋅⋅
=4；
（2）
1221
010*********
23C 1221001221010021
23R 12212101
00120
2
1
=
1212
92121
⋅=； （3）利用初等变换。 附加：P30推论的证明：
证 (1) 将第r+1列与r 列交换, 由将新的r 列与r-1列交换, 如此继续, 直到将第r+1列交换到第1列, 这样共交换r 次; 再将第r+2列如上方法交换至第2列, 也交换了r 次, 如此继续直到将r+s 列交换至第s 列. 于是交换了rs 次后得到
111111
11111
1
000
r s r rr r rs s s ss
a a c c a a c c
b b b b =111111
111111
(1)
000
rs r r rs r rr rs
s s ss
c c a a c c a a b b b b -
将所得行列式的第r +1行依次与第r 行, r -1行, ……, 第1行交换. 交换r 次后, r +1行交换至第1行. 类似地交换r 次后将r +2行交换至第2行, ……, 交换r 次后将第r+s 行交换至第s 行, 于是交换rs 次后得:
11
1111111
11
1
00
00(1)(1)rs r rs rs rs
s r s ss
r rr
b b b b
c c a a c c a a --例1.4.511111
11
1
r s
r rr s ss a a b b a a b b ⋅
(2), (3) 思路与(1)类似, 证明过程略去。
习题1.5
2．解：计算得 100200
110
0001
2D λ
λ-=
14C C +100
001100
4012
λλ-2第行展开10(1)10401
λ
λ-
=41λ-
根据克拉默法则, 当D 0≠时, 即1
4
λ≠
时, 原方程组只有零解。
习题1.6
1．证明：方法一 归化
123
1111111
111111
11
1n n
a a D a a ++=++1,
,1
i n R R i n -=-
12
30
00000
1
1
1
1n
n n n
a a a a a a a ---+1110
n n
i i i
i R R
a a -=+-≠∑注意12
31
10
00000100
1n n n
n n n i i
a a a a a a a a
a
-
=-
--++∑
=12
11
(1)n
n i i
a a a a =+∑
=右端. 方法二 归纳法
当1n =时, 1D =111
1
1(1).a a a +=+
结论成立. 假设1n -时结论成立, 即有1n D -=1
12
111(1).n n i i
a a a a --=+∑
则当n 时, 将 n D 的第n 列看成1+0,1+0,……,1+n a , 故n D 可表示为2个行列式之和, 而第2个行列式按第n 列展开可算出为1n n a D -从而
1231111
111
11
1111
1
1
1n n
a a D a
a ++=++=
1
23
11111111
11
11111
1a a a ++++1n n a D - 而
1
23
1111111111111
1
1
1
a a a +++1,2,
,1
i n
R R i n -=-
12
3000
000
0001
1
1
1
a a a =121n a a a -.
所以n D =121n a a a -+1n n a D -=12
1n a a a -+n a 112
11
1
(1)n n i i
a a a a --=+∑
=12
1
1
(1)n
n i i
a a a a =+∑
=右端. 方法三 递推
由证明(二)可知n D 与1n D -存在以下递推关系:n D =12
1n a a a -+1n n a D -
所以n D =12
1n a a a -+1n n a D -=112
11
()n
n n i n i
D a a a a a -=+∑=
=12
1
1(1)n
n i i
a a a a =+∑
=右端.
方法四 加边法
123
1111
111111111
1
1
1n n
a a D a a ++=++=121
1000
11
1111
111
1
1
1n
n a a a ++++
1
2,3,
,1
i C C i n -=+121111
1001
001
n
a a a ---11
21n i i i R R
a +=+∑
1
121
100
010010
01
n
i i
n
a a a a =+∑
=12
1
1
(1)n
n i i
a a a a =+∑
=右端。 2．证明：（1）注意当把行列式按第n 列展开时.得到的递推公式中有三项.故归纳法第一步
应验证n=1.2时均成立。而归纳法第二步应假设当)3(≥ n n R R R R R R ----13221,,, ；然后按第一列展开.再依次1,1>-i C C i ；最后按最后 一列展开。 4．解：通过倍加行变换易知f(x)的次数最大为1；又因为如果ij a 全取零.则有f(x)=0。所以选(D)。 5．看自己或别人的作业。 6．解：方法一：利用课本中例1.4.3的方法。 方法二：设),,,,()(21x x x x D x f n =。则有f(x)中1 -n x 的系数为n D 。又因为 ∏∏--= ? ? )()()(j i i x x x x x f （范德蒙行列式）.所以f(x)中1-n x 的系数为。。。 所以可得 =n D 。 第二章 线性方程组 习题2.1 2．证明. 因||0A ≠,说明11 121...n a a a 不全为零,故当某个10k a ≠,通过适当的行互换, 可使得1k a 位于左上角,用1 1k a -来乘第一行,然后将其余行减去第一行的适当倍数,矩阵 A 可以化为:' '1211 1 (00) 0n a a A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,由于||0A ≠,此时必有1||0A ≠,故可以对1A 重复对A 的讨论, 此时A 可经初等行变换化为' ''12131''232'31 (01) (00) 1...000...1n n n a a a a a a ⎡⎤⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ , 然后再将第n 行的'in a -倍加到第i 行(1,2,...,1i n =-),再将第1n -行的' (1)i n a --倍加到第i 行 (1,2,...,2i n =-),这样继续下去,一直到将第2行的' 12a -倍加到第1行,此时A 就化为 10 001000 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 故所证结论成立。 3．证明：以行互换ij R 为例: 列互换可以同样证明. 若12 12(1)121122 ...j i i i in i i in R R j j jn j i j i jn in i a a a i a a a A j a a a j a a a a a a +-⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎥=−−−−→⎢ ⎥⎢⎥ ---⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦⎣⎦ 121122i j j j jn R R j i j i jn in i a a a j a a a a a a +⎡ ⎤⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥−−−→⎢ ⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦1 2(1)12...j ii j j jn R R i i in i a a a j a a a +-⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→⎢⎥---⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ 12(1)12...ji j j jn R i i in i a a a j a a a -⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 这相当于A 中交换第i 行和第j 行, 所以结论成立。 习题2.2 1． 解：A 中一定存在不为零的1r -阶子式,否则秩()1A r <-,与题设秩（A ）＝r 矛盾. 由秩（A ）＝r 知.A 中至少存在一个r 阶子式不为零, 这表明A 中的r 阶子式只要有一个不为零即可,其余可以等于零,也可以不等于零. A 中一定不存在不为零的1r +阶子式,否则A 的秩至少是1r +, 这也与题设秩（A ）＝r 矛盾。 2． 提示：利用矩阵的行秩和向量的极大无关组证明。 3． 略。 4． 思路：可将矩阵写成一个列向量和一个行向量的乘积.从而由秩1≤；进而因为矩阵不等 于零.所以秩〉0。 5． 略。 习题2.3 略。 习题2.4 2．证明：(Ⅰ)的增广矩阵为A =11 121121 22221,11,21,11 2n n n n n n n n n nn n a a a b a a a b a a a b a a a b ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 因为系数矩阵的秩不超过增广矩阵的秩, 所以有秩(A )≥秩(A ). 观察可知, 矩阵B 其实就是在增广矩阵A 下面加了一行, 所以秩(B )≥秩(A ). 由题意知, 秩(A )=秩(B ), 据此可得秩(A )≥秩(A ). 综上知秩(A )=秩(A ), 故(Ⅰ)有解。 3．解：将增广矩阵只用初等行变换化为阶梯形矩阵. 1231111111111 1n n b b b b b --⎡⎤ ⎢⎥-⎢⎥ ⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢ ⎥-⎢⎥⎣⎦ 11 n n R R R -+++−−−−− → 12 31 1211 1111110n n b b b b b b b --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢ ⎥++ +⎢⎥⎣ ⎦ 当120n b b b +++≠时, 秩(A )≠秩(A ), 所以线性方程组无解; 当120n b b b ++ +=时, 秩(A )=秩(A )<未知量个数, 所以线性方程组有无穷多解. 原方程组同解于 12123234311, , ,. n n n x x b x x b x x b x x b ---=⎧⎪-=⎪⎪ -=⎨⎪⎪-=⎪ ⎩ 故通解为11231223111,, ,.n n n n n x b b b b t x b b b t x b t x t ----=+++++⎧⎪=++++⎪⎪ ⎨⎪=+⎪ =⎪ ⎩ 其中t 为任意常数。 4．证明：该线性方程组的增广矩阵A =11 1,11,21 2,12,31 3,13,1,1 n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦ , 由题意0ij D a =≠知 秩(A )=n . 但是系数矩阵A 是一个(1)n n ⨯-的矩阵, 所以秩(A )1n ≤-<秩(A ). 据此秩(A )≠秩(A ), 所以该线性方程组无解。 第三章 矩阵 习题3.1 4．解：（1） 由矩阵乘法运可得： 111112112212222212n n n n n n n nn a a a a a a DA a a a λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；111212 1121222211 22n n n n n n nn a a a a a na AD a a a λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。 （2）与D 乘法可换的矩阵A 满足DA AD =。故DA 与AD 的元素对应相等.利用（１） 的结果.有i ij j ij a a λλ=.从而()0i j ij a λλ-=。由于j i λλ≠（i j ≠）.可得：当i j ≠时.0ij a =.即A 为对角矩阵。 5．证明：（1）数学归纳法：当2n =时.计算得2 110121011012001001⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ .故结论成立． 假设当n k =时.结论成立.即有2 110101*********k k k C k ⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ . 则当1n k =+时. 1 2211011101101101011011001001001001k k k k C k k C k k +⎡⎤⎡⎤ ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ． 因2 21(1)(1)22 k k k k k k C k k C +-++=+==所以1 2111011011011001001k k k C k ++⎡⎤ +⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ =+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ . 即当1n k =+时.结果成立．由归纳法原理知.对任意大于2得正整数n 有⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥ ⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡1001011001100112 n C n n n ． （2）当1n =时.结果显然成立．当2n =时, 直接计算得2 B E =. 假设当n k =时.结果成立.即,,k E B B ⎧=⎨⎩k 为偶数； k 为奇数； ．我们要证明当1n k =+时.结果 也成立.即可完成证明． 第一种情况：k 为奇数.则 1k k B B B BB +===142142100032032010043043001E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥----==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ． 第二种情况：k 为偶数.则 1k k B B B EB B +===． 综上：1 ,,k E B B +⎧=⎨⎩k+1为偶数； k+1为奇数； 即当1n k =+时.结论成立． 6． 解：（1）先计算出4,3,2,1=n 时的结果。然后归纳出应该有 cos sin cos sin sin cos sin cos n n n n n ϕϕϕ ϕϕϕϕ ϕ--⎡⎤⎡⎤ =⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ .接下来用数学归纳法证明这一归纳出的结果。 当n=1时.结论显然成立． 假设当n k =时.结论成立.即cos sin cos sin sin cos sin cos k k k k k ϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕ--⎡⎤⎡⎤ =⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ． 则当1n k =+时. 1 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos k k k k k k ϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕ+-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos()sin()cos(1)sin(1).sin()sin()sin(1)sin(1)k k k k k k k k k k k k k k k k ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---⎡⎤=⎢⎥+-+⎣⎦ +-++-+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦ 结论成立． 7．记住结论。 8．证明：因为A 与所有n 阶方阵乘法可换.故与ij E 乘法可换, 利用第7题结果有 ij ij AE E A =.即121200000000000 0000000 00 000 0i i j j jn ni j a a i a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢ ⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦ ,,1,2, ii jj ij a a i j n a =⎧⇒∀=⎨ =⎩．设11a λ=.则0000,00 A E λλ λλ⎡⎤⎢⎥⎢ ⎥==⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦ 即A 为数量矩阵． 10．证明：设1111n m mn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.11 11m n nm b b B b b ⎡⎤ ⎢⎥=⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦ .则 tr 1111122111()n n AB a b a b a b =+++ 2112222222n n a b a b a b +++ + 112211 m n m m m m mn nm ji ij j i a b a b a b a b ==+++ +=∑∑ 同理可得 tr 11 ()n m ji ij j i BA b a === ∑∑ 由于 11 11 m n n m ji ij ji ij j i j i a b b a =====∑∑∑∑.可得tr ()AB =tr ()BA ． 11．证明：假如存在n 阶方阵满足AB BA E -=.则 AB BA E =+⇒tr ()AB =tr ()BA E +=tr ()BA n +． 由于0n ≠.可得tr ()AB ≠tr ()BA .这与10题所得结果矛盾． 所以假设不成立．即不存在n 阶方阵A .B 满足AB BA E -=． 15．证明：因A .B 都是对称矩阵, 故()T T T AB B A BA ==, 从而 AB 为对称矩阵()T AB AB BA AB ⇔=⇔=. 16．证明：设1111 n m mn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.则11 11m T n mn a a A a a ⎡⎤ ⎢⎥=⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦ ． 由T T A A O A A =⇒的主对角线上元素为零 222120,1,2,i i mi a a a i n ⇒++=∀=, 由ij a 为实数知 120,0,0,1,2, i i mi a a a i n ⇒===∀= A O ⇒=. 证法二：利用二次型。 习题3.2 4．思路：注意到矩阵多项式的运算和一般多项式的运算一样就可以了。 证明：计算2 1()()k k E A E A A A E A --+++ +=-, 由题意可知k A O =, 所以 21()()k k E A E A A A E A E --+++ +=-=.根据定理3.2.1的推论可知E A -可 逆且其逆为2 1k E A A A -++++. 5．证明：计算 ()n E J -1()1n E J n - -=221111n n n E J E EJ J n n --+-- =211()111 n n n n n E J J E nE J J n n n -+=----- 计算11 11111111111111()1111111111111111n n n n nE J J O n n ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦ 据此()n E J -11()()11 n n n E J E nE J J E n n - =--=--,根据定理3.2.1的推论可知n E J -可逆且其逆为1 1 n E J n --. 6．证明：因为1 110m m m m a A a A a A a E O --++ ++=所以有 12110()m m m m A a A a A a a E ---++ +=-. 由题意可知00a ≠, 所以可在等式两边同 乘上0 1a - , 由此可得121101 ()m m m m A a A a A a E a ----+++=, 整理得 12110 1 [()]m m m m A a A a A a E a ---- +++=,根据定理 3.2.1的推论可知A 可逆且 112110 1 ()m m m m A a A a A a a ----=- +++. 7．证明：(1) 由题意2 4A A E O +-=可得1[()]4 A A E E +=, 根据定理3.2.1的推论可 知A 可逆并且1 1 ()4 A A E -=+. (2) 由题意2 4A A E O +-=可得2 22A A E E +-=, 而这个等式可化为 ()(2)2A E A E E -+=, 即有1 ()[(2)]2A E A E E -+=, 同样根据定理3.2.1的推论 可知A E -可逆并且1 1()(2)2 A E A E --=+. 8．思路：注意题设实际上是给出了矩阵多项式0)(2 =-=A A A f 。所以一般情况 下.A E -2如果可逆.其逆矩阵也应该是一个矩阵多项式。所以我们可以假设其逆矩阵为bE aA +（待定系数法）.从而由逆矩阵定义知应该有E bE aA A E =+-))(2(.即 E bE A b a aA =+-+-2)2(2。在注意到题设是0)(2=-=A A A f .所以我们有bE A b a bE A b a aA bE A b a aA E 2)(2)2(2)2(2+-=+-+-=+-+-=.所以有 12,0==-b b a .即2 1= =b a 。 证明：因为A A =2 .所以E E A A E ==+- 2 )2(。所以。 。。 9．证明：(1)1 1 13 A A --==; (2)由于* AA A E =, 所以* 1 1 3A A A A --==, 由此可得* 1 3133A A A --== 1 2793 =⨯=; (3)3 2(2)8324A A -=-=-⨯=-; (4)1 1 31311(3) 3(3)(33)81 A A A ----===⨯= ; (5)由(2)中分析可知* 1 3A A -=, 所以 *111111 4(3)4333 A A A A A -----=-=- 311 (3)2793 A -=-=-⨯=-; (6) 由(2)中分析可知* 1 3A A -=, 则*1 111111 () (3)()33 A A A A -----===。 10．证明：,A B 都可逆, 所以有**,AA A E BB B E ==, 由此可知 *1* 1 ,A A A B B B -- ==, 从而得到**11B A A B B A --=. 另一方面, 由于,A B 都可逆且均为n 阶方阵, 所以AB 也可逆, 所以有 *1()()AB AB AB -=, 而111()AB AB A B B A ---=. 综合上述可得*11** ()AB A B B A B A --==. 11．略。 12．证明：假设A 是可逆矩阵, 那么在等式2 A A =两边都左乘A 的逆矩阵1 A -可得A E =, 这与题设中A E ≠矛盾! 所以A 不可逆. 13．证明：根据题意可知存在非零的n ×t 矩阵B 使AB=O, B 是非零矩阵所以必存在某一列 上的元素不全为零, 不妨设这一列为12i i ni a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 由于AB O =, 所以A 12i i ni a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦000⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 据此可知12i i ni a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 是线性方程组AX O =的一个非零解. 由于AX O =有非零解, 所以 A =0. 14．略。 15．解：(A) 可逆的充要条件是0A ≠而不是A O ≠, 设1000A O ⎡⎤ =≠⎢ ⎥⎣⎦ , 但A 不是可逆矩阵, 所以选项(A)是错误的. (B) 设,A E B E ==-, 显然,A B 都是可逆的, 但是A B O +=不是可逆矩阵, 所以 选项(B)是错误的. 线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ B. 100 1 2 00 1 3 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ C. 1 3 00 010 00 1 2 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ D. 1 2 00 1 3 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+… 习题答案 习题1（参考答案） 1．程序与算法的概念及二者的区别是什么？ 程序：为了实现特定目标或解决特定问题而用计算机语言偏写的指令序列，它由算法和数据结构组成。 算法：（Algorithm）是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗地讲，就是计算机解题的步骤。 算法与程序的区别：计算机程序是算法的一个实例，同一个算法可以用不同的计算机语言来表达。 2．简述程序设计语言发展的过程 程序设计语言经过最初的机器代码到今天接近自然语言的表达，经过了四代的演变。一般认为机器语言是第一代，符号语言即汇编语言为第二代，面向过程的高级语言为第三代，面对象的编程语言为第四代。 3．简述高级程序设计语言中面向过程与面向对象的概念。 “面向过程”是一种以过程为中心的编程思想。首先分析出解决问题所需要的步骤，然后用函数把这些步骤一步一步地实现，使用的时候依次调用函数即可。一般的面向过程是从上往下步步求精，所以面向过程最重要的是模块化的思想方法。 “面向对象”是一种以事物为中心的编程思想。面向对象的方法主要是将事物对象化，对象包括属性与行为。 面向过程与面向对象的区别：在面向过程的程序设计中，程序员把精力放在计算机具体执行操作的过程上，编程关注的是如何使用函数去实现既定的功能；而在面向对象的程序设计中，技术人员将注意力集中在对象上，把对象看做程序运行时的基本成分。编程关注的是如何把相关的功能（包括函数和数据）有组织地捆绑到一个对象身上。 4．C语言程序的特点是什么？ （1）C语言非常紧凑、简洁，使用方便、灵活，有32个关键字，有9种流程控制语句。 （2）C语言运算符丰富，共有45个标准运算符，具有很强的表达式功能，同一功能表达式往往可以采用多种形式来实现。 （3）数据类型丰富。C语言的数据类型有整型、实型、字符型、数组类型、结构类型、共用类型和指针类型，而且还可以用它们来组成更复杂的数据结构，加之C语言提供了功能强大的控制结构，因而使用C语言能非常方便地进行结构化和模块化程序设计，适合于大型程序的编写、调试。 （4）用C语言可直接访问物理地址，能进行二进制位运算等操作，即可直接同机器硬件打交道。它具有“高级语言”和“低级语言”的双重特征，既能用于系统软件程序设计，又能用于通用软件程序设计。 （5）C语言生成的目标代码质量高、程序执行速度快。一般只比用汇编语言生成的目标代码的效率低20％左右。 （6）可移植性好。 5．源程序执行过程中，有哪些步骤？ 线性代数第二版答案(共10篇) 线性代数第二版答案（一）: 高等数学线性代数,概率统计第二版课后答案姚孟臣版 最佳答案: 您好,我看到您的问题很久没有人来回答,但是问题过期无人回答会被扣分的并且你的悬赏分也会被没收!所以我给你提几条建议: 线性代数第二版答案（二）: 线性代数和概率论与数理统计教程答案 线性代数（第二版）是张民选主编南京大学出版社 概率论与数理统计教程周国利主编南京大学出版社 教程答案 线性代数第二版答案（三）: 数学线性代数，举2阶矩阵的例子，它们有相同的特征值但是不相似。注：不要复制粘贴，拍题搜出来的答案 数学线性代数，举2阶矩阵的例子，它们有相同的特征值但是不相似。 注：不要复制粘贴，拍题搜出来的答案不对。 线性代数第二版答案（四）: 线性代数第二版陈维新 设ε1,ε2,...,εn为线性空间V的一组基,求这个基到基ε2,...,εn,ε1的过渡矩阵 设ε1,ε2,...,εn为线性空间V的一组基,求这个基到基ε2,...,εn,ε1 的过渡矩阵 解:因为(ε2,...,εn,ε1)=(ε1,ε2,...,εn)A A = 0 0 0 ... 0 1 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 ... ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 1 0 所以ε1,ε2,...,εn 到ε2,...,εn,ε1 的过渡矩阵为A. 线性代数第二版答案（五）: 线性代数：为什么二次型的标准形式不唯一的,而它的规范形唯一 标准形对平方项的系数没有严格限制 如 4x^2 = (2x)^2 作一个变换其标准形就改变了. 但规范型要求平方项的系数是1或-1 而二次型的正负惯性指数是不变量 所以规范型是唯一的(不考虑变量的顺序) 线性代数第二版答案（六）: 大二,线性代数习题, 设二次型 f(X1,X2,X3)=X1 +X2 +X3 -2(X1X2)-2(X2X3)-2(X3X1), 1求出二次型f的矩阵A的全部特征值 2求可逆矩阵P,使（P的逆阵乘以AP)成为对角阵 3计算A的m次方的绝对值（m是正整数） 线性代数课后习题答案第二版 线性代数课后习题答案第二版 线性代数是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。而对于学习者来说，课后习题是巩固知识、提高能力的重要方式之一。本文将为大家提供线性代数课后习题第二版的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。 一、矩阵与向量 1. 习题：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置。 答案：矩阵A的转置为A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。 2. 习题：给定向量x = [1; 2; 3]和向量y = [4; 5; 6]，求向量x和y的内积。 答案：向量x和y的内积为x·y = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32。 3. 习题：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]和向量x = [1; 1; 1]，求矩阵A和向量x的乘积。 答案：矩阵A和向量x的乘积为Ax = [6; 15; 24]。 二、线性方程组与矩阵运算 1. 习题：给定线性方程组： 2x + 3y - z = 1 4x + 2y + z = -2 x - y + 2z = 0 求解该线性方程组。 答案：解为x = 1, y = -1, z = 2。 2. 习题：给定矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A和矩阵B的乘积。 答案：矩阵A和矩阵B的乘积为AB = [19 22; 43 50]。 3. 习题：给定矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A和矩阵B的和。答案：矩阵A和矩阵B的和为A + B = [6 8; 10 12]。 三、特征值与特征向量 1. 习题：给定矩阵A = [2 1; 1 2]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 3, λ2 = 1，对应的特征向量为v1 = [1; 1]，v2 = [-1; 1]。 2. 习题：给定矩阵A = [1 2; 2 4]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 0, λ2 = 5，对应的特征向量为v1 = [-2; 1]，v2 = [1; 2]。 3. 习题：给定矩阵A = [3 -1; 1 3]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = 4，对应的特征向量为v1 = [1; -1]，v2 = [1; 1]。 通过以上习题的解答，我们可以更好地理解线性代数的概念和方法。线性代数 作为一门基础学科，不仅在数学领域中有广泛应用，而且在物理、工程、计算 机科学等领域也起到了重要的作用。希望本文的答案能够帮助大家更好地掌握 线性代数知识，提高解题能力。 第一章作业参考答案 1-1. 求以下排列的逆序数： （1）134782695 （3）13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10 （2）t=0+0+…+0+2+4+6+…+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-1)=(1) 2(1)2 n n n n -⨯=- 1-2. 在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？ （1）233142561465a a a a a a 解：()12(234516)4,•3126454t t t t ==== 128t t t =+=为偶数，故该项带正号。 1-3. 用行列式的定义计算： （1） 0004 0043 0432 4321 （3） 01 2 3 100010001x x x a a a x a ---+ 解：（1） 1241231240 0040 043(1)(1)444425604324 3 21 t q q q a a a ++=-=-⨯⨯⨯⨯=∑ （3） 1320 1 2 3 1 00010()(1)(1)001x x x x x x a x x a x a a a x a --=⨯⨯⨯++-⨯⨯⨯-⨯-+ 233432103210(1)(1)(1)(1)(1)a a x a x a x a x a +-⨯-⨯-⨯+-⨯-⨯=++++ 1-4. 计算下列行列式： （1） 1111111111111111--- （3） 120 03 40000130051 - （5）1111111111111111a a b b +-+- （7）n a b b b b a b b D b b b a = 线性代数课后习题答案(共10篇) [模版仅供参考，切勿通篇使用] 感恩作文线性代数课后习题答案（一）: 高等数学线性代数,概率统计第二版课后答案姚孟臣版 最佳答案: 您好,我看到您的问题很久没有人来回答,但是问题过期无人回答会被扣分的并且你的悬赏分也会被没收!所以我给你提几条建议: 线性代数课后习题答案（二）: 谁知道《线性代数与解析几何教程》(上册)的课后习题答案在哪下?但一定要真实, 这本书是大一要学的,樊恽,刘宏伟编科学出版社出版.急不知道线性代数课后习题答案（三）: 线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值 设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值 答案书上突然冒出一句“显然R(A)=1”,让我非常困惑, R(A) = R(aaT) 线性代数课后习题答案（四）: 求线性代数（第三版）,高等教育出版社的习题参考答案华中科技大学数学系的线性代数课后习题答案 书店都有卖的,尤其是华科附近的小书店,盗版一大堆~ 线性代数课后习题答案（五）: 线性代数：假如一道题目要求某矩阵,如果我求出的矩阵与答案所给的矩阵是等价的,能算是正确答案么? 如果只是某两行或某两列位置调换了一下，也不能算是正确答案吗？线性代数课后习题答案 应该不正确吧.以我理解矩阵的等价是说 QAP=B A等价到B 是通过了一系列的初等变化,那你求出的矩阵只有一个,要想变成其他还要再变换,就不是原题目的条件了还是不正确啊.行调换或列调换等于在原矩阵左边或右边乘上个初等矩阵线性代数课后习题答案（六）: 线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值; 求出来对角阵只有一个非零特征值,为什么0就是A的N-1重特征值了? 再问一下当0是特征值时对应的特征向量有什么特点么? 所求得的对角阵与A 相似,所以A 与对角阵有相同的特征值,看对角阵,有一个非零特征值和0(N –1)重.所以A 也是这样应该懂了吧线性代数课后习题答案（七）: 线性代数问题.设A=E-a^Ta,a=[a1,a2,……,an],aa^T=1,则 线性代数课后习题答案 线性代数是数学领域中重要的一门基础课程，其中必不可少的内容之一就是习题。以下是线性代数中的一些习题及其答案。 1. 矩阵加法 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$， $B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}$，求$A+B$。 解： $$A+B=\begin{bmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{bmatrix}=\begin{bmatri x}6&8\\10&12\end{bmatrix}$$ 2. 矩阵乘法 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$， $B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}$，求$AB$。 解： $$AB=\begin{bmatrix}1*5+2*7&1*6+2*8\\3*5+4*7&3*6+4*8\end{bmatri x}=\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}$$ 3. 矩阵转置 设$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$，求$A^T$。 解：$$A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}$$ 4. 矩阵求逆 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。 解： $$\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\3&4&|&0&1\end{bmatrix}\xrightarrow[r_ 2-3r_1]{r_2\div 3}\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\0&-2&|&- 3&1\end{bmatrix}$$$$\xrightarrow{r_2\div (- 2)}\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\0&1&|&\frac{3}{2}&- \frac{1}{2}\end{bmatrix}\xrightarrow[r_1-2r_2]{r_1- 2r_2}\begin{bmatrix}1&0&|&-2&1\\0&1&|&\frac{3}{2}&- \frac{1}{2}\end{bmatrix}$$ 所以$A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\ \frac{3}{2}&- \frac{1}{2}\end{bmatrix}$。 5. 行列式的计算 设$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求$|A|$。 解： $$\begin{aligned}|A|&=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vma trix}\\&\xrightarrow[r_3-7r_1]{r_2-4r_1}\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&- 6\\0&-6&-12\end{vmatrix}\\&=-3\begin{vmatrix}-3&-6\\-6&- 各大学教材课后习题答案网址 【千份热门课后习题答案大全】 ▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆ 《线性代数》（同济第四版）课后习题答案（完整版） https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=17&fromuid=164951 高等数学（同济第五版）课后答案（PDF格式，共527页） https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=18&fromuid=164951 中国近现代史纲要课后题答案 https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=5900&fromuid=164951 曼昆《经济学原理》课后习题解答 https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=85&fromuid=164951 21世纪大学英语读写教程（第三册）参考答案 https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=5&fromuid=164951 谢希仁《计算机网络教程》（第五版）习题参考答案（共48页）https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=28&fromuid=164951 《概率论与数理统计》习题答案 https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=57&fromuid=164951 《模拟电子技术基础》详细习题答案（童诗白，华成英版，高教版）https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=42&fromuid=164951 《机械设计》课后习题答案（高教版，第八版，西北工业大学）https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=96&fromuid=164951 《大学物理》完整习题答案 https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=217&fromuid=164951 《管理学》课后答案（周三多） https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=304&fromuid=164951 机械设计基础(第五版)习题答案[杨可桢等主编] https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=23&fromuid=164951 程守洙、江之永主编《普通物理学》（第五版）详细解答及辅导https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=3&fromuid=164951 新视野大学英语课本详解（四册全） https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=1275&fromuid=164951 21世纪大学英语读写教程（第四册）课后答案 https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=7&fromuid=164951 新视野大学英语读写教程3册的课后习题答案 https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=805&fromuid=164951 新视野大学英语第四册答案（第二版） https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=5310&fromuid=164951 《中国近现代史》选择题全集（共含250道题目和答案） https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=181&fromuid=164951 《电工学》课后习题答案（第六版，上册，秦曾煌主编） https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=232&fromuid=164951 完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案 https://www.doczj.com/doc/c319043200.html,/viewthread.php?tid=47&fromuid=164951 大学几乎所有学科的课本答案 ！来源：任明嘉的日志 经济金融 [PDF格式]《会计学原理》同步练习题答案 [Word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [Word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [Word格式]《实用成本会计》习题答案 [Word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年） [JPG格式]会计从业《基础会计》课后答案 [Word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先）[Word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什） [Word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻P.林德特王新奎） [PDF格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印 [Word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版） [Word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版） [JPG格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版） 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0，进一步推导可得0 = 0'，即零向量是唯一的。 2. 证明对于任意向量v，有0v = 0。 解答：根据向量的数乘定义，0v = (0 + 0)v = 0v + 0v。再根据向量加法的结合律，可得0v + 0v = 0v。进一步推导可得0v = 0。 3. 证明对于任意标量k，有k0 = 0。 解答：根据标量与向量的数乘定义，k0 = k(0 + 0) = k0 + k0。再根据向量加法 的结合律，可得k0 + k0 = k0。进一步推导可得k0 = 0。 4. 证明对于任意向量v，有(-1)v = -v。 解答：根据标量与向量的数乘定义，(-1)v + v = (-1)v + 1v = (-1 + 1)v = 0v = 0。根据向量加法的逆元素定义，可得(-1)v = -v。 5. 证明对于任意标量k，有k(-v) = -kv。 解答：根据标量与向量的数乘定义，k(-v) + kv = k(-v + v) = k0 = 0。根据向量 线性代数第三版习题答案 线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间及其上的线性变换。而 《线性代数》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了线性代数的基本概念 和理论。然而，对于学习者来说，理解和掌握线性代数的关键在于做好习题。 本文将为读者提供《线性代数》第三版习题的答案，帮助读者更好地巩固知识。第一章：线性方程组 第一章主要介绍线性方程组的解法和矩阵的基本运算。习题一般涉及到高斯消 元法、矩阵的行变换和列变换等内容。在解答习题时，需要注意对矩阵的运算 规则和性质的理解和应用。 第二章：矩阵代数 第二章主要介绍矩阵的代数运算和性质。习题一般涉及到矩阵的加法、减法、 乘法和转置等运算。在解答习题时，需要注意运算的顺序和规则，并且要熟练 掌握矩阵的运算性质。 第三章：行列式 第三章主要介绍行列式的定义、性质和计算方法。习题一般涉及到行列式的展开、性质的证明和计算方法的应用。在解答习题时，需要注意行列式的性质和 计算方法的灵活应用。 第四章：向量空间 第四章主要介绍向量空间的定义、性质和基本运算。习题一般涉及到向量空间 的子空间、线性相关性和线性无关性等内容。在解答习题时，需要注意对向量 空间的定义和性质的理解和应用。 第五章：线性变换 第五章主要介绍线性变换的定义、性质和基本运算。习题一般涉及到线性变换的核、像、秩和特征值等内容。在解答习题时，需要注意对线性变换的定义和性质的理解和应用。 第六章：特征值与特征向量 第六章主要介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。习题一般涉及到特征值和特征向量的求解、对角化和相似矩阵等内容。在解答习题时，需要注意特征值和特征向量的计算方法和性质的灵活应用。 第七章：内积空间 第七章主要介绍内积空间的定义、性质和基本运算。习题一般涉及到内积空间的正交性、投影性质和标准正交基等内容。在解答习题时，需要注意对内积空间的定义和性质的理解和应用。 第八章：正交变换和正交矩阵 第八章主要介绍正交变换和正交矩阵的定义、性质和基本运算。习题一般涉及到正交变换和正交矩阵的性质证明和应用。在解答习题时，需要注意对正交变换和正交矩阵的定义和性质的理解和应用。 第九章：二次型 第九章主要介绍二次型的定义、性质和规范形。习题一般涉及到二次型的规范化、正定性和合同变换等内容。在解答习题时，需要注意对二次型的定义和性质的理解和应用。 通过解答《线性代数》第三版的习题，读者可以更好地巩固和加深对线性代数的理解。同时，解答习题也是检验自己学习成果的有效方式。希望本文提供的习题答案能够帮助读者更好地学习和掌握线性代数的知识。 第1章 矩阵 习 题 1. 写出下列从变量x ,y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)⎩⎨⎧==01 1y x x ； (2) ⎩⎨ ⎧+=-=ϕϕϕ ϕcos sin sin cos 1 1y x y y x x 2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛--=150421321 B ，求3AB -2A 和A T B . 4. 计算 (1) 2 210013112⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ (2) ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1)1,,(2 1 22212 11211y x c b b b a a b a a y x 5. 已知两个线性变换3213 32123 11542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪ ⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式, 并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换. 6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E . 当f (x )=x 2 -5x +3，⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=3312A 时，求f (A ). 7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A2= O，则A= O. (2) 若A2= A，则A= O或A= E. . 7. 设方阵A满足A2-3A-2E=O，证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵． 诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则*2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 010********A ⎡⎤⎢⎥⎢ ⎥=⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组12434 00x x x x x ++=⎧⎨+=⎩ 的一个基础解系是 ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101,0011 。 …………………………………………………………… 装 订 线………………………………………………… 7. 设矩阵12422421A k --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，500050004A ⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪-⎝⎭，且A 与B 相似，则=k 4 。 8. 123,,ααα是R 3的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) * A A =; (B)1 * A A -= (C)() 1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-⎛⎫ ⎪ - ⎪ ⎪⎝⎭ (A) 151-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ; （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321;（C ）⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛112;（D ）121-⎛⎫ ⎪ - ⎪ ⎪-⎝⎭ 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 简明结构化学教程答案 【篇一：kehoudaanhuizong】 的日志 经济金融 [pdf格式]《会计学原理》同步练习题答案 [word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [word格式]《实用成本会计》习题答案 [word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年） [jpg格式]会计从业《基础会计》课后答案 [word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先） [word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什） [word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻 p.林德特王新奎） [pdf格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印 [word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版） [word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版） [jpg格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版） [pdf格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版） [word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版） [word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版） [word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版） [word格式]《金融市场学》课后习题答案（张亦春，郑振龙，第二版） [pdf格式]《金融市场学》电子书（张亦春，郑振龙，第二版） [word格式]《微观经济学》课后答案（平狄克版） [word格式]《中级财务会计》习题答案（第二版，刘永泽） [pdf格式]《国际经济学》习题答案（萨尔瓦多，英文版） [jpg格式]《宏观经济学》课后答案（曼昆，中文版） [pdf格式]《宏观经济学》答案（曼昆，第五版，英文版）pdf格式 [word格式]《技术经济学概论》（第二版）习题答案 [word格式]曼昆《经济学原理》课后习题解答 [pdf格式]西方经济学（高鸿业版）教材详细答案 [word格式]完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案 [word格式]《金融市场学》课后答案（郑振龙版） 化学物理 [word格式]《固体物理》习题解答（方俊鑫版） [word格式]《简明结构化学》课后习题答案（第三版，夏少武） [word格式]《生物化学》复习资料大全（3套试卷及答案+各章习题集） [pdf格式]《光学教程》习题答案（第四版，姚启钧原著） 1. 2. 已知向量空间的一个基为α1=（1 1 0）T ，α2=（1 0 1）T ， α3=（0 1 1 ）T ，试求α=（2 0 0）T 在上述基下的坐标。 解. 设α=()32 1 ααα⎪ ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛321x x x ， ()321ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110101011 ()32 1ααα-1=⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---111111111 21 所以 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛321x x x =()321ααα-1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111111111 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002=⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛-111 2．验证α1=（1 -1 0）T ，α2=（2 1 3）T ，α3=（3 1 2 ）T 为R 3 的一个基，并把 α=（5 0 7）T ，β=（-9 -8 -13）T 用这个基线性表示。 解.设()32 1 ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-230111321， 321ααα= 2 30 111321-= -6 ≠0 所以α1，α2，α3为R 3 的一个基。 设α=()32 1 ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ，β=()321ααα⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛321y y y 由() αα αα 21 = A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-723001115321→⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-220054305321 得α=()32 1 ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =()321ααα⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-132=2α1+3α2-α3 ， 又有()βα αα 21 = A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1323081119321→⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝ ⎛---42001743 093 21 得β=()32 1 ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y =()321ααα⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛--233=3α1-3α2-2α3 。 3.下列n 阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间？ （1）n 阶对称矩阵全体所成之集合S ； （2）n 阶可逆矩阵全体所成之集合R ； （3）主对角线上各元素之和等于零的n 阶矩阵全体所成之集合T 。 解.（1）S 构成线性空间。因为∀A ，B ，C ∈S ，λ，μ∈R ， A+B ∈S ， λA ∈S 且满足 1°.A+B=B+A 2°（A+B ）+C=A+（B+C ） 3° 零元素为0，满足0+A=A 4°负元素为-A ，使A+（-A ）=0 5°1A=A 6°λ（μA ）=（λμ）A 7°λ（A+B ）=ΛA+ΛB 8°（λ+μ）A=λA+μA （2）R 不构成线性空间，因为若A ∈R ，但0A=O 不可逆，即R 关于数乘法不封闭。 （3）T 构成线性空间，因为T 关于加法和数乘法封闭，并且满足8°性质。 4．下列集合对指定的运算是否构成实数域上的线性空间？ （1） 设λ0是n 阶方阵A 的特征值，A 对应于λ0的特征向量所成之集合，关于向量的加法和数乘向量两种运算； （2） 微分方程033' ' '' ''=+++y y y y 的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种运算； （3） 微分方程533' ' '' ''=+++y y y y 的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种运算； （4） R 3中与向量（0，0，1）T 不平行的全体向量所成之集合，关于R 3 中向量的线性运算。 解. （1）不构成线性空间，因为此集合不含零向量； （2）构成线性空间，由齐次线性微分方程解的性质得证； （3）不构成线性空间，由非齐次线性微分方程解的性质得证； （4）不构成线性空间，关于向量的加法和数乘向量两种运算不封闭。 5．检验以下集合对于所给的运算是否是实数域R 上的线性空间。 令S={（a ，b ）|a ，b ∈R}，对于运算： （a ，b ）⊕（c ，d ）=（a+c ，b+d+ac ） k （a ，b ）=（ka ，kb+ 2)1(a k k -） 《线性代数》课后习题答案(陈维新) 第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 )3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(332 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。 （反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。线性代数课后习题答案全)习题详解
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