参数方程
1、概念：
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()
()x f t y g t =??
=?
①,并
且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程f (x, y)=0叫做曲线的普通方程. 2、直线的参数方程
过P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α
=+??
=+?()t 为参数。
其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．
根据t 的几何意义，有以下结论．
设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t 1和t 2，则 ○1PA ＝1t ; PB ＝2t ; PB PA ?＝2121t t t t ?=?;
○2AB ＝21t t -＝212
214)(t t t t ?-+． ??????-+=+==+=+2
12
212
1214)(t t t t t t t t PB PA 异号同号
③．线段AB 的中点所对应的参数值等于2
21t
t +．
3、圆的参数方程
圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是2
2
2
()()x a y b r -+-=，
它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θ
θθ
=+??=+?为参数。
4、椭圆的参数方程
椭圆122
22=+n y m x ，的参数方程为)(sin cos 为参数θθθ?
??==n y m x ，
5、双曲线的参数方程
双曲线x 2
a 2－y 2
b
2＝1的参数方程为??
?
??==??tan cos b y a x
6、抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2
2(0)y px p =>的参数方程为2
2().2x pt t y pt ?=?=?
为参数
7、参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与
参数的关系()y g t =,那么()
()
x f t y g t =??=?就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的
取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 题型一 参数方程化为普通方程 例1、将下列参数方程化为普通方程：
1、??
?
??-=-=2111t y t x
2、???=+=3
13t y t x 3、???==??sin 3cos 4y x 4、
11x y ?=??=-?? 答案：1、2
)1(11x y --= 2、 2
31-）（x y = 3、 191622=+y x 4、
（
）
5、参数方程αααα(,sin 22cos 2sin ??
?
?
?
+=+=y x 为参数）的普通方程为（ ） A. 122=-x y B. 12
2=-y x C. )2|(|12
2≤
=-x x y D. )2|(|122≤=-x y x
【答案】C
题型二 求曲线的交点坐标
例2、在极坐标系下，已知圆θθρsin cos :+=O 和直线:l 2
2
)4
sin(=
-π
θρ。(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；当),0(πθ∈时，求直线l 于圆O 公共点的极坐标。
解：（1）圆θθρ
sin cos :+=O ，即θ
ρθρρsin cos 2+=
圆O 的直角坐标方程为：y x y x +=+22
，即022=--+y x y x
直线:l
2
2
)4sin(=
-πθρ，即1cos sin =-θρθρ则直线的直角坐标方程为：1=-x y ，即01=+-y x 。 （2）由???=+-=--+0
1022y x y x y x 得???==10y x 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为)2,1(π。
练习2 已知直线的参数方程为：
，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
.
（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标.
[解析] （Ⅰ）由，可得
所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，
曲线的极坐标方程化为参数方程为（5分）
（Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为，
由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；
, .
题型二 求距离
例3、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.
[解析]（1）由曲线：得两式两边平方相加得：即曲线的普通方程为：由曲线：得：所以即曲线的直角坐标方程为:
(2) 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离
为
所以当时，的最小值为，此时点的坐标为
练习3 在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为
.
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.
[解析]（Ⅰ）由得，则直线的普通方程为. 由得曲线的普通方程为. （5分）
（Ⅱ）在上任取一点，则点到直线的距离为
，
当，即
时，
，此时点
. （10分)
例4、在平面直角坐标系中, 以为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方
程为, 直线l 的参数方程为: (为参数) ，两曲线相交于, 两点.
（Ⅰ）写曲线直角坐标方程和直线普通方程;（Ⅱ）若, 求的值．
[解析] (Ⅰ) (曲线的直角坐标方程为, 直线的普通方程. （4分）
(Ⅱ) 直线的参数方程为(为参数),代入
, 得到
, , 对应的参数分
别为
,
，则
练习4 在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数）. 以原点为极点，轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，点，直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)判断点与直线的位置关系，说明理由；
(Ⅱ) 设直线与曲线的两个交点为、，求PB PA ?和PB PA +的值，以及点P 到AB 中点的距离.
[解析]（Ⅰ）直线即， :，点在上. (Ⅱ) 直线的
参数方程为（为参数），曲线C 的直角坐标方程为，
将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，有，设两根为，
. （10
分）PB
PA +=6.
A 组专项训练
一、选择题
1．若直线的参数方程为12()23x t
t y t =+??
=-?
为参数，则直线的斜率为（ ）
A ．23
B ．23-
C ．32
D ．3
2
- 答案：．D 233
122
y t k x t --===--
2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ=??
=+?
为参数上的点是（ ）
A ．1(
,2 B ．31
(,)42
- C ． D ． 答案：B 转化为普通方程：2
1y x =+，当34x =-时，12
y =
3．将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ
?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．
2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤
答案：C 转化为普通方程：
2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈
4．参数方程为1()2
x t t t y ?
=+
???=?为参数表示的曲线是（ ）
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．一条射线
D ．两条射线 答案：D
2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线
5．与参数方程为)x t y ?=??
=??为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2
x B ．21(01)4
y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2
x D ．21(01,02)4
y x y +=≤≤≤≤2
x
答案：D
22
222
,11,1,0,011,02
44
y y
x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤
而得
6
、直线
1
1
2
()
2
x t
t
y
?
=+
??
?
?=-
??
为参数和圆2216
x y
+=交于,A B两点，则AB的中点坐标为（）A．(3,3)
- B
．( C
．3)
- D
．(3,
答案：
D 22
1
(1)()16
2
t
++-=，得2880
t t
--=，12
12
8,4
2
t t
t t
+
+==
中点为
1
14
3
2
4
2
x
x
y
y
?
=+?
?=
?
??
?
??
=
??
?=-
??
7、直线
2
()
1
x t
t
y t
=-+
?
?
=-
?
为参数被圆22
(3)(1)25
x y
-++=所截得的弦长为（）
A
．
1
40
4
C
答案：
C
2
22
1
1
2
x
x t
y t
y
?
=-+?
?
=-+
??
?
??
=-
??
=?
??
，把直线
2
1
x t
y t
=-+
?
?
=-
?
代入22
(3)(1)25
x y
-++=得222
(5)(2)25,720
t t t t
-++-=-+=
12
t t-==
12
t-=
8、方程（为参数）表示的曲线是( )
A. 双曲线
B. 双曲线的上支
C. 双曲线的下支
D. 圆【答案】B
二、填空题
1．直线
34
()
45
x t
t
y t
=+
?
?
=-
?
为参数的斜率为______________________。
答案： 54-
455344
y t k x t --===-- 2、直线3()14x at
t y t
=+??
=-+?为参数过定点_____________。
答案：(3,1)- 14
3y x a
+=-，(1)4120y a x -++-=对于任何a 都成立，则3,1x y ==-且
3．已知直线113:()24x t
l t y t
=+??
=-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
则
AB =_______________。
答案：
52 将1324x t y t
=+??=-?代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而(1,2)A ，得52AB =
4．直线122()112
x t t y t ?
=-???
?=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
答案：
直线为
10
x y +-=，圆心到直线的距
离
2d =
=，弦长的一半
为
2
=
三、解答题
1、已知点(,)P x y 是圆2
22x y y +=上的动点，
（1）求2x y +的取值范围；
（2）若0x y a +
+≥恒成立，求实数a 的取值范围。
解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θ
θ
=??
=+?，
22cos sin 1)1x y θθθ?+=++=++
121x y ≤+≤
（2）cos sin 10x y a a θθ+
+=+++≥
(cos sin )1)1
4
1
a a π
θθθ∴≥-+-=+-∴≥ 2、在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :sin x C y θ
θ=??
=?
(θ为参数) 上任意一点(,)P x y
经过伸缩变换
''2x y y
?=??
=??后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2cos sin )8l ρθθ-=． （Ⅰ）求曲线2C 和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．
答案：（I
）由已知有''2sin x y θθ
?=??=??（θ为参数），消去θ得
22''134x y +=． 将sin cos x y ρθ
ρθ
=??
=?代入直线l 的方程得82:=-y x l
∴ 曲线2C 的方程为22
''134
x y +=，直线l 的普通方程为82:=-y x l . ………5分 （II ）由（I ）可设点P 为)sin 2,cos 3(θθ，[0,2)θπ∈．则点P 到直线l 的距离为：
5
|
8)3sin(4|5|8sin 2cos 32|+-=--=π
θθθd
故当sin()13
π
θ-
=，即5=
6πθ时d 取最大值5512． 此时点P 的坐标为)1,2
3
(-．
3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：=6． （1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；
（2）过点M （一1，0）且与直线l 平行的直线l 1交C 于A, B 两点，求MB MA ?的值。
【解析】（1）直线l ：化成普通方程为．设点P 的坐标为，则点P 到直线l
的
(sin x y α
αα?=??=??
(cos sin )ρθθ-(cos sin )6ρθ
θ-=60x y --
=sin )αα，
距离为：，∴当时，点，此时．
（2）曲线C 化成普通方程为，即，的参数方程为（t 为参数）代入化简得
，得，所以．
4、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y α
α=??=?
(α为参数），在以原点为极点，x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中，直线l
的极坐标方程为sin 4πρθ?
?-= ??
?（1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；
（2）设点()0,2,P l 和C 交于,A B 两点，求PA PB +.
答案及解析：
2.
（1）由消去参数
，得 即的普通方程为
由
① 将代入①得 所以直线的斜率角为.
（2）由（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为(为参数)
即(为参数)， 代入并化简得
d =
=
πsin 13α??-=-
???3122P ??
- ???
，max d =
=2
213x y +=2233x y +=1x y ?=-+????=??，，
2233x y +=2220t -=121t t =-12||1MA MB t t ==3cos sin x y αα
=??=?α2219x y +=C 2
2
19x y +=sin 4πρθ?
?
-
= ??
?
sin cos 2ρθρθ-=cos sin x y ρθρθ
=??=?2y x =+l 4π()0,2P l l cos 42sin
4
x t y t ππ?
=????=+??t 2
222x t y t
?=
????=+??t 2219x y +=25182270t t ++=
设两点对应的参数分别为. 则，所以 所以. 5、已知曲线C 的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立
平面直角坐标系，直线的参数方程是(t 是参数) ．
(I) 将曲线C 的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；
(Ⅱ) 若直线与曲线C 相交于A ，B 两点，且，试求实数m 的值．
6、在极坐标系中，已知圆C
的圆心)4
C π
，半径
． （ I ）求圆C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若0,4πα??
=????，直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t αα=+??=+?
（t 为参数），直线l 交圆C 于A 、B 两点，
求弦长|AB|的取值范围．
解：（Ⅰ）C 直角坐标(1,1)，所以圆C 的直角坐标方程为2
2(1)
(1)3x y -+-=，……2分
由cos sin x y ρθρθ
=??
=?得，圆C 的直角坐标方程为2
2cos 2sin 10ρρθρθ---=．……5分
（Ⅱ）将2cos 2sin x t y t αα
=+??
=+?，代入C 的直角坐标方程22
(1)(1)3x y -+-=，
,A B 12,t
t 121227
0,05
t t t t +=<=>120,0t t <
<12PA PB t t +=+
得2
2(cos sin )10t
t αα++-= ，则0?> ，设Ａ，Ｂ对应参数分别为1t ，2t ，则
122(cos sin )t t αα+=-+，121t t =-， 12||||AB t t =-
因为[0,
)4
π
α∈，所以sin 2[0,1)α∈所以84sin 2[8,12)α+∈，所以||AB 的取值范围为
学习好资料欢迎下载 8.2椭圆的几何性质（5） ——椭圆的参数方程（教案） 齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25 一.目的要求： 1?了解椭圆参数方程，了解系数a b、「含义。 2. 进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。 3. 培养理解能力、知识应用能力。 二.教学目标： 1. 知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方 程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。 2. 能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参 数方程解决相关问题。 3. 德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性 认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。 三.重点难点： 1. 重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。 2. 难点：椭圆参数方程的推导及应用。 四.教学方法： 引导启发，计算机辅助，讲练结合。 五.教学过程： （一）引言（意义） 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。（二）预备知识（复习相关） 1. 求曲线方程常用哪几种方法？ 答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。 2. 举例：含参数的方程与参数方程
2 “ x = 2t 例如：y =kx+1 （k 参数）含参方程'而I 十1 （t 参数） 3 ?直线及圆的参数方程？各系数意义? （三）推导椭圆参数方程 1. 提出问题（教科书例5） 例题.如图，以原点为圆心，分别以 a b （a>b>0）为半径作两个圆。 点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点 A 作AN _0x ,垂足为N ，过 点B 作BM _AN ，垂足为M 。求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹 的参数方程。 2. 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题，但动点较多，不易把握。故采用 间接法 --- 参数法。 引导学生阅读题目，回答问题： （1） 动点M 是怎样产生的？ M 与A 、B 的坐标有何联系？ （2） 如何设出恰当参数？ 设/ AOX=:为参数较恰当。 3. 解决问题（板演） 解：设点M 的坐标（x,y ），是以Ox 为始边，OA 为终边的正角, 取为参数，那么 x=ON=|OA|cos 「， y=NM=|OB|sin 「即 4. 更进一步（板演：化普通方程） -=cos? 分别将方程组①的两个方程变形，得t a 两式平方后相加, '=si n? 是参数方程。 J 5 *實 x = a cos? y =bsin ①引为点M 的轨迹参数方程，「为参数。
附件：教学设计方案模板
t> 致时），0 当OM与OA方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时）OM t=．教师用几何画板软件演示上述过程． |
2.类比分析，异曲同工 问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？ （2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？ 教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论： 问题（1）：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？ 让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有 0M M te =．因此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选 择t 作为参数来获取直线l 的参数方程． （2）：如何确定直线l 的单问 题 向量e ？教师启发学生：如位方向果所有 单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向 量． 教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出 (cos ,sin )e αα=，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定． 当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上． 学生得出结论：选取直线l 上的定点0M 为原点，与直线l 平行且方向向上(l 的倾斜角不为0时)或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e 确定 直线l 的正方向，同时在直线l 上确定进行度量 的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种 坐标（一维坐标和二维坐 2、使学 生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos= ∴
y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值． 由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为
椭圆的参数方程教学设计 一、基本说明 1、教学内容所属模块：选修4-4 2、年级：高三 3、所用教材出版单位：人民教育出版社（A版） 4、所属的章节：第二讲第二节第1课时 5、学时数：45 分钟 二、教学设计 （一）、内容分析 1、内容来源 普通高中课程标准试验教科书人民教育出版社A版数学选修4-4第二讲第三课时：椭圆的参数方程 2、地位与作用 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。本节知识以学生学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程为载体，从另一个角度认识椭圆。在建立椭圆方程过程中，展示引进参数的意义和作用。以及根据椭圆的特点，选取适当的方程表示形式，体现解决有关椭圆问题中数学方法的灵活性，拓展学生的思路，开阔学生的视野。 （二）、教学目标 1、知识与技能： （1）理解椭圆的参数方程及其参数的几何意义。 （2）引导学生体验构造参数法的应用思想，探讨如何运用参数方程在解决与椭圆有关问题。 （3）会根据条件构造参数方程实现问题的转化，达到解题的目的。 2、过程和方法： （1）通过以熟悉的椭圆为载体，进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质，体会参数对研究曲线问题的作用。 （2）通过利用信息技术从参数连续变化而形成椭圆的过程中认识参数的几何意义。 3、情感、态度和价值： 通过师生共同探究进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，体会参数法的应用。同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质。以及用参数方程解决某些曲线问题的过程中分享体会类比思想、数形结合的思想、构造转化思想。培养学生用“联系”的观点看问题，进一步增强“代数”与“几何”的联系，培养学生学好数学的信心。 （三）、教学重点、难点 重点：椭圆的参数方程及其参数的几何意义 难点：巧用椭圆的参数方程解题 （四）、学情分析： “坐标法”是现代数学最重要的基本思想之一。坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具。虽然我们的学生已经学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程有关知识，但我们的学生对其了解甚少，再说椭圆参数方程的探求与应用，与代数变换、三角函数有密切联系，以及由学生独立获取椭圆参数方程中的参数的几何意义是极其困难的。因此我们必须从实际问题入手，由浅入深的帮助学生学习理解知识，通过“思考”、“探究”、“信息技术应用”等来启发和引导学生的数学思维，养成主动探索、积极思考的好习惯。
直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间教学难点：通过向量法，建立参数y,x的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． t，那的坐标为，数轴上点所对应的点为，数教师引导学生明确：如果数轴原点为O1AM 么： OAOMOM?tOAOAOA方②当与方向与数轴的正方向一致，且①为数轴的单位方向向量，；0t?OM的方向与数轴正方向一致时），；向一致时（即0t?OMOMOA 的方向与数轴正方向相反时），与方向相反时（即当；0t? M与O重合时，；当．教师用几何画板软件演示上述过程．③t|OM|?【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备． 2.类比分析，异曲同工 任意一条平面直角坐标系中的）类比数轴概念，问题：（1 直线能否定义成数轴？就有两种）把直线当成数轴后，直线上任意一点（2两种坐标坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这之间的关系？选取结论：教师提出问题后，引导学生思考并得出以下lll的(向上M平行且方向上的定点直线为原点，与直线0llle 的正方向，同时在直线确定直线时)或向右（的倾斜角为0时）的单位向量倾斜角不为0ll（一于是，直线上确定进行度量的单位长度，这时直线上的点就有了
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
第三课时 圆锥曲线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆2 2 2 r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆2 2020)\()(r y y x x =+-参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ （二）、讲解新课： 1.椭圆的参数方程推导：椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）,参 数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 2.双曲线的参数方程的推导：双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ???==θ θtan sec b y a x （θ为参数）
参数θ几何意义为以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22 =参数方程???==Pt y Pt x 222 （t 为参数）,t 为以抛物 线上一点（X,Y ）与其顶点连线斜率的倒数。 （1）、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。 （3）、参数方程求法：（A ）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（B ）选取适当的参数；（C ）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；（D ）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为
2019-2020学年高中数学 2.2圆的参数方程及应用教案 北师大版选 修4-4 一、教学目标： 知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、圆的参数方程探求 1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。 )(sin cos 为参数θθ θ?? ?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。 说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？ 3、若如图取 ???==θθ sin 5cos 5:1y x C (θ为参数)和???+=+=0 0245 sin 345cos 4:t y t x C (t 为参数) （1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。 （二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合） 例2、1、已知点P （x ，y ）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y 的最值， （3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。 解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为 由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ）， （1） x2+y2 = (3+cos θ)2+(2+sin θ)2 =14+4 sin θ +6cos θ sin(θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为 。 (2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ （ θ + 4 π ）∴ x+y 的最大值为 ，最 小值为 。 (3)2 | )4 sin(24|2 | 1sin 2cos 3|π θθθ++= -+++= d 显然当1)4 sin(±=+ π θ时，d 取最大值，最小值，分别为1+ 1-2、 过点(2,1)的直线中,被圆x 2 +y 2 -2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为 最短的直线方程是__________； 3、若实数x ,y 满足x 2 +y 2 -2x +4y =0，则x -2y 的最大值为 。 （三）、课堂练习：学生练习：1、2 （四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。 （五）、作业：课本P39页A 组6、7、8 B 组5 1、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） 3cos 2sin x y θ θ =+?? =+? 《直线的参数方程》教学反思 我所教班级是文科班，学生的总体数学水平处于我校的中等水平，学生们对于数学这个学科本身的兴趣有限，对前面学过的有关直线和圆中的基本知识点掌握的一般。针对以上实际情况，我采用如下方案对参数方程进行了讲解。 一、讲解情况 第一，讲解学习本章的重要意义。通过本章节的教学使学生明白现实世界的问题是多维度的、多种多样的，仅仅用一种坐标系，一种方程来研究是很难解决现实世界中的复杂的问题的。在这一点上，参数方程有其自身的优越性，学习参数方程有其必要性。 第二，讲解参数方程的基本原理和基本知识。通过学习参数方程的基本概念、基本原理、基本方法，以及方程之间、坐标之间的互化，使学生明白坐标系及各种方程的表示方法是可以视实际需要，主观能动地加以选择的。 第三，讲解典型例题和解题方法。通过例题的讲解让学生们进一步巩固基础知识，同时还能熟练解题方法，为进一步学习数学和其他自然科学知识打好基础。 第四，布置课后练习。既可以巩固学过的知识，又可以达到温故而知新的效果。 二、成功之处 第一，突出教学内容的本质，注重学以致用。课堂不应该是“一言堂”， 学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”，课堂上，老师应为学生讲清楚相关理论、原理及思维方法，做到授之以渔，而非仅是授之以鱼。 第二，保证活跃的课堂气氛，进一步激发了学生的学习潜能。实践证明，刻板的课堂气氛往往禁锢学生的思维，致使学习积极参与度下降，学习兴趣下降，最终影响学习成绩和创造性思维的发展。 第三，结合本节课的具体内容，确立互动式教学法进行教学。积极创造机会让不同程度的学生发表自己的观点，调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，进而完成知识的转化，即变书本的知识、老师的知识为自己的知识。 第四，有效地提高教学实效。通过老师的讲解和学生的练习，让学生不断地巩固基础知识的同时，让学生们既要能做这道题，还要能做类似的题目，做到既知其然，又知其所以然，举一反三，触类旁通，把知识灵活运用。 三、不足之处 第一，本节课的知识量比较大，而且是建立在向量定义基础之上。这些知识学生都已经学过了，在课堂上只做了一个简单的复习。但是在接下来的课堂上发现一部分学生由于基础知识不扎实，导致课堂上简单的计算出错，从而影响到学生在做练习时反映出的思维比较的缓慢及无法进行有效的思考的问题。从课堂的效果来看学生对运算的熟练程度还不够，一定程度上存在很大的惰性，不愿动笔的问题存在，有待于在以后的教学中督促学生加强动笔的频率，减少惰性。 以上就是我的教学反思。 数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．2 3- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ=??=+? 为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31 (,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2 01y y +==2 x 或 B ．1x = C ．2 01y +==2 x 或x D ．1y = 5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2, )3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3 k k Z π π+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 二、填空题 1．直线34()45x t t y t =+?? =-?为参数的斜率为______________________。 2．参数方程()2() t t t t x e e t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t l t y t =+?? =-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ， §16.1坐标轴的平移（一） 【教学目标】 知识目标： （1）理解坐标轴平移的坐标变换公式； （2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标： 通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高． 【教学重点】 坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算． 【教学难点】 坐标轴平移的坐标变换公式的运用． 【教学设计】 学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方． 【课时安排】 1课时． 【教学过程】 揭示课题 2.1坐标轴的平移与旋转 创设情境 兴趣导入 在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生与工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系． 例如，圆心在O 1(2,1),半径为1的圆的方程为 1)1()2(22=-+-y x ． 对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点1O 处，那么，对于新坐标系111x O y ，该圆的方程就是 12121=+y x ． 图2-1 动脑思考 探索新知 只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移． 下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式． 图2-2 如图2-2所示，把原坐标系xOy 平移至新坐标系111x O y ，1O 在原坐标系中的坐标为 ),(00y x ．设原坐标系xOy 两个坐标轴的单位向量分别为i 和j ，则新坐标系111x O y 的单位向 量也分别为i 和j ，设点P 在原坐标系中的坐标为),(y x ，在新坐标系中的坐标为),(11y x ，于是有 OP = x i +y j ，1O P = x 1i +y 1 j ， 1OO = x 0i +y o j ， 因为 11OP OO O P =+ ， 所以 0011 x y x y x y +=+++i j i j i j ， 即 0101 )()x y x x y y +=+++i j i j （．（转下节） 曲线的参数方程 教材 上海教育出版社高中二年级（理科）第十七章第一节 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过秒，该游客的位置在何处? 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙的圆心为原点，半径为，0OP 所在直线 为轴，如图，以0OP 为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角 速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢？ （其中与为常数，为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈???==t t r y t r x ωω 为参数 ① （2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈???==θθ θr y r x 为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力） 参数方程教案 第一节 曲线的参数方程 【教学目标】 1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路． 2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力． 3．从弹道曲线的方程的建立，对学生进行数学的返璞归真教育，使学生体会数学来源于实践的真谛，帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点． 【教学重点与难点】 重点：曲线参数方程的探求及其有关概念； 难点：是弹道曲线参数方程的建立． 【教学过程】 一． 复习： 1．满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能够称作方程的曲线？ 曲线方程的概念：(1)曲线C 上任一点的坐标（x,y ）都是方程f(x,y)=0的解；(2)同时以这个方程F(x,y)=0的每一组解(x,y)作为坐标的点都在曲线C 上．那么，这个方程f(x,y)=0就称作曲线C 的方程，而这条曲线C 就称作这个方程f(x,y)=0的曲线． 2．写出圆心在原点，半径为r 的圆O 的方程，并说明求解方法． ⊙O 的普通方程是：x 2 +y 2 =r 2 ； ⊙O 的参数方程是： ?? ?==θ θ sin cos r y r x （θ为参数） 这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x 、y 联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式． 二．新课： 1．参数方程的定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y ，都是某个变数t 的函数 ?? ?==) () (t g y t f x )(*，并且对于t 的每个允许值，由方程组)(*所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组)(*就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y 之间关系的变量t 叫做参变数，简称参数。 2．例：炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等．现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为v 0，求出弹道曲线的方程．(不计空气阻力)。 我们知道弹道曲线是抛物线的一段．现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程(即点的轨迹方程)，那么，怎样来求点的轨迹方程？ （1）建系：建立适当的直角坐标系； 以炮口为原点，水平方向为x 轴，建立直角坐标系。 （2）设标，设炮弹发射后t 秒时的位置为M(x ，y)． (3)列式：即找出x 与y 之间的关系。 怎样把x 、y 之间的关系联系起来呢。 这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动．炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动．显然在x 、y 分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移(竖直高度)。x 、y 都与时间t 有关． 在水平方向的初速度是v 0cos α，在竖直方向的初速度是v 0sin α. 水平方向的位移，因为水平方向是作匀速直线运动，所以x=v 0cos α; 在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动．所以y=v 0sin α·t-2 1gt 2 这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t 表示出来了，即把x 、y 都表示成了t 的函数，t 应该有一个确定的范围？ 令y=0，得t=0或t = g v α sin 20， ∴0≤t ≤ g v αsin 20。 2.5《直线的参数方程》教学案 一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 二重难点： 教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法： 启发、诱导发现教学. 四、教学过程 (一)、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程. 圆222r y x =+参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x (θ为参数) (2)圆2 2 02 0r y y x x =+-)-()(参数方程为：???+=+=θ θ sin cos r y y r x x 00 (θ 为参数) 2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角，如何表示直线的参数方程？ (二)、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是 30 ，并且经过点P(2，3)，如何描述直 线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q(1，1)，P(4，3)， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： (1)过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的 参数方程 ???+=+=αα sin cos t y y t x x 00 (t 为参数【辨析直线的参数方程】：设M(x ，y)从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM (2)、经过两个定点Q 11(,)y x ，P 22(,)y x (其中12≠)的直线的参数方程为 含参数方程组的解题策略 也许同学们对二元一次方程的解法已经非常熟练了，但在解含有参数的方程组时却感到很棘手，要么束手无策下不了笔或胡乱作答，要么解题过程复杂找不到捷径等等，为改变这些现状，本文特举几例加以分析，望能抛砖引玉。 例1. 【2009年四川内江】若关于的方程组的解是，则 为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．2 分析：根据已知条件把方程组的解代入方程中，即可以转化得到一个关于m ，n 的新方程组， 先算出m ，n 的值，再求||m n -的值 。 解：将代入原方程组，得412m m n -=??+=?，从而解得35 m n =??=?，于是3m n -=-， 根据绝对值的意义得||()3m n m n -=--=，应选B. 例2. 【2009年山东日照】若关于x ，y 的二元一次方程组? ??=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为 （ ） A.43- B.43 C.34 D.34- 分析：将方程组中的两个方程相加便可得到214x k =，这时有两种解法：常规的思路是求出x ，y 的具体的值，再将其代入代入二元一次方程，得到一个关于k 的一元一次方程，便可求出k 的值；另外就是将方程组中的第一个方程两边同时乘以6，得6630x y k +=，把“214x k =”整体代入便可直接计算出“3y ”的值。 解：法 一：将两个方程相加得，214x k =，所以7x k =，将7x k =代入第一个方程 得，75k y k +=，解得，2y k =-，即方程组的解为7,2x k y k =??=-? ，于是可得，273(2)6k k ?+?-=，即1466k k -=，解得34 k =，应选B. x y ，2x y m x my n -=??+=?21x y =??=?||m n -21x y =??=? 曲线的参数方程（孙雷） 教材人民教育出版社高中数学选修4-4第二讲第一节 授课教师孙雷 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 当两个齿轮接触时，蓝色齿轮会带动红色齿轮转动，当两个齿轮没有接触时，蓝齿轮要带动红色齿轮转动，有一种方法是加入一个新的齿轮，使之与红蓝两个齿轮同时接触。 (上述过程让学生感受中间变量的作用，为参数方程中的参变量的引出作铺垫。) 思考1： 若齿轮A、B、C的半径相等，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向忽略不计 (1) 第一组图中，A与B角速度之间的关系是_______________； (2) 第二组图中，A与C角速度之间的关系是_______________； B与C角速度之间的关系是________________； 思考2： 思考： 若齿轮A、B、C的半径分别为4、1、2，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向忽略不计 (1) 第一组图中，它们角速度之间的关系是_________________； (2) 第二组图中，它们角速度之间的关系是_________________； 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 例1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，0OP 所在 直线为x 轴，如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原 点以匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系 该如何建立呢？（其中r 与ω为常数，t 为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈? ??==t t r y t r x ωω t 为参数 ① （2）点P 的角速度为ω，运动所用的时间为t ，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈? ??==θθθr y r x θ为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力） （3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为r 的圆方程？为什么？ 由上述推导过程可知：对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t （或θ）的值，使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =，θcos r x =）都成立。 对于变数t （或θ）的每一个允许值，由方程组所确定的点),(y x P 都在圆上； （1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数t （或θ）建立起来的方程是圆的方程；） （4）若要表示一个完整的圆，则t 与θ的最小的取值范围是什么呢？ )2,0[s i n c o s ωπωω∈???==t t r y t r x ， )2,0[s i n c o s πθθθ∈???==r y r x （5）圆的参数方程及参数的定义 我们把方程①（或②）叫做⊙O 的参数方程，变数t （或θ）叫做参数。 （6）圆的参数方程的理解与认识 （ⅰ）参数方程)2,0[sin 3cos 3πθθθ∈???==y x 与]2,0[sin 3cos 3πθθ θ∈???==y x 是否表示同一曲线？为什么？ （ⅱ）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为r 的圆的部分圆弧的参数方程： ①在y 轴左侧的半圆（不包括y 轴上的点）； 焦点在y 轴上的椭圆的参数方程： 22 22y 1,b a x += 练习：已知椭圆4 92 2y x +＝1，点M 是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM ＝60°。(1)求点M 的坐标；(2)如何表示椭圆在第一象限的弧？ 错解：由已知可得a ＝3，b ＝2，θ＝600, ∴x ＝acos θ＝3cos60°＝2 3，y ＝bsin θ＝2sin60°＝3。 从而，点M 的坐标为)3,2 3(。 正解：设点M 的坐标为(x,y)，则由已知可得y ＝3x,与4 92 2y x +＝1联立， 解得x ＝31316， y ＝9331 6。 所以点M 的坐标为(31316,9331 6)。 另解：∵∠xOM=60°，∴可设点M 的坐标为(|OM|cos60°，|OM|sin60°)。 代入椭圆方程解出|OM|，进而得到点M 的坐标(略)。 例1 求椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。 解：如图，设椭圆1b y a x 22 22=+的内接矩形在第一象限的顶点是 A )sin cos (ααb a ，)2 0(π α< <，矩形的面积和周长分别是S 、L 。 ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α?α=?=， 当且仅当4 a π = 时，22max b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，cos y a sin x b ? ? =?? =? 5 3 arcsin 23-π= α时，距离d 有最大值2。 例4 θ取一切实数时，连接A(4sin θ,6cos θ)和B(-4cos θ, 6sin θ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段 例5 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =， 试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+?+α=++ = cos 8211021cos 12211x 21x x B A 3sin 42 11921 sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ? ?+α=α =3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 例6 椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+与x 轴的正向相交于点A ，O 为坐标原 点，若这个椭圆上存在点P ，使得OP ⊥AP 。求该椭圆的离心率e 的取值范围。 解：设椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+上的点P 的坐标是（ααsin b cos a ，）（α≠0且α≠π），A《直线的参数方程》教学反思#(精选.)
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