如图，在平面直角坐标系中，点 A ， B 的坐标分别是（-3 ，0），（0 ， 6 ），动点P 从点O 出发，沿轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点 C 从点 B 出发，沿射线BO 方向以每秒 2 个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造平行四边形PCOD．在线段OP 延长线上一动点 E ，且满足PE=AO ．
（ 1 ）当点 C 在线段OB 上运动时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；
（ 2 ）当点P 运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC 的周长是多少
如图，在平面直角坐标系中，?OABC的顶点A，C
的坐标分别为（10，0），（2，4），点D是OA的中
点，点P在BC上由点B向点C运动，速度为2cm/s
（1）当点P运动多少秒时，四边形PCDA是平行四边形并求此时点P的坐标；
（2）当△ODP是等腰三角形时，求点P的坐标．
如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，∠B=90°，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动、P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），
（1）问t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）在某一时刻，四边形PQCD可能是菱形吗为什么
已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O。
（1）如图1，连接AF、CE，求四边形AECF为菱形，AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值。
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式。
如图：□
ABCD的对角线
AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD 上从点O以2cm/s的速度运动.(1)若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形.(2)在(1)的条件下，①当AB为何值时，四边形AECF 是菱形；②四边形AECF可以是矩形吗为什么
如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A。∠MON的角平分线OP分别交AB、AC 于D、E两点。
（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由；
（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的
四边形是怎样特殊的四边形？
（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间
有怎样的数量关系，并证明你的猜想。
八年级下册---平行四边形压轴题解析 八年级下册---平行四边形压轴题 一(选择题(共15小题) 1((2012?玉环县校级模拟)如图，菱形ABCD中，AB=3， DF=1，?DAB=60?，?EFG=15?，FG?BC，则AE=( ) A( B( C( D( 2((2015?泰安模拟)如图，已知直角梯形ABCD中，AD?BC，?BCD=90?， BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论:?CP平分?BCD;?四边形ABED为平行四边形;?CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分;??ABF为等腰三角形，其中不正确的有( ) A( 1个 B( 2个 C( 3个 D(0 个 3((2014?武汉模拟)如图?A=?ABC=?C=45?，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，?EF?BD，?EF=BD，??ADC=?BEF+?BFE，?AD=DC，其中正确的是( )
A( ???? B( ??? C( ??? D(??? 4((2014?市中区一模)在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC(下列结 论:?AB′=AD;??FCB′为等腰直角三角形;??ADB′=75?;??CB′D=135?(其中正确的是( ) 第1页(共23页) A(?? B( ??? C( ?? D(???? 5((2014?江阴市二模)在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE?PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA?AE交DP于点F，连接BF，FC(下列结 论:??ABE??ADF; ?FB=AB;?CF?DP;?FC=EF 其中正确的是( ) A(??? B( ??? C( ??? D(???? 6((2014?武汉模拟)如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G(连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论:
y x O 二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值是 当x ＝ 时，y 有最 值是 增减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 2、平行四边形模型探究 如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。
由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线l2: 当l1∥l2时k1= k2;当l1⊥l2时k1·k2= -1 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算 二、精讲精练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C 点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1） （1）求抛物线的解析式； （2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒． （1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）； （2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值； （3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由． 【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）． （2）S的最大值为，此时x=2． （3）x=，或x=，或x=． 【解析】 试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求； ②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标． （2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式． （3）本题要分类讨论： ①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值； ②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值． ③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN 的长，联立CN的表达式即可求出x的值． 试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q， 有题意可得：PQ∥AB，
八年级下册---平行四边形压轴题 一．选择题（共15小题） 1．（2012?玉环县校级模拟）如图，菱形ABCD中，AB=3，DF=1，∠DAB=60°，∠EFG=15°，FG⊥BC，则AE=（） B 2．（2015?泰安模拟）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论：①CP平分∠BCD；②四边形ABED为平行四边形；③CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分；④△ABF为等腰三角形，其中不正确的有（） 3．（2014?武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结 论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（） 4．（2014?市中区一模）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正确的是（）
5．（2014?江阴市二模）在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF； ②FB=AB；③CF⊥DP；④FC=EF 其中正确的是（） 6．（2014?武汉模拟）如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC 交DE于N，下列结论： ①GM⊥CM； ②CD=CM； ③四边形MFCG为等腰梯形； ④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（） 7．（2013?绍兴模拟）如图，△ABC纸片中，AB=BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线； ④BF+CE=DF+DE．
动点问题中的平行四边形 教学内容：动点问题中的平行四边形 教学要求：1、利用平行四边形的有关知识解决动点中的相关问题 2、领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想在动点问题中的应用. 教学过程 一、复习：1、平行四边形的性质与判定 2、几何作图的关键 二、新课 1、情境引入，探究已知三点确定平行四边形的第四个顶点。 1．1、张大伯家有一个直角三角形的池塘，如图1所示，张大伯打算把池塘在原有的基础上，把面积扩大一倍后变成一个平行四边形，你能帮张大伯找到这个平行四边形的第四个顶点么？并说出你的理由！ 图1 图2 1.2、小结方法：如何确定平行四边形的第四个顶点，你的依据是什么？ 1.3、趁热打铁： 如图2，在平面直角坐标系中，点A （1，0） , B （0，2）， 则平行四边形AOBC 的顶点C 的坐标为__________________
1.4、变式练习： 如图2，在平面直角坐标系中，点A（1，0）B（0，2），求以A、O、B、C 为顶点的平行四边形的顶点C坐标，则点C的坐标为____________________ ________________________________. 小结：如何求点的位置，你的依据是什么？ 1.5、举一返三 1、如图3，在梯形ABCD中，A D∥BC ,在AD边上有一点P从点A到点D运动，速度为每秒1个单位，在CB边上有一点Q从点C向点B运动，速度为每秒2个单位，已知AD=8,BC=12,若P、Q同时运动，当四边形ABQP是平行四边形时，P 运动多少秒时?
2、如图4，抛物线1417 452++-=x y 与直线y =12 1+x 交于A 、 B 点，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0).动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为l 个单位，求l 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？
2020-2021 中考数学平行四边形-经典压轴题及答案 、平行四边形 运动． 2）如图2，当b>2a时，点M 在运动的过程中，是否存在∠BMC=9°0 ，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由； 3）如图3，当b<2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．答案】（1）见解析； 2）存在，理由见解析; 3）不成立．理由如下见解析 解析】试题分析：（1）由b=2a，点M 是AD 的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB=∠ DMC=4°5 ，则可求得∠BMC=9°0 ；（2）由∠BMC=9°0，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣ bx+a2=0，由b>2a，a>0，b>0，即可判定△> 0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意； （3）由（2），当b<2a，a>0，b>0，判定方程x2﹣bx+a2=0 的根的情况，即可求得答案． 试题解析：（1）∵b=2a，点M 是AD 的中点，∴AB=AM=MD=DC=a， 又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠ AMB=∠ DMC=45 °，∴∠ BMC=90 °． （2）存在，理由：若∠BMC=9°0 ，则∠ AMB+∠ DMC=9°0 ，又∵ ∠AMB+∠ABM=9°0 ，∴∠ ABM=∠ DMC，又∵ ∠A=∠D=90°，∴△ ABM∽△DMC，AM AB ∴CD DM ， x 设AM=x ，则 a a bx 1．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M 从点 A 出发沿边AD向点D 1）如图1，当b=2a，点M 运动到边AD 的中点时，请证明 ∠BMC=9°0 ；
2018年04月28日187****6232的初中数学组卷 一．解答题（共5小题） 1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标； （2）点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由； （3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R 的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E 作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．
3．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2． （1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值； （3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． （4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案 一、平行四边形 1．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F． 探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数． 归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论； 猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论． 【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析. 【解析】 试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG 度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设 ∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可． 试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣ 30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：
动点问题中的平行四边形
动点问题中的平行四边形 教学内容：动点问题中的平行四边形 教学要求： 1、利用平行四边形的有关知识解决动点中的相关问题 2、领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想在动点问题中的应用. 教学过程 一、复习： 1、平行四边形的性质与判定 2、几何作图的关键 二、新课 1、情境引入，探究已知三点确定平行四边形的第四个顶点。 1．1、张大伯家有一个直角三角形的池塘，如图 1 所示，张大伯打算把池塘在 原有的基础上，把面积扩大一倍后变成一个平行四边形，你能帮张大伯找到这 个平行四边形的第四个顶点么？并说出你的理由！ B B y C A O A x 图1图2 1.2、小结方法：如何确定平行四边形的第四个顶点，你的依据是什么？ 1.3、趁热打铁： 如图 2，在平面直角坐标系中，点 A （1，0） , B（ 0， 2），则 平行四边形 AOBC 的顶点 C 的坐标为 __________________
1.4、变式练习： 如图 2，在平面直角坐标系中，点A（1，0）B（0，2），求以 A、O、 B、 C 为顶点的平行四边形的顶点 C 坐标，则点 C 的坐标为 ____________________ ________________________________. 小结：如何求点的位置，你的依据是什么？ 1.5、举一返三 1、如图 3，在梯形 ABCD 中， AD∥BC, 在 AD边上有一点 P 从点 A 到点 D运动， 速度为每秒 1 个单位，在 CB边上有一点 Q从点 C 向点 B 运动，速度为每秒 2 个 单位，已知 AD=8,BC=12,若 P、Q 同时运动，当四边形ABQP是平行四边形时， P 运动多少秒时 ? A D C B 图 3
1. 如图，已知以厶 ABC 的三边为边在 BC 的同侧作等边△ ABD △ BCE △ ACF 请回答下列问题: (1) 四边形ADEF 是什么四边形？写出理由。 (2) 当厶ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是菱形？ (3) 当厶ABC 满足什么条件时，以 A 、D E 、F 为顶点的四边形不存在? 2. ( 2009临沂)数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形ABCD 是正方形，点 E 是边BC 的中点. AEF 90°，且 EF 交正方形外角 DCG 的平行线CF 于点F ,求证：AE=EF. 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M 连接 ME 贝U AM =EC 易证 △ AME ECF ，所以 AE EF . 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1 )小颖提出：如图2,如果把“点 E 是边BC 的中点”改为“点 E 是边BC 上 (除B , C 外)的任意一点”，其它条件 不变，那么结论“ AE =EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (2)小华提出：如图 3,点E 是BC 的延长线上(除 C 点外)的任意一点，其他条件不变，结论“ AE=EF'仍然成 立?你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由. 图2 图3 图1
3. （2009年铁岭市）△ ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ ADE是以AD 为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB AC于点F、G，连接BE . （1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时. ①求证：△ AEB ADC ; ②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由； （2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ （3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由. 4. （2009年日照 市） 已知正方形ABCD中, E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF G为DF中点, 连接EG CG （1）求证：EGCG （2）将图①中厶BEF绕B点逆时针旋转450,如图②所示，取DF中点G连接EG CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. （3）将图①中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观 察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 图 第24题图①第24题图② A D 第24题图③
A B 初二平行四边形所有知识点总结和常考题 知识点： 1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质：⑴平行四边形的对边相等；⑵平行四边形的对角相等：⑶平行四边形的对角线互相平分。 3平行四边形的判定：⑴.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。 5、矩形的性质：⑴矩形的四个角都是直角； ⑵矩形的对角线相等。 6、矩形判定定理：⑴ 有三个角是直角的四边形是矩形； ⑵对角线相等的平行四边形是矩形。 7、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第 三边的一半。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。） 8、菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形。 9、菱形的性质：⑴菱形的四条边都相等； ⑵菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 S 菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对角线长） 10、菱形的判定定理：⑴四条边相等的四边形是菱形。 ⑵对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 11、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 12正方形判定定理：⑴ 邻边相等的矩形是正方形。 ⑵有一个角是直角的菱形是正方形。 （矩形+菱形=正方形） 常考题： 一．选择题（共14小题） 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A ．两组对边分别平行 B ．对角线相等 C ．对角线互相平分 D ．两组对角分别相等 2．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）
第十一讲平行四边形中的动点问题时间：年月日刘满江老师学生姓名：一、兴趣导入 二、学前测试 1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（） 2.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件： ①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
交AC于点H，则的值为（） ∴= 三、方法培养： 知识要点： 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 平行四边形的性质：边：对边平行且相等 角：内角和为______,外角和___________，邻角______,对角__________ 对角线：互相平分 平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离叫 性质：平行线之间的距离处处相等。 推广：夹在两条平行线之间平行线段相等 平行四边形的判定： 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 例11．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16． 动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 的面积是梯形ABCD 的面积的一半； （2）四边形PQCD 能为平行四边形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由． （3）四边形PQCD 能为等腰梯形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由． 考点：等腰梯形的判定；平行四边形的判定；直角梯形。 专题：动点型。 分析：（1）根据：路程=速度×时间，表示线段的长度，再利用：S 梯形ABPQ =S 梯形PQDC ，列方程求解； （2）只要能满足DQ=PC 即可，由此建立等量关系，列方程求解； （3）当四边形PQCD 为等腰梯形时，作PE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足为E 、F ，需要满足QE=CF ， 由此建立等量关系，列方程求解． 解答：解：（1）由已知得：AQ=t ，QD=16﹣t ，BP=2t ，PC=21﹣2t ， 依题意，得 12)22116(21 12)2(2 1?-+-=?+t t t t 解得 ； （2）能；当四边形PQDC 为平行四边形时， DQ=PC ，即16﹣t=21﹣2t 解得t=5； （3）不能 作QE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足为E 、F ， 当四边形PQCD 为等腰梯形时，PE=CF ， 即t ﹣2t=21﹣16 解得t=﹣5，不合实际． 点评：本题考查了梯形计算面积的方法，根据平行四边形、等腰梯形的性质列方程求解的问题． 变式练习：如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点 B 出发，沿射线B C 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段A D 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）． （1）设△DPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式； （2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？ （3）分别求出当t 为何值时，①PD=PQ ，②DQ=PQ ． 考点：直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性质。 解答：（1）解：直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16， 依题意AQ=t ，BP=2t ，则DQ=16﹣t ，PC=21﹣2t ， 过点P 作PE ⊥AD 于E ， 则四边形ADPE 是矩形，PE=AB=12， ∴S △DPQ =DQ ?AB=（16﹣t ）×12=﹣6t+96． （2）当四边形PCDQ 是平行四边形时，PC=DQ ，
因动点产生的平行四边形问题 例1 2015年成都市中考第28题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为5 4，求a的值； （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 图1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“15成都28”，拖动点E在直线AD上方的抛物线上运动，可以体验到，当EC⊥AC时，△ACE的面积最大．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点H在y轴正半轴运动，观察点Q和Q′，可以看到点Q和点Q′都可以落在抛物线上． 思路点拨 1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形． 2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等． 满分解答 （1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)． 由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)． 由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a． （2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F． 设E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么EF＝y E－y F＝ax2－3ax－4a． 由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝11 ()() 22 E A E C E F x x EF x x ---
教学主题 平行四边形压轴题教学目标 重要知识点1. 2. 3. 易错点 教学过程 一．选择题（共15小题） 1．（2012?玉环县校级模拟）如图，菱形ABCD中，AB=3，DF=1，∠DAB=60°，∠EFG=15°，FG⊥BC，则AE=（） A．B．C．D． 考点：菱形的性质；解直角三角形． 专题：压轴题． 分析：首先过FH⊥AB，垂足为H．由四边形ABCD是菱形，可得AD=AB=3，即可求得 AF的长，又由∠DAB=60°，即可求得AH与FH的长，然后由∠EFG=15°，证得△FHE 是等腰直角三角形，继而求得答案． 解答：解：过FH⊥AB，垂足为H． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=3， ∵DF=1， ∴AF=AD﹣FD=2， ∵∠DAB=60°， ∴∠AFH=30°， ∴AH=1，FH=， 又∵∠EFG=15°， ∴∠EFH=∠AFG﹣∠AFH﹣∠EFG=90°﹣30°﹣15°=45°， ∴△FHE是等腰直角三角形， ∴HE=FH=， ∴AE=AH+HE=1+． 故选D．
点评：此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 2．（2015?泰安模拟）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论：①CP平分∠BCD； ②四边形ABED为平行四边形；③CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分；④△ABF为等腰三角形，其中不正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．0个 考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；平行四边形的判定． 专题：证明题；压轴题． 分析： 解答：解：∵BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点， ∴CF=CE，BE=DF， 在△BCF和△DCE中， ∵， ∴△BCF≌△DCE（SAS）， ∴∠FBC=∠EDC，BF=ED， 在△BPE和△DPF中， ∵， ∴△BPE≌△DPF（AAS）， ∴BP=DP， 在△BPC和△DPC中， ∵， ∴△BPC≌△DPC（SSS）， ∴∠BCP=∠DCP，即CP平分∠BCD， 故选项①正确； 又∵AD=BE且AD∥BE，
B 初二平行四边形所有知识点总结和常考题 知识点： 1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质：⑴平行四边形的对边相等；⑵平行四边形的 对角相等：⑶平行四边形的对角线互相平分。 3平行四边形的判定：⑴.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四 边形是平行四边形；⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。 5、矩形的性质：⑴矩形的四个角都是直角； ⑵矩形的对角线相等。 6、矩形判定定理：⑴有三个角是直角的四边形是矩形； ⑵对角线相等的平行四边形是矩形。 7、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第 三边的一半。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。） 8、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。 9、菱形的性质：⑴菱形的四条边都相等； ⑵菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线长） 10、菱形的判定定理：⑴四条边相等的四边形是菱形。 ⑵对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 11、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 12正方形判定定理：⑴邻边相等的矩形是正方形。⑵有一个角是 直角的菱形是正方形。（矩形+菱形=正方形） 常考题： 一．选择题（共14小题） 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（） A．两组对边分别平行B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 2．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出 平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（） A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
因动点产生的平行四边形问题 例 1 2012年福州市中考第21题 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______； （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度； （3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长． 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形． 请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M 的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB 时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1. 思路点拨 1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P 运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径． 满分解答 （1）QB＝8－2t，PD＝4 3 t． （2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交 BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形． 过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8． 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝
1.如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；： (2)①当t为______s时，四边形ACFE是菱形； ②当t为______s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形． 2.在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明． 3.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB 边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形． （第4题） 4.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．
6.如图，已知菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD 上的一个动点P （不与 B 、D 重合）分别向直线AB 、AD 作垂线，垂足分别为E 、F ． （1）BD 的长是______； （2）连接PC ，当PE+PF+PC 取得最小值时，此时PB 的长是______． 8.如图，已知矩形ABCD ，AD=4，CD=10，P 是AB 上一动点，M 、N 、E 分别是PD 、 PC 、CD 的中点． （1）求证：四边形PMEN 是平行四边形； （2）请直接写出当AP 为何值时，四边形PMEN 是菱形； （3）四边形PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说 明理由． 5.如图所示，在?ABCD 中，AC ⊥BC ，AC=BC=2，动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 移动，过点P 分别作PM ∥AB ，PN ∥AD ，连结AM ，设AP=x ，△AMP 的面积为y ． （1）四边形PMCN 是不是菱形，请说明理由． （2）写出y 与x 之间的函数关系式． 7.如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q 。 （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）。设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形。 （第7题） （第8题）
初二下四边形压轴题 Prepared on 24 November 2020
1、 已知D 、E 分别为x 轴、y 轴的点 OD ＝5，OE ＝10， A 为OD 中点． （1）平面内是否存在点F ，使以点E 、F 、A 、D 为顶点的四边形是平行四边形如果存在，求出点F 的坐标； （2）点M 是直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形 是菱形若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 2 边上，且（1 （2AE =（3，设BE =x 定义域。 3、ABCD 沿直线BD 翻折，点C 落在点E 处，联结AE ． （1ABDE 的面积； （2AB =a ，BC ＝b ， 试求PD 的长（用a 、b 表示） 4、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一动点（不与点A 、点D 重合） 将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP ． （1）当点P 移动到AD 边的中点时，求BE 的长； （2）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式。 5、在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边 AB 、BC 、DA 上，AE =2。 （1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积。 （2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积。（用含a 的代数式表示） x x P H G A B C D E F B A C B D P H G A B C D E F
初中数学备课组 教师 班级 初二 学生 日期 上课时间 教学内容：压轴题综合 1、如图，四边形OABC 与四边形ODEF 都是正方形。 （1）当正方形ODEF 绕点O 在平面内旋转时，AD 与CF 有怎样的数量和位置关系？并证明你的结论； （2）若OA=3，正方形ODEF 绕点O 旋转，当点D 转到直线OA 上时，DCO 恰好是30°，试问：当点D 转到直线OA 或直线OC 上时，求AD 的长。（本小题只写出结论，不必写出过程） F E D C B A O
2、如图，一次函数24y x =+的图像与x y 、轴分别相交于点A 、B ，以AB 为边作正方形ABCD 。 （1）求点A 、B 、D 的坐标； （2）设点M 在x 轴上，如果△ABM 为等腰三角形，求点M 的坐标。 （3）若在x ，y 轴上分别由两点P, Q ，使得P ，Q ，B ，C 四点组成的四边形为平行四边形
3、如图，在正方形ABCD 中，点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外），连接DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线，垂足为点E 、F 。 （1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； （2）当点P 在BC 边上时，正方形的边长为2，设,CE x AF y ==。求y 与x 的函数关系式，并写出函 数的定义域； （3）在（2）的条件下，当1x =时，求EF 的长。 P F E D C B A D C B A
4、直线364 y x =- +与坐标轴分别交与点A 、B 两点，点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止。点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿A B O →→运动。 （1）直接写出A 、B 两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式。 （3）当5 48= S 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标。
动点问题及四边形难题 1如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； 2.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系， A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，， ，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒． （1）求直线BC 的解析式； （2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的 27 ？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；
3.如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 4. 如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F. （1）求证：CD ∥AB ； （2）求证：△BDE ≌△ACE ； （3）若O 为AB 中点，求证：OF ＝1 2 BE. 5、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足A E ＋CF=a ，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形．