2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）极限= .
（2）微分方程满足初始条件的特解为______.
（3）设二元函数，则________.
（4）设行向量组，，，线性相关，且，则a=_____.
（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y , 则 =______. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1
已知随机事件与相互独立，则a= ， b= .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）当a 取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.
(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设,,,
其中
，则
(A) . （B ）.
(C) . (D) . [ ] （9）设若
发散，
收敛，则下列结论正确的是
(A)
收敛，
发散 . （B ）
收敛，
发散.
(C)
收敛. (D)
收敛. [ ]
（10）设,下列命题中正确的是
1
2sin
lim 2+∞→x x
x x 0=+'y y x 2)1(=y )1ln()1(y x xe
z y
x +++=+=)
0,1(dz )1,1,1,2(),,1,2(a a ),1,2,3(a )1,2,3,4(1≠a X ,,2,1 }2{=Y P }0{=X }1{=+Y X a x x x x f -+-=1292)(2
3σd y x I D
??+=221cos
σd y x I D
??+=)cos(222σd y x I D
??+=2223)cos(}1),{(22≤+=y x y x D 123I I I >>321I I I >>312I I I >>213I I I >>,,2,1,0 =>n a n ∑∞
=1n n
a
∑∞
=--1
1
)
1(n n n a ∑∞
=-1
1
2n n a
∑∞
=1
2n n
a
∑∞
=1
2n n
a
∑∞
=-1
1
2n n a
)(1
21
2∑∞
=-+n n n a a
)(1
21
2∑∞
=--n n n a a
x x x x f cos sin )(+=
(A) f(0)是极大值，是极小值. （B ） f(0)是极小值，是极大值.
（C ） f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值.
[ ]
（11）以下四个命题中，正确的是
(A) 若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.
(D) 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界. [ ] （12）设矩阵A=满足，其中是A 的伴随矩阵，为A 的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为
(A)
. (B) 3. (C) . (D) . [ ]
（13）设是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，
线性无关的充分必要条件是
(A)
. (B) . (C) . (D) . [ ]
（14）设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知. 现从中随机抽
取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是
(A) (B) (C)(D) [ ]
三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分8分） 求
（16）（本题满分8分）
设f(u)具有二阶连续导数，且，求 （17）（本题满分9分） 计算二重积分
，其中.
（18）（本题满分9分）
)2(πf )2(πf )2(πf )2
(π
f )(x f ')(x f )(x f ')(x f )(x f '33)(?ij a T A A =**A T A 131211,,a a a 11a 333
1
321,λλ21,αα1α)(21αα+A 01=λ02=λ01≠λ02≠λ),(2σμN 2
,σμ)(20cm x =)(1cm s =μ)).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-
)).16(41
20),16(4120(1.01.0t t +-)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-)).15(4
1
20),15(4120(1.01.0t t +-).1
11(
lim 0
x
e x x x --+-→)()(),(y x y
f x y f y x
g +=.2
2
2222y g y x g x ??-??σd y x D
??
-+122}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D
求幂级数
在区间(-1,1)内的和函数S(x).
（19）（本题满分8分）
设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,,.证明：对任何a ,有
（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组
（i ）
和
（ii ） 同解，求a,b, c 的值.
（21）（本题满分13分）
设为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为矩阵. (I) 计算，其中； （II ）利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22）（本题满分13分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度； （II ）的概率密度 ( III ) （23）（本题满分13分）
设为来自总体N(0,)的简单随机样本，为样本均值，记
∑∞
=-+1
2)1121
(n n
x
n 0)(≥'x f 0)(≥'x g ]1,0[∈?
?≥'+'a
g a f dx x g x f dx x f x g 0
1
).1()()()()()(???
??=++=++=++,
0,0532,032321
321321ax x x x x x x x x ??
?
=+++=++,0)1(2,0322
1
321x c x b x cx bx x ??
?
?
??=B C
C A
D T n m ?DP P T
??
?
?
??-=-n m
E o C A E P 1C A C B T 1--.,
20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<
?
?=)(),(y f x f Y X Y X Z -=2).(z f Z }.2
1
21{≤≤
X Y P )2(,,,21>n X X X n 2σX .,,2,1,n i X X Y i i =-=
求：（I ）的方差； （II ）与的协方差
（III ）若是的无偏估计量，求常数c.
2005年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）极限= 2 . 【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】= （2）微分方程满足初始条件的特解为. 【分析】直接积分即可.
【详解】原方程可化为，积分得， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.
（3）设二元函数，则 .
【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】
, , 于是.
（4）设行向量组，，，线性相关，且，则a=
. 【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a. 【详解】由题设，有
, 得，但题设，故
（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y , 则
i Y n i DY i ,,2,1, =1Y n Y ).,(1n Y Y Cov 21)(n Y Y c +2σ1
2sin
lim 2+∞
→x x
x x 12sin
lim 2+∞
→x x x x .21
2lim 2=+∞→x x
x x 0=+'y y x 2)1(=y 2=xy 0)(='xy C xy =)1ln()1(y x xe
z y
x +++=+=)
0,1(dz dy e edx )2(2++)1ln(y xe e x
z
y x y x +++=??++y
x xe y z y x +++=??+11=)
0,1(dz
dy e edx )2(2++)1,1,1,2(),,1,2(a a ),1,2,3(a )1,2,3,4(1≠a 2
1=1
234123121
112a a a 0)12)(1(=--a a 21
,1==a a 1≠a .21=a X ,,2,1
=
. 【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.
【详解】=+ ++ =
（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为
X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1
已知随机事件与相互独立，则a= 0.4 , b= 0.1 .
【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.
【详解】由题设，知 a+b=0.5
又事件与相互独立，于是有 ， 即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）当a 取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.
(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ]
【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.
【详解】=，知可能极值点为x=1,x=2，且
，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B).
（8）设,,,
其中，则
(A) . （B ）.
(C) . (D) . [ A ] 【分析】关键在于比较
、与在区域
上的大小.
}2{=Y P 48
13}2{=Y P }12{}1{===X Y P X P }22{}2{===X Y P X P }32{}3{===X Y P X P }42{}4{===X Y P X P .48
13)4131210(41=+++?}0{=X }1{=+Y X }0{=X }1{=+Y X }1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ))(4.0(b a a ++a x x x x f -+-=1292)(2
312186)(2
+-='x x x f )2)(1(6--x x a f a f -=-=4)2(,5)1(σd y x I D
??+=
221cos
σd y x I D
??+=)cos(222σd y x I D
??+=2223)cos(}1),{(2
2≤+=y x y x D 123I I I >>321I I I >>312I I I >>213I I I >>22y x +22y x +222)(y x +}1),{(22≤+=y x y x D
【详解】在区域上，有，从而有
由于cosx 在上为单调减函数，于是
因此
，故应选(A). （9）设若
发散，
收敛，则下列结论正确的是
(A)
收敛，
发散 . （B ）
收敛，
发散.
(C)
收敛. (D)
收敛. [ D ]
【分析】可通过反例用排除法找到正确答案.
【详解】取，则发散，收敛，
但
与
均发散，排除(A),(B)选项，且
发散，
进一步排除(C), 故应选(D). 事实上，级数
的部分和数列极限存在.
（10）设,下列命题中正确的是
(B) f(0)是极大值，是极小值. （B ） f(0)是极小值，是极大值.
（C ） f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值.
[ B ]
【分析】先求出，再用取极值的充分条件判断即可.
【详解】，显然，
又，且，
故f(0)是极小值，是极大值，应选(B).
（11）以下四个命题中，正确的是
(A) 若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.
}1),{(2
2≤+=y x y x D 102
2≤+≤y x 2212
y x +≥
>π
≥2
2y x +≥0)(222≥+y x )2
,0(π22cos 0y x +≤)cos(22y x +≤≤222)cos(y x +<+??σd y x D
2
2cos <+??σd y x D
)cos(2
2σd y x D
??+2
22)cos(,,2,1,0 =>n a n ∑∞
=1n n
a
∑∞
=--1
1
)
1(n n n a ∑∞
=-1
1
2n n a
∑∞
=1
2n n
a
∑∞
=1
2n n
a
∑∞
=-1
1
2n n a
)(1
21
2∑∞
=-+n n n a a
)(1
21
2∑∞
=--n n n a a
n a n 1
=∑∞=1n n a ∑∞
=--1
1)1(n n n a ∑∞
=-1
1
2n n a
∑∞
=1
2n n
a
)(1
21
2∑∞
=-+n n n a a
)(1
21
2∑∞
=--n n n a a
x x x x f cos sin )(+=)2(πf )2(π
f )2(πf )2
(π
f )(),(x f x f '''x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='0)2
(,0)0(='='π
f f x x x x f sin cos )(-=''02)2
(,01)0(<-
=''>=''π
πf f )2
(π
f )(x f ')(x f
（C ）若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.
(D) 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】设f(x)=, 则f(x)及均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B); 又在（0，1）内有界，但在（0，1）内无界，
排除(D). 故应选(C).
（12）设矩阵A=满足，其中是A 的伴随矩阵，为A 的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为
(A)
. (B) 3. (C) . (D) . [ A ]
【分析】题设与A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：
.
【详解】由及，有，其中为的代数余子式，且或
而，于是，且故正确选项为(A).
（13）设是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，
线性无关的充分必要条件是
(A)
. (B) . (C) . (D) . [ D ]
【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】方法一：令，则
，.
由于线性无关，于是有
当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，
)(x f ')(x f )(x f 'x 1
21
)(x
x f -='x x f =)(x
x f 21)(=
'33)(?ij a T A A =**A T A 131211,,a a a 11a 333
1
3.**E A A A AA ==T A A =*E A A A AA ==**3,2,1,,==j i A a ij ij ij A ij a 03
2
=?=?=A A A
E A AA T 1=A 032
11131312121111≠=++=a A a A a A a A 1=A .3
3
11=
a 21,λλ21,αα1α)(21αα+A 01=λ02=λ01≠λ02≠λ0)(21211=++αααA k k 022211211=++αλαλαk k k 0)(2221121=++αλαλk k k 21,αα??
?==+.0,
02
2121λλk k k 02≠λ0,021==k k 1α)(21αα+A 1α
线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选
(B).
方法二：由于， 可见，线性无关的充要条件是
故应选(D).
（14）设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知. 现从中随机抽
取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是
(A) (B) (C)(D) [ C ]
【分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：
【详解】由正态总体抽样分布的性质知，
，故的置信度为0.90的置信区间是，即故应
选(C).
三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分8分）
求 【分析】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.
【详解】 =
=
= )(21αα+A 02≠λ1α)(21αα+A 11αλ???
?
?
?=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA 1α)(21αα+A .00122
1≠=λλλ),(2σμN 2
,σμ)(20cm x =)(1cm s =μ)).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-
)).16(41
20),16(4120(1.01.0t t +-)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-)).15(4
1
20),15(4120(1.01.0t t +-).1(~--n t n
s x μ
)1(~--n t n
s x μ
μ))1(1
),1(1(2
2
-+
--
n t n x n t n
x αα)).15(41
20),15(4120(05.005.0t t +-).1
11(
lim 0
x e
x x
x --+-→""∞-∞)
1(1lim )111(lim 200x x
x x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+2201lim x e x x x x -→+-+x
e x x
x 221lim 0-→-+.2
3
22lim
0=+-→x x e
（16）（本题满分8分）
设f(u)具有二阶连续导数，且，求 【分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.
【详解】由已知条件可得
， ， ， ， 所以 = =
（17）（本题满分9分） 计算二重积分
，其中.
【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分
即可.
【详解】记，
，
于是
=
= =+=
（18）（本题满分9分）
)()(),(y x yf x y f y x g +=.22
2222y
g y x g x ??-??)()(2y x f x y f x
y x g '+'-=??)(1)()(242322y x
f y y x f x y x y f x y x
g ''+''+'=??)()()(1y
x
f y x y x f x y f x y
g '-+'=??)()()()(13
222222y x
f y
x y x f y x y x f y x x y f x y g ''+'+'-''=??22
2222
y
g y x g x ??-??)()()(2222y x
f y x y x f x
y x y f x y ''+''+')()(222y x f y x x y f x y ''-
''-).(2x
y
f x y 'σd y x D
??
-+122}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D }),(,1),{(2
21D y x y x y x D ∈≤+=}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=σd y x D
??
-+122??-+-1
)1(22D dxdy y x ??-++2
)1(22D dxdy y x ??--2021
)1(π
θrdr r d ??-++D
dxdy y x )1(22??-+-
1
)1(2
2D dxdy y x 8π????---+2010
22
10210)1()1(π
θrdr r d dy y x dx .3
14-π
求幂级数
在区间(-1,1)内的和函数S(x).
【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.
【详解】设
， ，，
则， 由于
=， , 因此，
又由于，故
所以
（19）（本题满分8分）
设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,,.证明：对任何a ,有
【分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.
【详解】方法一：设
，
∑∞
=-+1
2)1121
(n n
x
n ∑∞
=-+=1
2)11
21
(
)(n n x n x S ∑∞
=+=1211
21)(n n
x n x S ∑∞
==122)(n n x x S )()()(21x S x S x S -=).1,1(-∈x ∑∞
==1
22)(n n
x
x S 22
1x
x -)1,1(,1))((2
21
21-∈-=='∑∞
=x x x x
x xS n n
?-++-=-=x
x
x
x dt t t x xS 022111ln 211)(0)0(1=S .0,1,0,
11ln 211)(1=
???-++-=x x x
x x x S )()()(21x S x S x S -=.0,
1,0,1111ln 212=
???---+=x x x x x x 0)(≥'x f 0)(≥'x g ]1,0[∈?
?≥'+'a
g a f dx x g x f dx x f x g 0
1
).1()()()()()(=
)(x F ?
?-'+'x
g x f dt t g t f dt t f t g 0
1
)1()()()()()(
则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且
，
由于时，，因此，即F(x)在[0，1]上单调递减.
注意到
，
而
=，
故F(1)=0.
因此时，，由此可得对任何，有
方法二：
=，
=
由于时，，因此 ，，
，
从而
（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组
（i ）
和
（ii ） 同解，求a,b, c 的值.
【分析】方程组（ii ）显然有无穷多解，于是方程组（i ）也有无穷多解，从而可确定a ，
=')(x F )]1()()[()1()()()(g x g x f g x f x f x g -'='-']1,0[∈x 0)(,0)(≥'≥'x g x f 0)(≤'x F =
)1(F ?
?-'+'1
1
)1()1()()()()(g f dt t g t f dt t f t g ??
?'-=='10
1
1
10
)()()
()()()()()(dt t g t f t f t g t df t g dt t f t g ?'-1
)()()1()1(dt t g t f g f ]1,0[∈x 0)(≥x F ]1,0[∈a ?
?≥'+'a
g a f dx x g x f dx x f x g 0
1
).1()()()()()(??'-='a
a
a dx x g x f x f x g dx x f x g 00
)()()
()()()(?
'-
a
dx x g x f a g a f 0
)()()()(?
?'+'a
dx x g x f dx x f x g 0
1
)()()()(??
'+'-
1
)()()()()()(dx x g x f dx x g x f a g a f a
?'+1
.)()()()(a
dx x g x f a g a f ]1,0[∈x 0)(≥'x g )()()()(x g a f x g x f '≥']1,[a x ∈?
?-='≥'1
1
)]()1()[()()()()(a g g a f dx x g a f dx x g x f ?
?'+'a
dx x g x f dx x f x g 0
1
)()()()().1()()]()1()[()()(g a f a g g a f a g a f =-+≥???
??=++=++=++,
0,0532,032321
321321ax x x x x x x x x ??
?
=+++=++,
0)1(2,0322
1321x c x b x cx bx x
这样先求出（i ）的通解，再代入方程组（ii ）确定b,c 即可.
【详解】方程组（ii ）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii ）有无穷多解.因为方程组（i ）与（ii ）同解，所以方程组（i ）的系数矩阵的秩小于3.
对方程组（i ）的系数矩阵施以初等行变换
， 从而a=2. 此时，方程组（i ）的系数矩阵可化为
， 故是方程组（i ）的一个基础解系.
将代入方程组（ii ）可得
或
当时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有
，
显然此时方程组（i ）与（ii ）同解.
当时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有
，
显然此时方程组（i ）与（ii ）的解不相同.
综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i ）与（ii ）同解. （21）（本题满分13分） 设为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为矩阵. (I) 计算，其中； （II ）利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.
【分析】第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.
【详解】 (I) 因，有 = ????
??????-→??????????20011010
111532321a a ????
??????→??????????000110101211532321T
)1,1,1(--1,1,1321=-=-=x x x 2,1==c b .1,0==c b 2,1==c b ??
?
???→??????1101013122111,0==c b ??
?
???→??????000101202101??
?
?
??=B C
C A
D T n m ?DP P T
??
?
?
??-=-n m
E o C A E P 1C A C B T 1--???
?
??
-=-n T m
T
E A
C o E P 1
DP P T ??
????--n T m
E A
C o E 1
?????
?B C C A
T ??
?
???--n m E o
C A E 1
= =. （II ）矩阵是正定矩阵.
由(I)的结果可知，矩阵D 合同于矩阵
又D 为正定矩阵，可知矩阵M 为正定矩阵.
因矩阵M 为对称矩阵，故为对称矩阵. 对及任意的
，有
故为正定矩阵.
（22）（本题满分13分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度； （II ）的概率密度 ( III ) 【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用
分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可.
【详解】（I ）关于X 的边缘概率密度
==
=
关于Y 的边缘概率密度
?????
?--C A C B o C A T 1??
?
???--n m
E o C A E 1??
?
?
??--C A C B o o A T 1C A C B T 1--.1??
?
???-=-C A C B o o A M T C A C B T 1--T
X )0,,0,0( =0),,,(21≠=T n y y y Y .0)(),(1
1>-=?
??
? ?????? ??---Y C A C B Y Y X C A C B o o A Y X T T T T T C A C B T 1--.,
20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<
?
?=)(),(y f x f Y X Y X Z -=2).(z f Z }.2
1
21{≤≤
X Y P )(x f X ?
+∞
∞
-dy y x f ),(.,
10,
0,20其他<
.
,
10,0,2其他<
?x x
==
= （II ）令， 1） 当时，； 2） 当时， =; 3) 当时，
即分布函数为：
故所求的概率密度为： （III ） （23）（本题满分13分）
设为来自总体N(0,)的简单随机样本，为样本均值，记
求：（I ）的方差； （II ）与的协方差
（III ）若是的无偏估计量，求常数c.
【分析】先将表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求与的协方差，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计，利用其数学期望等于确定c 即可.
)(y f Y ?
+∞
∞
-dx y x f ),(.,20,
0,12其他<
.,
20,
0,2
1其他<
4
1z z -
2≥z .1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z .2,20,0,
1,41
,0)(2≥<≤
20,0,2
11)(其他<
34
1163
}2
1{}21
,21{}2121{==≤≤≤=
≤≤X P Y X P X Y P )2(,,,21>n X X X n 2σX .,,2,1,n i X X Y i i =-=i Y n i DY i ,,2,1, =1Y n Y ).,(1n Y Y Cov 21)(n Y Y c +2σi Y 1Y n Y ),(1n Y Y Cov 21)(n Y Y c +2σ
【详解】由题设，知相互独立，且
，
（I ）
=
= （II ）
= = =
=
= （III ）
= =， 故
)2(,,,21>n X X X n ),,2,1(,02n i DX EX i i ===σ.0=X E ∑≠--=-=n
i j j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(∑≠+-n
i
j j
i DX
n
DX n 2
21
)11(.1)1(1)1(22
2
222σσσn n n n
n n -=-?+-)])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --=)])([()(11X X X X E Y Y E n n --=)(211X X X X X X X E n n +--211)(2)(X E X X E X X E n +-22
12
1)(][20X E X D X X X E n n
j j +++-∑=.1
12222σσσn
n n -=+-
)(])([121n n Y Y cD Y Y c E +=+)],(2[121n Y Y Cov DY DY c ++222)2(2]211[σσσ=-=--+-c n
n n n n n n c .)
2(2-=n n
c
全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案 答案速查： 一、选择题 二、填空题 三、解答题 （17）曲线()y y x =在点（1，1）附近是凸的. （18） 1 1)3 + （19）略 （20）11011(1)()()(1),(1,3)532 n n n n n f x x x ∞++=-=-+-∈-∑ （21）1a =，此时所有公共解为[1,0,1]T x k =-，其中k 为任意常数；2a =，此时唯一公共解为[0,1,1]T x =- （22）（Ⅰ）B 的特征值为-2,1,1；B 的属于特征值-2的全部特征向量为11k α（1k 为非零的任意常数），B 的属于特征值1的全部特征向量为2233k k αα+（23,k k 为不全为零的任意常数） （Ⅱ）011101110B -?? ? = ? ?-?? （23）（Ⅰ）{}7224P X Y >=；（Ⅱ）2 (2),01, ()(2),12,0,Z z z z f z z z -<
ln(1:故选B.. （2）【答案】 (D) 【解析】方法1:论证法，由0() lim x f x x →存在及()f x 在0x =处连续，所以 00() (0)lim ()lim()0,x x f x f f x x x →→===（A ）正确； 由于00()(0)() lim lim 0x x f x f f x x x →→-=-存在，所以'(0)f 存在.（C ）也正确； 由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而()()f x f x +-在0x =处 连续，将它看成（A ）中的()f x ，从而推知(0)(0)0,f f +-=即有2(0)0,(0)0f f ==.所以（B ）正确，此题选择（D ）. 方法2：举例法，举例说明（D ）不正确.例如取()f x x =，有 00()() lim lim 00x x x x f x f x x x →→----==- 而'(0)f 并不存在. （D ）不正确，选（D ）. （3）【答案】（C ） 【解析】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而 323 2 2 3(3)()()(),2 8 8 (2)(), 2 F f t dt f t dt f t dt F f t dt π π π π ==+= - = == ???? 所以(3)F - 3 (2)4 F = ，选择C （4）【答案】（B ） 【解析】画出该二次积分所对应的积分区域D ，交换为先x 后y 1 1sin 0 sin 2 (,)(,)x arc y dx f x y dy dy f x y dx ππ ππ-=?? ?? ， 所以选择(B). （5）【答案】（D ） 【解析】'()22.()16021602Q P P P P Q P P P -= ==--需求弹性 由题知，它等于1，解之，40.P =所以选(D) （6）【答案】（D ） 【解析】0 01lim lim ln(1),x x x y e x →→?? =++=∞ ??? 所以0x =是一条垂直渐近线；
2007年研究生入学考试数学三试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→ 等价的无穷小量是 （A ）1- （B ）ln （C 1 （D ）1- [ ] （2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： （A ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()() lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f = . （B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()() lim x f x f x x →--存在，则(0)0f '=. [ ] （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d x F x f t t =?，则下列结论正确 的是： （A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5 (3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4 F F = （D ）5 (3)(2)4F F =-- [ ] （4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1 sin 2 d (,)d x x f x y y ππ?? 等于 （A ）10arcsin d (,)d y y f x y x π π+?? （B ）1 0arcsin d (,)d y y f x y x π π-?? （C ）1arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x ππ +?? （D ）1arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x ππ -?? （5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是 (A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] （6）曲线()1 ln 1e x y x =++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 线性相关，则 (A) 122331,,αααααα--- (B) 122331,,αααααα+++ (C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ] （8）设矩阵211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ，则A 与B
2003年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷答案解析 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1） ) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +→ = e 1 . 【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式) ()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行 计算求极限均可. 【详解1】 ) 1ln(1 2 ) (cos lim x x x +→=x x x e cos ln ) 1ln(1 lim 20+→, 而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02 020-=-==+→→→x x x x x x x x x x ， 故 原式=.12 1 e e = - 【详解2】 因为 2121lim )1ln(1 )1(cos lim 2 20 2 -=- =+? -→→x x x x x x ， 所以 原式=.12 1e e = - 【评注】 本题属常规题型 （2） 曲面2 2 y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 542=-+z y x . 【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面2 2y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n 平行确定. 【详解】 令 2 2 ),,(y x z z y x F --=，则 x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F . 设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面
2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学 试卷 一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分. 1.函数x x y --=5) 1ln(的定义域为为 （ ） A. 1>x B.5
A. 1 B. -1 C. 21 D. 2 1 - 解：2 1 )11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2 1 )1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ） A. 1 B. 21- C. 41 D. 4 1 - 解：4 1 )1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='?='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h , 应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dy dx 为 （ ） A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++, 即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-, 所以 dy dx ) 1() 1(x y y x --= ,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f n C. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n 解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！ ='?='''?='='', ?ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B. 9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x f C.]1,1[,11 )(2 --=x x f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A. 10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,2 1 (内,)(x f 单调 ( ) A.增加,曲线)(x f y =为凹的 B.减少,曲线)(x f y =为凹的 C.增加,曲线)(x f y =为凸的 D.减少,曲线)(x f y =为凸的 解: 在)1,21 (内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函 数)(x f 在)1,2 1 (内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.
2004年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2f u v ?= ??. (3) 设?? ???≥ -<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=?. (4) 二次型2 132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______. (6) 设总体X 服从正态分布),(2 1σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2 ,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==?? -+-????=??+-?????? ∑∑. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2 ) 2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞ →)(lim ， ?????=≠=0 ,00 ,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则 (A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题： (1) 若 ∑∞=-+1 212)(n n n u u 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛.
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备注：前期已经传了2003-2011年9年的真题，现将答案发布供大家参考！想只要真题的童鞋请搜索C Z _V i c t o r 的文库下载，谢谢！ 2005年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）极限1 2sin lim 2+∞→x x x x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. For personal use only in study and research; not for commercial use （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=) 0,1(dz ________. （4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y, 则 For personal use only in study and research; not for commercial use }2{=Y P =______. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 a 1 b 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D ??+=221cos ,σd y x I D ??+=)cos(222,σd y x I D ??+=2223)cos(,其 中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则 (A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>. (C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ]
2006年全国硕士研究生入学考试数学（三） 一 填空 (1)()11lim _________n n n n -→∞ +?? = ??? (2)设函数()x 2f x =在 的 某领域内可导,且()() (),21f x f x e f '==,则 ()2_________f '''= (3)设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224Z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2_________dz = (4)设矩阵2112A ?? = ?-?? ,E 为2阶单位矩阵,矩阵E 满足BA=B+2E,则_________B = (5)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则 (){}max ,1_________P X Y ≤= (6)设总体X 的概率密度为()()121,,, (2) x n f x e x x x x -= -∞<<+∞为总体的简单随机样本,其样本方差2 S ,则E 2 S =__________ 二 选择题 (7) 设函数()y f x =具有二阶导数,且()()0,0,f x f x x '''>>?为自变量x 在点0x 处的增量,y dy ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则 ( ) (A)0dy v <
2005年考研数学一真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线1 22 +=x x y の斜渐近线方程为 _____________. （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9 1)1(-=y の解为. ____________. （3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{3 1= n ρ，则) 3,2,1(n u ??=.________. （4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成の空间区域，∑是Ωの整个边界 の外侧，则 ??∑ =++zdxdy ydzdx xdydz ____________. （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵 ),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .. （6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则 }2{=Y P =____________. 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前の字母填在题后の括号内） （7）设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f(x)在),(+∞-∞内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)の一个原函数，""N M ?表示“M の充分必要条件是N ”，则必有 (A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ] （9）设函数? +-+-++=y x y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导 数，则必有 (A) 2222y u x u ??-=??. （B ） 2222y u x u ??=??. (C) 222y u y x u ??=???. (D) 222x u y x u ??=???. [ ]
２0１2年考研数学三真题 一、选择题(１~8小题，每小题４分,共３2分。下列每题给出的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。） (1)曲线y=x 2+x x2?1 渐近线的条数为 (Ａ)0 (B）1 (C)2 （D)3 【答案】C。 【解析】 由lim x→+∞y=lim x→+∞ x2+x x2?1 =1=lim x→?∞ y=lim x→?∞ x2+x x2?1 ， 得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线； 由lim x→1y=lim x→1 x2+x x?1 =∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线； 由lim x→?1y=lim x→?1 x2+x x?1 =1 2 得x=?1不是曲线的渐近线; 综上所述，本题正确答案是C 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线 (2)设函数f(x)=(e x?1)(e2x?2)?(e nx?n)，其中n为正整数， 则f′(0)= （A）(?1)n?1(n?1)! (B)(?1)n(n?1)! （C)(?1)n?1(n)! (D）(?1)n(n)! 【答案】A 【解析】 【方法1】
令g (x )=(e 2x ?2)?(e nx ?n)，则 f (x )=(e x ?1) g (x ) f ′(x)=e x g (x )+(e x ?1)g′(x ) f ′(0)= g (0)=(?1)(?2)?(?(n ?1)) =(?1)n?1(n ?1)! 故应选Ａ． 【方法2】 由于f (0)=0,由导数定义知 f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0 (e x ?1)(e 2x ?2)?(e nx ?n)x =lim x→0(e x ?1)x ?lim x→0(e 2x ?2)?(e nx ?n) =(?1)(?2)?(?(n ?1))=(?1)n?1(n ?1)!. 【方法3】 排除法，令n =2,则 f (x )=(e x ?1)(e 2x ?2) f ′(x )=e x (e 2x ?2)+2e 2x (e x ?1) f ′(0)=1?2=?1 则（B)(C)（D)均不正确 综上所述，本题正确答案是(A ） 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ = (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2 (Ｂ) ∫dx 20 ∫f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2
2007 年考研数学二真题 一、选择题（ 1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1) 当时，与等价的无穷小量是 (A)(B) (C)(D) 【答案】 B。 【解析】 当时 几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较 (2) 函数在上的第一类间断点是 (A)0(B)1 (C)(D) 【答案】A。 【解析】
A：由得 所以是的第一类间断点； B： C： D： 所以都是的第二类间断点。 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型 (3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直 径为 1 的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设则下列结论正确的是 , (A) (B) (C) (D) -3-2-10123
【答案】 C。 【解析】 【方法一】 四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义 确定 则 【方法二】 由定积分几何意义知,排除 (B) 又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而 显然排除 (A) 和(D), 故选 (C) 。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用 (4) 设函数在处连续，下列命题错误的是 ．． (A) 若存在，则
(B) 若存在，则 (C)若存在，则存在 (D) 若存在，则存在 【答案】 D。 【解析】 (A) ：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以, 故,(A) 正确； (B) ：若 (C),则 存在，则， 故 (B) 正确。存 在，知，则 则存在，故 (C) 正确 (D)存在， 不能说明存在 例如在处连续， 存在，但是不存在，故命题 (D) 不正确。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (5) 曲线渐近线的条数为 (A)0(B)1 (C)2(D)3
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数 学（理工农医类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的 1．已知2 (π - ∈x ，0），5 4c o s = x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）7 24 （D ）724 - 2．圆锥曲线θ θρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数?????-=-2112)(x x f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+） （C ）（∞-，2-）?（0，∞+） （D ）（∞-，1-）?（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）2 5．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+ 6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A ）22R π （B ）249 R π （C ）238R π （D ）223R π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为4 1的的等差数列，则 =-||n m （ ） （A ）1 （B ）4 3 （C ）21 （D ）83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为3 2 - ，则此双曲线的方程是 （ ）
2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（全国3理）试题精析详解 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．已知α为第三象限角，则2 α所在的象限是 （ ） A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 【思路点拨】本题考查任意角的表示方法及讨论整数的奇偶性. 【正确解答】解法(1)因为α为第三象限角，所以(2,2)()2 k k k Z π απππ∈--∈， 所以 (,)()2 24k k k Z α π πππ∈- -∈，即2 α 所在的象限是第二或第四象限.选D 解法(2)用图象法类似角分线，由图象可以轻易得到答案.选D 解法(3)用特值法令 0135α=-和0225α=,也可以得到答案D 【解后反思】熟悉角的终边在坐标系内的画法,可以求任意角简单分割后的终边所在象限.如何求任意角经复杂分割后的终边所在象限如 n α (1)先写出α范围(2)再求出除以n 的范围(3)再分成n 类情况讨论可完成. 2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x +y －1=0平行，则m 的值为 （ ） A ．0 B ．－8 C ．2 D ．10 【思路点拨】本题考查直线方程中系数与直线几何性质的关系. 【正确解答】解法(1)两直线平行，则斜率相等，因此有422 m m -=-+，得8m =-. 选B. 解法(2)可用特值法逐个代入,与条件相匹配.也能得到答案B. 【解后反思】掌握直线方程五种形式的相互转化及其参数对几何性质的影响.即把相应条件变成等式,从平行等重要条件入手. 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是 （ ） A ．－14 B ．14 C ．－28 D ．28 【思路点拨】本题考查二项式定理通项公式的应用. 【正确解答】8 8 8 (1)(1)(1)(1)x x x x x -+=+-+，5x 的系数为45 8814C C -=.
2005年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）极限1 2sin lim 2 +∞ →x x x x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=) 0,1(dz ________. （4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则 }2{=Y P =______. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(2 3 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D ??+= 221cos ,σd y x I D ??+=)cos(222,σd y x I D ??+=2223)cos(,其中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则 (A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>. (C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0Λ=>n a n 若 ∑∞ =1 n n a 发散， ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A) ∑∞ =-11 2n n a 收敛， ∑∞ =1 2n n a 发散 . （B ） ∑∞ =1 2n n a 收敛， ∑∞ =-1 1 2n n a 发散. (C) )(1 21 2∑∞ =-+n n n a a 收敛. (D) )(1 21 2∑∞ =--n n n a a 收敛. [ ] （10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是
2004年普通高等学校招生上海卷理工类数学试题 一、填空题(本大题满分48分,每小题4分) 1.若tgα= 21,则tg(α+4 π )= . 2.设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 . 3.设集合A={5,log 2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A ∪B= . 4.设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=－ 21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=3 8 ,则a 1= . 5.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是 . 6.已知点A(1, －2),若向量与={2,3}同向 =213,则点B 的坐标为 . 7.在极坐标系中,点M(4,3 π )到直线l:ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d= . 8.圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C 的方程为 . 9.若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示) 10.若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是 . 11.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 12.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号) ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n .其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和. 二、选择题(本大题满分16分,每小题4分) 13.在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( ) (A)若l ?β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. (C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α. 14.三角方程2sin( 2π -x)=1的解集为( ) (A){x│x=2kπ+3 π,k ∈Z}. (B) {x│x=2kπ+35π ,k ∈Z}. (C) {x│x=2kπ±3 π ,k ∈Z}. (D) {x│x=kπ+(-1)K ,k ∈Z}. 15.若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到,则 f(x)=( ) (A) 10-x -1. (B) 10x -1. (C) 1-10-x . (D) 1-10x . 16.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 (A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.
2007年数学一 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当0x + →等价的无穷小量是 (A) 1- (B) (C) 1. (D) 1- [ B ] 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0x + →时，有1(1)~-=--1~ ； 211 1~ .22 x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1 ln(1)x y e x = ++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ] 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为0 1lim[ln(1)]x x e x →++=∞，所以0x =为垂直渐近线； 又 1lim[ln(1)]0x x e x →-∞ ++=，所以y=0为水平渐近线； 进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11x x x e e →+∞=+， 1 lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x →+∞ →+∞ -?=++-=lim[ln(1)]x x e x →+∞ +- =lim[ln (1)]lim ln(1)0x x x x x e e x e --→+∞ →+∞ +-=+=， 于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D). (3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0 ()().x F x f t dt = ? 则下列结论正确的是 (A) 3(3)(2)4F F =- -. (B) 5 (3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(4 5 )3(--=-F F . [ C ] 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的 关系。 【详解】 根据定积分的几何意义，知F (2)为半径是1的半圆面积：1 (2)2 F π=， F (3)是两个半圆面积之差：22113(3)[1()]228F πππ= ?-?==3 (2)4 F ， ?? ---==-0 3 3 )()()3(dx x f dx x f F )3()(3 F dx x f ==? 因此应选(C).
2 0 0 3年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) x cos 1 , 若x 0, 0 处连续，则. 设 f ( x) x 其导函数在 x 的取值范围是 0, 若x 0, (2) 已知曲线 y x3 3a 2 x b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为 b2 . (3) 设 a 0 ， f ( x) g( x) a,若0 x 1, D 表示全平面，则 而 0, 其他， I f ( x) g( y x)dxdy =. D (4) 设n维向量(a,0, ,0, a)T , a 0 ；E为 n 阶单位矩阵，矩阵A E B E 1 T ，其中A的逆矩阵为B，则a. a T ， (5) 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为0.9, 若Z X 0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为 . (6) 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X1, X2, , X n为来自总体X 的简单随机样本，则当 n 时， Y n 1 n X i2依概率收敛于. n i 1 二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设 f ( x) 为不恒等于零的奇函数，且 f (0) 存在，则函数g ( x) f ( x) () x (A) 在x 0 处左极限不存在 . (B) 有跳跃间断点(C) 在x 0 处右极限不存在 . (D) 有可去间断点x0 . x0 . (2) 设可微函数 f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 取得极小值，则下列结论正确的是( ) (A) f ( x0 , y) 在 y y0处的导数等于零. (B) f (x0, y)在y y0处的导数大于零. (C) f ( x0 , y) 在 y y0处的导数小于零. (D) f (x0 , y) 在 y y0处的导数不存在. (3) 设 p n a n a n a n a n 1,2, ，则下列命题正确的是( ) ， q n ， n 2 2 (A)若a n条件收敛，则p n与q n都收敛. n 1n 1n 1
2004年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ . (3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分?-L ydx xdy 2的值为__________. (4)欧拉方程)0(0242 22 >=++x y dx dy x dx y d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001?? ??=?? ???? A ,矩阵 B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ . (6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把+ →0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x x x ???===03002 sin ,tan ,cos 2 γβα,使排在后面的 是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >