是c+等价无穷小，则
(C) R = 3,c = 4
已知 f(x)在 X = O 处可导，且 /(0) = 0,则 Iim x ~f M
~
2 / CV
)
Λ→0
设｛冷｝是数列，则下列命题正确的是
OO
X
若￡心收敛’则∑(∕G H -I +U 2π)收敛
/1-1
n-1
X OC
若￡(%如)收敛，则收敛
“■]
/1-1
OO X
若X ?收敛，则X(∕Y 2^1 T6)收敛 ∕ι≡l
π-! 若X("2-1 Tf 2』收敛‘则X ?收敛
π-l ∕ι≡l
π JT π
设/ =JJIn(Sin x)dx , J = JJ In(COt x)dx, K = U In(COS x)dx 贝IJ 八 J , K
的大 小关系是
解，k lt k 2为任意常数.则Ax = β的通解为
(A) k = l,c = 4
(B) IC = ^C =-4
⑷-2/(0)
(B) -/'(O) (C) /(O) (D) 0
(C) (D)
(A) I ⑸ 设A 为3阶矩阵?将A 的第2列加到第1列得矩阵3.再交换B 的第2行与第3 1 O O U O 0, 行得单位矩阵记为片= 1 1 O ，￡ = O O 1 ,0 0 1’ O 1 O 丿 (C) P 2P 1 (D) P['P ? (6)设人为4x3矩阵，7，J Il > “3 是非齐次线性方程组AX = 0的3个线性无关的 (B) P^P I (A)砒 ,则4 = (B)t h∑211 + k2{η2-η^ (C)T h；+ & (% - 帀)+ ￡(“2 - 7) (D)+ ?2(〃2 一〃1)+ 鸟3(〃3一帀) (7)设F i(x), F2(X)为两个分布函数，其相应的概率密度f l(x), /I(X)是连续函数, 则必为概率密度的是 (A)∕1U)Λ(x)(B) If2(X)FM (C) ∕1(X)F2(X)(D) f l(x)F2(x) + f2(x)F i(x) (8)设总体X服从参数2(Λ>0)的泊松分布，X P X l,..?X,1(∕z≥2)为来自总体的简 1" IilZil 单随即样本，贝IJ对应的统iiS7；=-yx(., T l =——Vx1-+-X,, 刃台^ H-I ?r IJ ' (A) ET i > ET2i DT l > DT2(B) ETl > ET^DT i < DT2 (C) ET x < ET2.DT x > DT1(D) ET x < ET1,DT x < DT1 二、填空题：旷14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. X (9)设/(x) = IimX(I+ 3r)7,则 / (X) = __ ? ∕→0 X (10)设函数2 = (1 +丄)匚则^I(II= _______ ? y (11)曲线tan(x + y + -)="在点(0,0)处的切线方程为_______ ? 4 (12)曲线y = 直线X = I及X轴所囤成的平面图形绕X轴旋转所成的旋转体的体积 _____ . (13)设二次型/(X P X2,X3)= XΓAΛ-的秩为1, A中行元素之和为3,则/在正交变 换下X = Qy的标准型为 ____ ? (14)设二维随机变?(X,K)服从N(“,“;bSb?;。),则E(XY2)= _____________ . 三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) XIn(I+ x) (16)(本题满分10分) 已知函数/(//,V)具有连续的二阶偏导数，/(1,1) = 2是/(ZΛV)的极值， z = /[(x+y),/(x,y)]。求Lu)■ (17)(本题满分10分) (18)(本题满分10分) 证明4arctan X-x + — -?∣3 =0 恰有2 实根。 (19)(本题满分10分) f(x)在［0,1］有连续的导数，/(0) = 1 ,且JJ f (x + y}dxdy = ∫∫f(t}dxdy , D l = {(Λ?y) I 0 ≤ Λ?≤ r,0 ≤ y ≤ r,0 ≤ % + y ≤ f}(0 < r ≤ 1),求f(x)的表达式。 (20)(本题满分11分) 设3 维向量组W=(1,0,l)7^, α2=(0,1,1/ , α3=(l,3,5)r不能由A=(Igl)J 02=(1,2,3)7? 03=(1，3,5)7^线性标出。 求：(I)求a； (11)将”|，02，03 由d］, Ct2 , &3 线性表出. (21)(本题满分11分) 已知A为三阶实矩阵，R(A) = 2 ,且人0 0 = 0 0 , 厂1 I丿〔1 1> 求：(I)求A的特征值与特征向量： (II)求A (22)(本题满分11分) 已知X, Y的概率分布如下: 且 P(X 2 =K 2 ) = I, 求：(I) (X, Y)的分布； (H)Z = Xr 的分布； (III) Pχγ. (23) (本题满分11分) 设(X,Y)在G 上服从均匀分布，G 由x-y = O, x + y = 2与y = 0围成。 求：(I)边缘密度办(X)： (Il) Aly(X l >, )≡ 2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：L ?8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)若 Iim --(L-a)e x =1,则 α 等于 YTO LX X (A)0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 ⑵ 设儿是一阶线性非齐次微分方程PMy = c∣Mχ的两个特解，若常数兄, "使λy i+uy2是该方程的解，几”-?2是该方程对应的齐次方程的解，则() (A) λ = -j z/ = —(B) λ = ——, Ll =—— 2 2 2 2 .2 1 2 2 (C) A = — f // = —(D) λ = -9 H = - 3 3 3 3 (3)设函数/(Λ-), g(x)具有二阶导数，且g” (X)V0。若g(兀)2是g(x)的极值，则 /[g(x)]在心取极大值的一个充分条件是() (A)f (a) <0(B) f(α)>0 (C) /3Vo (D) f(α)>O X (4)设/(x) = In IO X, g(x) = x f h(x) = eω ,则当X 充分大时有O (A) g(x) (5)设向量组I ：冬，σ2,..?αf可由向量组II：卩、,/?,,??? A线性表示，下列命题正确的是 (A)若向量组I线性无关，则r≤s (B)若向量组I线性相关，则厂>s (C)若向量组II线性无关，则虫S (D)若向咼组II线性相关，则厂>S ⑹设A为4阶实对称矩阵，且A2 + A = 0,若A的秩为3,则A相似于 '1 '1 1 1 (B) 1 -1 ■ 0. (8)设∕∣(x)为标准正态分布的概率密度，厶⑴为［一1，3］上的均匀分布的概率密度? a f ?(χ) x≤0 若/(χ) = t ? c(α>0e>0)为概率密度，则应满足 hj 2{x) x>O (A) 2a + 3b = 4 (B) 3a + 2b = 4 (C) a+b = ? (D) a+b = 2 二. 填空题：旷14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ⑼ 设可导函数y = y(x)由方程=^XSint 2dt 确定, (10) 设位于曲线y = 1、(e ≤ X V +S)下方，X 轴上方的无界区域为G,则G Jx(I + In' x) 绕X 轴旋转一周所得空间区域的体积是_______ ? (11) 设某商品的收益函数为R(P),收益挥性为1 + /A 其中”为价格，且R(I) = I, (12) 若曲线y = √ +农+ bx +1有拐点(-1,0),则/?= _______ ? (13) 设 A, B 为 3 阶矩阵,且 PIl = 3, ∣B∣ = 2, ∣A~, +B∣ = 2,贝 ∣J∣A + B^, = , (14) 设x 2 >兀为来自整体N(∕Λσ2 )(σ>0)的简单随机样本，记统计量 O XVO (7)设随机变量的分布函数F(X)= - 1一厂 ■ OSjIV 1,则 P{X = 1}= x≥? 三. 解答题：15-23小题，共94分?请将解答写在答题纸指定的位置上?解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤? (15)(本题满分10分) I 1 求极限Iim (X X— 1)InV .t→+∞ (16)(本题满分10分) 计算二重积分∫∫(x+y)i dxdy ,其中D由曲线X = √l + y2与直线x + √2y = 0及D x-JΣy = 0围成。 (17)(本题满分10分) 求函数"=Λ>? + 2yz在约束条件F + F + z2 = 10下的最大值和最小值 (18)(本题满分10分) (I)比较∫ι1∣lnr∣[ln(l + r)μ∕r 与[:广IlnfMG = 1,2,…)的大小，说明理由 (II)设M,,=∫'∣ln∕∣[ln(l+r)]?∕r (H =1,2,?.?).求极PKlimw,, (19)(本题满分10分) 设函数/(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且2∕(0) = ∫θ∕(Λ-χv=/ ⑵廿⑶， (I)证明：存在；7 ∈ (0,2),使/(") = /(0) (II)证明：存在?∈(0,3),使/(?) = 0 (20)(本题满分11分) λ 1 1 a 设A = 0 2-1 0 ,b = 1 J 1 J 已知线性方程组Ax = b存在2个不同的解 (I )求久，a (II)求方程组Ax = b的通解 (21)(本题满分11分) 0-14 设A= -13?,正交矩阵0使得C7Λ(2为对角矩阵，若0的第1列为 4 a 0 (22)(本题满分11分) 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为fix, y) = Ae-2^,-y2 , -CO<%<÷CO, -8 (23)(本题满分11分) 箱内有6个球，英中红，白，黑球的个数分别为1, 2, 3,现在从箱中随机的取出2个球，设X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数， (I)求随机变量(X, 丫)的概率分布 (II)求COV(X, Y) 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 (A) (B) 一、选择题：1?8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. V-V 3 (1)函数/(X)=— 的可去间断点的个数为 SIn πx (2〉当XT0时＞ /(Λ) = X-Sinax 与g(x) = "ln(l -加)是等价无穷小，则 (4)设函数y=f(χ)在区间［-1,3］上的图形为 /(AO ⑷1? (B) 2. (03. ①)无穷多个. (B) d = 1, b =—? 6 (D) d = —1 , b =— (A) d = 1, h ——? 6 (C) a = -i, b = -— 6 (3)使不等式［平∕>lnx 成立的X 的范用是 (B)(1迈)? ⑷(OJ). (C)(A). (D) (",+oo)? X 2 X -1 -1 (5)设AB 均为2阶矩阵，C 分别为AB 的伴随矩阵,若IAI=2JBI=3,则分 (6) 设AP 均为3阶矩阵，0为P 的转置矩阵，且Pl A P = 若 P = (a l ,a 1,α 3X(2 = (Q r l +a 2.a 2.a y ) > 则 Q l A0 为 ( I 1 0、 r I 1 0、 (A) 1 1 0 . (B) 1 2 O l 0 0 2 0 0 2 ( I O 0' r O 0、 (C) O 1 O . (D) 0 2 0 <0 O 2 丿 ‘° O L (7)设事件A 与事件B 互不相容，则 ⑻ P(AB) = P(A)P(B)? (8)设随机变MX ?r 相互独立，且X 服从标准正态分布N(OJ), P(K = O) = P(K = I) =丄，记U(Z)为随机变MZ = XY 的分布函数，则函数代(Z)的间断 2 块矩阵 的伴随矩阵为 3B O > (C) r O 23八 ?3∕f O , 'O 2 A 八 O , 0 0 2> (A) P(AB) = O. (C) P(A) = I-P(B). (D) P(Λk√B) = l. Y 的概率分布为 ⑻ (D 二 填空题：旷14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上? (10)设 z = (x + e v y ? H∣J— ?x X e " -f-ir (11) 幕级数工一 疋的收敛半径为 _________ ? 紜 n- (12) 设某产品的需求函数为Q = Q(P),其对应价格P 的弹性O=O.2,则当需求疑 为IOOOO 件时，价格增加1元会使产品收益增加 _______ 元. "3 0 0、 (13) 设α = (l,l,l)7 ^, 0 = (1,0,灯7^,若矩阵妙'相似于 0 0 0,贝咔=__________ . <θ ° 0> (14) 设X 「X 2,-, X,π为来自二项分布总体B(n, P)的简单随机样本，戸和S’分别 为样本均值和样本方差，记统计?T = X-52 ,则Er= ______________ . 三、解答题：15?23小题，共94分?请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分9分) 求二元函数 /(Λ; y) = X 2 (2 + y 2 J + y In y 的极值. (16) (本题满分10分) (17) (本题满分10分) 计算二重积分 JJ(X -刃cZr√y ,其中 D = {(x,y)∣(x -1)' +(>, -l)2 ≤2,y ≥x}. D (18) (本题满分11分) (I)证明拉格朗日中值泄理，若函数/(X)在W 问上连续，在(d,b)上可导，则 gw(d,町,得证fφ)-f{a) = f ?ξ)(b -a). (II)证明：若函数/(兀)在X = O 处连续，在(0, σ)Λσ>0)内可导，且 Iimf(X) = 点个数为 ⑷0. (B)L (02. (D) 3. ⑼忸 e-e vi+7 -1 (1.0) A,则心(0)存在，且f+(O) = A? x→0* (19)(本题满分10分) 设曲线y = f(x),其中∕ω是可导函数，且/(X) >0.已知曲线y = fM与直线y = O,x = 1及X = t{t > 1)所用成的曲边梯形绕X轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形而积值的ZTt倍，求该曲线的方程. (20)(本题满分11分) 设 < 1 -1 -1「-1] A= -1 1 1 ，? = 1 T 3 - 4 一2 丿 (I )求满足Aξ2= ξx, A2? = ?的所有向量§2,纟3? (II)对(I )中的任意向≡?, ξ3 ,证明ξltξ2,ξ3线性无关. (21)(本题满分11分) 设二次型 /(X p X25X3) = ax}2 +αv22+(Λ-I)X32 + 2x l x3 - 2x2x3? (I)求二次型/的矩阵的所有特征值? (II)若二次型/的规范形为y12 + y22.求"的值. (22)(本题满分11分) 设二维随机变?(X.K)的概率密度为 OVyVX 其他 (I )求条件概率密度fγlx(y?χ); (H)求条件概率p{x≤ι∣r≤ι}. (23)(本题满分11分) 袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求 以X、Y. Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. (I)求p{x = l∣z = θ}: (II)求二维随机变量(X,Y)的概率分布. 2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1?8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. ∫f7(0^ (1)设函数/(x)在区间［-1,1］上连续，则X = O是函数g(x)= -------- 的() X (A)跳跃间断点. (B)可去间断点. (C)无穷间断点. (D)振荡间断点. (2)如图，曲线段方程为y = ∕(χ),函数fω?区间［0,m上有连续的导数，则立积分 J：H(XM?等于() (A)曲边梯形ABOD面积. (B)梯形ABOD面积. (C)曲边三角形ACD≡积. (D)三角形ACDWi积. (3)已知/(x,y) = fE r,则 (A)￡'(0,0), ∕v,(0,0)都存在 (B)￡'(0,0)不存在，<(0,0)存在 (C)￡'(0,0)存在,<(0,0)不存在 (D)￡'(0,0), A(0,0)都不存在 (4)设函数/连续，若F(π,v)= ff M,λ^^ +V )J.v??英中％为图中阴影部分，则乞= (A)Vf(Ir) (B) -f(u2)(C) Vf(U) (D) -/(M) U U (5)设A为阶非O矩阵，E为”阶单位矩阵，若A3=O,则() (A)E-A不可逆，E+A不可逆. (B)E-A不可逆，E+A可逆. (C)E-A可逆，E+A可逆. (D)E-A可逆，E+A不可逆. (6)设AJ 1 2 、 b 则在实数域上域与A合同的矩阵为() 12 T 1 (2 -↑} (A) . (B) -2, (一1 2 r2 1 -2} (C) ■(D) <1 2丿、-2 1 丿 (7)随机变≡X,y独立同分布，且X分布函数为F(X),则Z = max{X,y}分布函数为() (A)F2(x). (B) F(X)F(y). (C) 1-[1-F(x)]2. (D) [1-F(χ)][i-F(y)]. (8)随机变量X~N(O,1), F~N(1,4)且相关系数P XY = 1,则() (A) P{Y = -2X-?} = ?.(B) P{y = 2X-l} = l. (C) p{r=-2X÷ι} = ι.(D) p{y = 2X+ι} = ι. 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (10)设/(x +丄) = ^4,则 f 27τ ∕(XXV = (11)设D = {(x 9y)?x 2 + y 2≤?},则∫∫(x 2 -y ?lxdy = ___________ (12) 微分方程Λ/ + y = O 满足条件y(l) = 1的解是y = _______ . (13) 设3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 2, E 为3阶单位矩阵，则∣4A~, -E = _______ . (14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX 2} = _________________ . 三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分) 求极限Iim-Iln-? (16) (本题满分10分) 设Z = Z(X,y)是由方程x 2 + y 2 -z, = φ(x+y + z.)所确定的函数，貝中e 具有2阶导数 且φf ≠-?时? (I )求 dz (17) (本题满分11分) 计算 JjmaX(Ay, l>??√y,英中 D = {(x, y)∣O < ΛT ≤2,0≤V ≤2). D (18) (本题满分10分) 设ι∕(x)是周期为2的连续函数， (I) 证明对任意的实数f,有∫,+2 ∕(Λ-)Jx = ∫θ∕(x)6∕X; (II) 证明G(Λ-) = ∫I ' f(s)ds 力是周期为2的周期函数. (19) (本题满分10分) 设银行存款的年利率为r = 0.05,并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实 现 .w , (9)设函数J ?x) = ↑ (II)记 w(x, V)= 第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取(10+9n)万元，并能按此规 律一直提取下去，问A 至少应为多少万元 (20) (本题满分12分) 设”元线性方程组Ax = b,其中 ( Ia 1 \ 'x ?' '1' A = a 2 ? ? ? ? ? ? 1 9 X = A 2 ■ ■ ,b = 0 ? ■ 2 Cr 2勺 n×n (I )求证行列式∣A∣=(n+l)βn ; (II)"为何值时，该方程组有唯一解，并求母： (HI)"为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。 (21) (本题满分10分) 设A 为3阶矩阵，q,勺为A 的分別属于特征值-1」的特征向量，向量如满足 Aa 3 =a 1+a 3 9 (I) 证明V2,①线性无关； (II) 令P = Smm),求P"AP. (22) (本题满分11分) 设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为P{X=∕} = -(Z = -1,O,1), Y 的概率 Z 、 1 0≤y≤l 密度为Λ(y)= 0其;，记z = x+r (I )求p]z≤1 X=O, 2 (ID 求Z 的概率密度f z a). (23) (本题满分11分) 设X-X ”…,X 〃是总体为N(T)的简单随机样本.记X=-YX i , （I）证明T是“2的无偏估计量?(II)当“ = 0,b = 1 时，求D7?
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