A C
E
D B
C
A
F E
O
八年级数学全等三角形轴对称练习题
一．选择题
1．如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）
A. 带①去
B. 带②去
C. 带③去
D. 带①和②去
2、在△ABC与△DEF中，如果∠A=∠D，∠B=∠E,要使这两个三角形全等，还需要的条
件可以是（）
A、AB=EF
B、BC=EF
C、AB=AC
D、∠C=∠D
3．如图，直线a，b，c表示交叉的公路，现要建一货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有（）
A．一处B．两处C．三处D．四处
4．如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），则点B的坐标为（）A．（-1，2）B．（-1，-2）C．（1，2）D．（-2，1）
5.等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分成两部分的差为2cm，则腰长为（）
A. 4cm
B. 8cm
C. 4cm或8cm
D. 以上都不对6.如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，
则∠AEC=( )
A、28°
B、59°
C、60°
D、62°
7、如图2所示,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于D,BC=BD,结果AC=3cm,那么AE+DE=( )
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
8．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）
A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5
二．填空题。
9、在△ABC中，∠A:∠C:∠B=4:3:2,且△ABC≌△DEF，
则∠E=_______.
10．已知点A（x，－4）与点B（3，y）关于y轴对称，那么x＋y的值为_______．
11.等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm，则三角形的面积为.
12、如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°,则∠BOC=________.
(2)
E
D
C
B
A
四．解答题。
1、如图∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE 。 求证：AB=AC 。
2．如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证：ACF BDE ???
3. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。
4. 如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：
21C ∠=∠+∠。
5.如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 上一点，AE ⊥GD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F 。求证：AE=EF+BF 。
6. 如图，ABC ?为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM
与BN 交于Q 点。求AQN ∠的度数
E
（图10）
D
C
B
A
N
M C
B
A
E D
C
B
A
7.如图：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足为C ，D 求证：（1）OC=OD ，（2）DF=CF
8、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N 。求证：MN=AM+BN 。
9.如图:△ABC 和△ADE 是等边三角形．证明：BD=CE
10.如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE ＝3cm ，△ABD 的周长
为13cm.，求△ABC 的周长.
11.△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的角平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，求证：BD=2CE
N
M
C
A
O
F
E
D
C
B
A
全等三角形、轴对称测试题 一、选择题1、下列说法正确的是（ ）． A ．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形 B ．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴 C ．所有直角三角形都不是轴对称图形 D ．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形 2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）． A ．（－1，－2） B ．（－1，2） C ．（1，－2） D ．（2，－1） 3、下列图形中对称轴最多的是( ) ． A ．等腰三角形 B ．正方形 C ．圆 D ．线段 4、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）． A ．11cm B ．7.5cm C ．11cm 或7.5cm D ．以上都不对 5、如图：D E 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米， 则△EBC 的周长为（ ）厘米． A ．16 B ．18 C ．26 D ．28 6、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫 做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）． A ．对应点连线与对称轴垂直 B ．对应点连线被对称轴平分 C ．对应点连线被对称轴垂直平分 D ．对应点连线互相平行 8、等腰三角形ABC 在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶点的坐标，能确定的是 ( ) ． A C B A ' ' C ' 图2 图1 E D C A l O D C B A
监利县2011—2012学年度八年级上学期数学作业题(三) 全等三角形与轴对称 班级姓名成绩 时问：100分钟总分：100分 一、选择题(3×10=30分) 1．下列图案中是轴对称图形的有( ) A．4个B．3个C．2个D．1个2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，2)，点A与点A'关于x轴对称，则点A'的坐标是( ) A．(－2，1) B．(一1，2) C．(一l，一2) D．(1，一2) 3．如图，AB∥CD，AD，BC相交于O点，∠BAD=35°，∠BOD=76°，则∠C的度数是( ) A．31°B．35°C．4l°D．76° 4．如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．AM=CN B．∠M=∠N C．AB=CD D．AM∥CN 5．如图，把长方形ABCD沿EF折叠使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=( ) A．110°B．115°C．120°D．130° 6．等腰三角形有一角为20°，则腰上的高与底边的夹角为( ) A．10°B．20°C．70°D．10°或70° 7．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为( ) A．15°B．20°C．25°D．30° 8．△ABC中，已知∠B=30°，AB=6，BE=8，则△ABC的面积为( ) A．12 B．16 C．24 D．48
9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上一点，AD=AE ，∠EDC=20。，则∠BAD 的度数是( ) A ．20° B ．40° C ．60° D ．无法确定 10．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB=m ，PC=n ，AB=c ，AC=b ，则(m+n)与(b+c)的人小关系是( ) A ．m+n>b+c B ．m+n 全等三角形知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； > (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等（即对应元素相等） 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 ， （4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 尺规作图 < （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 全等三角形、轴对称解答题 1如图，AB=AC,AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明。 3.已知，如图所示，OP是∠AOC和∠BOD的角平分线，OA=OC，OB=OD。 求证：AB=CD 4.已知如图在△ABC中，∠ACB=90。，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点做AC的垂线，交CD的延长线于点F，求证：AB=FC 5.如图四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4； 求证：（1）△ABC≌△ADC. （2）BO=DO. 6.如图，已知在等边三角形ABC中，点D、E分别是AB、BC的延长线上的点，且BD=CE.求证：DC=AE C O A C P A B A C B 7.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，试证明：BE=CF 8.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD=DE=EB ，BD=BC ，试求∠A 的度数 9.已知△ABC 中，BD 、CE 是高，BD 、CE 相交于O ，OB=OC ，试判断△ABC 的形状，并说明理由。 10.已知：CD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，DE ∥BC 交AC 于E ，求证：DF=2DE 。 11.在△ABC 中，AB=AC ，AC 的中垂线DE 交AB 于D ，∠A=44。，AB+BC=10,试求, (1)∠BDC 的度数 （2）△BDC 的周长 F B C A B C A A B A 12.如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，CE 和BD 相交于点M,BD 交AC 于点N ，试说明 （1）BD=CE (2) BD ⊥CE 13.如图，在△ABC 中，分别延长中线BE 、CD ，使AEF=BE ，DH=CD ，连接AF 、AH 求证：AF=AH 14、如图，AB 、CD 相交于点O ，AO=BO ，AC ∥DB 。求证：AC=BD 15.如图，B 、C 、F 、E 在同一直线上，AB 、DE 相交于点G ，且BC=EF ，GB=GE ，∠D=∠A. 求证：DC=AF 16.在△ABC 中，直线DE 垂直平分线段AB ，垂足为E,交BC 于点D ，∠B=。 60，∠C=。 50，求∠CAD 的度数。 C D C E F D A B 1 全等三角形和轴对称提高练习 1、如图：O 是△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点， OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=10㎝， 则△ODE 的周长等于 ㎝。 2、如图：△ABC 和△CDE 是等边三角形。求证：BE=AD 。 3．如图,BD 平分∠MBN ,A ，C 分别为BM ,BN 上的点,且BC >BA ,E 为BD 上的一点,AE =CE ,求证 ∠BAE +∠BCE =180° 4． 如图1，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于D, F 为垂足, DE ⊥AB 于E ，且AB>AC ，求证：BE －AC=AE ． 5、如图，点D 、E 在△ABC 的边上，AD=AE ，BD=EC ，试说明AB=AC. 6.如图2，过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN ，使AM ∥BN,按下列要求画图并回答：画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于E 。（12分） （1）∠AEB 是什么角？ （2）过点E 作一直线交AM 于D ，交BN 于C ，观察线段DE 、CE ，你有何发现？ （3）无论DC 的两端点在AM 、BN 如何移动，只要DC 经过点E ，①AD+BC=AB ；②AD+BC=CD 谁成立？并说明理由。 B C N D E M A E D C B A E C B A O D A B C D E A B F C D E 图1 图2 2 E D C B A F E D A 7、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1）若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ； （2）若D 为线段AC 上一动点（不与A 、C 重合），∠ACE 是否变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。 8.如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ， DF=EF ，BD=CE 。求证：△ABC 是等腰三角形。（过D 作DG ∥AC 交BC 于G ） 9、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CE ⊥AB 于点E ，AD=AC ，AF 平分∠CAB ? 交CE 于点F ，DF 的延长线交AC 于点G ， 求证：（1）DF ∥BC ；（2）FG =FE ． 10、已知：如图3，△ABC 是等边三角形，∠BDC=120°，求证：AD=BD+CD. 11、如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ， 求证：AC=BF 。 12、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E.求证：(1) △BFC ≌△DFC (2) AD=DE D C B A F E A B C D 图3 全等三角形与轴对称图形测试题(1) 姓名：_____________ 1. 下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等 的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中正确的个数有()A 、3 个B 、2 个C 、1 个D 、0 个 2. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS'来判定全等，那么一定也可以依据“ASA来判 定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要 判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等.正确的是( ) A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①②③ 3. 已知：在厶ABC中，AD为/ BAC的角平分线，DE丄AB, F为AC上一点，且/ DFA=100°,贝U ( ) A.DE>DF B. DE 全等三角形、轴对称期末复习 1．两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（） A、两角和一边 B、两边及夹角 C、三个角 D、三条边 2．如图，在△ABD和△ACE都是等边三角形，则ΔADC≌ΔABE的根据是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、AAS 3．如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（） A、2 B、3 C、5 D、2.5 4．使两个直角三角形全等的条件是（） A.一个锐角对应相等 B.两个锐角对应相等 C.一条边对应相等 D.两边对应相等 5．如图：在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，则下列结论：①△ABD≌△ACD，②∠B=∠C， ③BD=CD，④AD⊥BC。其中正确的个数有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（） A B C D 7．下列图形：①角，②两相交直线，③圆，④正方形，其中轴对称图形有( ) A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 A B C D E 8．已知∠AOB=30?，点P 在∠AOB 的部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则△P 1OP 2是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 9．已知A 、B 两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A 、B 关于x 轴对称；②A 、B 关于y 轴对称；③A 、B 关于原点对称；④A 、B 之间的距离为4，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．如图：AB=AD ，AE 平分∠BAD ，则图中有（ ）对全等三角形。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 第2题图 第3题图 第5题图 第10题图 11．已知点A （a ，b ）关于x 轴对称点的坐标是（a ，-12），关于y 轴对称点的坐标是（5,b ），则A 点的坐标是 。 12．AD 为△ABC 的高，AB AC =，△ABC 周长为20cm ，△ACD 周长为14cm ，则AD =______． 13．设∠a 是等腰三角形的一个底角，则其度数x 的取值围应是______． 14．如图：将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点F 处，已知∠1+∠2=100°，则∠A= ； 15．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，CD ＝2，则△ABD 的面积是______； 16．如图：在△ABC 中，AB=3㎝，AC=4㎝，则BC 边上的中线AD 的取值围是 ； 17．如图所示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为 全等三角形轴对称测试题 班级：_________ 姓名：___________ 小组：__________ 分数：___________ 【错题滚动】 1.锐角三角形中，最大角α的取值范围是（ ） A.6090α?≤2b ），以a 、b 为边作等腰三角形，则（ ） A. 只能作以a 为底边的等腰三角形 B. 只能作以b 为底边的等腰三角形 C. 可以作分别以a 、b 为底的等腰三角形 D. 不能作符合条件的等腰三角形 6.小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近8：00的是（ ） A. B. C. D. 7.如右图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ．若∠CBD : ∠DBA =3:1，则∠A 为（ ）． A. 18° B. 20° C. 22.5° D. 30° 8.如图，在△ABC 和△FED 中，AC=FD ，BC=ED ，要利用“SSS”来判定△ABC 模型一：手拉手模型 第二讲：全等三角形与轴对称 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC =180°（3）OA 平分∠BOC 例 1.如图在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形?ABD 与?BCE ，连结 AE 与CD ，求证： （1） ?ABE ? ?DBC （2） AE = DC （3） AE 与 DC 之间的夹角为60? （4） ?AGB ? ?DFB （5） ?EGB ? ?CFB （6） BH 平分∠AHC （7） G F // AC 变式精练1：两个等腰三角形?ABD 与?BCE ，其中AB =BD , CB =EB, ∠ABD =∠CBE =α, 连结AE与CD，问：（1）?ABE??DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？ （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分∠AHC ？ 变式精练2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结AG, CE ,二者相交于点H 问：（1）?ADG??CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？ 模型二：对角互补模型 （1）全等型——90° 条件：① ∠AOB =∠DCE = 90?②OC 平分∠AOB 结论：① CD =CE ；②OD +OE = 2OC ；③S 四边形ODCE =S ?OCD +S ?OCE = 1 OC 2 2 辅助线之一：作垂直，证明?CDM ≌?CEN 辅助线之二：过点C 作CF⊥OC，证明?ODC≌?FEC 结论：①CD =CE ；②OE -OD = 2OC ；③S ?OCE -S ?OCD = 1 OC 2 2 条件：① ∠AOB =∠DCE = 90?②CD =CE 结论：①OC 平分∠AOB；②OD +OE = 2OC ；③S 四边形ODCE =S ?OCD +S ?OCE = 1 OC 2 2 全等三角形题型归类及解析 全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5， AC=8，求DC 的长。 A B C D E P D A C B M N 二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1 2 CE BF = D A E F C H G B 3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关 系，并证明你的结论。 4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的 八年级数学《全等三角形》《轴对称》复习提优题 一．选择题（共4小题） 1．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC 和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（） 连接EB、EC，则下列结论：①∠DAC=∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④ED=2AB．其中正确的是（） 点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四边形ABDE=S△ABP，其中 正确的是（） 4．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有（） 二．解答题（共8小题） 5．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n， （1）当n=1时，则AF=_________； （2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形． 6．两个等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图1摆放，其中D点在AB上，连接BE． （1）则=_________，∠CBE=_________度； （2）当把△DEF绕点C旋转到如图2所示的位置时（D点在BC上），连接AD并延长交BE于点F，连接FC，则 =_________，∠CFE=_________度； （3）把△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请求出∠CFE的度数_________． 师：老师这里有两个三角形，我们从直观上来看这两个三角形，觉得是怎么样的？ 生：回答 师：那两个三角形相等，都要具备哪些条件呢？ 生：回答 师：我们刚刚已经猜测了好几种条件，那么我们一起来看一看有哪些比较合适。 一、认识三角形 1、定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形。“三角形”可以用符号“Δ”表示。 2 、三角形内角和定理： 三角形的三个内角和等于180度。 3、三角形外角的定义： 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 三角形的外角性质：（1）三角形的外角和为360°。 （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 （3）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。 4、三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边。 5、 等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形、 等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。 6、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。三角形的三条中线交于一点。这个点是三角形的重心。 全等三角形及图形轴对称 7、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个 角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于 一点。 8、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足 之间的线段，叫做三角形的高线，简称三角形的高。三角形三条高所在直线交于 一点。 9、锐角三角形的三条高都在三角形的内部，并且交于同一点。 直角三角形有一条高在三角形内部，其余两条高是它的两条直角边，三条高交于 直角顶点。 钝角三角形的三条高不相交，有一条高在三角形内部，其余两条高在三角形外部， 三条高所在直线交于一点。 10、三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S △ =1/2×底×高。 11、三角形具有稳定性 二、图形的全等 1、全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形。全等图形的形状和大都相同。 2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。 记作：△ABC≌△A 1B 1 C 1 要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全能三角形的对应顶点、对应边、对应角 对应顶点：互相重合的顶点叫对应顶点。点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1， 对应边：互相重合的边叫对应边。AB和A 1B 1 ，AC和A 1 C 1 ，BC和B 1 C 1 对应角：互相重合的角叫对应角。∠A和∠A 1，∠B和∠B 1 ，∠C和∠C 1 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 三、探索三角形全等的条件 （1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 八年级上册数学期中期末《全等三角形》《轴对称》拔高题 一．选择题（共4小题） 1．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（） ①②④C．②③④D．①②③④ A．①②③* B． 2．如图，将30°的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①∠DAC=∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED； ④ED=2AB．其中正确的是（） | ①②③④ A．①②③B．①②④C．②③④% D． 3．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB； ④S四边形ABDE =S△ABP，其中正确的是（） A．①③（①②④C．①②③D．②③ B． 4．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④；⑤M 到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有（） { A．2个B．3个C．4个< D． 5个 二．解答题（共8小题） 5．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD 为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n， （1）当n=1时，则 AF=_________； （2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形． @ 6．两个等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图1摆放，其中D点在AB上，连接BE． （1）则=_________，∠CBE=_________度； （2）当把△DEF绕点C旋转到如图2所示的位置时（D点在BC上），连接AD并延长交BE于点F，连接FC，则=_________，∠CFE=_________度； 一、与三角形有关的线段 1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 2、等边三角形：三边都相等的三角形 3、等腰三角形：有两条边相等的三角形 4、不等边三角形：三边都不相等的三角形 5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 6、三角形分类：不等边三角形 等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形 等边三角形 7、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形 8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC 的边BC上的高 9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线 注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线 11、三角形的稳定性，四边形没有稳定性 二、与三角形有关的角 1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。证明方法：利用平行线性质 2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 5、三角形的外角和为360度 6、等腰三角形两个底角相等 能够完全重合的两个图形叫做全等形? ［全等三角形］ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形?重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角? ［全等三角形的性质］ 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 ［找对应边、对应角的方法］ （1）公共边是对应边，公共角是对应角 （2）对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角 （3）对应角所夹的边是对应边，对应边所夹的角是对应角 （4）最长（最短）边是对应边，最大（最小）角是对应角 （5）平行边是对应边，对顶角是对应角 ［边边边］ 三边对应相等的两个三角形全等. （SSS ［边角边］ 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. （SAS） ［角边角］ 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （ASA ［角角边］ 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. （AAS ［斜边、直角边］ 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （HL） ［角平分线的作法］［角平分线的性质］ 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 A M C O ?/ OP平分/ AOB PML OA T M PN^ OB于N, ??? PM=PN ［角平分线的判定］ 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 A ?/ PM L OA于M PN L OB于N, PM=PN ? OP平分/ AOB ［三角形的角平分线的性质］ 三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等. ［轴对称图形］ 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，？这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴. ［轴对称］ 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，？那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. ［图形轴对称的性质］ 如果两个图形成轴对称，？那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. ［轴对称与轴对称图形的区别］ 一．选择题 （本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1. 下图中的轴对称图形有（ ）． A ．（1），（2） B ．（1），（4） C ．（2），（3） D ．（3），（4） 2．下列两个三角形中，一定全等的是（ ）． （A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形（B ）两个等边三角形 （C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形 （D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 3．下列条件中不能作出唯一直角三角形的是（ ） A. 已知两个锐角 B. 已知一条直角边和一个锐角 C. 已知两条直角边 D. 已知一条直角边和斜边 4．如图4所示，共有等腰三角形（ ） Ａ．4个 Ｂ．5个 Ｃ．3个 Ｄ．2个 图7 5．如图5，在直角ABC △中，90C =∠，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，且 2E B C E B A =∠∠，则A ∠等于（ ） Ａ．20 Ｂ．22.5 Ｃ．25 Ｄ．27.5 6．如图6所示，已知AB=AC ，PB=PC ，下面的结论：①BE=CE ； ②AP ⊥BC ；③AE 平分∠BEC ；④∠PEC=∠PCE ，其中正确结论 的个数有（ ） A ．1个 B 2个 C 3个 D 4个 7．如图7,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④ ∠B=∠E,其中能使ΔABC ≌ΔAED 的条件有( )个. A.4 B.3 C.2 D.1 8．平面内点A （-1，2）和点B （-1，6）的对称轴是（ ） A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y=4 D ．直线x=-1 9. △ABC 中，AB ＝AC ，三条高AD ，BE ，CF 相交于O ，那么图8中全等的三角形有（ ） 2 1 E D C B A 轴对称图形 全等三角形 测试卷 姓名___________学校____________ 1在线段、射线、直线、角、直角三角形、等腰三角形中是轴对称图形的有（ ）。 （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 2、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为（ ）（A ）2 ㎝ （B ）4 ㎝ （C ）6 ㎝ （D ）8㎝ 3、点M （1，2）关于原点对称的点的坐标为（ ）（A ）（—1，2） （B ）（－1，－2） （C ）（1，－2） （D ）（2，－1） 4、下列说法正确的是( )A ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B ．顶角相等的两个等腰三角形全等 C ．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D ．等腰三角形的两个底角相等 5、已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称， 则P ，P1，P2三点构成的三角形是（ ）A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 6、如图，DE 是?ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则?EBC 的周长为（ ）厘米 A ．16 B ．28 C ．26 D ．18 7、等腰三角形的两边长是6和3，周长为______________________。 8、等腰三角形一个角为50°，则此等腰三角形顶角为________________________。 9、在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A= °。 10、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15㎝和12㎝，则这个三角形的底边长为 ㎝。 11．腰长为12㎝，底角为15°的等腰三角形的面积为 。 12．到三角形各顶点距离相等的点是三角形 的交点。 13．在直角坐标系内有两点A(-1，1)、B(2，3)是________，MA+MB=________。 14.已知，如图ΔABC 中，AB ＝AC,D 点在BC 来.并求∠B 的度数. 15、如图，已知直线MN 与MN 同侧两点A 、B 16、如图，在⊿ABC 中，∠ACB=90，DE 是AB 度数． 1. A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 2.下列各图中，不一定全等的是（ ）A B. 周长相等的两个等边三角形 C. D. 3.如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，OE=OF 4.在⊿ABC 和⊿A /B /C /中，AB=A /B /，∠A=∠A /错误的选法是（ ） A. ∠B=∠B / B. 5、如图在△ABD 和△ACE 都是等边三角形，则ΔA. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 6、如图，∠1=∠2，∠C=∠D ，AC 、BD 交于E A. ∠DAE=∠CBE B. CE=DE C.ΔDEA 不全等于Δ 7、如图在ΔABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 的周长是（ ） 8、等腰ABC ?的顶角为?120，腰长为109．如图6，点C 、F 在BE 上，∠1=∠2，BC=EF 使ΔABC ≌ΔDEF 。 10如图幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（等于右边滑梯水平方向的长度DF ，则∠ABC+∠11.在Rt ΔA BC 中,BE 平分∠ABC,ED ⊥AB 于D,若12、如图，AD ⊥BC 于D ，AD=BD ，AC=BE 。 (1) 请说明∠1=∠C A D 第二讲：全等三角形与轴对称 模型一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC =180°（3）OA 平分∠BOC 例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ，求证：（1）DBC ABE ???（2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为? 60（4）DFB AGB ???（5）CFB EGB ???（6）BH 平分AHC ∠（7）AC GF // 变式精练1：两个等腰三角形ABD ?与BCE ?，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ???是否成立？（2）AE 是否与CD 相等？ （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分AHC ∠？ 变式精练2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE ∠？ 模型二：对角互补模型（1）全等型——90° 条件：①90AOB DCE ∠=∠=?②OC 平分∠AOB 结论：①CD CE =；②2OD OE OC +=；③2 12 OCD OCE ODCE S S S OC ??=+=四边形辅助线之一：作垂直，证明CDM CEN ??≌辅助线之二：过点C 作CF ⊥OC ，证明ODC FEC ??≌ 结论：①CD CE =；②2OE OD OC -=；③2 12 OCE OCD S S OC ??-= 条件：①90AOB DCE ∠=∠=?②CD CE =结论：①OC 平分∠AOB ；②2OD OE OC +=；③2 12 OCD OCE ODCE S S S ??=+=四边形 轴对称图形全等三角形-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中 数学试卷-试卷下载 第二讲轴对称图形全等三角形 姓名___________学校____________ 1在线段、射线、直线、角、直角三角形、等腰三角形中是轴对称图形的有（）。（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个 2、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为（）（A）2 ㎝（B）4 ㎝（C）6 ㎝（D）8㎝ 3、点M（1，2）关于原点对称的点的坐标为（）（A）（—1，2）（B）（－1，－2）（C）（1，－2）（D）（2，－1） 4、下列说法正确的是()A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．顶角相等的两个等腰三角形全等 C．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D．等腰三角形的两个底角相等 5、已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称， 则P，P1，P2三点构成的三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形 6、如图，DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC的周长为（）厘米 A．16B．28C．26D．18 7、等腰三角形的两边长是6和3，周长为______________________。 8、等腰三角形一个角为50°，则此等腰三角形顶角为________________________。 9、在∠ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A=°。 10、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15㎝和12㎝，则这个三角形的底边长为㎝。 11．腰长为12㎝，底角为15°的等腰三角形的面积为。 12．到三角形各顶点距离相等的点是三角形 的交点。 13．在直角坐标系内有两点A(-1，1)、B(2，3)，若M为x轴上一点，且MA+MB最小，则M 的坐标是________，MA+MB=________。 14.已知，如图ΔABC中，AB＝AC,D点在BC上，且BD＝AD，DC＝AC.将图中的等腰三角形全都写出来.并求∠B的度数. 15、如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B求作：点P，使点P在MN上，且∠APM＝∠BPN 16、如图，在∠ABC中，∠ACB=90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE：∠EAB=4：1．求∠B的度数． 1. 两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（） A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边 2.下列各图中，不一定全等的是（）A．有一个角是45°腰长相等的两个等腰三角形 B. 周长相等的两个等边三角形 C. 有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形 D. 斜边和和一条直角边分别相等的两个直角三角形。 3.如图，AB∠CD，AD∠BC，OE=OF，则图中全等三角形的组数是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6全等三角形知识点总结
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