矩阵→matrix
《存在和任意的数学符号：??》
矩阵的秩，（矩阵一个重要的特征）
矩阵的秩在线性代数中的一些应用，包括方阵是否可逆的判定，线性方程组解存在性的判定，向量组相关性的判定，二次型是否正定的判定。线性方程组问题是线性代数的核心问题。1：求矩阵的秩的方法
2：应用矩阵秩解决方程是否有解，解的个数情况，以及如何求解。
高等代数定义5.3.2 设n阶方阵
A=（a11
由矩阵A的行列式|A|（也记为det A）中的元素a ij的代数余子式A ij构成的如下n阶（a11 称为矩阵A的伴随矩阵，A*有时也记为adjA。
方阵A*=
定理 5.3.1 n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0，且当A可逆时，
A-1=1/|A|A*
其中A*是A的伴随矩阵。
定义 4.1.2 矩阵的行（列）初等变换是指下列三种变换：
1.交换矩阵两行（列）的位置。
2.用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）：
3.用一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列）上。
行列式的性质 1：行列式与它的转置行列式相等。即：D(T)=D. 2：（提公因式性质）用一个数K乘行列式，等于将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以这个数。
3：（变号性质）交换行列式的任意两行（列），行列式改变符号，等于D→D1，有D=- D1。
4：（线性性质）若行列式的某一行（列）每一个元素都可以表示为两数之和，则该行列式可表示为两行列式之和。
5：（值不变性质）把行列式的第j行（列）元素的k倍加到第i行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
自然数 1.2.3。。。。n组成一个有序数组称为一个n阶排列，记为i1i2…in.一般n阶排列共有n！个。
定理3.2.1 一次对换改变排列的奇偶性。 1.2.3.。。。n是偶排列。任意一个n阶排列所作的对换次数与排列具有相同的奇偶性。
定义 4.2.2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数，叫做这个矩阵的秩，如果一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩为零。矩阵A的秩记为：秩（A）或R（A）。且有R（Amn）≦min{m,n},秩（A）=秩（AT）。
在A中任取K行K列（K≦m,K≦n）,位于这些行和列的交点处的元素所构成的K阶行列式叫做这个矩阵的一个K阶子式。
说明：矩阵的K阶子式是一个行列式，而不是一个矩阵。
定理4.2.1 初等矩阵不改变矩阵的秩。
定理4.2.1 告诉我们，不必求出矩阵A的各阶子式，只要对A作行初等变换，将它化为行阶梯形，然后数一数这个行阶梯形矩阵中有几个非零行，就可以很直接的求出A的秩。
定理 4.2.2 （线性方程组可解判别法）线性方程组（1）有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。
比如：R（A）=R（Aˉ）=r
定理 4.2.3 （解的个数定理）设线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r，那么这个线性方程组
（1）当r=方程组所含未知量个数n时，有唯一解。
（2）当r 求线性方程组的一般解的步骤归纳如下： （1）写出线性方程组的增广矩阵Aˉ （2）用行初等变换把增广矩阵A化成阶梯形矩阵，求出R（Aˉ）与R （A），从而判断是否有解。 （3）如果R（Aˉ）=R（A）=方程组所含未知量个数n时，则线性方程组有唯一解；如果（Aˉ）=R（A）<方程组所含未知量个数n 时，则线性方程组有无穷多个解，此时先确定自由未知量，然后用自由未知量表示出其他未知量，得到一般解。 （4）如此，线性方程组有解时，要么r=m,要么r 应用篇： 齐次线性方程组定义：如果线性方程组的常数项都等于零，那么此线性方程组叫做其齐线性方程组。 X1=0，X2=0，X3=0，…Xn=0是齐次线性方程组的一个解。这个解叫做零解，如果齐次线性方程组还有其他解，那么这些解就叫做非零解。说明：齐次线性方程组总是有解的。 定理 4.2.4 一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：它的的系数矩阵的Rank小于方程组所含未知量的个数。 推论4.2.5 一个齐次线性方程组的方程个数m小于方程组所含未知量的个数n，那么，这个方程组必有非零解。 推论 4.2.6 如果齐次线性方程组的方程个数m等于方程组所含未知量的个数n，那么，这个方程组有非零解的充分必要条件是：它的系数行列式等于零，|A|=0. |A|=0不能作为线性方程组?解的充分条件。 定义6.3.5 向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的rank. 矩阵的转置就是行变列，列变行。 矩阵进行初等行变换后，形式是变了，但是它的许多特征没有变化，任然保留。 每行第一个非0元素逐行右移的矩阵称为阶梯形矩阵。 任何一个矩阵，经过初等行变换，总可以把它变成阶梯形矩阵（结果可以是不同的阶梯形矩阵） 【中央广播电视大学经济数学基础第30讲】定义9.10 ： 矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r(A)。 求一个矩阵的秩，首先要把它变成阶梯形矩阵。 A→（初等行变换）I＜＝＞A可逆 I---阶梯形矩阵，它非0行的行数就是A的阶数 n阶可逆矩阵A可逆＜＝＞秩（A）=n（A为满秩矩阵） 关于矩阵秩的证明 -----09数应鄢丽萍 中文摘要 在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。 关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组 约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(A T ); （2） r(kA)=? ??=≠0 00 )(k k A r （3） 设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0 (5) r ???? ??B O O A =r(A)+r(B)≤r ??? ? ??B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B) 矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。 定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得 ???? ??B O O A →???? ??B A O A →???? ??+B B A O A 即???? ??E E O E ???? ??B O O A ???? ??E E O E =??? ? ??+B B A O A 由性质5可得 r ???? ??B O O A =r ??? ? ??+B B A O A 则有r(A)+r(B)≥r(A+B) 定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n ×m 阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB) 证：由初等变换可得 ???? ??O A B E n →? ??? ??-AB O B E n →???? ??-AB O O E n 即? ??? ??-s n E A O E ??? ? ??O A B E n ? ??? ? ?-m n E O B E ＝???? ??-AB O O E n 则r ???? ??O A B E n =r ??? ? ??-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB) §1 矩阵及其运算 教学要求：理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。 知识要点： 一、矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写 字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常 用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数， 他们表示该元素在矩阵中的位置。比如，或 表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素 都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： 。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元 素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是 一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角 矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合， 而用或者表示数域上的阶方阵构成的集合。 二、矩阵的运算 1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具 有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和 仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和 对应元素的和，即：。 给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。这样我们 可以定义同型矩阵的减法为：。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律： （ 1）交换律：； （ 2）结合律：； （ 3）存在零元：； （ 4）存在负元：。 2 、数与矩阵的乘法： 设为一个数，，则定义与的乘积仍 为中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的 元素的道德，即。由定义可知：。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律： （1 ）； （2 ）； （3 ）； （4 ）。 第五节：矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全 为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。 解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。 例如 一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 () n m ij a A ?={}),min 1(n m k k ≤≤? ? ??? ??----=1 10145641321A 182423=C C 43334=C C 101 22--= D 1 0156 43213-=D n m ?k n k m c c () n m ij a A ?=0, r D ≠()(). T R A R A =0,A ≠0.A ≠??? ? ? ??=000007204321B 0 2 021≠????? ??=010*********A ????? ??=001021B ???? ? ??=100010011C 125034000D ?? ? = ? ? ??2 123508153000720 000 0E ?? ? ?= ? ??? ()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3 R E = 矩阵的秩就是指这个矩阵经过行列变换过后，化为最简式，以后非零行或者是非零列的最小的数目，这里简单介绍一下，怎样求矩阵的秩。工具/原料 ?矩阵 ?matlab 方法/步骤 1.1 启动matlab程序。 2.2 在命令窗口任意输入一个矩阵a。 >>a=rand(9,9) 3.3 调用rank函数，按一下回车键即可求得矩阵的秩=9。 4.4 再任意输入一个矩阵b。 >>b=rand(5,8) 5.5 再次调用rank函数,即可求到矩阵的秩=5。 END 注意事项 ?当一个矩阵的秩等于五的时候，就表示矩阵当中有五个飞线性 相关的向量组。 ?出现的字肯定是小于行数，或者是小于列数。 r3-2r1,r4-r1~ 1 1 2 2 1 0 2 1 5 -1 0 -2 -1 -5 1 0 0 -2 2 -2 r3+r2，交换r3 r4 ~ 1 1 2 2 1 0 2 1 5 -1 0 0 -2 2 -2 0 0 0 0 0 只是求秩就不用再计算，显然矩阵的秩为3 矩阵的秩一般有2种方式定义 1.用向量组的秩定义 矩阵的秩= 行向量组的秩= 列向量组的秩 2.用非零子式定义 矩阵的秩等于矩阵的最高阶非零子式的阶 单纯计算矩阵的秩时,可用初等行变换把矩阵化成梯形 梯矩阵中非零行数就是矩阵的秩 这个定义涉及到向量的极大线性无关组.设a1,a2……as为一个n维向量组,如果向量组中有r个向量线性无关,而任何r+1个向量都线性相关,那么这r个线性无关的向量称为向量组的一个极大线性无关组. 向量组的极大线性无关组中所含向量的个数,称为向量的秩. 矩阵的行向量的秩称为行秩.列向量的秩成为列秩. 矩阵的秩与行列式的几何意义 2016年7月16日16:39:30 1 关于面积：一种映射 大家会说，面积，不就是长乘以宽么，其实不然。我们首先明确，这里所讨论的面积，是欧几里得空间几何面积的基本单位：平行四边形的面积。平行四边形面积的定义，几何上说是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦。 然而为了应对更一般情形和更高维度的数理问题，我们有必要把面积的定义推广开来。注意到以下事实： 面积是一个标量，它来自于（构成其相邻边）两个矢量。因此，我们可以将面积看成一个映射： 其中V就是一个矢量，V*V代表两个矢量的有序对；f就是面积的值。 下面我们将说明这个映射是一个线性映射。 从最简单的例子出发。如果第一个矢量是（1，0），第二个矢量是（0，1）；也就是说，两个矢量分别是X和Y轴上的单位正向量，那么由这两个矢量张成的四边形就是一个正方形，其面积根据定义，就是长乘以宽=1*1=1。 因此有： 如果我们把第一个矢量”缩放“a倍，面积将会相应是原来的a倍；把第二个矢量“缩放”b倍，面积也会成为原来的b倍。如果同时缩放，很显然，面积将会变成原面积的ab倍。这表明，面积映射对于其两个操作数（矢量）的标量积是各自线性的，如下： 最后，我们要说明，面积映射对于其操作数（矢量）的矢量加法也是线性的。因为矢量加法操作的本身是线性的，那么其面积映射理应对此也是一个线性映射。这里我们打算从几个实际的例子出发，说明映射的加法线性性的后果。 显然（两个共线矢量所张成的平行四边形还是一条线，因此面积为0）： 假定面积映射是一个关于矢量加法的线性映射，那么我们有： 注意计算过程中用到了上面的结论。这说明： 也就是说，交换相互垂直操作数矢量的顺序，面积映射取负。孰正孰负取决于认为的定义。一般，我们把X轴单位矢量在前，Y轴单位矢量在后，从X轴到Y 轴张成的一个平行四边形的面积，取做正号。 1.1 右手定则 由此我们引入右手定则。注意右手定则只在三维空间中有效。如果以X正方向为首，Y正方向为尾，右手定则告诉我们，纸面向外是面积的正方向；如果反过来，那么纸面向内就是该面积的正方向，与规定的正方向相反，取负号。那么面积正负号的几何意义就明显了。 由此，我们不难得到平面内任意两个矢量所张成的平行四边形的面积（*）： 我们不难看到，所谓面积就是一个2x2矩阵的行列式： 矩阵的秩的性质和 矩阵秩与矩阵运算之间的关系 要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。” 那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如下性质： 1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。 2、秩为r 的n 级矩阵（n r ≥），任意r+1阶行列式为0，并且至少有一个r 阶子式不为0. 3、)}(),(min{)(B rank A rank AB rank ≤ )'()(A r a n k A r a n k =，)()()(B rank A rank B A rank ±=± )()(A rank kA rank = 4、设A 是n s ?矩阵，B 为s n ?矩阵，则+)(A rank )}(),(min{)()(B rank A rank AB rank n B rank ≤≤- 5、设A 是n s ?矩阵，P,Q 分别是s,n 阶可逆矩阵，则 )()()(A rank AQ rank PA rank == 6、设A 是n s ?矩阵，B 为s n ?矩阵，且AB=0，则 n B rank A rank ≤+)()( 7、设A 是n s ?矩阵，则)()'()'(A rank A A rank AA rank == 其中，也涉及到线性方程组解得问题： 8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A ，n A rank =)( 则方程组有惟一非零解，n A rank <)(则有无穷多解，换言之，即为克莱姆法则， 非齐次线性方程组有解时，n A rank =)(惟一解，n A rank <)( 有无穷多解。 还有满秩矩阵： 9、可逆?满秩 10、行（列）向量组线性无关，即n 级矩阵化为阶梯形矩阵后非零行数目为n 。 扩展到矩阵的分块后： 11、110(A )(A )0n n A rank rank rank A ?? ?=++ ? ??? 12、()()0A C rank rank A rank B B ??≥+ ??? 一、实验名称：项目二 按列选主元消元法 二、实验题目：用按列选主元消元法求矩阵A 的秩 11230216413267111612A -????--??=??--??---?? 三、实验程序： #include for(j=0;j<5;j++) { temp=a[row][j]; a[row][j]=a[k][j]; a[k][j]=temp; } for(i=0;i<4;i++) { for(j=0;j<5;j++) { printf("%f ",a[i][j]); } printf("\n"); } } //消元 for(b=k;b<=d;b++) { for(i=0;i<5;i++) { l[i]=a[b+1][k]*a[k][i]/a[k][k]; } for(j=0;j<5;j++) a[b+1][j]=a[b+1][j]-l[j]; for(i=0;i<4;i++) { for(j=0;j<5;j++) printf("a[%d][%d]=%6.4f ",i,j,a[i][j]); printf("\n"); } printf("\n"); } } //展示 printf("矩阵为：\n"); for(i=0;i<4;i++) { for(j=0;j<5;j++) { printf("%lf ",a[i][j]); } printf("\n"); 求矩阵的秩的步骤 在学习矩阵的秩之前，首先我们要先了解矩阵A的k阶子式：即在m×n矩阵A中，任取k行k列( k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式。先在矩阵中的m行中任选k行，得到组合；再在矩阵中的n列任选k列，得到组合。将二者相乘，便是矩阵A的k阶子式计算公式。 现在我们就可以定义矩阵的秩：设在m×n矩阵A中有不为零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）均为零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，阶数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。特别地规定了零矩阵的秩等于0。举个例子，我们先假定一个3阶矩阵。由定义可得S不可能再有大于三阶的子阵，那么我们知道S的三阶子阵只有一个|S|，若计算出|S|≠0，那么S的秩就为3，记做R(S)=3；若是|S|=0，那就同理再看S的9个二阶子阵……当然，越高阶的矩阵的秩会越难计算，下面的视频来讲解行阶梯形矩阵在求解高阶矩阵的秩中的妙用。 学习矩阵的秩并归纳出矩阵秩的一些最基本的四个性质，具体证明过程详见课本，其中最主要的是第三条性质，它证明了两个等价矩阵的秩是相等的，因此将矩阵通过初等变换化为行阶梯形矩阵能大大简化矩阵秩的运算。 矩阵的子式定义： 在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。 矩阵的秩定义： 设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r +1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。 规定零矩阵的秩为零。 矩阵的秩基本性质： ①若A为m×n矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ②R(AT)=R(A) 矩阵→matrix 《存在和任意的数学符号：??》 矩阵的秩，（矩阵一个重要的特征） 矩阵的秩在线性代数中的一些应用，包括方阵是否可逆的判定，线性方程组解存在性的判定，向量组相关性的判定，二次型是否正定的判定。线性方程组问题是线性代数的核心问题。1：求矩阵的秩的方法 2：应用矩阵秩解决方程是否有解，解的个数情况，以及如何求解。 高等代数定义5.3.2 设n阶方阵 A=（a11 由矩阵A的行列式|A|（也记为det A）中的元素a ij的代数余子式A ij构成的如下n阶（a11 称为矩阵A的伴随矩阵，A*有时也记为adjA。 方阵A*= 定理 5.3.1 n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0，且当A可逆时， A-1=1/|A|A* 其中A*是A的伴随矩阵。 定义 4.1.2 矩阵的行（列）初等变换是指下列三种变换： 1.交换矩阵两行（列）的位置。 2.用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）： 3.用一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列）上。 行列式的性质 1：行列式与它的转置行列式相等。即：D(T)=D. 2：（提公因式性质）用一个数K乘行列式，等于将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以这个数。 3：（变号性质）交换行列式的任意两行（列），行列式改变符号，等于D→D1，有D=- D1。 4：（线性性质）若行列式的某一行（列）每一个元素都可以表示为两数之和，则该行列式可表示为两行列式之和。 5：（值不变性质）把行列式的第j行（列）元素的k倍加到第i行（列）的对应元素上，行列式的值不变。 自然数 1.2.3。。。。n组成一个有序数组称为一个n阶排列，记为i1i2…in.一般n阶排列共有n！个。 定理3.2.1 一次对换改变排列的奇偶性。 1.2.3.。。。n是偶排列。任意一个n阶排列所作的对换次数与排列具有相同的奇偶性。 定义 4.2.2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数，叫做这个矩阵的秩，如果一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩为零。矩阵A的秩记为：秩（A）或R（A）。且有R（Amn）≦min{m,n},秩（A）=秩（AT）。 在A中任取K行K列（K≦m,K≦n）,位于这些行和列的交点处的元素所构成的K阶行列式叫做这个矩阵的一个K阶子式。 矩阵的秩及其求法 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 第五节：矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶 子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . () n m ij a A ?= {}) ,m in 1(n m k k ≤≤????? ??----=1101456413 21 A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643 213-=D n m ?k n k m c c ()n m ij a A ?=0, r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0. A ≠ 矩阵的秩的及其应用 摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，在多项式中的应用；其次是在二次型中的应用，最后是关于矩阵的秩在几何中的应用。 关键词：矩阵的秩；线性方程组；特征值；多项式；二次型 一：引言 矩阵的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵的一个重要性质，它将矩阵的本质展现出来。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。 二：矩阵的秩的定义及其性质 (1)定义1 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。定义 2 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 在我们的课本上矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这其实是矩阵的秩的行列式定义。 (2)性质及变化规律 (1)转置后秩不变 (2)初等变换不改变矩阵的秩; (3)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵 (4)r(kA)=r(A),k不等于0 (5)r(A)=0 <=> A=0 (6)r(A+B)<=r(A)+r(B) (7)r(AB)<=min(r(A),r(B)) (8)r(A)+r(B)-n<=r(AB) 注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n 阶矩阵。 特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n (8)P,Q为可逆矩阵, 则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ) 三：矩阵的秩的应用 (1)解线性方程组(线性方程组可解的判定方法) 对一个线性方程组来说，其可以表示成AX=B的形式，A为线性方程组的系数矩阵，设其增广矩阵为A 则有 方程组AX=B无解当且仅当R(A) . 第五节：矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全 为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。 解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。 例如 一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 () n m ij a A ?={}),m in 1(n m k k ≤≤? ? ??? ??----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 101 22--= D 1 0156 43213-=D n m ?k n k m c c () n m ij a A ?=0,r D ≠ ()(). T R A R A =0,A ≠0.A ≠??? ? ? ??=000007204321B 0 2 021≠????? ??=010*********A ????? ??=001021B ???? ? ??=100010011C 125034000D ?? ? = ? ? ??2 123508153000720 0000E ?? ? ?= ? ? ?? ()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3 R E = 目录 摘要 (1) Abstract (1) 前言 (1) 1.矩阵的秩的概念 (1) 2.秩的求法[]1 (2) 2.1子式判别法 (2) 2.2初等变换法 (2) 3．矩阵的秩的应用 (2) 3.1方程组与矩阵的秩 (2) 3.1.1判断齐次线性方程组有非零解[]3 (2) 3.1.2判断非齐次线性方程组的解 (3) 3.1.3线性方程组有解 (3) 3.2矩阵运算与矩阵的秩 (4) 3.2.1加法 (4) 3.2.2 乘法 (4) 3.3可逆矩阵与矩阵的秩 (4) 结束语 (5) 参考文献 (5) 浅谈矩阵的秩 摘 要: 矩阵的秩，是矩阵最重要的数字特征之一。矩阵的很多性质可以通过矩阵的秩来刻画。基于矩阵的秩在高等代数学中的重要性，本文系统总结了矩阵的秩的基本性质，求法及其应用。 关键词: 矩阵的秩；线性方程组；初等变换，可逆矩阵 Matrix rank Abstract: Matrix rank, it is one of the most important characteristics of digital matrix. Many properties of matrix rank of the matrix to depict. Based on the matrix rank in higher algebra, the importance of system in this paper summarizes the basic properties of the rank of matrix, the calculation methods and their applications. Keywords : matrix rank; System of linear equations; Elementary transformation, reversible matrix. 前言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，也是应用数学研究的一个重要工具。矩阵的理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。它反映矩阵固有特性的一个重要概念。 1.矩阵的秩的概念 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。所谓矩阵的行秩就矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。矩阵的行秩等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩，记作R （A ） 例如，矩阵 113102-14A=00050 000???????????? 的行向量组是 1α ＝（1,1,3,1） 2α ＝（0,2,-1,4） 3α ＝（0,0,0,5） 4α ＝（0,0,0,0） 可以证明，1α，2α，3α，是向量组1234αααα，，，的一个极大线性无关组，事实上，由 112233k k k ααα++=0可得1230k k k ===,这就证明了123ααα，，线性无关。因为4α是零向量，所以添上4α后就线性相关了。因而向量组的秩为3，即向量组的行秩为3。A 的列向量组是 1β=（1,0,0,0）， 2β=（1,2,0,0）， 3β=（3，-1,0，0）， 4β=（1,4,5,0） 将该矩阵转换为行梯形矩阵，然后矩阵的秩等于非零行的数量。 在步骤矩阵中，选择了1,3行和3,4列。由元素在其交点处形成的二阶子矩阵的行列式是矩阵A的二阶子矩阵。 行等级是A的线性独立行的最大数量。也就是说，如果将矩阵视为行向量或列向量，则等级是这些行向量或列向量的等级，即包含在其中的向量数最大独立组。 扩展数据： 证明： 由AB构造的块矩阵和n阶恒等式en | AB O | | O En | A将以下两个矩阵相乘并相乘，然后将它们加到上两个矩阵中 | AB A | | 0 En | 相乘-B，在左侧矩阵中添加两个块 | 0 A | | -B En | 因此，R（AB）+ n = R（第一个矩阵）= R（最后一个矩阵）> = R（a）+ R（b） 即R（a）+ R（b）-N <= R（AB） 在数学中，矩阵是根据矩形阵列排列的一组复数或实数。最早的矩阵是由等式的系数和常数组成的方阵。这个概念最早是由19世纪的英国数学家凯利（Kelly）提出的。 矩阵是高等代数以及统计分析等应用数学中的常用工具。[2]在物理学中，矩阵应用于电路科学，力学，光学和量子物理学；在计算机科学中，矩阵还用于3D动画中。矩阵运算是数值分析领域中的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合，可以在理论上和实际应用中简化矩阵的运算。对于一些广泛使用的特殊形式的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角线矩阵，有特定的快速算法。关于矩阵理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理学，量子力学等领域，将存在无穷维矩阵，这是矩阵的一种概括。 数值分析的主要分支致力于矩阵计算的有效算法的开发，这已经是一个世纪以来的主题，并且是一个不断扩展的研究领域。矩阵分解法简化了理论和实际计算。为特定矩阵结构（例如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法可加快有限元方法和其他计算的速度。在行星理论和原子理论中存在无限矩阵。无穷矩阵的一个简单示例是函数的泰勒级数的导数算子矩阵[3] 1. 这是一个算法的实现过程。首先需要了解什么是矩阵的秩，它的计算方法是啥。弄 清楚算法之后，用C语言实现即可。 2. 在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行 秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。 3. 算法主要就是消元法，下面是例程： /*开始输入的m为矩阵行数，输入的n为矩阵列数*/ #include 矩阵的秩的性质和 欧阳光明（2021.03.07） 矩阵秩与矩阵运算之间的关系 要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。” 那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如下性质： 1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。 2、秩为r 的n 级矩阵（n r ≥），任意r+1阶行列式为0，并且至少有一个r 阶子式不为0. 3、)} (),(min{)(B rank A rank AB rank ≤)'()(A rank A rank =，)()()(B rank A rank B A rank ±=± 4、设A 是n s ?矩阵，B 为s n ?矩阵，则+)(A rank 5、设A 是n s ?矩阵，P,Q 分别是s,n 阶可逆矩阵，则 6、设A 是n s ?矩阵，B 为s n ?矩阵，且AB=0，则 7、设A 是n s ?矩阵，则)()'()'(A rank A A rank AA rank == 其中，也涉及到线性方程组解得问题： 8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A ，n A rank =)( 则方程组有惟一非零解，n A rank <)(则有无穷多解，换言之，即为克莱姆法则， 非齐次线性方程组有解时，n A rank =)(惟一解，n A rank <)( 有无穷多解。 还有满秩矩阵： 9、可逆?满秩 10、行（列）向量组线性无关，即n 级矩阵化为阶梯形矩阵后非零行数目为n 。 扩展到矩阵的分块后： 证明： 1、先证明初等变换不会改变秩，就先从行秩开始。 设矩阵A 的行向量组是12 s γγγ，，设A 经过1?初等变换j+i*k 变成矩阵B ，则B 的行向量组是 1,,,,,,i i j s k γγγγγ+，显然， 1,,,,,,i i j s k γγγγγ+可由12s γγγ，线性表出，由于1()j i j i k k γγγγ=?+-，因此12s γγγ，也可由1,,,,,,i i j s k γγγγγ+线性表出，于是它们等价，而等价向量组有相同的秩，因此A 的行秩等于B 的列秩。 容易证明，2?型和3?型初等变换亦使所得矩阵的行向量组与原矩阵等价，从而不改变矩阵的行秩。 矩阵方法： 《矩阵方法》是“高等数学模块化系列教材”之一，是适合于经济管理、理工类各专业的公共课教材。《矩阵方法》只讲解矩阵的概念、矩阵的运算和矩阵的简单应用，计划18课时，1学分。《矩阵方法》分为两章和两个附录。第一章从实例中给出矩阵的概念，接着介绍矩阵的运算、矩阵变换和矩阵的一些相关属性；第二章为矩阵的应用，前两节介绍如何运用矩阵去解线性方程组，后三节介绍了三个要利用矩阵来分析问题的数学模型：线形规划、投入产出分析、价格弹性矩阵。书中打“*”号的内容供学生自学，每节后面都有练习题，每章后面有复习题，以便帮助读者复习巩固所学知识。附录1为数学实验，介绍Matlab数学软件在矩阵输入、矩阵运算以及在解方程中的命令实现，以便简化繁重的数值计算。附录2为各章节的习题参考答案。第一章由葛红军编写，第二章和附录由阳军编写。 序言： 中国高等教育在“十一五”期间的一个主题是走向内涵发展的道路。对每个高等职业技术学院来讲，最重要的任务除了要建设一支具有相当水平的师资队伍，要构建一个对人才培养必须具备的高效的产学研结合体系之外，就是要有一个与高职定位相吻合的高等职业技术课程技术。这其中，基础课，特别是数学课是我们不可能回避、又是极为重要的课程。 在高等教育的精英阶段发展起来的高等专科学校，数学课遵循的是“必需、够用”的原则。当时，数学基本上就是“微积分”、“线性代数”、“概率论与数理统计”三门课，学时也都在150～200学时之间，内容基本上是本科生内容的简化。当高等教育进入大众化阶段后，高等职业技术学院的定位和学生生源发生了很大的变化。我们培养的人才是社会上各类岗位的技能型、应用型人才，而学生的数学基础明显薄弱，单凭主观想象和判断来对数学内容进行取舍遇到许多矛盾。因此，数学课的改革便成为高职教育的重要课题。.“必需、够用”在这种新形势下如何赋予新的内涵，并在此方针下进行数学课的改革是非常重要的。我们以为“必需、够用”不能以数学自身的学科系统来衡量，不能由数学教师的爱好来决定，也不能由学校统一规定课程的学时和内容。“必需、够用”要由每个专业的职业岗位需求来决定，要由每个专业的专业要求来决定，要由学生的实际基础来决定。为此，近几年来，我们进行了数学课的实用化、小型化、模块化的改革探索。这套系列教材便是这种改革的阶段性成果。 本系列教材将高等数学分为5个小型化模块，分别为：《微积分》、《矩阵方法》、《概率与统计方法》、《集合初步》和《图的方法》，除了《微积分》为36学时外，其他课程均为18学时，前三门课程提供给任一专业选择，后两门课主要是为大量的信息类专业选择。 矩阵： 矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。 数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个已持续几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵。 矩阵方法： 《矩阵方法》是“高等数学模块化系列教材”之一，是适合于经济管理、理工类各专业的公共课教材。《矩阵方法》只讲解矩阵的概念、矩阵的运算和矩阵的简单应用，计划18课时，1学分。《矩阵方法》分为两章和两个附录。 序言： 中国高等教育在“十一五”期间的一个主题是走向内涵发展的道路。对每个高等职业技术学院来讲，最重要的任务除了要建设一支具有相当水平的师资队伍，要构建一个对人才培养必须具备的高效的产学研结合体系之外，就是要有一个与高职定位相吻合的高等职业技术课程技术。这其中，基础课，特别是数学课是我们不可能回避、又是极为重要的课程。 在高等教育的精英阶段发展起来的高等专科学校，数学课遵循的是“必需、够用”的原则。当时，数学基本上就是“微积分”、“线性代数”、“概率论与数理统计”三门课，学时也都在150～200学时之间，内容基本上是本科生内容的简化。当高等教育进入大众化阶段后，高等职业技术学院的定位和学生生源发生了很大的变化。我们培养的人才是社会上各类岗位的技能型、应用型人才，而学生的数学基础明显薄弱，单凭主观想象和判断来对数学内容进行取舍遇到许多矛盾。因此，数学课的改革便成为高职教育的重要课题。.“必需、够用”在这种新形势下如何赋予新的内涵，并在此方针下进行数学课的改革是非常重要的。我们以为“必需、够用”不能以数学自身的学科系统来衡量，不能由数学教师的爱好来决定，也不能由学校统一规定课程的学时和内容。“必需、够用”要由每个专业的职业岗位需求来决定，要由每个专业的专业要求来决定，要由学生的实际基础来决定。为此，近几年来，我们进行了数学课的实用化、小型化、模块化的改革探索。这套系列教材便是这种改革的阶段性成果。 矩阵的秩及其求法 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第五节：矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶 子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . () n m ij a A ?= {}) ,m in 1(n m k k ≤≤????? ??----=1101456413 21 A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643 213-=D n m ?k n k m c c ()n m ij a A ?=0, r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0. A ≠关于矩阵秩的证明
矩阵的基本概念
矩阵的秩及其求法
求矩阵的秩的步骤
矩阵的秩与行列式的几何意义
矩阵的秩的性质
用按列选主元消元法求矩阵A的秩
求矩阵的秩的步骤
矩阵的秩概念2
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浅谈矩阵的秩
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