第九章，方差分析
第九章 方差分析（讲义） 第一节 方差分析的基本原理和步骤 思考： 1.如果想要分析A 总体和B 总体平均数的差异，可以用什么方法来检验？ 2.如果想要分析A 、B 、C 三个总体平均数的差异，又该用什么方法来证明？ 如果是两个总体，用Z 和t 检验。 那是不是三个总体A 、B 、C 的比较就是拿A 和B 做比较，然后那A 与C 做比较 然后再拿B 和C 做比较？ 一、方差分析的基本原理：综合的F 检验 方差分析主要处理两个以上的平均数之间的差异检查问题，需要检验的虚无 假设就是“任何一对平均数”之间是否有显著性差异，因此虚无假设为，样本 所属的所有总体的平均数都相等。 一般把这个假设称为“综合虚无假设“,表达式为： 3210:μμμ==H 方差分析最关键的步骤就是变异的分解。 看一个例子9-1：不同噪音强度下解数学题犯错频次 图9-1 数据变异示意图 （一）数据变异文字层面上的分解 从数据可知：不仅组与组之间数据存在不同，而且同一组被试内部也存在着不同。 1.前者称组间变异，因听了不同的噪音而不同。 2.后者称组内变异，因个案本身的不同而造成的不同。 3.而每个数据之间的差异叫做总变异。 2 5 13 3 6 10 2 5 12 2 5 1 4 n=4 1 4 16 无（C ） 中（50）（B ） 强（100（A) K=3 噪音
可以知道：总变异=组间变异+组内变异 一般而言: 1.组间变异是我们想要的结果，即实验条件产生了作用才会令各组之间的数值存在差异。它越大越好！ 2.组内变异不是我们研究的目的，但是需要分解它，借助它分析实验是否成功。组内变异其实是实验的误差。它越小越好！ 3.问题来了：组间差异多大，组内差异多小才好？ （二）数据变异的数学层面的分解 1.数学上如何表示变异？ 总变异的数学意义是每一原始分数（ ）与总平均数（ ）的离差，记为： 组间变异的数学意义是每一组的平均数（ ）与总平均数的离差，记为： 组内变异的数学意义是每一组内部的原始分数与其组平均数（ ）的离差，记为： 2. 先看某一个数据的情况 分析可知，任一个数据（ ）与总平均数的差异等于他与本组平均数（ ）之差加上小组平均数与总平均数（ ）的差。即： 例如： 3.再看总变异的分解及计算 根据变异的可加性，任何一个原始分数都有： 2 67 .6=
第九章方差分析 【思考与练习】 一、思考题 1. 方差分析的基本思想及其应用条件是什么？ 2. 在完全随机设计方差分析中SS SS SS 、、各表示什么含义？ 总组间组内 3. 什么是交互效应？请举例说明。 4. 重复测量资料具有何种特点？ 5. 为什么总的方差分析的结果为拒绝原假设时，若想进一步了解两两之间的差别需要进行多重比较？ 二、最佳选择题 1. 方差分析的基本思想为 A. 组间均方大于组内均方 B. 误差均方必然小于组间均方 C. 总变异及其自由度按设计可以分解成几种不同来源 D. 组内方差显著大于组间方差时，该因素对所考察指标的影响显著 E. 组间方差显著大于组内方差时，该因素对所考察指标的影响显著
3. 完全随机设计的方差分析中，下列式子正确的是 4. 总的方差分析结果有P<0.05，则结论应为 A. 各样本均数全相等 B. 各总体均数全相等 C. 各样本均数不全相等 D. 各总体均数全不相等 E. 至少有两个总体均数不等 5. 对有k 个处理组，b 个随机区组的资料进行双因素方差分析，其误差的自由度为 A. kb k b -- B. 1kb k b --- C. 2kb k b --- D. 1kb k b --+ E. 2kb k b --+ 6. 2×2析因设计资料的方差分析中，总变异可分解为 A. MS MS MS =+B A 总 B. MS MS MS =+B 总误差 C. SS SS SS =+B 总误差 D. SS SS SS SS =++B A 总误差 E. SS SS SS SS SS =+++B A AB 总误差 7. 观察6只狗服药后不同时间点(2小时、4小时、8小时和24小时)血药浓度的变化，本试验应选用的统计分析方法是 A. 析因设计的方差分析
第九章 方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显著影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9) 8.02F =） 34 2 11 1310ij i j x ===∑∑ 【 解 ： r=3, 12 444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 3 4 2 21113101200110(1)1110110T ij T i j SS x C S n s ===-=-==-=?=∑∑或S 322.1112721200724(31)429724A i A A i SS T C S s ==-=-==-=??=∑或S 38 72110=-=-=A T e SS SS SS 计算统计值 722 8.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表 方差来源 、 平方和 自由度 均方 F 值 临界值 显著性 品种A ~ 36 0.050.01(2,9) 4.26(2,9)8.02 F F == ** 误差 ] 总 计 结论:由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显著影响. 品种 试验结果 行和??=i x T i 行均值.i x A 1 10 7 、 13 10 40 10 A 2 12 13 15 12 52 ? 13 A 3 8 4 7 9 28 7
2. ^ ..180x = 43 2 11 2804ij i j x ===∑∑ 解：22..4,3,12,180122700l m n lm C x n ======= 4 3 2 211 28042700104(1)119.45 T ij T i j S x C S n s ===-=-==-=?∑∑或 : 422 .1 12790270090(1)331090 3A i A A i S x C S m l s ==-=-==-≈??=∑或322 .1 12710.5270010.5(1)8 1.312510.5 4B j B B j S x C S l m s ==-=-==-≈?=∑或1049010.5 3.5 e T A B S S S S =--=--= 计算统计值 90310.52 51.43,93.56 3.56 A A B B A B e e e e S f S f F F S f S f = =≈==≈ 方差来源 平方和 自由度 F 值 临界值 显著性 推进器A 【 0.050.01(3,6) 4.76(3,6)9.78F F == 燃料B 0.050.01(2,6) 5.14 (2,6)10.92 F F == · 误差 总 计 结论: 由以上方差分析知，进器对火箭的射程有特别显著影响；燃料对火箭的射程有显著影响. 3．为了研究某商品的需求量Y 与价格x 之间的关系，收集到下列10对数据： . 价格x i 1 2 3 4 4 ] 5 需求量y i 10 8 8 7 6 4 ^ 2 1 31,58,147,112,410.5,i i i i i i x y x y x y =====（1）求需求量Y 与价格x 之间 试验 结果 》 燃料B B 1 B 2 B 3 .i x .i x 推进器 A 《 A 1 14 13 12 39 13 A 2 18 16 ^ 14 48 16 A 3 13 12 11 36 12 A 4 20 18 19 57 19 .j x 65 59 % 56 180 .j x 14 15
第九章方差分析 在生产过程和科学实验中，我们经常遇到这样的问题：影响产品产量、质量的因素很多.例如，在化工生产中，影响结果的因素有：配方、设备、温度、压力、催化剂、操作人员等.我们需要通过观察或试验来判断哪些因素对产品的产量、质量有显著的影响.方差分析(Analysis of variance)就是用来解决这类问题的一种有效方法.它是在20世纪20年代由英国统计学家费舍尔首先使用到农业试验上去的.后来发现这种方法的应用范围十分广阔，可以成功地应用在试验工作的很多方面. 第一节单因素试验的方差分析 在试验中，我们将要考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素.因素可分为两类，一类是人们可以控制的；一类是人们不能控制的.例如，原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制的，而测量误差、气象条件等一般是难以控制的.以下我们所说的因素都是可控因素，因素所处的状态称为该因素的水平.如果在一项试验中只有一个因素在改变，这样的试验称为单因素试验，如果多于一个因素在改变，就称为多因素试验. 本节通过实例来讨论单因素试验. 1.数学模型 例9.1某试验室对钢锭模进行选材试验.其方法是将试件加热到700℃后，投入到20℃的水中急冷，这样反复进行到试件断裂为止，试验次数越多，试件质量越好.试验结果如表9-1. 表9-1 试验的目的是确定4种生铁试件的抗热疲劳性能是否有显著差异. 这里，试验的指标是钢锭模的热疲劳值，钢锭模的材质是因素，4种不同的材质表示钢锭模的4个水平，这项试验叫做4水平单因素试验. 例9.2考察一种人造纤维在不同温度的水中浸泡后的缩水率，在40℃，50℃, (90) 的水中分别进行4次试验.得到该种纤维在每次试验中的缩水率如表92.试问浸泡水的温度对缩水率有无显著的影响？
第九章 方差分析 第一节 方差分析的基本原理及步骤 一、方差分析的基本原理 假设从一个实验中抽取了9名被试的学习成绩，如表9-1所示。随后又抽取了9名被试的学习成绩，如表9-2所示。你能从这些数据发现什么问题吗？ 首先，从数据可知，不仅组与组之间存在不同，而且同一组内部也存在着不同。前者称组间变异，后者称组内变异。 其次，从组间变异看，表9-1组间变异大于表9-2。 表9-1 第1次抽取结果 表9-2 第2次抽取结果 方法 学生实验成绩 X t X 方法 学生实验成绩 X t X A 6 5 7 6 A 1 7 4 4 B 11 9 10 10 7 B 6 2 8 6 5 C 5 4 6 5 C 3 6 5 5 再次，从看组内变异看，表9-1比 9-2差异小。 综上所述，表10-1组间变异较大而组内变异较小，表10-2组间变异较小而组内变异较大，组间变异大小与组内变异大小并非正比关系。这表明，若组间变异与组内变异的比率越大，各组平均数的差异越大。因此，通过组间变异和组内变异比率大小来推论几个相应平均数差异显著性的思想就是方差分析的逻辑依据或基本原理。所以说，方差分析是将实验中的总变异分解为组间变异和组内变异，并通过组间变异和组内变异比率的比较来确定影响实验结果因素的数学方法，其实质是以方差来表示变异的程度。 总变异 组间变异 实验条件 随机误差 组内变异 个体差异 随机误差 实验误差 图10-1 总变异的分解图 二、方差分析的基本过程 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个的平均数之间的差异检验问题，需要检验的虚无假设就是“任何一对平均数”之间是否有显著性差异。 综合虚无假设：样本所归属的所有总体的平均数都相等 备择假设：至少有两个总体的平均数不相等
第9章方差分析 （Analysis of Variance） 方差分析是指把一种数据的总偏差分解为若干种成分的方法。与其中每一种成分相联系的是某一特殊偏差的来源。通过分析有可能确定每一种偏差来源对总偏差的贡献大小，即在众多的影响因素中，有些影响作用大一些，有些则小些。在现实经济生活中常常需要分析哪几种因素的影响显著，方差分析是解决这一问题的唯一有效的方法。在第八章曾经讨论过两个总体的平均数是否相等的显著性检验问题,但对2个以上的多个总体的平均数是否相等的问题，前面介绍的检验方法无法解决。对这些问题我们采用方差分析来解决。 9.1 单因子方差分析
单因子方差分析是分析一个因子的不同水平对总体的影响的方法。 比如某企业为了推销空调，做了四种不同内容的宣传广告。广告1：强调价格便宜。广告2：强调质量可靠。广告3：强调节能。广告4：强调免费安装和保修。在这个问题中广告是所要检验的因素，四个不同内容的广告可看作是该因素的四个不同的水准的试验。如果以上四种广告内容的宣传对空调销售量的影响没有显著性差异，则从四种广告中任选一种比较经济的广告即可。但是，如果这四种广告对空调销售量的影响有显著性差异，则必须选择对空调的销售量更为有利的方案。 9.1.1 单因子方差分析的资料结构
单因子方差分析是只分析一个因子的不同水平对总体影响的单纯的试验计划法。单因子方差分析至少要对两个水平以上的效果进行比较分析，检验的因子可记作A 。前面所述的四种广告为四个水平，可分别记作4 321,,,A A A A 。每个水平的观测值可以用ij Y 表示。在方 差分析中，当涉及到的因子只有一个时，称为单因子方差分析;涉及的因子有两个时称为双因子方差分析；涉及的因子有两个以上的方差分析，称作多因子方差分析。它具有两个特点； ①各水平的观测值个数不一定相等。 ②各组观测数据必须是，从具有相同方差的相互独立的总体中随机抽样的样本。单因子方差分析的资料结构如 表9-11）。 (表9-1)单因子方差分析的资料结 构 1)因为每一个观测值的个数不一定相等，所以其观测值数不能用n 表示。为了便于区别通常用n j 表示。