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高二数学排列组合和概率人教版

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机考数学题汇编及答案-1

排列组合和概率

1、 10人中有6人是男性,问组成4人组,3男1女的组合数。

基本组合题:C 63 C 41

2、 有4对人,任取3人,组成一个小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性?

C 83 –C 41 C 61 先取得所有的组合数,然后减去选取了成对的情况,

3、 15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法?

C 155

–C 122

4、 7人比赛,A 在B 的前面的可能性有多少种

P 77

/ 2 A 在B 前的次数与在其后的次数相等 5、 3对人分为A,B,C 三组,考虑组顺和组中的人顺,有多少种分法?

P 33 ×(P 22 )3

先考虑组顺,再考虑人顺 6、 17个人中任取3人分别放在3个屋中,其中7个只能在某两个屋,另外10个只能在另

一个屋,有多少种分法?

P 72 P 101

7、 A,B,C,D,E,F 排在1,2,3,4,5,6这六个位置,问A 不在1,B 不在2,C 不在3的

排列的种数?

P 66 -3P 55 +3P 44 -P 33 (先取总数,后分别把A 放1,B 放2, C 放3,把这个数量算出,从

总数中减去即可,建议用三个同样的环相互交错取总数的方法计算)

8、 4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,有多少种排法?

2P 33

9、 5辆车排成一排,1辆黄色,1两蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排

法?

P 55 /P 33 如果再加一个条件2辆不可分辨的白色车,同理:P 77 /P 33 P 22

10、 6个身高不同的人分成2排,每排3人,每排从左到右,由低到高,且后排的人比

他身前的人高,问有多少种排法?

1,5,6,三数固定,把2,3,4,在里面摆。此题在2001年一月份出现。

11、 掷一个均匀硬币2N 次,求出现正面K 次的概率。

C 2n k

(1/2) 2n 独立重复试验。如果在一次试验中某事件发生的概率是P ,那么在n 次独立

重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率为P n (K )=C n

k P k (1-P) n-k

(一夫妇生四孩子,问生2男2女的情况之几率;每次生男女概率相同,1/2,如抛硬币问题(抛四次,2次朝上),即C 42(1/2) 4

=3/8 12、 有5个白色珠子和4个黑色珠子,从中任取3个,问其中至少有一个是黑色的概率。

1- C 53 /C 93

13、 自然数计划S 中所有满足n 100, 问满足n(n+1)(n+2) 被6整除的n 的取值概率? 由于3个连续自然数必包括一个偶数及一个可被3整除的数,因此100%

14、 设0为正方形ABCD[ 坐标为(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)]中的

一点,求起落在x 2+y 21的概率。

面积法。x 2+y 2=1为一个以原点为圆心,半径为1的圆,面积为л,正方形面积为4, ANSWER: л/4

15、 A>B (成功的概率)?

(1) A 前半部分的成功概率为1%,B 前半部分成功概率为1.4%.

(2) A 后半部分的成功概率为10%,B 后半部分成功概率为8.5%.

C. P(A)=1%*10% P(B)=1.4%*8.5%

16、 集合A 中有100个数,B 中有50个数,并且满足A 中元素于B 中元素关系a+b=10

的有20对。问任意分别从A 和B 中各抽签一个,抽到满足a+b=10的a,b 的概率。 C 201

/C 1001 C 501

17、 有两组数,都是『1,2,3,4,5,6』,分别任意取出两个,其中一个比另一个大

2的概率?

2*4/ C 61 C 61

由于注明分别,即分两次取。 18、 从0到9这10个数中任取一个数并且记下它的值,再取一个数也记下它的值。当

两个值的和为8时,出现5的概率是多少?

2/9. 总共有{(8,0)(0,8)(1,7)(7,1)(6,2)(2,6)(5,3)(3,5)(4,4)}集合中不能有重复元素

19、 5双不同颜色的袜子,从中任取两只,是一对的概率为多少?

5/ C

102 20、

从0到9中挑出4个数编4位数的电话号码,求首位不是0且数字不重复的概率。 (P 104

-C 93)/104

21、 两把keys,放到有5个keys 的keychain (直线)中,相邻的概率为多少? O K O K O

K O K O K O 两把keys 放入后的排列为P 72

,两把keys 相邻的情况把两把看成一把,放入上图O

的位置C 61再排两把keys,即再×2,所以为2 C 61 /P 72

.放入环的情况相当于放入4个keys 的直线中,2 C 51 /P 62

考友可自行画图理解。 22、 3男生,3女生,从中挑出4个,问男女相等的概率?

C 32 C 32 /C 64

23、 4对夫妇,从中任意选出3人组成一个小组,不能从任一对夫妇中同时选择两人,

问符合选择条件的概率是多少?

(C 83 –C 61 C 41 )/C 83

24、 从6双不同的手套中任取4只,求其中恰有一双配对的概率。

C 61 C 52 C 21 C 21 /C 124

25、 3个打字员为4家公司服务,每家公司各有一份文件录入,问每个打字员都收到文

件的概率?

(C 42 C 21 )C 31 /34

先把文件分为2,1,1三堆,然后把这三堆文件分给三个打字员。 26、 有4组人,每组一男一女,从每组各取一人,问取出两男两女的概率。

与11题相同。C 42(1/2) 4

=3/8

27、 一个人掷飞标,其中击中靶心的概率为0.7,他连续掷4次飞标,有2次击中靶心的

概率为多少?

见11题C 42 ×0.72×0.32

28、 某种硬币每掷一次正面朝上的几率为0.6,问连续抛5次,至少有4次朝上的概率。

见11题0.65+C 54 ×0.64

×0.4

29、 A 的发生概率为0.6,B 发生的概率为0.5,问A,B 都不发生的最大概率?

0.4 请画两个圆分别代表A,B 发生的概率,当B 包含于A 时,即是A,B 都不发生的最大概率。 I =A+B-A B+AB AB=1-0.6-0.5+0.60.5=0.4

30、 某种动物由出生而活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,求现龄为20

岁的这种动物活到25岁的概率。

0.56/0.7 P(0-20)*P(20-25)=P(0-25)

31、 There are 6 groups in a room. Each group consists of 3 men. How many handshakes will

there be if each man only shakes hands with people who are outside his group?

18C2 - 6(3C2) = 18X17/2 - 6(3X2/2) = 153 - 18 = 135. I) 18

people shake had with each other or 18C2 II) Then subtract

the hand shakes within each group. Six such group with 6 hand

shakes each or 6(3C2)

32、 if you tossed a coin three times, what's the probability that you get the same side all

three times.

the probability that you get one side 1/8 plus the probsbility that you get another side 1/8 totaling 1/4.

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识.doc

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列 组合重点知识 高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 高中数学排列组合公式大全 1.排列及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).

排列(Pnm(n为下标,m为上标)) Pnm=n (n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标,m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 高中数学排列组合公式记忆口诀 加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。 两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化。 排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。 不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模试。 关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换式。 高中数学排列组合重点知识 1.计数原理知识点 ①乘法原理:N=n1 n2 n3 nM (分步) ②加法原理:N=n1+n2+n3+ +nM (分类) 2. 排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m!

高中数学排列组合与概率统计习题

高中数学必修排列组合和概率练习题 一、选择题(每小题5分,共60分) (1)已知集合A={1,3,5,7,9,11},B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作 为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C (A)32(B)33(C)34(D)36 解分别以{}1357911,,,,,和{}1711,,的元素为x 和y 坐标,不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911,,,,,和{}1711,,的元素为y 和x 坐标,不同点的个数为1163P P g 不同点的个数总数是1111636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1),所以只有34个 (2)从1,2,3,…,9这九个数学中任取两个,其中一个作底数,另一个作真 数,则可以得到不同的对数值的个数为 (A)64(B)56(C)53(D)51 解①从1,2,3,…,9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为292P ; ②1不能为底数,以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去; ③1为真数时,对数为0,以1为真数的“对数式”个数有8个,应减去7个; ④2324log 4log 92log 3log 9 ===,49241log 2log 32log 3log 9 == =,应减去4个 所示求不同的对数值的个数为29287453()C ---=个 (3)四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有两名站在一起,但三名女生 不能全排在一起,则不同的排法数有 (A )3600(B )3200(C )3080(D )2880 解①三名女生中有两名站在一起的站法种数是23P ; ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是66P ,其中的 三名女生排在一起的站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列,排列数为55P ,站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列,故三名女生排在一起的种数是1525P P 。 符合题设的排列数为: 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种()()() 我的做法用插空法,先将4个男生全排再用插空743342274534522880A A C A A C A --= (4 )由100+展开所得x 多项式中,系数为有理项的共有 (A )50项(B )17项(C )16项(D )15项 解1000100110011r 100r r 100100100100100100=C )+C )++C )++C --L L

Session 3-permutaiton combination probability 排列组合和概率

1. PERMUTATION Suppose n objects are to be ordered from 1st to nth, each order is called a permutation. Apply the multiplication principle to count the number of permutations of n objects, i.e. n(n-1)(n-2)(n-3)....(3)(2)(1), or n!, called n factorial. e.g. Suppose that 10 students are going on a bus trip, and each of the students will be assigned to one of the 10 available seats. What is the number of possible different seating arrangements of the students on the bus? Notice: n objects should be distinguishable and they are always ordered in a line. If the objects are not ordered in a line but in other shapes, such as a circle or a square, how to calculate the number of permutations? e.g. Five students are going to sit around a table, how many arrangement can there be? (If the relative position of two students is the same, then we view it as one arrangement.) formula: (n-1)! If there are some objects are exactly the same, the number of permutations should be calculated in another way. e.g. How many different five-letter words can be formed when all letters in the word ENTER are used each time. formula: n!/(number of repeated objects)! Suppose that k objects will be selected from a set of n objects, where k<=n, and the k objects will be placed in order from 1st to kth. The number of permutation is n(n-1)(n-2)....(n-k+1). e.g. How many different five-digit positive integers can be formed using the digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, and 7 if none of the digits can occur more than once in the integer? 2. Combination Given the five letters A, B, C, D, and E, determine the number of ways of selecting 3 of the 5 letters, but unlike before, you do not want to count different orders for the 3 letters. i.e. Note that n choose k is always equal to n choose n-k

排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法

排列组合n选m,组合算法——0-1转换算法(巧妙算法)C++实现 知识储备 排列的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 A(n,m)表示计算公式: 注意:m中取n个数,按照一定顺序排列出来,排列是有顺序的,就算已经出现过一次的几个数。只要顺序不同,就能得出一个排列的组合,例如1,2,3和1,3,2是两个组合。 组合的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。 计算公式: 注意:m中取n个数,将他们组合在一起,并且顺序不用管,1,2,3和1,3,2其实是一个组合。只要组合里面数不同即可 组合算法 本算法的思路是开两个数组,一个index[n]数组,其下标0~n-1表示1到n个数,1代表的数被选中,为0则没选中。value[n]数组表示组合

的数值,作为输出之用。 ? 首先初始化,将index数组前m个元素置1,表示第一个组合为前m 个数,后面的置为0。? 然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合,找到第一个“10”组合后将其变为?“01”组合,同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。一起得到下一个组合(是一起得出,是一起得出,是一起得出)重复1、2步骤,当第一个“1”移动到数组的n-m的位置,即m个“1”全部移动到最右端时;即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。 组合的个数为: 例如求5中选3的组合: 1 1 1 0 0 --1,2,3? 1 1 0 1 0 --1,2,4? 1 0 1 1 0 --1,3,4? 0 1 1 1 0 --2,3,4? 1 1 0 0 1 --1,2,5? 1 0 1 0 1 --1,3,5? 0 1 1 0 1 --2,3,5? 1 0 0 1 1 --1,4,5? 0 1 0 1 1 --2,4,5? 0 0 1 1 1 --3,4,5 代码如下:

排列组合公式推导2014

排列和组合基本公式的推导,定义 先从「排列」开始。「排列」的最直观意义,就是给定n个「可区别」(Distinguishable,亦作「相异」)的物件,现把这n个物件的全部或部分排次序,「排列」问题就是求不同排列方式的总数。为了区别这些物件,我们可不妨给每个物件一个编号:1、2 ... n,因此「排列」问题实际等同於求把数字1、2 ... n的全部或部分排次序的方式总数。「排列」问题可分为「全排列」和「部分排列」两种,当我们把给定的n个数字1 、2 ... n全部排次序,求有多少种排法时,就是「全排列」问题。我们可以把排序过程分解为n个程序:第一个程序决定排於第一位的数字,第二个程序决定排於第二位的数字...第n个程序决定排於第n位的数字。在进行第一个程序时,有n个数字可供选择,因此有n种选法。在进行第二个程序时,由於在前一程序已选定了一个数字,现在可供选择的数字只剩下n-1个,因此有n-1种选法。在进行第三个程序时,由於在前一程序已选定了一个数字,现在可供选择的数字只剩下n-2个,因此有 n-2种选法。如是者直至第n个程序,这时可供选择的数字只剩下1个,因此只有1种选择。由於以上各程序是「各自独立」的,我们可以运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...2×1。在数学上把上式简记为n!,读作「n 阶乘」(n-factorial)。 例题1:把1至3这3个数字进行「全排列」,共有多少种排法?试列出所有排法。 答1:共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法,这6种排法为1-2-3;1-3-2;2-1-3;2-3-1; 3-1-2;3-2-1。 当然,给定n个数字,我们不一定非要把全部n个数字排序不可,我们也可只抽取部分数字(例如r个,r < n)来排序,并求有多少种排法,这样的问题就是「部分排列」问题。我们可以把「部分排列」问题理解成抽东西的问题。设在某袋中有n个球,每个球都标了编号1、2 ... n。现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再放回袋中),并把球上的数字按被抽出来的顺序记下,这r个数字的序列实际便等同於一个排序。「部分排列」问题的解答跟「全排列」问题非常相似,只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个步骤。进行第一个程序时,有n个数字可供选择,因此有n种选法。在进行第二个程序时,由於在前一程序已选定了一个数字,现在可供选择的数字只剩下n-1个,因此有n-1种选法。在进行第三个程序时,由於在前一程序已选定了一个数字,现在可供选择的数字只剩下n-2个,因此有n-2种选法。如是者直至第r个程序,这时可供选择的数字只剩下n-r+1个,因此只有n-r+1种选择。最后,运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。 我们可以把上式改写为更简的形式n! / (n-r)!,为甚麼可以这样改写?这要用到n!的定义和乘法的结合律。举一个简单的例子,由於 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × (4 × 3 × 2 × 1) = 5 × 4!。同样由

在概率的计算中的排列组合

预备知识 在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识,也常常用到牛顿二项式定理。 这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式,并适当作一点推广。 一. 两个原理 1. 乘法原理: 完成一项工作有m 个步骤,第一步有1n 种方法,第二步有2n 种方法,…, 第m 步有m n 种方法,且完成该项工作必须依次通过这m 个步骤, 则完成该项工作一共有 1n 2n …m n 种方法,这一原理称为乘法原理。 2. 加法原理: 完成一项工作有m 种方式,第一种方式有1n 种方法,第二种 方式有2n 种方法,…,第m 种方式有m n 种方法,且完成该项工作只需 选择这m 种方式中的一种,则完成这项工作一共有 1n +2n +…+m n 种方法,这一原理称为加法原理。 二. 排列: 从n 个元素里每次取出r 个元素,按一定顺序排成一列,称为 从n 个元素里每次取r 个元素的排列,这里n 和Z 。均为正整数(以 下同)。 当这n 个元素全不相同时,上述的排列称为无重复排列,我 们关心的是可以做成多少个排列,即排列数。 对于无重复排列,要求当 时 r n 称为选排列,而当 r =n 时称为全排列。我们记排列数分别为 即将全排列看成选排列的特例。 利用乘法原理不难得到 由阶乘的定义

由阶乘的定义 将上面的n个不同的元素改为n类不同的元素,每一类元素 都有无数多个。今从这n类元素中取出r个元素,这r个元素可 以有从同一类元素中的两个或两个以上,将取出的这r个元素dl 成一列,称为从n类元素中取出r个元素的可重复排列,排列数记 作,由乘法原理得 显然,此处r可以大于n 例3 将三封信投入4个信箱,问在下列两种情形下各有几 种投法? 1)每个信箱至多只许投入一封信; 2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解1)显然是无重复排列问题,投法的种数为 2)是可重复排列问题,投法的种数为 三、组合 从“个元素中每次取出r个元素,构成的一组,称为从n个元 素里每次取出r个元素的组合。 设这n个元素全不相同,即得所谓无重复组合,我们来求组合数,记作 将一个组合中的r个元素作全排列,全排列数为 , 所有组合中的元素作全排列,共有 个排列,这相当于从n个元素里每次取r个元素的选排列,排列总数为 故有

排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法 ( 2 0 2 0 )

字符串的排列组合算法合集 全排列在笔试面试中很热门,因为它难度适中,既可以考察递归实现,又能进一步考察非递归的实现,便于区分出考生的水平。所以在百度和迅雷的校园招聘以及程序员和软件设计师的考试中都考到了,因此本文对全排列作下总结帮助大家更好的学习和理解。对本文有任何补充之处,欢迎大家指出。 首先来看看题目是如何要求的(百度迅雷校招笔试题)。一、字符串的排列 用C++写一个函数, 如 Foo(const char *str), 打印出 str 的全排列,如 abc 的全排列: abc, acb, bca, dac, cab, cba 一、全排列的递归实现 为方便起见,用123来示例下。123的全排列有123、132、213、231、312、321这六种。首先考虑213和321这二个数是如何得出的。显然这二个都是123中的1与后面两数交换得到的。然后可以将123的第二个数和每三个数交换得到132。同理可以根据213和321来得231和312。因此可以知道——全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。找到这个规律后,递归的代码就很容易写出来了: view plaincopy #includeiostream?using?namespace?std;?#includeassert.h?v oid?Permutation(char*?pStr,?char*?pBegin)?{?assert(pStr?pBe

gin);?if(*pBegin?==?'0')?printf("%s",pStr);?else?{?for(char *?pCh?=?pBegin;?*pCh?!=?'0';?pCh++)?{?swap(*pBegin,*pCh);?P ermutation(pStr,?pBegin+1);?swap(*pBegin,*pCh);?}?}?}?int?m ain(void)?{?char?str[]?=?"abc";?Permutation(str,str);?retur n?0;?}? 另外一种写法: view plaincopy --k表示当前选取到第几个数,m表示共有多少个数?void?Permutation(char*?pStr,int?k,int?m)?{?assert(pStr); ?if(k?==?m)?{?static?int?num?=?1;?--局部静态变量,用来统计全排列的个数?printf("第%d个排列t%s",num++,pStr);?}?else?{?for(int?i?=?k;?i?=?m;?i++)?{?swa p(*(pStr+k),*(pStr+i));?Permutation(pStr,?k?+?1?,?m);?swap( *(pStr+k),*(pStr+i));?}?}?}?int?main(void)?{?char?str[]?=?" abc";?Permutation(str?,?0?,?strlen(str)-1);?return?0;?}? 如果字符串中有重复字符的话,上面的那个方法肯定不会符合要求的,因此现在要想办法来去掉重复的数列。二、去掉重复的全排列的递归实现 由于全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。我们先尝试加个这样的判断——如果一个数与后面的数字相同那么这二个数就不交换了。如122,第一个数与后面交换得212、221。然后122中第二数就不用与第三个数交换了,但对212,它第二个数

排列组合公式(全)教程文件

排列组合公式(全)

排列组合公式 排列定义从n个不同的元素中,取r个不重复的元素,按次序排列,称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集,而不考虑其元素的顺序,称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示,组合的个数用C(n,r)表示,对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力; (2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解; (3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大; (4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用

(1)加法原理和分类计数法 1.加法原理 2.加法原理的集合形式 3.分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1.乘法原理 2.合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同 例1:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合,S(A)=9!

排列组合的数学公式

排列组合的数学公式 排列组合的数学公式 1. 排列及计算公式从n 个不同元素中,任取m(m≤n) 个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个宝鸡博瀚教 育元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m) 表示. p(n,m)=n(n-1)(n- 2) ...... (n -m+1)= n!/(n-m)!( 规定 0!=1). 2. 组合及计算公式 从n 个不同元素中,任取m(m≤n) 个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不 同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3. 其他排列与组合公式 从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

n 个元素被分成k 类,每类的个数分别是n1,n2,...nk 这 n 个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素, 每类的个数无限, 从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列(Pnm(n为下标,m为上标)) Pnm=n×(n-1)(n- m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:是阶乘符号);Pnn(两个n 分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n 为下标1 为上标)=n 组合(Cnm(n为下标,m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n 分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n 为下标 1 为上标)=n;Cnm=Cnn-m 排列组合的数学解题技巧 1. 掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2. 理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题。 3. 理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题。 4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题。

高中数学排列组合概率练习题

高中数学排列组合概率练习题 1.如图,三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==,从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是 (A ) 37 (B ) 47 (C ) 114 (D ) 1314 答案:D 解析:若取出3个数,任意两个不同行也不同列,则只有6种取法;而从9个数中任意取3个的方法是3 9C .所以3 9 613114 C - = . 2.同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有 (A )6种 (B )9种 (C )11种 (D )13种 答案:B 解析:设四人分别是甲、乙、丙、丁,他们写的卡片分别为,,,a b c d ,则甲有三种拿卡片的方法,甲可以拿,,b c d 之一.当甲拿b 卡片时,其余三人有三种拿法,分别为,,badc bcda bdac .类似地,当甲拿c 或d 时,其余三人各有三种拿法.故共有9种拿法. 3.在平面直角坐标系中,x 轴正半轴上有5个点,y 轴正半轴上有3个点,将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段,这15条线段在第一象限内的交点最多有 (A )30个 (B )20个 (C )35个 (D )15个 答案:A 解析:设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形,则这个四边形唯一的对角线交点,即在第一象限,适合题意.而这样的四边形共有302 32 5=?C C 个,于是最多有30个交点. 推广1:.在平面直角坐标系中,x 轴正半轴上有m 个点,y 轴正半轴上有n 个点,将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段,这15条线段在第一象限内的交点最多有2 2 m n C C ?个 变式题:一个圆周上共有12个点,由这些点所连的弦最多有__个交点. 答案:4 12C 4.有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是 (A ) 15 (B ) 25 (C ) 35 (D ) 45 111213212223313233a a a a a a a a a ?? ? ? ???

高中数学竞赛标准讲义---排列组合与概率

高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率 一、基础知识 1.加法原理:做一件事有n 类办法,在第1类办法中有m 1种不同的方法,在第2类办法中有m 2种不同的方法,……,在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2.乘法原理:做一件事,完成它需要分n 个步骤,第1步有m 1种不同的方法,第2步有m 2种不同的方法,……,第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3.排列与排列数:从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用m n A 表示,m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注:一般地0n A =1,0!=1,n n A =n!。 4.N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5.组合与组合数:一般地,从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合,即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用m n C 表示: .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6.组合数的基本性质:(1)m n n m n C C -=;(2)11--+=n n m n m n C C C ;(3)k n k n C C k n =--11;(4)n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ;(5)111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ;(6)k n m n m k k n C C C --=。 7.定理1:不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为11--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ,不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ,A 的每个装法对应B 的唯一一个解,因而构成映射,不同的装法对应的解也不同,因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数,i=1,2,…,n ,便得到A 的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将r 个小球从左到右排成一列,每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个,将球分n 份,共有11--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+

排列组合公式

排列组合公式 1.分类计数原理(加法原理) 12n N m m m =+++ . 2.分步计数原理(乘法原理) 12n N m m m =??? . 3.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =!! )(m n n -.(n ,m ∈N*,且m n ≤). 注:规定1!0=. 4.排列恒等式 (1)1 (1)m m n n A n m A -=-+; (2) 1 m m n n n A A n m -= -; (3) 1 1m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5)11m m m n n n A A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+- . 5.组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=!!!)(m n m n -?(n ∈N*,m N ∈,且m n ≤). 6.组合数的两个性质 (1)m n C =m n n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定 10 =n C . 7.组合恒等式 (1) 1 1m m n n n m C C m --+= ;

(2) 1 m m n n n C C n m -= -; (3) 1 1m m n n n C C m --= ; (4)∑=n r r n C =n 2; (5) 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9) r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 8.排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?! . 9.单条件排列 以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. (1)“在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有11--m n A 种; ②某(特)元不在某位有11---m n m n A A (补集思想)1 111---=m n n A A (着眼位置)1 1111----+=m n m m n A A A (着眼元素)种. (2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴:)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种. ②浮动紧贴:n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 1 1+-+-种. 注:此类问题常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有k 、h 个(1+≤h k ),把它们合在一起来作全排列,k 个的 一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h A A 1+种. (3)两组元素各相同的插空

排列组合公式排列组合计算公式----高中数学!

排列组合公式/排列组合计算公式 公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 !-阶乘,如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r 举例: Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数? A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属于“排列P”计算范畴。 上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合,我们可以这么看,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P(3,9)=9*8*7,(从9倒数3个的乘积) Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”? A2: 213组合和312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。 上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每

名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法? 解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法. (2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法. 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算. 例2 排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种? 解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出: ∴ 符合题意的不同排法共有9种. 点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型. 例3判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果. (1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手? (2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法? (3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积? (4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法? 分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题.其他类似分析. (1)①是排列问题,共用了封信;②是组合问题,共需握手(次). (2)①是排列问题,共有(种)不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法. (3)①是排列问题,共有种不同的商;②是组合问题,共有种不同的积. (4)①是排列问题,共有种不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法. 例4证明. 证明左式

排列组合概率专题讲解

专题五: 排列、组合、二项式定理、概率与统计 【考点分析】 1. 突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目,均是用数 值给出的选择支或要求用数值作答,这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。 2. 有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力,它一般有一至两 3. 个附加条件,此附加条件有鲜明的特色,是解题的关键所在;而且此类问题一般都有 多种解法,平时注意训练一题多解;它一般以一道选择题或填空题的形式出现,属于中等偏难(理科)的题目。 4. 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运算能力,特 别是有关指数运算法则的运用,同时还要注意理解其基本概念,它一般以一道选择题或填空题的形式出现,属于基础题。 5. 有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力,又考查运算能力;它要求 对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用;文科仅要求计算概率,理科则要求计算分布列和期望;它一般以一小一大(既一道选择题或填空题、一道解答题)的形式出现,属于中等偏难的题目。 6. 有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌 握,它一般以一道选择题或填空题的形式出现,属于基础题。 【疑难点拨】 1. 知识体系: 2.知识重点: (1) 分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心,贯穿于本章的始终。 (2) 排列、组合的定义,排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排列数公式 的推导过程就是位置分析法的应用,而组合数公式的推导过程则对应着先选(元素)后排(顺序)这一通法。 (3) 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项式定理的 推导过程体现了二项式定理的实质,反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用,二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法(令1±=x )的应用。 (4) 等可能事件的定义及其概率公式,互斥事件的定义及其概率的加法公式,相互独 立事件的定义及其概率的乘法公式,独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用,相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。 (5) (理科)离散型随机变量的定义,离散型随机变量的分布列、期望和方差。 (6) 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样,总体分布,正态分布,线性回归。

排列组合公式 全

排列组合公式 排列定义??? 从n个不同的元素中,取r个不重复的元素,按次序排列,称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集,而不考虑其元素的顺序,称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示,组合的个数用C(n,r)表示,对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力; (2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解; (3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大; (4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1.加法原理 2.加法原理的集合形式

3.分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1.乘法原理 2.合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同 例1:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合,S(A)=9! 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合,规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数,等于剩余的3个数的全排列,即3! 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系,则 S(A)=S(B)*3! S(B)=9!/3! 这就是我们用以前的方法求出的P(9,6) 例2:从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法? 设不同选法构成的集合为C,集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的

排列组合与概率原理及解题技巧

排列组合与概率原理及解题技巧 一、基础知识 1.加法原理:做一件事有n 类办法,在第1类办法中有m 1种不同的方法,在第2类办法中有m 2种不同的方法,……,在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2.乘法原理:做一件事,完成它需要分n 个步骤,第1步有m 1种不同的方法,第2步有m 2种不同的方法,……,第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3.排列与排列数:从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数,叫做从n 个不同 元素中取出m 个元素的排列数,用m n A 表示,m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注:一般地0n A =1,0!=1,n n A =n!。 4.N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5.组合与组合数:一般地,从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合,即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元 素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用m n C 表示: .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6.组合数的基本性质:(1)m n n m n C C -=;(2)1 1--+=n n m n m n C C C ;(3)k n k n C C k n =--11;(4)n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ;(5)111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ;(6)k n m n m k k n C C C --=。 7.定理1:不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ,不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ,A 的每个装法对应B 的唯一一个解,因而构成映射,不同的装法对应的解也不同,因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数,i=1,2,…,n ,便得到A 的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将r 个小球从左到右排成一列,每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个,将球分n 份,共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组合,其组合数为.1m m n C -+ 8.二项式定理:若n ∈N +,则(a+b)n =n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C +++++---2221 10.其中第r+1

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