平面向量复习讲义
一．向量有关概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r
共线的单位向量是
||
AB AB ±u u u r
u u u r )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有0r
)；
6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。如
下列命题：（1）若a b =r r
，则a b =r r 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相
同，终点相同。（3）若AB DC =u u u r u u u r ，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，
则AB DC =u u u r u u u r 。（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r 。（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r
。其中正确的是_______
（答：（4）（5））
二．向量的表示方法：
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，
j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=r r r
，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的线性运算：
（1）向量加法：
①三角形法则:（“首尾相接，首尾连”）,如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a r
，BC ＝b r ，则向量AC 叫做a r 与b r 的和，记作+a b r r
定：a + 0-= 0 + a =a,
当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； 当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，
当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |； 若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.
结论：a b a b +≤+r r r r
②平行四边形法则:以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。
③加法的运算律
1）向量加法的交换律：a +b =b +a
2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )
（2）向量减法：
向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
1.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b
2.求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - b ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ，
作OA = a ， OB = b 则BA = a - b
即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.
由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 注意：1?AB 表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)
O
A
B
a
B’
b -b
b
a + (-
b )
a
b
O
a
b
B a
b
a -b
课堂练习：
1.化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r
____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____
（答：①AD u u u r ；②CB uu u r ；③0r
）；
2.若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r
＝_____ （3）向量数乘：求实数λ与向量a 的积的运算
1．.λa |＝|λ|_|a |_______；
2．当λ>0时，λa 的方向与a 的方向___相同_；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反____；当λ＝0时，λa ＝0____
3．向量数乘的运算律
λ(μa )＝_（λμ）a ______；(λ＋μ)a ＝___λa ＋μa __；λ(a ＋b )＝__λa ＋λb _____。
（4）共线向量定理
a 是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得
b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线．（证明三
点共线）三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r
、
共线。 注意：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的`区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．
例1. 设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
四．平面向量的基本定理：
如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、
2λ，使a =1λe 1＋2λe 2
我们把不共线的向量e 1和e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
向量的夹角:已知两个非零向量a ?、b ?，作a A O ??=，b B O ??=，则∠AOB ＝θ，叫向量a ?、b ?
的夹角，
当0θ=o
，a ?、b ?同向，当180θ=o
，a ?、b ?反向，当90θ=o
，a ?与b ?垂直，记作a ?
⊥b ?
。
例1如图，在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的
中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →
＝b ，试用a ， b 表示AG →
.
用方程思想解决平面向量的线性运算问题：
例2如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12
OB →，AD 与BC 相交于点M ，
设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →
. 解 设OM →
＝m a ＋n b ，
则AM →＝OM →－OA →
＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12
OB →－OA →＝－a ＋12
b .
又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →
共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →
，
即(m －1)a ＋n b ＝t ?
???－a ＋1
2b .
∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋1
2
t b .
∴?????
m －1＝－t n ＝t 2
，消去t 得，m －1＝－2n ， 即m ＋2n ＝1.
又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝????m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14
a ＝－14
a ＋
b .
又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →
共线．
∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →
，
∴????m －14a ＋n b ＝t 1???
?－1
4a ＋b ， ∴?????
m －14＝－14t 1
n ＝t 1
，消去t 1得，4m ＋n ＝1.
由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37
b .
课堂练习：
（1）若(1,1),a b ==r r (1,1),(1,2)c -=-r ，则c =r
______
（答：1322
a b -r r
）；
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A. 12(0,0),(1,2)e e ==-u r u u r
B. 12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u r
C. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u u r
D. 1213(2,3),(,)24
e e =-=-u r u u r
（答：B ）；
（3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ,则BC uuu r
可用向量
,a b r r
表示为_____
（答：2433
a b +r
r ）；
（4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→
??→
?=DB CD 2，?→
??→
??→
?+=AC s AB r CD ，则s r +的
值是___
（答：0）
五．平面向量的坐标运算：
若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)加法：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)减法：a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)数乘：λ a ＝(λ x 1，λ y 1)
（4）向量的坐标：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2121(,)AB x x y y =--u u u r
，一个向量的坐标等于表示
此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。
（5）中点坐标：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为1212
(,)22
x x y y ++ （6）向量相等：:若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则
?????==?
=2
1
21y y x x b a
（7）向量共线或平行：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若//a b r
r
，则1221x y x y =.
题型一 求向量的坐标
【例题1】如图所示，若2=→
OA ,OA 与x 轴正方向夹角为30°，求向量→
OA 的坐标.
O
x
A
y
【例题2】ABC ?的三个顶点的坐标分别是)8,1(),6,7(),6,4(C B A ，D 为BC 的中点，求向量
→
→→BC AD AB ,,.
题型二 由向量相等求参数的值
【例题3】已知向量)2,5(),,(2
2
-=+=→
→
b xy y x a ，若→
→=b a ，求y x ,的值.
题型三 平面向量的坐标运算 1. 向量坐标运算的直接应用
【例题4】已知平面向量)1,1(),1,1(-==→
→
b a ，则向量→
→-b a 2
321=（ ）
A. )1,2(
B. )1,2(-
C. )2,1(
D. )2,1(-
2. 利用向量坐标运算求点的坐标
【例题5】已知)4,3(),1,3(),4,2(----C B A 且→
→
→
→
==CB CN CA CM 2,3,求N M ,的坐标.
题型四 平面向量平行的坐标运算
【例题6】(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r
，当x ＝_____时a r 与b r 共线且方向相同
（答：2）； （2）已知(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r
，则x ＝______ （答：4）；
（3）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===u u u r u u u r u u u r
，则k ＝_____时，A,B,C 共线
（答：－2或11）
六．平面向量的数量积
（1）两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：1．当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
2．当180θ=o 时，ａ与ｂ反向；
3．当90θ=o 时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
4．注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤θ≤180?
（2）平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量a b 与，它们的夹角是θ，则数量cos θa b 叫a b 与的数量积，记作a b g ，即
有a b g =cos θa b ，（０≤θ≤π）.注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
其中θ是a b 与的夹角，cos θa (cos )θb 叫做向量a b 在方向上（b a 在方向上）的投影。我们规定0向量与任何向量的数量积为0. （3）两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量， 1．a ⊥b ? a ?b = 0
2．当a 与b 同向时，a ?b = |a||b|； 当a 与b 反向时，a ?b = -|a||b|. 特别的a ?a = |a|2或a a a ?=
|| |a ?b| ≤ |a||b| cos θ =
|
|||b a b
a ?
3．当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b r r 、
不同向，0a b ?>r r
是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ?b ＜0，且 a b r r 、不反向，0a b ? 是θ为钝角的必要非充分条件；当θ为直角时，a ?b =0. （4）向量的投影： “投影”的概念：作图 定义：|b|cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量； 当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值； 当θ为直角时投影为0； 当θ = 0?时投影为 |b|； 当θ = 180?时投影为 -|b|. 向量的数量积的几何意义： 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b|cos θ的乘积. （5）向量的运算律： 1．交换律：a b b a +=+r r r r ，()()a a λμλμ=r r ，a b b a ?=?r r r r ； 2．结合律：( ) ( ),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+r r r r r r r r r r r r ，()()() a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r ； 3．分配律：()() ,a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+r r r r r r r ，() a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r 。 如 下列命题中：① →→→→→ →→?-?=-?c a b a c b a )(；② →→→→ →→??=??c b a c b a )()(；③ 2 ()a b →→ -2||a → = 2 2||||||a b b →→→-?+；④ 若0=?→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ?=?r r r r 则a c =r r ；⑥22 a a =r r ； ⑦2a b b a a ?=r r r r r ；⑧222()a b a b ?=?r r r r ；⑨222()2a b a a b b -=-?+r r r r r r 。其中正确的是______ （答：①⑥⑨） （6）向量的数量积的坐标表示、模、夹角： 1．数量积：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 2．向量垂直：a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0 3．向量的模长：若a ＝(x ，y )，则222 2 ||||a a a x y ===+r r r 4．向量的夹角：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则22 2221 21 2121| |||,cos y x y x y y x x +++=>= ?b a b a b a 5．两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则221221)()(||y y x x AB -+-= 6．a 在b 方向上的正射影的数量为22 222 121||,cos ||y x y y x x ++=>= 课堂练习： 1.已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→ b 上的投影为______ （答： 5 12 ） 2.已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→ b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______ （答：43λ<- 或0λ>且13 λ≠）； 3.已知OFQ ?的面积为S ，且1=??→ ??→?FQ OF ，若2 3 21< _________ （答：( ,)43 ππ ）； 4.△ABC 中，3||=?→ ?AB ，4||=?→ ?AC ，5||=?→ ?BC ，则=?BC AB _________ （答：－9）； 5.已知11(1,),(0,),,22 a b c a kb d a b ==-=+=-r r r r r u r r r ，c r 与d u r 的夹角为4π ，则k 等于____ （答：1）； 6.已知2,5,3a b a b ===-r r r r g ，则a b +r r 等于____ ）； 7.已知,a b r r 均为单位向量，它们的夹角为60o ，那么|3|a b +u u r r ＝_____ ； 8.已知,a b r r 是两个非零向量，且a b a b ==-r r r r ，则与a a b +r r r 的夹角为____ 七．向量中一些常用的结论： （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+r r r r r r ，特别地，当 a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+r r r r ≥||||||||a b a b -=-r r r r ；当 a b r r 、 反向或有0r ?||||||a b a b -=+r r r r ≥||||||||a b a b -=+r r r r ；当 a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+r r r r r r (这些和实数比较类似). （3）在ABC ?中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为 123123,33x x x y y y G ++++?? ??? 。如 若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为_______ （答：24 (,)33 -）； ②1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心，特别地0PA PB PC P ++=?u u u r u u u r u u u r r 为ABC ?的重心； ③PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 为ABC ?的垂心； ④向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； ⑤||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ABC ?的内心； （3）若P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比为λ， 点M 为平面内的任一点，则1 21MP MP MP λλ +=+u u u u r u u u u r u u u r ，特别地P 为12 P P 的中点122 MP MP MP +?=u u u u r u u u u r u u u r ； （4）向量 PA PB PC u u u r u u u r u u u r 、、中三终点A B C 、、共线?存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r 且1αβ+=.如 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足 =?→ ?OC ?→ ??→ ?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______ （答：直线AB ） 高中数学竞赛讲义（八） ──平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f 定理 3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。 定义 3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos =|a|·|b|cos 讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 [ OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂 足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理⊥，⊥ ?O 为ABC ?的垂心 : （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b c 、 分别为 方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ ∴ c b a bc ++= （b c +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a B C D 平面向量复习讲义 一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是 || AB AB ± )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0 )； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如 下列命题：（1）若a b = ，则a b = 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相 同，终点相同。（3）若AB DC = ，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形， 则AB DC = 。（5）若,a bb c == ，则a c = 。（6）若/,/a bb c ，则//a c 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等； 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ， 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+= ，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的线性运算： （1）向量加法： ①三角形法则:（“首尾相接，首尾连”）,如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ， ＝b ，则向量叫做a 与b 的和，记作+a b 定：a + 0-= 0 + a =a, 当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； 当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |， 第一节平面向量的概念及其线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 例1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线 C ．不可能都是零向量 D ．不可能都是单位向量 例2．.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 等价于四边形 ABCD 为平行四边形；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 等价于|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．④⑤ CA 2．向量的线性运算 平行四边形法则 例3：化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( ) A.AB → B.DA → C.BC → D ．0 例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF ＝( ) A ．0 B ．BE C ．A D D ．CF (2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23 BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 巩固练习： 1．将4(3a ＋2b )－2(b －2a )化简成最简式为______________． 2．若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，则非零向量OA →，OB → 的关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．不确 定 3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________ 4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD 等于( ) A ．－BC ＋12BA B ．－B C －12BA C ．BC －12 BA D ．BC ＋12 BA 5．若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ；③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE → . DD 1 2 巩固练习 1。16a ＋6b 2。C 3。2 4。A 5。C 6．解：AB →＝AC →＋CB → ＝－3a ＋2b ，∵D ，E 为AB →的两个三等分点，∴AD →＝13AB →＝－a ＋23b ＝DE →. ∴CD →＝CA →＋AD →＝3a －a ＋23b ＝2a ＋23 b .∴CE →＝CD →＋DE → ＝2a ＋23b －a ＋23b ＝a ＋43b. 3．共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线等价于存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 例5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________ 例6． 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”． （3）向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差， ③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） （4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λ a 的方向与a 的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的 （5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a （6）平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示 平面向量讲义 §2、1 平面向量得实际背景及基本概念 1.向量:既有________,又有________得量叫向量. 2.向量得几何表示:以A 为起点,B 为终点得向量记作________. 3.向量得有关概念: (1)零向量:长度为__________得向量叫做零向量,记作______. (2)单位向量:长度为______得向量叫做单位向量. (3)相等向量:__________且__________得向量叫做相等向量. (4)平行向量(共线向量):方向__________得________向量叫做平行向量,也叫共线向量. ①记法:向量a 平行于b ,记作________. ②规定:零向量与__________平行. 考点一 向量得有关概念 例1 判断下列命题就是否正确,并说明理由. ①若a ≠b ,则a 一定不与b 共线;②若AB →＝DC → ,则A 、B 、C 、D 四点就是平行四边形得四个顶 点;③在平行四边形ABCD 中,一定有AB →＝DC → ;④若向量a 与任一向量b 平行,则a ＝0;⑤若a ＝b ,b ＝c ,则a ＝c ;⑥若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c 、 变式训练1 判断下列命题就是否正确,并说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a>b ; (2)若向量|a |＝|b |,则a 与b 得长度相等且方向相同或相反; (3)对于任意|a |＝|b |,且a 与b 得方向相同,则a ＝b ; (4)向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 方向相同或相反. 考点二 向量得表示方法 例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点. (1)作出向量AB →、BC →、CD →; (2)求|AD → |、 考点三 相等向量与共线向量 例3 如图所示,O 就是正六边形ABCDEF 得中心,且OA →＝a ,OB →＝b ,OC → ＝c 、 (1)与a 得模相等得向量有多少个？ (2)与a 得长度相等,方向相反得向量有哪些？ (3)与a 共线得向量有哪些？ (4)请一一列出与a ,b ,c 相等得向量. §2、2 平面向量得线性运算 1.向量得加法法则 (1)三角形法则 如图所示,已知非零向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB →＝a ,BC → ＝b ,则向量________叫做a 与b 得与(或与向量),记作__________,即a ＋b ＝AB →＋BC → ＝________、上述求两个向量与得作图法则,叫做向量求与得三角形法则. 对于零向量与任一向量a 得与有a ＋0＝________＋______＝______、 (2)平行四边形法则 中学数学竞赛讲义——平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λf 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作 a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos 平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos 学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 知识点一 向量的概念 思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 梳理 向量与数量 (1)向量：既有________，又有________的量统称为向量． (2)数量：只有________，没有________的量称为数量． 知识点二 向量的表示方法 思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 思考2 0的模长是多少？0有方向吗？ 思考3 单位向量的模长是多少？ 梳理 (1)向量的表示 ①具有________和长度的线段叫作有向线段，以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作________，线段AB 的长度 也叫作有向线段AB →的长度，记作________． ②向量可以用____________来表示．有向线段的长度表示____________，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示____________． ③向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a → , b → , c → ，…来表示． (2)________的向量叫作零向量，记作______________；______________________________的向量，叫作a 方向上的单位向量，记作a 0. 知识点三 相等向量与共线向量 思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？它们共线吗？ 思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ 思考3 若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？ 梳理 (1)相等向量：____________且____________的向量叫作相等向量． (2)平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线______________，则称这两个向量平行或共线． ①记法：a 与b 平行或共线，记作________． ②规定：零向量与____________平行． 类型一 向量的概念 例1 下列说法正确的是( ) A ．向量A B →与向量BA →的长度相等 B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 第4讲 极化恒等式 一．选择题（共3小题） 1．已知ABC ?是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值为( ) A ．3- B ．6- C ．2- D ．83 - 【解析】解：以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0A ，，(2,0)B -，(2,0)C ， 设(,)P x y ，则(PA x =-，)y -，(2,)PB x y =---，(2,)PC x y =--， 所以则()PA PB PC +的最22(2)(23)(2)242x x y y x y =--+--=-+ 222[2(3]x y =+-； 所以当0x =，y =()PA PB PC +取得最小值为2(3)6?-=-， 故选：B ． 2．在等腰直角ABC ?中，90ABC ∠=?，2AB BC ==，M ，N （不与A ，C 重合）为AC 边上的两个动点，且满足||2MN =BM BN 的取值范围为( ) A ．3 [2 ，2] B ．3 (2 ，2) C ．3 [2 ，2) D ．3 [2 ，)+∞ 【解析】解：以等腰直角ABC ?的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系， 如图所示；则(0,0)B ，直线AC 的方程为2x y +=； 设(,2)M a a -，则01a <<， 由||2MN =(1,1)N a a +-； ∴(,2)BM a a =-，(1,1)BN a a =+-； ∴2213(1)(2)(1)2222()22 BM BN a a a a a a a =++--=-+=-+ ． 01a <<，∴当12a = 时，BM BN 取得最小值32 ， 且0a =或1时，2BM BN =，无最大值； ∴BM BN 的取值范围是3 [2 ，2)． 故选：C ． 3．正ABC ?P 在其外接圆上运动，则AP PB 的取值范围是( ) A ．33[,]22 - B ．31[,]22 - C ．13[,]22 - D ．11[,]22 - 【解析】解：如图所示． 由正ABC ?P 在其外接圆上运动． 120AOB ∴∠=?，1R = =． ∴()()AP PB OP OA OB OP =-- 2 OP OB OP OA OB OA OP =--+ cos 1cos120cos POB AOP =∠--?+∠ 1 2cos cos()2AOB AOP POB =∠∠-∠- 1cos()2 AOP POB =-∠-∠- ， 1cos()1AOP POB -∠-∠， ∴31[,]22 AP PB ∈-． 故选：B ． 《必修4》 第二章 平面向量 一、知识纲要 1、向量的相关概念： （1） 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为AB 或a 。 向量又称矢量。 ①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。 （2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。 记作：|AB |或｜a ｜。 向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 （3）零 向 量： 长度为0的向量叫零向量，记为0 ，零向量的方向是任意的。 ①｜a ｜＝0； ②0 与0的区别：写法的区别，意义的区别。 （4）单位向量：模长为1个单位长度的非零向量叫单位向量。 若向量a 是单位向量，则｜a ｜= 1 。 2、 向量的表示： （1） 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意：方向是“起点指向终点”。 （2） 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b → 等； （3） 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i 、j 为基底向量，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的 坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。此时｜a ｜。 若已知1122(,)(,)A x y B x y 和，则()2121=--AB x x y y ，， 即终点坐标减去起点坐标。 特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。 教学目标1、了解向量的背景及概念，能够区别向量与数量； 2、掌握相等向量和共线向量的概念及其求法； 3、平面向量的线性运算。 重点、难点教学重点：相等向量和共线向量的概念及其求法 教学难点：平面向量的线性运算 考点及考试要求考点：相等向量和共线向量的概念；平面向量的线性运算 教学内容 第一课时平面向量的基本概念及线性运算知识点梳理 1、下列说法正确的是（） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小. 2、下列各量中不是向量的是（） A、浮力 B、风速 C、位移 D、密度 3、设O是正方形ABCD的中心，则向量,,, AO BO OC OD是（） A、相等的向量 B、平行的向量 C、有相同起点的向量 D、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假： （1）向量AB的长度与向量BA的长度相等； （2）向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量； （5）向量AB和向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 课前检测 5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b ③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（ ） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③ 6、下列命中，正确的是（ ） A 、|a |＝|b |?a ＝b B 、|a |＞|b |?a ＞b C 、a ＝b ?a ∥b D 、｜a ｜＝0?a ＝0 7、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形， （1）找出图中与AB 共线的向量；（2）找出图中与AB 相等的向量；（3）找出图中与｜AB ｜相等的向量； （4）找出图中与EC 相等的向量. 1、向量的物理背景及概念 1）、向量的物理背景： 位移是既有大小，又有方向的量； 力是既有大小，又有方向； 2）、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量 3）、数量的概念：只有大小，没有方向的量称为数量 2、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ （黑体，印刷用）等表示； 知识梳理 A B E C D A(起点) B （终点） a 精锐教育学科教师辅导讲义 向量共线或平行：通过有向线段如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量说明：共线向量的方向相同或相反，同方向且长度等于1的向量， a a =a ．用向量表示点的位置：任给一定点，过点O 作有向线段OA a =，则点的和（或和向量），即a b AB BC AC +=+=① 已知两个不共线的向量，作AB a =，AD b =，则A ，B ， 向量的运算性质：a = 个向量，依次把这n 个向量首尾相连， 如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始 ）一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量 a a λ= ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使）基底：我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作 a 关于基底{1e 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量； 是平面内的任一向量，且实数对A ，B ，P 一定在l 上．OA AP OA tOB tOA =+=+-设点P 满足等式(1)OP t OA tOB =-+，则AP t AB =，即l 可推广到OAB ?)OA OB +存在． 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 向量OA 的坐标．122(,)a b a a b +=+；② 若向量b 不平行于坐标轴，即三、平面向量的数量积和应用 并规定0π<≤≤，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有>． 当π ,2 a b <>= 时，我们说向量向量的数量积（内积）定义cos a b cos a b =向量内积的性质 cos a =a ⊥b a ?，且0a b ?=?a ⊥b ； 2 a a a ?=，即a a a =?； cos ,a b a b a b ?<>= ； b a b ≤． 向量数量积的运算律 ()a b c a c b c +=?+? 向量数量积的坐标运算与度量公式 {②用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：a ⊥1120b a b a ?+= 辅导讲义――平面向量的概念及其线性运算 加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： a ＋ b ＝b ＋a . （2）结合律： (a ＋b )＋ c ＝a ＋(b ＋c ). 减法 求a 与b 的相反向量－b 的 和的运算叫做a 与b 的差 三角形法则 a － b ＝a ＋(－b ) 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 （1）|λa |＝|λ||a |； （2）当λ>0时， λa 的方向与a 的方向相同； 当λ<0时， λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0 λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb [例1] 若OB OA OC =-23，则AB AC ____=.3 1 [巩固] 在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若15e BC =，23e DC =，则.________=OC )35(2 1 21e e + [例2] 如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则._______=-DB AF BE [巩固1] 设M 是△ABC 的重心，记a BC =，b CA =，c AB =，且0=++c b a ，则._______=AM )(3 1 b c - [巩固2] 已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、CD ，则._______)(2 1 =++ BC BD AB AG [例3] 如图，向量a AB =，，b AC =，c CD =，则向量，BD 可以表示为_____________. c a b +- 精典例题透析 第二章 平面向量 一、基本概念 1、数量：只有大小没有方向的量称为数量，例如温度、时间、质量、面积等。 2、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，例如速度，位移，加速度，力等。注意：向量没有位置。 3、有向线段：带有方向的线段。 4、向量的模：向量的长度（大小），记作 。 5、零向量：长度为0的向量叫零向量，记为 ，零向量的方向任意。 6、单位向量：长度等于1个单位的向量。 7、相等向量：长度相等且方向相同的向量。 8、相反向量：长度相等但方向相反的向量， 互为相反向量。 9、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。规定 。 二、表示与运算 代数 几何 坐标 表示 a r 或AB u u u r (x ，y ） 1122(,),A x y B x y 若（,） 2121=--AB x x y y u u u r 则（，） 加法（减法） “化减为加” a b +r r ?? ?三角形法则：首尾相连法则平行四边形法则 ()1212,x x y y ±± 说明：1、向量加法满足： (1)交换律 (2)结合律 2、 3、 0r ()0//a r r 任意向量a a r r 与 -a r a b b a +=+r r r r ()() a b c a b c ++=++u u r r r r u u r r a b a b a b +≤+r r r r r r 当且仅当与同向时，取等号。 AB BC AC AB BC CA GA GB GC ?+=++=?++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r r ABC 中，常见结论（1）（2）（3）G 为ABC 重心，则 平面向量的概念、运算及坐标表示（讲义） ? 知识点睛 一、平面向量的基本概念 1. 定义：既有 ，又有 的量叫做向量． ??→ 表示：a ， AB ??→ 模：向量 AB 的 叫做向量的模，记作 ． 2. 几个特殊的向量： 零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量二、平面向量的线性运算 1 （几何意义） 加法 减法 数乘 定 义 求两个向量和的运算 向量a 加上向量b 的 ， 即 a +(-b )=a -b 实数与向量的 积是一个向量， 记作λa 法 则 法则 法则 λa = λ a 当λ>0 时，λa 与 a 的方向 ； 当λ<0 时，λa 与 a 的方向 ； 当λ=0 时，λa =0 运算律 交换律： λ(μa )= (λ+μ)a = λ(a +b )= (-λ)a = λ(a -b )= a + b = 结合律： a -b =a +(-b ) (a +b )+c = λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b 三、向量相关定理 1.共线向量定理：向量a（a≠0）与b 共线，当且仅当有唯一 一个实数λ，使． 扩充：对空间三点P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线． ??→??→ ① PA =λPB ； ??→??→??→ ②对平面任一点O，OP =OA+t AB ； ??→??→??→ ③对平面任一点O，OP =x OA+y OB（x +y =1）． 2.平面向量基本定理 （1）基底：平面内的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （2）定理：如果e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a= ． 四、向量的坐标表示及运算 1.坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．这样，平面内的任一向量a 都可由x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标，记作a= ． 2.坐标运算 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a+b= ，a-b= ，λa= ．（1）坐标求法 ??→ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB = ．（2）向量位置关系与坐标 a∥b ? ?? ?． 第八章 平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos高中数学竞赛讲义(8)平面向量
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