第一节平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
例1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )
A．有不相等的模B．不共线 C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量
例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的序号是( )
A．②③B．①② C．③④ D．④⑤
CA
2．向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何意义)运算律
加法求两个向量和的运
算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
减法求a与b的相反向
量－b的和的运算
叫做a与b的差三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘数λ与向量a的积
的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
与a的方向相同；当λ＜0
时，λa的方向与a的方向
相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(a＋b)＝λa＋λb
例3：化简AC
→
－BD
→
＋CD
→
－AB
→
得( ) A.AB
→
B.DA
→
C.BC
→
D．0
例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( )
A．0 B．BE C．AD D．CF
(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝
1
2
AB，BE＝
2
3
BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
巩固练习：
1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．
2．若|OA
→
＋OB
→
|＝|OA
→
－OB
→
|，则非零向量OA
→
，OB
→
的关系是( ) A．平行 B．重合 C．垂直 D．不确定
3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________
4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于( )
A．－BC＋
1
2
BA B．－BC－1
2
BA C．BC－1
2
BA D．BC＋1
2
BA
5．若A，B，C，D是平面任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；
③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA
→
＝3a，CB
→
＝2b，求CD
→
，CE
→
.
DD
1
2
巩固练习 1。16a＋6b 2。C 3。2 4。A 5。C 6．解：AB
→
＝AC
→
＋CB
→
＝－3a＋2b，∵D，E为AB
→
的两个三等分点，∴AD
→
＝
1
3
AB→＝－a＋
2
3
b＝DE→. ∴CD→＝CA→＋AD→＝3a－a＋
2
3
b＝2a＋
2
3
b.∴CE→＝CD→＋DE→＝2a＋
2
3
b－a＋
2
3
b＝a＋
4
3
b.
3．共线向量定理：向量a (a≠0)与b 共线等价于存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .
例5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________
例6． 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 巩固练习： 1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
2.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝( ) A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14
b
D.34a ＋1
4
b 3．已知向量a ，b ，
c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．0
4如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝1
4AC ＋λAB (λ∈R )，则AD
的长为( )
A ．2 3
B ．3 3
C ．4 3
D ．5 3
5．在?ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用
a ，
b 表示)．
6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2
＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.
例5．－1
3 例6． [解] (1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，
∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB .∴AB ，BD 共线，
又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．
(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，
即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2
－1＝0.∴k ＝±1. C B D B －14a ＋1
4
b 2
4．向量的中线公式: 若P 为线段AB 的中点，O 为平面一点，则OP ＝1
2(OA ＋OB )．
5．三点共线等价关系
A ，P ，
B 三点共线?AP ＝λAB (λ≠0)?OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R)?OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝
λ1e 1＋λ2e 2.
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，
则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 2
1＋y 2
1. (2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB |＝
x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
.
3．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0.
例7．若A (0,1)，B (1,2)，C (3,4)，则AB →－2BC →
＝________
例8.已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )
A ．(2,0)
B ．(－3,6)
C ．(6,2)
D ．(－2,0)
例9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c .(1)求3a ＋b －3c ； (2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .
巩固练习：
1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b
2．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(－1,2)，且a ＋b ＝(1,3)，则|a |等于( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.10
3．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(x ，－4)，若a∥b ，则x ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
4．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →
|，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1) B ．(1，－1) C ．(3,1)或(1，－1) D ．无数多个
5．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，k ＝( ) A.14 B ．－14 C ．－13 D.1
3
6．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是( )D A ．4 2，0 B ．4 2，4 C ．16,0 D ．4,0
7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,1)，若用a 和b 表示c ，则c ＝________.
8．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.
.例7．(－3，－3) 例8.A 例9．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴???
??
－6m ＋n ＝5，
－3m ＋8n ＝－5，
解得???
??
m ＝－1，n ＝－1.
B C C C C D 2a －b 5
平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1
＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．
特别注意：若e 1，e 2是同一平面的两个不共线向量， a ＝λ1e 1＋λ2e 2，2211e e b μμ+=则???==?=22
1
1μλμλb a
例10：（1）如图，平面有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB
→
|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →
(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．
（2）已知
,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____
（3）．如图，已知C 为OAB ?边AB 上一点，且),(,2R n m OB n OA m OC CB AC ∈+==,则mn =__________
变式训练：
1.在ABC △中,已知D 是AB 边上一点,若1
23
AD DB CD CA CB λ==
+，,则λ= （ ）A
A ．23
B ．
13
C ．13
-
D ．23
-
2..设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1
＋λ2的值为________．
3.若M 为ABC ?一点,且满足AC AB AM 4
1
43+=,则ABM ?与ABC ?的面积之比为_________.
4..若点M 是△ABC 所在平面的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →
，则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( ) C A.1
5 B.2
5
C.3
5
D.925
例10：6 24
3
3
a b + 2
9 A 12
1:4 C
平面向量共线的坐标表示
例11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a －4b 平行？
练习：1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m
n
等于( )C A ．－2 B ．2 C ．－12 D.1
2
2．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC ＝2AB ，求点
C 的坐标．
3．平面给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，数k ；
例11．解法一：∵2a －4b ≠0，∴存在唯一实数λ，使k a ＋2b ＝λ(2a －4b )．将a ，b 的坐标代入上式， 得(k －6,2k ＋4)＝λ(14，－4)，得k －6＝14λ且2k ＋4＝－4λ，解得k ＝－1. 解法二：同法一有k a ＋2b ＝λ(2a －4b )，即(k －2λ)a ＋(2＋4λ)b ＝0.∵a 与b 不共线，∴?
??
??
k －2λ＝0，
2＋4λ＝0.
∴k ＝－1.
1．C 2．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC . ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.
(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴?????
a －1＝4，
b －1＝－4，
解得???
??
a ＝5，
b ＝－3.
∴点C 的坐标为(5，－3)．
3．[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以???
?
?
－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，
得????
?
m ＝59
，
n ＝8
9
.
(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－16
13
平面向量的数量积及应用
知识梳理
1．两个向量的夹角
(1)定义：已知两个__________向量a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则__________称作向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．
(2)围：向量夹角〈a ，b 〉的围是__________，且__________＝〈b ，a 〉．
(3)向量垂直：如果〈a ，b 〉＝__________，则a 与b 垂直，记作__________．
2．平面向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：__________叫作向量a 和b 的数量积(或积)，记作a ·b ＝__________.可见，a ·b 是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a |cos θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影．
(2)向量数量积的运算律
①a ·b ＝__________(交换律) ②(a ＋b )·c ＝__________(分配律) ③(λa )·b ＝__________＝a ·(λb )(数乘结合律)．
3
AB ＝
一、平面向量数量积的运算
CD；
(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和|a＋2b|.
变式训练
1．已知下列各式：
①|a|2＝a2；②
a·b
|a|2
＝
b
a
；③(a·b)2＝a2b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.下列命题中：①
→
→
→
→
→
→
→
?
-
?
=
-
?c
a
b
a
c
b
a)
(；②
→
→
→
→
→
→
?
?
=
?
?c
b
a
c
b
a)
(
)
(；③
2
()
a b
→→
-2
||a
→
=2
2||||||
a b b
→→→
-?+；
④若0
=
?
→
→
b
a，则0
=
→
a或0
=
→
b；⑤若,
a b c b
?=?则a c
=；其中正确的是______（答：①）
3.23120o
a b a b
==
已知，，与的夹角为，求22
12323
a b a b a b a b
?--?+
（）；（）；（）（）（）
4..已知3
a=，4
b =，a与b 的夹角为
4
3π
，求(3)(2)
a b a b
-?+。
5．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(b·c)a等于( )．
A．(26，－78) B．(－28，－42) C．－52 D．－78
二、求平面向量的模
例2．（1）设向量,a b满足1
a b
==及323
a b
-=，求3a b
+的值．
（2）设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )．
A． 5 B． 6 C．17 D．26
变式训练
1．已知|a
|=2,|b
|=5,a
·b
=-3,则|a
+b
|= ,|a
-b
|=
2. 若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为
π
3
，则|a＋b|＝__________.
3.△ABC中，3
|
|=
?→
?
AB，4
|
|=
?→
?
AC，5
|
|=
?→
?
BC，则=
?_________（答：－9）；
4.已知向量a＝?
?
??
?
cos
3x
2
，sin
3x
2
，b＝?
?
??
?
cos
x
2
，－sin
x
2
，且x∈??
?
??
?
－
π
3
，
π
4
.
(1)求a·b及|a＋b |；(2)若f(x)＝a ·b －|a ＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
三、求夹角
例3已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；
变式训练：
1. 12
a b a b a a b
==-
已知，，且与垂直，求与的夹角。
2．若,a b是非零向量且满足(2)
a b a
-⊥，(2)
b a b
-⊥，则a与b的夹角（）
A.
6
π
B.
3
π
C.
3
2π
D.
6
5π
3.已知,a b是两个非零向量，且a b a b
==-，则与
a a b
+的夹角为____（答：30）
4、已知(6,0)
a=，(5,5)
b=-，则a与b的夹角为（） A、0
45 B、0
60 C、0
135 D、0
120
5.已知1
1(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4
π
，则k 等于____（答：1）；
6.已知3||=→
a ，5||=→
b ，且12=?→
→b a ，则向量→
a 在向量→
b 上的投影为______（答：5
12
）
四。利用数量积解决垂直问题
例4 若非零向量α、β满足αβαβ+=-，证明:α⊥β
变式训练：
1.已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m = （答：
32
）；
2.以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；
3.已知(,),n a b =向量n m ⊥，且n m =，则m 的坐标是________ （答：(,)(,)b a b a --或）
4．已知a ，b 是平面两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )答案：B A.7 B. 2 C. 3 D. 5
5.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个角为直角， 求k 值
五：求夹角围
例5 （1）已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2
||0x a x a b ++?=有实根,则a 与b 的夹角的取值围是 ( )
A.[0,
6
π
] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ
（2）已知)2,(λλ=→
a ，)2,3(λ=→
b ,如果→
a 与→
b 的夹角为锐角,则λ的取值围是
变式训练．
1. 设平面向量=(
－2，
1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值围是（ ）答案：A A 、),2()2,21(+∞?- B 、),2(+∞ C 、),21(+∞- D 、)2
1,(--∞
2.已知OFQ ?的面积为S ，且1=??→
??→?FQ OF ，若2
3
21<
（(
,)43
ππ
）
；
六、向量与三角综合应用
例6．设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2
a b π
αλαββλαβ=-=><<<
是平面上的两个向量，
若向量a b +与a b -互相垂直.(Ⅰ）数λ的值；(Ⅱ）若45a b ?=
，且4
tan 3
β=，求tan α的值.
变式训练．设)sin ,cos 1(αα+=a ，)sin ,cos 1(ββ-=b ，)0,1(=c ，其中),0(πα∈，)2,(ππβ∈，a 与c
的
夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且621πθθ=-，求4
sin β
α-的值。
【答案】
)cos sin 2,2cos 2(2
ααα
=)2sin ,2(cos 2cos 2ααα=)2cos 2sin 2,2sin 2(2βββ=)2
cos ,2(sin 2sin 2β
ββ=
因为)2,(),,0(ππβπα∈∈，所以
)2,0(2πα
∈，),2(2ππβ∈ 2
sin 22cos 2β
α==，
2cos 2cos 22cos 2cos 2
1ααα
θ==
=
=2cos
θ)22cos(2sin 2sin 22sin 22
πββββ
-===
因为2220ππβ<-<，所以222πβθ-=，又,621πθθ=-所以6222π
πβα=+-，
故32πβα-=-，所以21)6sin(4sin -=-=-πβα。