第1章、 量子力学基础
1.1 量子力学和量子光学发展简史
1900，Planck （普朗克），黑体辐射，能量量子化：
h εν=
1905，Einstein （爱因斯坦）, 光电效应，光量子–光子：
E h ν=， h p λ= （h h E p c c νλ===）
1913，Bohr （玻尔）, 原子光谱和原子结构，定态、量子跃迁及跃迁频率：
()/mn m n E E h ν=-
1923， de Broglie （德布罗意）, 物质粒子的波动性，物质波：
E h ν=，h p
λ=
1925， Heisenberg （海森堡）， 矩阵力学
1926, Schr?dinger （薛定谔）, 波函数(),r t ψ
，波动方程- Schr?dinger 方程，波动力学:
()(),,i r t H r t t
ψψ?=?
1926， Born （波恩）, 波函数的统计诠释：()2
,r t ψ
为概率密度，
()2,1dr r t ψ=?
1926， Dirac （狄拉克），狄拉克符号、态矢量ψ、量子力学的表象理论
1927， Dirac ，电磁场的量子化
1928， Dirac ，相对论性波动方程
至此，量子力学的基本架构已建立，起初主要用其处理原子、分子、固体等实物粒子问题。尽管量子力学在处理实际问题中获得了巨大成功，但是关于量子力学的基本解释和适用范围一直存在争论，最著名的有： 1935， Schr?dinger 猫态 1935， EPR 佯谬
1960 前后，量子理论用于电磁场：量子光学 1956， Hanbury Brown 和Twiss ，强度关联实验 1963， Glauber （2005年诺奖得主），光的量子相干性
1963， Jaynes & Cummings, J-C 模型：量子单模电磁场与二能级原子的相互作用 1962-1964， 激光理论（Lamb, Haken, Lax 三个主要学派） 1970’s, 光学瞬态、共振荧光、超荧光、超辐射 1980’s ，光学双稳态
1990’s ，光场的非经典性质（反群聚效应、亚泊松分布、压缩态）、
量子光学新发展：
量子信息科学：量子通信、量子计算等。
冷原子物理：原子的激光冷却与囚禁、atom optics （通常直译为“原子光学”，但作者认为意译为“原子波学”更合适，因为它研究的是由原子的波动性引起的物理效应）、玻色-爱因斯坦凝聚（BEC ）、atom laser （通常直译为“原子激光（器）”，但作者认为意译为“相干原子波激射（器）” 更合适）、nonlinear atom optics （建议意译为“非线性原子波学”，原因同上）等。
1.2 量子力学的基本原理
（1） 量子体系状态的描述
在量子理论中，量子体系的状态用一个态矢量ψ描述。态矢量满足下列线性叠加性
1122c c ψψψ=+ （1.1a ）
n n n
c ψψ=∑ （1.1b ）
其中n c 为普通的数，一般为复数。（1.1）式称为态叠加原理，它是量子力学中非常重要的一条原理。 右矢的厄密共轭定义为左矢，记为
()
ψψ
+
= （1.2）
态矢量ψ和?的内积记为
ψ?ψ?≡ （1.3a ）
内积为普通的数，其复数共轭为
*
ψ??ψ=
（1.3b ）
态矢量ψ和?的正交性表示为
0ψ?= （1.4a ）
态矢量ψ的归一化条件表示为
1ψψ= （1.4b ）
（2） 量子体系力学量的描述
在量子理论中，量子体系的力学量用一个线性算符描述，线性算符?F
满足
11
221122???F c c c F c F ψψψψ?+?=+?? （1.5a ） ??n n n n
n
n
F c c F ψψ=∑∑ （1.5b ） 有时将量子力学算符称为q 数(q: quantum)，对应的，将经典的数称为c 数(c: classical) 。
以后为了书写方便，在不引起混淆的情况下，我们略去算符?F 上的帽子“ ”，简单写为F 。
算符F 的厄密共轭算符记为F +。算符乘积的厄密共轭算符满足
()
ABC C B A +
+++= （1.6）
如果
F F += （1.7）
则F 称为厄密算符。
算符的本征方程为
n n n F F ψψ= （1.8）
其中n F 称为算符F 的本征值，n ψ称为算符F 的本征矢量（简称本征矢或本征态）。
可以证明，线性厄密算符的本征值和本征矢具有下列性质：
a) 本征值为实数：*
n n A A =；
b) 属于不同本征值的本征矢彼此正交：()0m n m n ψψ=≠；可将本征矢的正交
性和归一性统一写为
1,0,m n mn m n
m n
ψψδ=?=≡?
≠? （1.9）
称为本征矢n ψ的正交归一性。 c) 本征矢张起一个完备的矢量空间
n
n n
I ψ
ψ=∑ （1.10）
其中I 为单位算符（或恒等算符）。（1.10）式称为本征矢n ψ的完备性。基于
此，任意态矢量ψ可以用算符的本征态n ψ展开为：
n n n n n
c ψψψψψ==∑∑ （1.11a ）
其中
n n n c ψψψψ=≡ （1.11b ）
由于线性厄密算符的上述性质，在实验上可观测的力学量（如：坐标、动量、能量、角动量、自旋等）均用线性厄密算符表示。不过，我们也会遇到一些非常重要的非厄密算符，如光子产生算符、光子湮灭算符等。
算符F 在量子态ψ中的期望值（平均值）记为
F F ψψ= （1.12a ）
平均值为c 数。若将态矢量ψ按（1.11a
）式用算符的本征态n ψ展开，则平均值的计算如下：
*
,m n m n m n
F F c c F ψψψψ==∑ （1.12b ）
进一步，若 n ψ为F 的本征态，即 n n n F F ψψ=，则
**
,,2
*
*,m n m n m n n m n
m n
m n
m n
n mn n n
n n n
m n
n
n
F c c F c c F c c F c c F c F ψψψψδ=====∑∑∑∑∑ （1.12c ）
可见，2
n c
表示当量子体系处于量子态ψ时，测量力学量F 得到其本征值n F 的概率。 上面讨论的是本征值不连续变化的情况（离散情况），对本征值连续变化的情况则有：
正交归一性：
()''x x x x δ=- （1.13）
完备性：
dx
x x I =? （1.14）
一般态矢量展开
()dx x x dx x x ψψψ==?? （1.15a ）
其中
(
)x x x ψψψ=≡ （1.15b ）
期望值
()()()()
**
''''
''
F F dx x x F dx x x dx dx x x x F x ψψψψψψ===???? （1.16a ）
进一步，若x 为F 的本征态，即()F x F x x =，则
()()()()()()()()()()()
**2
*'''''''F dx dx x x x F x dx dx x x F x x x dx x x F x dx x F x ψψψψδψψψ==-==?????? （1.16b ）
作为特例，若F x =，则()F x x =，
()2
x dx x x ψ=? （1.16c ）
可见，()2
x ψ为概率密度。
（3） 量子态随时间的演化
量子体系的状态随时间的演化服从 Schr?dinger 方程：
()()d
i t H t dt
ψψ=
（1.17a ） 其中H 是体系的Hamiltonian （哈密顿量）。若H 不显含时间，则有
()()()0t U t ψψ= （1.17b ）
其中
()exp i U t Ht ??
=- ???
（1.17c ）
称为时间演化算符。
（4） 量子力学中的测量问题
a) 设算符A 的本征方程为 n n n A A ψψ=，若系统处于算符A
的本征态n ψ，则
测量力学量A 得到相应的本征值n A ，
测量后系统仍处于本征态n ψ；若系统处于任意态n n n
c ψψ=
∑，则测量力学量A 时以概率2
n c 得到本征值n A ，若测量得
到本征值n A ，则测量后系统塌缩到相应的本征态n ψ。
b) 若两个力学量算符A 和B 彼此对易，即[],0A B AB BA ≡-=，则A 和B 具有共
同本征态，可以同时具有确定值；若A 和B 彼此不对易，即[],0A B ≠，则A 和B 不具有共同本征态，他们不能同时具有确定值，其不确定度服从不确定度原理：
[]
1
,2
A B A B ???≥
（1.18）
其中 A ?=
x 和动量x p 的对易关系为
[],x x p i =
其不确定度关系为
2
x x p ???≥
（5） 全同粒子假设
作为量子力学的一条基本假设，认为所有的同一类粒子（例如所有的电子、所有的光子等）的各种固有属性都是相同的，即同一类粒子是全同的粒子。因而，在由全同粒子组成的系统中，交换其中任意两个粒子不会改变系统的状态，这导致描述全同粒子系统的波函数对粒子的交换要么是对称的，要么是反对称的。
研究发现，全同粒子可分为两大类，一类称为玻色子，其自旋为零或正整数（0,1,2，…）；另一类称为费米子，其自旋为半奇数（
135
,,222
，…）
。玻色子和费米子具有完全不同的性质，例如，描述玻色子系统的波函数对粒子的交换是对称的，而描述费米子系统的波函数对粒子的交换是反对称的；玻色子服从玻色-爱因斯坦统计，而费米子服从费米-狄拉克统计。
1.3 态矢量和力学量算符的表象及表象变换
1.3.1 表象的概念
设有力学量算符A （例如：坐标、动量、能量、角动量、自旋等），其正交归一化的本征态集为{
n
ψ，{}n
ψ张起一个完备的矢量空间。若将这组态矢量作为基矢量来表示任
意态矢量和算符，则称采用A 表象。
1.3.2 态矢量在具体表象中的表示
设力学量算符A 的本征方程为
n n n A A ψψ= （1.19）
其本征值n A 构成离散谱，其本征态的完备性条件为
n
n n
I ψ
ψ=∑ （1.20）
则任意态矢量ψ可用{}n
ψ展开为
n n n n n
n
c ψψψψψ==∑∑ （1.21a ）
其中
n n c ψψ= （1.21b ）
表示态矢量ψ沿基矢n
ψ的分量（或投影）。
由于作为基矢的{nψ是已知的，因此，知道了{}n c
就知道了ψ。
通常将态矢量ψ
表示为下面的列矢量
1
2
.
.
.
c
c
ψ
??
?
?
?
=
?
?
?
??
（1.22）
这称为态矢量ψ在A表象中的表示。可见，态矢量在离散表象中表现为一个列矢量。
态矢量的归一化条件为
2
***
,,
1
m n m n m n mn n n n
m n m n n n
c c c c c c c
ψψψψδ
=====
∑∑∑∑（1.23）在连续变量x表象中，完备性条件为
dx x x I
=
?（1.24）任意态矢量ψ可展开为
()
dx x x dx x x
ψψψ
==
??（1.25a）其中
()x x
ψψ
=（1.25b）
是态矢ψ在x表象中的表示，也就是通常讲的波函数。可见，态矢量在连续表象中表现为一个普通函数。
态矢量的归一化条件为
()()()2
*1
dx x x dx x x
dx x x dx x
ψψψψψψ
ψψψ
==
===
??
??
（1.26）可见，选定了一组基矢，就选定了一个表象；这类似于，选定了一组单位矢量，就选定了一个坐标系。常用的连续表象有坐标表象和动量表象；常用的离散表象有能量表象和角动量表象。
1.3.3 算符在具体表象中的表示
设有任意算符F，可将其用算符A的本征态集{nψ展开为
,,m m n n m n m n
m
n
m n
mn m n
m n
F F F F ψψψψψψψψψψ===∑∑∑∑ （1.27a ）
其中矩阵
mn m n F F ψψ= （1.27b ）
称为算符F 在A 表象中的表示。可见，算符在离散表象中表现为一个矩阵。
在连续变量表象中，算符表现为微分算符或普通函数。 算符只有作用在态矢量上才有意义，在离散表象中，矩阵作用于列矢量，构成量子力学的矩阵形式（Heisenberg 的矩阵力学）；在连续表象中，微分算符作用于连续变化的波函数，构成量子力学的波动形式（ Schr?dinger 的波动力学）。
1.3.4 表象变换
设有两个表象A 和B ，其基矢分别为{
}n A 、{m
B 。
（a ）态矢的表象变换
在表象A 中，可将任意态矢ψ展开为
n n n n n
n
A A a A ψψ==∑∑，n n a A ψ=； （1.28）
在表象B
中，可将同一个态矢ψ展开为
m m m m m
m
B B b B ψψ==∑∑，m m b B ψ=。 （1.29）
所谓态矢的表象变换，就是要建立m b 和n a 之间的关系。
m m m n n mn n mn n n
n
n
b B B A A S A S a ψψψ====∑∑∑， （1.30）
其中
mn m n S B A = （1.31）
矩阵{}mn S S =称为表象A 和表象B 之间的变换矩阵。（1.30）式可简写成
()()B S A ψψ= （1.32）
容易证明，{}mn S S =为幺正矩阵，表明态矢在不同表象之间的变换为幺正变换。证明如下：
(
)
*
*
mk kn km kn k m
k n
mn
k
k
k
m k
k n m n mn
k
S S S S S S B A B A A B B A A A δ++======∑∑∑∑ （1.33）
即
S S I += （1.34）
（b ）算符的表象变换
()()*
,,mn m n m k
k l
l n mk kl nl
k l
k l
F B B F B B A A F A A B S F A S ===∑∑ （1.35） 上式可简写成
()()F B SF A S += （1.36）
表明算符在不同表象之间的变换为相似变换。
1.3.5 幺正变换的性质
用U （unitary ）代替S 表示幺正矩阵，带‘号和不带‘号分别表示不同的表象。
(a) 幺正变换不改变两个态矢的内积（因而不改变算符的期待值）
设','U U ψψφφ== 则''U U ψφψφψφ+
==
特例：''ψψψψ=，即幺正变换不改变态矢的模。
(b) 幺正变换不改变算符的本征值 设n n n F F ψψ=
则'''n n n n n n n F UFU U UF F U F ψψψψψ+
====
(c) 幺正变换不改变算符的迹（因而不改变算符的期待值）
()()()'Tr F Tr UFU Tr F +==
(d) 幺正变换不改变算符的矩阵元
'''F U UFU U F ψφψφψ++==
(e) 幺正变换不改变算符的线性性质和厄密性质 设()1122
1
1
22F c c c F c F ψψψ
ψ+=+
则()11221
1
22'''''
''F c c c F c F ψψψψ+=+
设F F +
=
则()()
''F UFU
UF U UFU F +
+
+
+++====
(f) 幺正变换不改变算符之间的代数关系 设M FG =
则'''M UMU UFGU UFU UGU F G ++++
====
(g) 幺正变换不改变算符对易关系的形式 设有算符,,X Y Z ，在表象A 中服从下列对易关系
()()(),X A Y A Z A =????
在表象B 中
()()()()()()()()()()()()()()()(),,,X B Y B SX A S SY A S SX A S SY A S SY A S SX A S SX A Y A S SY A X A S
S X A Y A S SZ A S Z B +++++++
+
++??=??????
=-=-===????
注意到算符的本征值、平均值、迹、对易关系等均与测量结果相联系，因此上述结果表明了下列要求：数学上的表象变换不应该影响物理上的测量结果。
1.4 纯态、混合态、密度算符
1.4.1纯态、混合态、密度算符
在量子力学中有两大类量子态，其中一类可以用
态矢量ψ表示，这类量子态称为纯态。另外一种情况是，体系并不处于某个确定的纯态，而是以不同的概率P ψ
处于不同的纯态
ψ，这类量子态称为混合态，混合态不能用态矢量表示，而要用所谓的密度算符描述。
纯态ψ对应的密度算符为
ψρψψ= （1.37）
混合态的密度算符为
ms P P ψψψψ
ψ
ρρψψ==∑∑ （1.38）
其下标“ms ”表示混合态（mixed states ）。P ψ为实数，表示纯态ψ（或ψρ）在混合态ms ρ中出现的概率，满足
1P ψψ
=∑ （1.39）
不难证明，纯态的密度算符ρ具有下列性质： （a ）、厄密性：
ρρ+= （1.40）
（b ）、半正定性（非负性）：在任意态φ中，有
0φρφ≥ （1.41）
（c ）、幺迹性
1Tr ρ= （1.42）
（d ）、幂等性
2ρρ= （1.43）
而混合态的密度算符ms ρ满足厄密性、半正定性、幺迹性，但不满足幂等性，即
22
ms i j i i j j i i i ms i
j
i
PP P ρψψψψψψρ==≠∑∑∑ （1.44）
另外，
22
1ms i i
Tr P ρ=≤∑ （1.45）
式中等号对应于纯态。
在任意纯态ψ中，任意力学量算符A 的平均值为
()()
A A Tr A Tr A ψψψψρ=== （1.46）
在任意混合态ms ρ中，任意力学量算符A 的平均值为
()
ms A Tr A Tr P A P A P A ψψψψψψ
ψρψψψψ??
==== ???∑∑∑ （1.47）
式中A
A ψ
ψψ=表示在纯态ψ中的平均值。可见，在混合态中的平均值为两重平均，
其一为量子力学平均，另一为经典统计平均。
注意不要将混合态与叠加态形式的纯态相混淆。设有某力学量的一组完备本征态n ψ，
则任意纯态ψ可表示为
n n n
c ψψ=∑ （1.48）
式中n n c ψψ=称为概率幅，一般为复数。纯态（1.48）若用密度算符表示，则为
*
,m n m n m n
c c ρψψ=∑ （1.49）
而混合态ms ρ表示为
ms n n n n n n
n
P P ρψψρ==∑∑ （1.50）
式中n P 为实数，表示本征态n ψ在混合态ms ρ中出现的概率。
将混合态的密度算符与纯态的密度算符进行比较，可以发现在混合态的密度算符中只出现对角项，而在纯态的密度算符中除了出现对角项外，还出现非对角项。非对角项引起干涉效应，称为相干项。在实际问题中，量子体系由于与周围环境的相互作用，描述其量子态的密度算符在随时间的演化过程中要发生衰减，其对角元的衰减往往伴随着能量的损耗，而非对角元的衰减往往伴随着相干性的消退，因此，非对角元的衰减常称为消相干或退相干（decoherence ）。消相干问题是量子光学和量子信息中的一个重要问题。
1.4.2 纯态和混合态举例 (a) 纯态：
光子数态（photon-number state ） n ，其密度算符为
n n n ρ= （1.51）
其中n 为光子数。
相干态（coherent state ）α，其密度算符为
αραα= （1.52）
相干态在光子数态表象中的形式为
n
i n n n
c n n ?α==∑ （1.53）
相应的密度算符为
(
)
()
()()
,=m n
m n i m n
i n n
m m n
P n n m n ?
?α??ραα--≠===++∑∑对角项非对角项 （1.54）
其中对角元
n n n P αρ= 表示相干态中的光子数概率分布；而非对角元
(
)
m n i m n ??αρ-=含有位相信息，导致干涉效应。
(b) 混合态：
热光场态（thermal state ）的密度算符为
()()therm n n n n
n
P T P T n n ρρ==∑∑ （1.55）
只含有对角元，不会产生干涉效应，其中T 为温度。
1.4.3 密度算符的运动方程 态矢量随时间的演化用薛定谔方程描述
()()d
i t H t dt
ψψ=
（1.56） 其中H 为量子体系的哈密顿量算符。由上式可以导出，纯态的密度算符随时间的演化可用下列方程描述
[],d
i H H H dt
ρρρρ==-
（1.57） 而对混合态，只需将上式中的ρ换成ms ρ。
1.5 一维谐振子
1.5.1一维谐振子的本征态和本征能量
振动是自然界普遍存在的一种现象。最简单的振动是简谐振动。在微观世界中常遇到的振动有分子振动、晶格振动、电磁场的振荡等。 设质量为m 的粒子以（角）频率ω作一维简谐振动，其坐标和动量分别为q 和p ，相应的Hamiltonian （哈密顿量）为
（1.58）
引入变换
))
a m q ip a m
q ip ωω+=+=
- （1.59）
其逆变换为
))q a a p a a ++=
+=-- （1.60）
利用量子化公式
[],q p i = （1.61）
可得
,1a a +
??=?? （1.62）
相应的Hamiltonian 可表示为
（1.63） 其中引入了粒子数算符?n
a a +=。由于[]?,0n H =，故二者具有共同本征态n ： ?n
n n n = （1.64）
11?22n H n n n n n E n ωω???
?=+=+= ? ????
? （1.65）
其中能级为
（1.66）
能级间隔为
1n n n E E E ω+?=-= （1.67）
可见，一维谐振子的能级是等间隔的。
下面导出几个常用的公式：
1a n =- （1.68）
1a n +=+ （1.69）
n
n +=
（1.70）
根据上面的公式（1.68）和（1.69），将a 称为粒子湮灭算符，a +
称为粒子产生算符。
公式（1.68）-（1.70）的证明如下:
利用 []?,,n a a a a a +
??==-??， 即 ??na
an a -=- 有 ()???1na
an a a n =-=- ()()??11na
n a n n n a n =-=-，即 ()()()?1n a n n a n =-
另一方面，()?111n
n n n -=-- 从而有 1a n c n =-
，c 为待定常数。
*
1n
a c n +=-， 2
n a a n n c +
==， 故有 c =
从而 1a n
=-，作为特例有 00a =。
同理，利用 ?,,n a a a a a +
+++
????==????
，可得
1a n +=+，
或写成 1
n +=
，特例 100a +== 利用归纳法可得 n
n +=
。
1.4.2 量子态n 在坐标表象中的表示式 由 00a =，即 ()00m q ip ω+=， 在坐标表象中，
()00x m q ip ω+=，
q x →，d
p i dx
→-
， ()000x x ψ→≡ ()000d d m x x m x x dx dx ωωψ???
?+=+= ? ??
???
积分得 ()2
120m x x e
ωψ??- ???
∝ ，归一化得
()2
14
120m x m x e
ωωψπ??- ??
?
??= ???
（1.71）
(
)(
)
)()000n
n n n
n
x x n a m q ip d m x x dx ψωωψ+?==
=-???
??
=
- ??
? （1.72a ）
递推关系为
(
)()1n n d x m x x dx ψωψ+??
=
- ??
? （1.73） 由于()0x ψ的具体表达式已经求出[（1.71）式]，则由递推关系（1.73）式就可求得各阶本函数()n x ψ。或者将(1.71) 式代入(1.72a) 式并利用厄米多项式的表达式：
()22/2
/2n
x x n d H x e
x e dx -??=- ???
可得
(
)2
214
1212n
m x n m x n m x e m H ωωωψπωπ??- ???
-
??
= ?
??
???=? ????
?
（1.72b ）
此即态矢量n 在坐标表象中的表达式。
1.6 两态系统、泡利自旋算符
两态系统是一类重要的物理系统，例如，经典计算机基于经典的两态系统（bit ）：{0，
1}; 而量子计算机基于量子的两态系统（quantum bit 或 qubit ）：{}0,1
。 Qubit 与 bit 的
重要差别在于，经典bit 要么处于0态，要么处于1态。而qubit 可处于相干叠加态：
22
01(1)ψαβαβ=+ +=，这构成量子信息并行处理的基础。因此，量子两态系
统在量力光学与量子信息中有着极其重要的作用。在量子的两态系统中，有些是严格的两态系统，有些则是近似的两态系统。常见的量子两态系统有：
（1）电子自旋，其两个量子态分别是描述电子自旋相对于某个外场方向的自旋向上态↑和自旋向下态↓；
（2）光子，其两个量子态可以是描述光子偏振方向的两个正交偏振态（水平偏振态H
（horizontal ）和垂直偏振态V （vertical ）；045偏振态
和0
45-偏振态
；左旋偏振
态和右旋偏振态）；
（3）原子，原子一般为多态系统，但在一定条件下可近似为两态系统：基态（或下能态）g 和激发态（或上能态）e 。
各种量子两态系统的理论描述是相同的。下面以电子自旋为例进行讨论。 设电子的自旋用自旋算符S
表示，它在直角坐标系中的三个分量满足角动量的对易关系
式
,S S i S αβγ??=?? （1.74）
式中,,αβγ均可取,,x y z ，但须按x y z x →→→的次序排列。
利用下式引入泡利算符σ
12S σ= , 1
2
S αασ= （1.75）
则泡利算符在直角坐标系中的三个分量满足如下对易关系
,2i αβγσσσ??=?? （1.76）
由于S α的本征值为2± ，因此ασ的本征值为1±，故有
222x y z I σσσ=== （1.77）
式中I 为单位算符。 由上两式可证明
0αββασσσσ+=，或 αββασσσσ=-（αβ≠） （1.78）
由（1.76）和（1.78）两式可以证明
i αβγσσσ= （1.79）
最后，由于自旋是可观测量，因此σ
应为厄密算符，即
σσ+=
（1.80）
经常也用到下列算符
()1
2
x y i σσσ±=
± （1.81） 有时用符号：,σσσσ+
-+≡ ≡。
注意在具体表象中（以离散表象为例），算符用矩阵表示：
mn mn
F F m n =∑
z σ的本征方程为
10z σ??↑=↑= ???，01z σ??
↓=-↓=- ???
（1.82） 在z σ表象中，上述各算符分别表示为
z 1001σ??
==↑↑-↓↓ ?-??
（1.83）
0110x σ??
==↑↓+↓↑ ???
（1.84） ()
00y i i i σ-??==-↑↓+↓↑ ???
（1.85）
0100σ+??
==↑↓ ??? （1.86）
0010σ-??
==↓↑ ???
（1.87）
可证
x σ↑=↓，x σ↓=↑ （1.88）
y i σ↑=↓，y i σ↓=-↑ （1.89）
σ+↓=↑， 0σ+↑= （1.90） σ-↑=↓， 0σ-↓= （1.91）
上面各式分别表明：↑和↓分别是z σ的本征值分别为1±的本征态；x σ使自旋反转，相当于逻辑非门；y σ在使自旋反转的同时产生2π±的相移（2
i
e i π±=±）；σ+和σ-分别称
为自旋升、降算符。 实际上，各类量子两态系统都可以用泡利算符描述。
1.7 复合系统、纠缠态、约化密度算符、von Neumann 熵
在量子光学和量子信息中，经常要遇到由多个子系统构成的复合系统（或多组份系统）。
这里我们以由子系统A 和子系统B 构成的两体系统为例，引入纠缠态、约化密度算符等概
念。
设子系统A 和子系统B 的状态分别为A ψ和B ψ，复合系统的态矢为AB ψ，简单来
说，如果AB ψ可写成A ψ和B ψ的直接乘积形式，即AB A B A B ψψψψψ=?≡，则称复合系统处于直积态（product state ），也称可分态（separable state ）；否则，若
AB A B ψψψ≠，例如，
()
11220,0AB A B A B ψαψψβψψαβ=+≠≠ （1.92）
则称复合系统处于纠缠态（entangled state ）, 也称不可分态（nonseparable state ）。纠缠态在量子信息科学中起着非常重要的作用。
设复合系统处于由密度算符ρ描述的状态，A O 为子系A 的一个力学量算符，则在状态
ρ中A O 的平均值为
()()()A A A B A A A A O Tr O Tr Tr O Tr O ρρρ===???? （1.92）
其中
()A B Tr ρρ= （1.93）
称为子系统A 的约化密度算符。同理，()B A Tr ρρ=称为子系统B 的约化密度算符。
设复合系统处于下列纯态（纠缠纯态）
)
0110
A B A B
ψ=+（1.94）
ρψψ
=（1.95）则子系统A的约化密度算符为
(
)
()()
0011
0011
11
11000011
22
A B B B B B
B B B B
A A A A
Tr
ρρρρ
ψψψψ
==+
=+
=+=+
（1.96）
同理可求得子系统B的约化密度算符为
()()
1
011
2
B A B B
Tr
ρρ
==+（1.97）可见，尽管复合系统处于纯态，但其子系统却处于混合态！
熵
熵是热力学中熟知的一个概念，通常作为系统无序程度的度量。而从统计力学和信息论的观点来看，熵可看作缺少信息（或从测量可获得的信息）的度量。从下面的讨论可以看出，熵也可作为系统纠缠度的度量。对于由密度算符ρ描述的状态，von Neumann熵定义为
()[]
ln
S Tr
ρρρ
=-（1.98）对于纯态，()0
Sρ=，表示对纯态，系统的信息完全知道，不缺少信息，对其进行重复测量不能得到任何新的信息。
而对于混合态，密度算符ρ可表示成对角形式，其熵为
()ln ln
kk kk k k
k k
S p p
ρρρ
=-=-
∑∑（1.99）
由于01
k
p
≤≤，因此()0
Sρ≥。
作为一个例子，考虑两体系统的下列纠缠态
)
1212
0011
ψξ
=+（1.100）由于复合系统处于纯态，故复合系统总的熵0
S=。两个子系的约化密度算符分别为
()()
2
111
2
1
0011
1
ρξ
ξ
=+
+
（1.101）
()()
2
222
2
1
0011
1
ρξ
ξ
=+
+
（1.102）
两个子系的熵为
()()(
)(
)(
)(
)
22122
2
2
2
1
1
ln
ln
1111S S ξ
ξ
ρρξξ
ξ
ξ
??
??
==-+
?
?++++???
?
（1.103） 可见，当0ξ=时，有()()120S S ρρ==，
注意这对应于直积态1
20
0ψ=。容易验证，
对形如（1.100）式的纠缠态，当1ξ=时，有()()12ln 2S S ρρ==，且这是()1S ρ和()2S ρ可能达到的最大值。注意，当1ξ=时，（1.100）式简化为
)12120011ψ=
± （1.104） 由于在这种形式的纠缠态中，子系的熵取最大值，故称这种形式的纠缠态为最大纠缠态（等概率叠加的态）。
1.8 量子力学中的绘景
前面介绍过表象(representation)的概念，下面介绍绘景（picture ）的概念。要注意二者的区别。在实际应用中，可根据问题的需要和方便性采用不同的表象或绘景。
1.8.1 常用的三种绘景：薛定谔绘景、海森堡绘景、相互作用绘景
在薛定谔( Schr?dinger)绘景中, 态矢量随时间的演化用薛定谔方程描述
（
1.105） 其中()S t ψ和S H 分别为在薛定谔绘景中系统的态矢量和哈密顿量。
在薛定谔绘景中，s H 与时间无关，故有
()()()()0S S H t U t U t ψψψ=≡
（1.106）
其中
()exp S i U t H t ??
=- ???
（1.107）
为时间演化算符，并令()0H S ψψ≡，这是在海森堡（Heisenberg ）绘景中的态矢量，显然它不随时间变化。
第十七章 量子力学基础 一、基本要求 1. 了解德布罗意的物质波概念，理解实物粒子的波粒二象性，掌握物质波波长的计算。 2. 了解不确定性原理的意义，掌握用不确定关系式计算有关问题。 3. 了解波函数的概念及其统计解释，理解自由粒子的波函数。 4. 掌握用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱的简单问题，并会计算一维问题中粒子在空间某区间出现的概率。 5. 了解能量量子化、角动量量子化和空间量子化，了解斯特恩-盖拉赫试验及微观粒子的自旋。 6. 理解描述原子中电子运动状态的四个量子数的物理意义，了解泡利不相容原理和原子的壳层结构。 二、基本内容 1. 物质波 与运动的实物粒子相联系的波动，在此意义下，微观粒子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。描述其波动特性的物理量v 、λ和描述其粒子特性的物理量E 、p 由德布罗意关系 h E v = p h = λ 联系起来，构成一幅统一的图像。 2. 波函数 对具有波粒二象性的微观粒子进行描述所使用的函数，一般写为(,)t ψr ， 波函数的主要特点： （1）波函数必须是单值、有限、连续的； （2）*(,)(,)1t t d xd yd z ψψ=???r r （归一化条件） ； （3）*(,)t ψr ，(,)t ψr 表示粒子在t 时刻在（x 、y 、z ）处单位体积中出现的
概率，称为概率密度。 特别注意自由粒子的波函数：/() i E t A e --ψ= p.r 式中P 和E 分别为自由粒子 的动量和能量。 3. 不确定性原理 1927年海森堡提出：对于一切类型的测量，不确定量?x 和? x p 之间总有 如下关系： ?x ?x p ≥2 同时能量的不确定量? E 与测定这个能量所用的时间（间隔）? t 的关系为： ?E ?t ≥ 2 不确定性原理完全起源于粒子的波粒二象特性，与所用仪器与测量方法无关。 4. 薛定谔方程 波函数(,)t ψr 所满足的方程。若已知微观粒子的初始条件，则可由薛定谔方程决定任一时刻粒子的状态。在势场(,) U t r 中，薛定谔方程可写为 2 2 2?- m (,)U t ψ+r t i ?ψ?=ψ 若势能函数() U U ≡r 与时间无关，则可将(),t ψr 写成()() f t ψr ，其中()ψr 满 足定态薛定谔方程 2 2 2? -m () ψr +()U r () ψr =E () ψr 而)(t f =Et i e - ，此时有 () ,t ψr 、)t =() ψr Et i e - 这种形式的波函数称为定态波函数，它所描写的微观粒子的状态则称为定态。在一维情况下，定态薛定谔方程成为 2 22 ()()()() 2d x U x x E x m d x -ψ+ψ=ψ 5. 一维无限深势阱中粒子的定态薛定锷方程及波函数
一、是非题 1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。对否 解：不对 2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。 解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。 二、选择题 1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。正交性的数学表达式为 a ，归一性的 表达式为 b 。 () 0,() 1i i i i a d i j b ψψτψψ** =≠=?? 2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E ) (A) dx d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分 3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D ) (A) x ? 和 y ? (B) x ?? 和y ?? (C) ?x p 和x ? (D) ?x p 和y ? 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e -ikx (D) 2 e kx - (1) 哪些是 dx d 的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22 dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C ) (3) 哪些是22dx d 和dx d 的共同本征函数。------------------------------ (B, C ) 5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
() 一. 选择题 [ C]1.（基础训练2）下面四个图中，哪一个 正确反映黑体单色辐出度 M Bλ (T)随λ 和T的变化关 系，已知T2 > T1． 解题要点: 斯特藩-玻耳兹曼定律：黑体的辐 射出射度M0(T)与黑体温度T的四次方成正比，即 . M0 (T)随温度的增高而迅速增加 维恩位移律：随着黑体温度的升高，其单色辐出度最大值所对应的波长 m λ向短波方向移动。 [ D]2.（基础训练4）用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能 为E K；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K．(B) 2hν - E K．(C) hν - E K．(D) hν + E K． 解题要点: 根据爱因斯坦光电效应方程：2 1 2m h mv A ν=+， 式中hν为入射光光子能量， A为金属逸出功，2 1 2m mv为逸出光电子的最大初动能，即 E K。所以有：0 k h E A ν=+及' 2 K h E A ν=+，两式相减即可得出答案。 [ C]3.（基础训练5）要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁 到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV．(B) 3.4 eV．(C) 10.2 eV．(D) 13.6 eV． 解题要点: 根据氢原子光谱的实验规律，莱曼系： 2 11 (1 R n ν λ ==- 式中，71 1.09677610 R m- =?，称为里德堡常数，2,3, n= 最长波长的谱线，相应于2 n=，至少应向基态氢原子提供的能量1 2E E h- = ν， 又因为 2 6. 13 n eV E n - =，所以l h E E h- = ν=?? ? ? ? ? - - - 2 21 6. 13 2 6. 13eV eV =10.2 eV [ A]4.（基础训练8）设粒子运动的波函数图线 分别如图19-4(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒 子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 解题要点: 根据动量的不确定关系： 2 x x p ???≥ (B) x (A) x (B) x (C) x (D)
《结构化学基础》 讲稿 第一章 孟祥军
第一章 量子力学基础知识 （第一讲） 1.1 微观粒子的运动特征 ☆ 经典物理学遇到了难题： 19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ? Newton 力学 ? Maxwell 电磁场理论 ? Gibbs 热力学 ? Boltzmann 统计物理学 上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。 1.1.1 黑体辐射与能量量子化 黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。 黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。 ★经典理论与实验事实间的矛盾： 经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。 按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。 按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线： Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。 Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。 经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。 ? 1900年，Planck （普朗克）假定： 黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。 ? h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J ?S ? 按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合： ●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。 能量波长 黑体辐射能量分布曲线 () 1 /81 3 3 --= kt h c h e E ννπν
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：
011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
第一章 量子力学基础与原子结构 一、单项选择题（每小题1分） 1．一维势箱解的量子化由来（ ） ① 人为假定 ② 求解微分方程的结果 ③ 由势能函数决定的 ④ 由微分方程的边界条件决定的。 2．下列算符哪个是线性算符（ ） ① exp ② ▽2 ③ sin ④ 3．指出下列哪个是合格的波函数(粒子的运动空间为 0+)（ ） ① sinx ② e -x ③ 1/(x-1) ④ f(x) = e x ( 0 x 1); f(x) = 1 ( x 1) 4．基态氢原子径向分布函数D(r) ~ r 图表示（ ） ① 几率随r 的变化 ② 几率密度随r 的变化 ③ 单位厚度球壳内电子出现的几率随r 的变化 ④ 表示在给定方向角度上，波函数随r 的变化 5.首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是（ ） ①薛定谔 ② 狄拉克 ③ 海森堡 ③波恩 6．立方势箱中22 810m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 7 ④ 2 7.立方势箱在22 812m a h E ≤的能量范围内，能级数和状态数为（ ） ①5，20 ② 6，6 ③ 5，11 ④ 6，17 8．下列函数哪个是22 dx d 的本征函数（ ） ① mx e ② sin 2x ③ x 2+y 2 ④ (a-x)e -x 9．立方势箱中22 87m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 10．立方势箱中22 89m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 11.已知x e 2是算符x P ?的本征函数，相应的本征值为（ ） ① i h 2 ② i h 4 ③ 4ih ④ πi h
量子力学知识精要与真题详解，益星学习网可免费下载题库 目录 第一章量子力学的诞生 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第二章波函数与Schr?dinger方程 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第三章一维定态问题 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第四章力学量用算符表达与表象变换 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第五章力学量随时间的演化与对称性 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第六章中心力场 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第七章粒子在电磁场中的运动 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第八章自旋 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第九章力学量本征值问题的代数解法 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第十章定态问题的常用近似方法 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第十一章量子跃迁
第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第十二章散射 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 附录 1．南京大学2008年《量子力学》考研试题与答案2．浙江大学2009年《量子力学》考研试题与答案3．武汉大学2007年《量子力学》考研试题与答案4．吉林大学2009年《量子力学》考研试题与答案5．北京师范大学2009年《量子力学》考研试题与答案6．西安交通大学2006年《量子力学》考研试题与答案
习题十七 17－1 计算电子经过V U 1001=和V U 100002=的电压加速后，它的德布罗意波长1λ和2λ分别是多少？ 分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长与该运动粒子的运动速度之间的关系。 解：电子经电压U 加速后，其动能为eU E k =，因此电子的速度为： m 2e v U = 根据德布罗意物质波关系式，电子波的波长为： )(23 .12nm U emU h m h ==v ＝λ 若V U 1001=，则12301.＝λnm ；若V U 100002=，则012302.＝λnm 。 17－2 子弹质量m =40 g, 速率m/s 100=v ,试问: (1) 与子弹相联系的物质波波长等于多少? (2) 为什么子弹的物质波性不能通过衍射效应显示出来? 分析 本题考察德布罗意波长的计算。 解：(1)子弹的动量 )s /m kg (410010403?=??==-v m p 与子弹相联系的德布罗意波长 )m (1066.14 1063.63434 --?=?==p h λ (2) 由于子弹的物质波波长的数量级为m 10 34-, 比原子核的大小(约m 1014-)还小得多, 因此不能通过衍射效应显示出来. 17－3 电子和光子各具有波长0.2nm ，它们的动量和总能量各是多少？ 分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长公式。 解：由于电子和光子具有相同的波长，所以它们的动量相同，即为： )/(1032.3102.01063.624934 s m kg h p ??=??==---λ 电子的总能量为： )(1030.81420J hc c m E e -?=+=λ 而光子的总能量为：
第一章 量子力学基础和原子结构 一、填空题 1、若用波函数ψ来定义电子云，则电子云即为_________________。 2、氢原子s ψ1在 r =a 0和 r =2a 0处的比值为_____________。 3、有两个氢原子，第一个氢原子的电子处于主量子数 n =1 的轨道， 第二个氢原子的电子处于n =4 的轨道。 (1)原子势能较低的是______， (2) 原子的电离能较高的是____。 4、设氢原子中电子处在激发态 2s 轨道时能量为E 1， 氦原子处在第一激发态 1s 12s 1时的2s电子能量为E 2，氦离子He + 激发态一个电子处于 2s 轨道时能量为E 3， 请写出E 1，E 2，E 3的从大到小顺序。_____________。 5、对氢原子 1s 态： (1) 2ψ在 r 为_______________处有最高值 (2) 径向分布函数 224ψr π在 r 为____________处有极大值； (3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。 6、H 原子(气态)的电离能为 13.6 eV， He +(气态)的电离能为 _______ eV。 二、选择题 1、波长为662．6pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值? （A ）106：3663 （B ）273：1 （C ）1：C （D ）546：1 2、一电子被1000V 的电场所加速．打在靶上，若电子的动能可转化
为光能，则相应的光波应落在什么区域? （A） X光区(约10-10m) （B）紫外区（约10-7m） （C）可见光区（约10-6m）（D）红外区（约10-5m 3、普通阴极管管径为10-2m数量级．所加电压可使电子获得105ms-1速度，此时电子速度的不确定量为十万分之一，可用经典力学处理．若以上其它条件保持不变则阴极管的管径在哪个数量级时必须用量子力学处理? （A）约10-7m （B）约10-5m （C）约10-4m （D）约10-2m 4、下列条件不是品优函数的必备条件的是 （A）连续（B）单值（C）归一（D）有限或平方可积 5、己知一维谐振子的势能表达式为V＝kx2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为 6、粒子处于定态意味着 （A）粒子处于概率最大的状态 （B）粒子处于势能为0的状态 （C）粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态
第一章 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律： 能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反 比，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。 解：黑体辐射的普朗克公式为：) 1(833 -=kT h e c h ν νν πρ ∵ v=c/λ ∴ dv/dλ= -c/λ2 又 ∵ ρv dv= -ρλdλ ∴ ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(e hc/λkT -1)] 令x=hc/λkT ,则 ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1) 求ρλ极大值，即令dρλ(x)/dx=0，得： 5(e x -1)=xe x 可得： x≈4.965 ∴ b=λm T=hc/kx ≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23) ≈2.9*10-3（m K ） 1.2√. 在0 K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。 解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J 故其德布罗意波长为： 07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ? 1.3 √.氦原子的动能是E= 32 KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原子的质量约为=-26-2711.993104=6.641012 kg ???? , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K 故其德布罗意波长为： λ = 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2 ≈0 1.2706A 或λ= 而KT E 23 =601.270610A λ-==? 1.4利用玻尔-索末菲量子化条件，求： a ） 一维谐振子的能量： b ） 在均匀磁场作圆周运动的电子轨道的可能半径。 解： a ）解法一：设一维谐振子的质量为m ，广义坐标为 q=Acos(ωt+φ) 根据玻尔—索末菲量子化条件 ∮pdq = nh 得：∮m(dq/dt)dq = m ωA 2∮sin 2θd θ=m ωA 2π=nh ∴ A 2 =nh/(πm ω)=2nh/m ω (其中h=h/2π) 又 ∵ 一维谐振子的周期 T =2π(m/k)0.5
第一章绪论 一、填空题 1、19２3年，德布洛意提出物质波概念,认为任何实物粒子，如电子、质子等,也具有波动性，对于质量为1克，速度为１米／秒的粒子，其德布洛意波长为 (保留三位有效数字)。 2、自由粒子的质量为m,能量为E,其德布罗意波长为_＿__＿____＿__＿___＿（不考虑相对论效应）。 3、写出一个证明光的粒子性的实验＿_＿___＿___＿___＿_________＿_。 4、爱因斯坦在解释光电效应时,提出概念。 5、德布罗意关系为（没有写为矢量也算正确）。 ７、微观粒子具有二象性。 8、德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系,其表达式为。 9、德布罗意波长为λ，质量为m的电子,其动能为＿___ _ 。 １0、量子力学是的理论。 1１、历史上量子论的提出是为了解释的能量分布问题。用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。 12、设电子能量为4电子伏,其德布罗意波长为 nm。 1３、索末菲的量子化条件为，应用这个量子化条件可以 E。 求得一维谐振子的能级= n 14、德布罗意假说的正确性,在19２７年为戴维孙和革末所做的子衍射实验所证实,德布罗意关系(公式)为和。 15、1923年，德布洛意提出物质波概念,认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性。根据其理论,质量为μ,动量为ｐ的粒子所对应的物质波的频率为 ,波长为。若对于质量为1克，速度为1米/秒的粒子，其德布洛意波长为（保留三位有效数字）。 16、1923年, 提出物质波概念,认为任何实物粒子,如
电子、质子等，也具有波动性，对于经过电压为1０0伏加速的电子，其德布洛意波长为（保留三位有效数字）。 二、选择题 1、利用提出的光量子概念可以成功地解释光电效应。 A．普朗克 B. 爱因斯坦 C. 玻尔 D. 波恩 2、192７年和等人所做的电子衍射试验验证了德布洛意的物质波假设。 Ａ. 夫兰克赫兹 B. 特恩革拉赫 C. 戴维逊盖末 D. 康普顿吴有训 ３、能量为０．1eＶ的自由中子的德布罗意波长为 A. 0.92? B.1.2３? C. １2．6 ? D.０.17 ? ４、一自由电子具有能量1５0电子伏,则其德布罗意波长为 A.1 A B．15 A C.10 AＤ．1５0 A 5、普朗克在解决黑体辐射时提出了。 Ａ、能量子假设Ｂ、光量子假设 Ｃ、定态假设 D、自旋假设 ６、证实电子具有波动性的实验是。 Ａ、戴维孙——革末实验Ｂ、黑体辐射 C、光电效应 D、斯特恩—盖拉赫实验 7、1９00年12月发表了他关于黑体辐射能量密度的研究结果,提出原子振动能量假设，第一个揭示了微观粒子运动的特殊规律：能量不连续。 Ａ. 普朗克Ｂ．爱因斯坦 C. 波尔Ｄ. 康普顿８、普朗克量子假说是为解释 (A) 光电效应实验规律而提出来的 (B) X射线散射的实验规律而提出来的 (C) 黑体辐射的实验规律而提出来的 (D) 原子光谱的规律性而提出来的 ９、康普顿效应的主要特点是
第十七章 量子物理基础 17–1 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度为22.8W/cm 2，则炉内的温度为 。 解：将炉壁小孔看成黑体，由斯特藩—玻耳兹曼定律()4T T M B σ=得炉内的温度为 34 8 44 10416.11067.5108.22) (?=??==-σ T M T B K 17–2 人体的温度以36.5?C 计算，如把人体看作黑体，人体辐射峰值所对应的波长为 。 解：由维恩位移定律b T =m λ得人体辐射峰值所对应的波长为 33m 10363.95.30910898.2?=?== -T b λnm 17–3 已知某金属的逸出功为A ，用频率为1ν的光照射该金属刚能产生光电效应，则该金属的红限频率0ν= ，遏止电势差U c = 。 解：由爱因斯坦光电效应方程W m h += 2 m 2 1v ν，A W =，当频率为1ν刚能产生光电效应，则02 12 m =v m 。故红限频率 h A /0=ν 遏止电势差为 ()01011ννννν-=-=-= e h e h e h e W e h U c 17–4 氢原子由定态l 跃迁到定态k 可发射一个光子，已知定态l 的电离能为0.85eV ，又已知从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为10.2eV ，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为 eV 。 解：氢原子的基态能量为6.130-=E eV ，而从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为 E ?=10.2eV ，故定态k 的能量为 eV 4.32.106.130-=+-=?+=E E E k 又已知eV 85.0-=l E ，所以从定态l 跃迁到定态k 所发射的光子的能量为 eV 55.2=-=k l E E E 17–5 一个黑体在温度为T 1时辐射出射度为10mW/cm 2，同一黑体，当它的温度变为2T1时，其辐射出射度为[ ]。 A ．10mW/cm 2 B ．20mW/cm 2 C ．40mW/cm 2 D ．80mW/cm 2 E ．160mW/cm 2 解：由斯特藩—玻耳兹曼定律，黑体的总辐射能力和它的绝对温度的四次方成正比，即 ()4T T M B σ= 故应选（E ）。
第十二章 散射 12－1)对低能粒子散射，设只考虑s 波和p 波，写出散射截面的一般形式。 解： ()()()2 2 c o s s i n 121∑∞ =+= l l l i P e l k l θδθσδ 只考虑s 波和p 波，则只取1,0=l ，于是 ()()()2 11002 cos sin 3cos sin 11 θ δθδθσδδP e P e k i i += ()1cos 0=θP ， (),c o s c o s 1θθ=P 代入上式，得 ()2 102 cos sin 3sin 11 θ δδθσδδi i e e k += ()2 2 12 101002 2cos sin 9cos cos cos sin 6sin 1θ δθδδδδδ+-+=k 2 2 2102 cos cos 1θ θA A A k ++= 其中 020sin δ=A ，()10101cos cos sin 6δδδδ-=A ，122sin 9δ=A 。 12－2)用波恩近似法计算如下势散射的微分截面： （a ） ()?? ?><-=. , 0;,0a r a r V r V （b ） ()2 0r e V r V α-= （c ） ()r e r V αγ κ-= （d ） ()().r r V γδ= 解：本题的势场皆为中心势场，故有 ()() ? ∞ - =0 ' '' ' 2 sin 2dr qr r V r q u f θ ，2 sin 2θ k q = （1） ()() () 2 ' ' ' ' 2 4 22sin 4? ∞ = =dr qr r V r q u f θθσ （1） （a ）()()qa qa qa q V dr qr V r a cos sin sin 2 00 ' ' 0' -- =-? ()()2 6 4 2 02cos sin 4 qa qa qa q V u -= ∴ θσ （b ）()? ? ∞ --∞ --= ??? ??0 ' '00 ''0' ' ' 2 '2'2sin dr e e e r i V dr qr e V r iqr iqr r r αα
第13章 量子力学基础 13.1 绝对黑体和平常所说的黑色物体有什么区别？ 答：绝对黑体是对照射其上的任意辐射全部吸收而不发生反射和透射的物体，而平常所说的黑色物体是只反射黑颜色的物体。 13.2 普朗克量子假设的内容是什么？ 答：普朗克量子假设的内容是物体发射和吸收电磁辐射能量总是以νεh =为单位进行。 13.3 光电效应有哪些实验规律？用光的波动理论解释光电效应遇到了哪些困难？ 答：光电效应的实验规律为：1）阴极K 在单位时间内所发射的光子数与照射光的强度成正比；2）存在截止频0ν；3）光电子的初动能与照射光的强度无关，而与频率成线性关系； 4）光电效应是瞬时的。 用光的波动理论解释光电效应遇到的困难在于：1）按照波动理论，光波的能量由光强决定，因而逸出光电子的初动能应由光强决定，但光电效应中光电子的初动能却与光强无关；2）若光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量，光电效应对各种频率的光都能发生，不应存在红限；3）光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程，光强越弱，发射光子所需时间就越长。这都与光电效应的实验事实相矛盾。 13.4 波长λ为0.1nm 的X 射线,其光子的能量ε= J 151099.1-?；质量m = kg 321021.2-?；动量p = 1241063.6--???s m kg . 13.5 怎样理解光的波粒二象性？ 答：光即具有波动性，又具有粒子性，光是粒子和波的统一，波动和粒子是光的不同侧面的反映。 13.6 氢原子光谱有哪些实验规律？ 答：氢原子光谱的实验规律在于氢原子光谱都由分立的谱线组成，并且谱线分布符合组合规律 )11()()(~2 2n k R n T k T kn -=-=ν k 取 ,3,2,1，分别对应于赖曼线系，巴耳米线系，帕形线系，. 13.7 原子的核型结构模型与经典理论存在哪些矛盾？ 答：原子的核型结构与经典理论存在如下矛盾：1）按经典电磁辐射理论，原子光谱应是连续的带状光谱；2）不存在稳定的原子。这些结论都与实验事实矛盾。 13.8 如果枪口的直径为5mm,子弹质量为0.01kg,用不确定关系估算子弹射出枪口时的横
第一章 量子力学基础知识 一、概念题 1、几率波：空间一点上波的强度和粒子出现的几率成正比，即，微粒波的强度 反映粒子出现几率的大小，故称微观粒子波为几率波。 2、测不准关系：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动量 3、若一个力学量A 的算符A ?作用于某一状态函数ψ后，等于某一常数a 乘以ψ，即，ψψa A =?，那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，其力学量A 具有确定的数值a ，a 称为力学量算符A ?的本征值，ψ称为A ?的本征态或本征波函数，式ψψa A =?称为A ?的本征方程。 4、态叠加原理：若n ψψψψ,,,,321????为某一微观体系的可能状态，由它们线性组 合所得的ψ也是该体系可能存在的状态。其中： ∑=+??????+++=i i i n n c c c c c ψψψψψψ332211，式中n c c c c ,,,,321???为任意常 数。 5、Pauli 原理：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个 电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。 6、零点能：按经典力学模型，箱中粒子能量最小值为0，但是按照量子力学箱中粒子能量的最小值大于0，最小的能量为228/ml h ，叫做零点能。 二、选择题 1、下列哪一项不是经典物理学的组成部分？ ( ) a. 牛顿(Newton)力学 b. 麦克斯韦(Maxwell)的电磁场理论 c. 玻尔兹曼(Boltzmann)的统计物理学 d. 海森堡(Heisenberg)的测不准关系 2、下面哪种判断是错误的？( ) a. 只有当照射光的频率超过某个最小频率时，金属才能发身光电子
福师《结构化学》第一章量子力学基础和原子结构课堂笔记 ◆主要知识点掌握程度 了解测不准关系，掌握和的物理意义；掌握一维势箱模型Schrodinger方程的求解以及该模型在共轭分子体系中的应用；理解量子数n，l，m的取值及物理意义；掌握波函数和电子云的径向分布图，原子轨道等值线图和原子轨道轮廓图；难点是薛定谔方程的求解。 ◆知识点整理 一、波粒二象性和薛定谔方程 1．物质波的证明 德布罗意假设：光和微观实物粒子（电子、原子、分子、中子、质子等）都具有波动性和微粒性两重性质，即波粒二象性，其基本公式为： 对于低速运动，质量为m的粒子： 其中能量E和动量P反映光和微粒的粒性，而频率ν和波长λ反映光和微粒的波性，它们之间通过Plank 常数h联系起来，普朗克常数焦尔·秒。 实物微粒运动时产生物质波波长λ可由粒子的质量m和运动度ν按如下公式计算。 λ=h/P=h/mν 量子化是指物质运动时，它的某些物理量数值的变化是不连续的，只能为某些特定的数值。如微观体系的能量和角动量等物理量就是量子化的，能量的改变为E=hν的整数倍。 2．测不准关系： 内容：海森保指出：具有波粒二象性的微观离子（如电子、中子、质子等），不能同时具有确定的坐标和动量，它们遵循“测不准关系”： （y、z方向上的分量也有同样关系式） ΔX是物质位置不确定度，ΔPx为动量不确定度。该关系是微观粒子波动性的必然结果，亦是宏观物体和微观物体的判别标准。对于可以把h看作O的体系，表示可同时具有确定的坐标和动量，是可用牛顿力学描述的宏观物体，对于h不能看作O的微观粒子，没有同时确定的坐标和动量，需要用量子力学来处理。 3．波函数的物理意义——几率波 实物微粒具有波动性，其运动状态可用一个坐标和时间的函数来描述，称为波函数或状态函数。 1926年波恩对波函数的物理意义提出了统计解释：由电子衍射实验证明，电子的波动性是和微粒的行为的统计性联系在一起的，波函数正是反映了微粒行为的统计规律。这规律表明：对大量电子而言，在衍射强度大 的地方，电子出现的数目多，强度小的地方电子出现的数目少，即波函数的模的平方与电子在空间分布的密度成正比。
第15章 量子力学基础 综合训练题 一、选择题 1. 如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 [ A ] (A) 动量大小相同。 (B) 能量相同。 (C) 速度相同。 (D) 动能相同。 2. 若α粒子在磁感应强度为B 的均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则粒子的德布罗意波长是 [ A ] (A) eRB h 2 (B) eRB h (C) eRB 21 (D) eRBh 1 3. 设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ [ A ] 4. 关于不确定关系??? ? ? =≥???π2h p x x 有以下几种理解： (1) 粒子的动量不可能确定。 (2) 粒子的坐标不可能确定。 (3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定。 (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。 其中正确的是： [ C ] (A) (1)、(2) (B) (2)、(4) (C) (3)、(4) (D) (4)、(1) 5. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： ()()a x a a x a x ≤≤-?= 23cos 1πψ 那么粒子在6/5a x =处出现的概率密度为 [ A ] (A) a 21 (B) a 1 (C) a 21 (D) a 1 6. 根据玻尔氢原子理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为 [ A ] (A) 9 5 (B) 9 4 (C) 9 7 (D) 9 2 7. 若外来单色光把氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱线的 () D x x x () A () B () C
第十章 量子力学基础 思 考 题 10-1 什么是绝对黑体？它与平常所说的黑色物体有何区别？ 答：(1)在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光，这种物体称为绝对黑体，简称黑体。但黑体自身要向外界辐射能量，黑体并不一定是黑色，它的颜色是由它自身所发射的辐射频率决定的。若温度较低，则它辐射的能量就很少，辐射的峰值波长会远大于可见光波长，会呈现黑色；若温度较高，则它辐射的能量就很大，辐射的峰值波长处于可见光波长范围内，会呈现各种颜色。 (2)平常所说的黑色的物体，用肉眼看起来是黑色的，只表明它对可见光强烈吸收，并不能说它对不可见光（红外线、紫外线）都强烈吸收，所以黑色物体的单色吸收本领并不恒等于1，一般不能称为黑体。 10-2 若一个物体的温度(绝对温度数值)增加一倍，它的总辐射能增加到多少倍? 答：根据斯特藩－玻耳兹曼定律，绝对黑体的总辐出度(总辐射能)为 ()()40 d T T M T M B B σλλ==?∞ 现在，212=T T ，于是 1624 4 1212==??? ? ??=T T M M 即绝对黑体的温度增加一倍，它的总辐射能将增至为原来的16倍。 10-3 假设人体的热辐射是黑体辐射，请用维恩位移定律估算人体的电磁辐射中单色辐出度的最大波长（设人体的温度为310K ）。 答：根据维恩位移定律 m T b λ= 可得 (m)1035.9310 10898.263 --?=?==T b m λ 10-4 所有物体都能发射电磁辐射，为什么用肉眼看不见黑暗中的物体？ 答：物体要能够被眼睛观察到，必须需要两个条件：（1）物体要发射或者反射出眼睛能感觉到的可见光，其波长范围大约为0.40～0.78μm ；（2）可见光的能量要达到一定的阈值。根据黑体辐射，任何物体在一定温度下都发射出各种波长的电磁辐射，在不同温度下单色辐出度的峰值波长不同。黑暗中周围物体的温度等于环境温度（近似为人体温度），单色辐出度的峰值波长在10μm 附近，在可见光波长范围的电磁辐射能量都比较低，因此不能引起眼睛的视觉响应。
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 λνc =， （2） ||λνρρλd d v =， （3） 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是
要求的，具体如下： 011511 86=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。