调和级数发散性的证明方法
姓名：范璐婵
摘要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。
关键词：调和级数发散性部分和收敛
Proofs of the divergency of harmonic series
Name: Fan Luchan
Director: Wang Yingqian
Abstract:Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in this paper.Some are known and some are new.
Key words:harmonic series; divergency; partial sum; convergency
引言
调和级数
11
n n
∞
=
∑的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（1323——1382）在
极限概念被完全理解之前的400年证明的。他的方法很简单：
1111111
1
++++++++
级数的括号中的数值和都为1
2
，这样的
1
2
有无穷多个，所以后一个级数是趋向无
穷大的，进而调和级数也是发散的。
后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他的证明是以莱布尼茨的收
敛级数1111
1
2612(1)
n n
+++++=
+
为基础的。以下是他的证明。
证明：11
1
22
=-，
111
623
=-，
111
1234
=- ，
111
(1)1
n n n n
=-
++
所以
11111111 11
2233411 n
s
n n n
=-+-+-++-=-
++
.
则
1
l i m l i m(1)1
1
n
n n
s s
n
→∞→∞
==-=
+
.
接着设
111
23
A
n
=++++
，
则
1234
261220(1)
n
A
n n
=++++++
+
；
11111
1
261220(1)
C
n n
=++++++=
+
；
111111
61220(1)22
D C
n n
=+++++=-=
+
；
111111
122030(1)63
E D
n n
=+++++=-=
+
；
111111
203042(1)124
F E
n n
=+++++=-=
+
；
111111
304256(1)205
G F
n n
=+++++=-=
+
；
1234511
1
2612203023
C D E F G
+++++=+++++=+++
.
即1
A A
=+.
没有一个有限数会大于等于自己，即A是无穷大，所以调和级数发散.
由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。伯努利作出这一论证之后的150年，才有真正的级数理论出现。他用简明的1
A A
=+来证明级数的无穷性，这是证明量的无穷性的一个最独特的方法。
而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级数的发散性。例如：利用欧拉常数，级数与广义积分敛散性的关系，级数及数列敛散性的定义和性质，级数敛散性的各种判别法，均值不等式等。在级数敛散性的讨论中，调和级数的应用很广泛。了解这些证明方法，对级数敛散性的学习和研究是有益的，特别在其证明方面能起到举一反三，融会贯通的作用。
本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。
1证法一：利用反证法.
假设调和级数11n n ∞
=∑收敛，记其和为S ，即S=11
n n
∞
=∑，
由于正项级数若收敛，加括号后仍收敛，且和不变，可知：
S=
11n n
∞
=∑=1+1111
23212n n +++++- =（1+11111
)()(
)234212n n +++++- ≥（1+11111
)()()24422n n +++++
111
(1)22n =+++++ 1
2S =+ 1
2
S S ≥+
从而 0≥
1
2
矛盾，所以调和级数必发散. 2证法二：证明调和级数11
n n
∞
=∑的部分和可任意大.
依次将11
n n
∞
=∑九项，九十项，九百项， 括在一起得
111
123n
+
+++ 11111111(1)()()29101199100101999
=++++++++++++
9
90
900
111111111()()()101010100100100100010001000>++++++++++++
990900101001000=
+++ 999
101010
=+++ 从上式中可以看出11n n ∞
=∑的和可任意大，故级数11
n n
∞
=∑发散.
3证法三：利用柯西收敛准则证明部分和数列{}n s 发散.
111123n s n
=+
+++ ， 事实上，存在01
2
ε=
，对任意自然数N ，总能找到两个自然数0m >N ，002n m =，当然也有02m >N ，使得
002000
111
||122m m s s m m m -=
+++
++ 000
111
222m m m >
+++
=1
2
=0ε. 据柯西收敛准则的否定叙述，{}n s 发散，从而11
n n
∞
=∑发散.
4证法四：证明部分和数列{}n s 的子列{}2m
s 发散.
2m s 11
1111111111
1()()()2345678212221m m m --=++++++++++++++ 1
111112422482m m ->++?+?++?
11111()2222=+++++
=12
m
+
于是 2l i m l i m (1)2m m m m
s →∞→∞≥+=+∞. 即 2l i m
m m s →∞
=+∞. 故数列{}n s 发散，从而调和级数
11
n n
∞
=∑发散. 5证法五：利用欧拉常数证明.
证明数列{}n a 存在极限C （欧拉常数），这里
n a 111
1ln 23n n
=++++- ，
即111
1ln 23n n
++++- =C+n ε,其中n ε→0（当n →∞时）
因为 11
ln(1)n n
+<，
所以 1l n (1)l n n
n n
+-<， 从而有 l n 2l n 11-<，
1
ln 3ln 22
-<，
1
ln(1)ln n n n
+-<，
上述n 个不等式两边相加得
111
ln(1)123n n
+<++++ ，
于是 111111
1l n (1)02311
n a n n n n +=+++++
-+>>++ . 即{}n a 有下界.其次 应用不等式
11
ln(1)1n n
<++，有 1111
ln(1)ln ln(1)011n n a a n n n n n +-=-++-=+->++.
故{}n a 有是一个单调下降的数列，因此lim n n a →∞
存在，用C 表示，即
111
lim(1ln )23n n C n →∞+
+++-= .
也就是 111
1l n
(l i m 0)
23n n n n C n
εε→∞++++=++= . 显然 l i m
l i m (l n )n n n n s n C ε→∞
→∞
=++=+∞. 故调和级数
1
1
n n ∞
=∑发散. 6证法六：应用级数1
n n a ∞
=∑（其中120n a a a ≥≥≥≥≥ ）与级数21
2n
n n a ∞
=∑
有相同的收敛性. 取 1(1,2,)n a n n == ， 1111023n
>>>>> .
而级数 2111
1
2212n n
n
n n n n a ∞
∞
∞
======+∞∑∑∑ 发散.
故调和级数
1
1
n n ∞
=∑发散. 7证法七：利用广义积分法.
对于部分和数列{}n s ：
111123n s n =+
+++ ， 有 111111
123n dx n x
+++++≥?
， 而 111
l n (1)n d x n x +=+?， lim ln(1)n n →∞+=+∞， 因此 l i m
n n s →∞
=+∞， 故调和级数
11
n n
∞
=∑发散. 8证法八：证明由调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数发散.
调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数是
1
111111
1020100110100010101111000010010100000
n n u ∞
==
+++++++++++++∑
在此级数中，分母从10到100的项共有10项，其和大于101
10010
=； 分母从110到1000的项共有90项，其和大于
909
1000100
=； 分母从1010到10000的项共有900项，其和大于9009
10000100
=；
分母从1010n +到1
10
n +的项共有1
910
n -?项，其和大于11
9109
10100
n n -+?=； 从而 1
199
9
10100100
100
n
n u
∞
=≥
++++
+∑ . 显然
1
n n u ∞
=∑发散，于是调和级数
11
n n
∞
=∑发散. 9证法九：利用命题“设正项级数1
n n a ∞
=∑收敛，且1n n a a +<，lim
0n n a →∞
=，
则有lim 0n n na →∞
=”. 以下是这个命题的证明：
因正项级数1n n a ∞
=∑收敛，则对于任意给定的0ε>，总存在自然数N ，
当n >N 时，下式成立
1221212212||2
n n n n n n n n a a a a a a a a ε
++-++-++++=++++<
.
由已知 1(1,2,3,)n n a a n +<= ， 而 12212n n n n a a a a ++->>>> (1,2,3,)n = ， 得 22
n na ε
<
，22n na ε<，
故有 2l i m 20n n na
→∞
=. 又 212n n a a +<，
故有 212221
(21)(21)22n n n n n a n a n a n +++<+= ， 得 21221
0lim(21)lim 202n n n n n n a n a n
+→∞→∞+≤+≤=
. 故有 21lim(21)0n n n a +→∞
+=.
所以无论n 为奇数或偶数时，下式成立
lim 0n n na →∞
=.
即通项下降趋于零的正项级数收敛的一个必要条件证毕。
运用该定理可得
1
lim 10n n na n n →∞==≠ 故调和级数1
1
n n ∞
=∑发散.
10证法十：利用不等式ln(1)x x >+.
111
123n s n
=+
++ 11
ln(11)ln(1)ln(1)2n
>+++++
31
ln 2ln ln 2n n +=+++
34ln(2)2311
n n n n =-+
ln(1)()n n =+→∞→∞ .
即11
n n
∞
==∞∑ ，故调和级数发散. 11证法十一：利用平均值不等式
1
12123()n
n n a a a a a a a n
+++≥ . 取 1231111,,,23n a a a a n
==
== ， 则 1111111123(1)23n n n n
++++
≥ ，
即
111123n ++++≥ .
当 n →∞，左边为11n n ∞
=∑
，右边为n =∞，故11
n n
∞
=∑发散.
12证法十二：利用不等式
1113(2,)13n n n n n n
++>≥∈N -+来证明. 首先证明上述不等式成立 因为
111311n n n n ++--+ 1111()()11
n n n n =----+ 11
(1)(1)n n n n
=
--+
20(1)(1)
n
n n n =
>-+，
所以
1113(2,)13n n n n n n
++>≥∈N -+ . 所以 1113
1
2343++>=； 11131
56462
++>=；
11131891093
++>=；
111111112345671111111
11234567n
n
+
++++++++>++++++++++
111111
2()()234567=+++++++
11
2123
>++++ .
所以 111
123n
+++++ 是无穷数.
所以调和级数11
n n
∞
=∑发散.
13证法十三：任意给定0M >，总可以找到一有理数p
M q
>，而任何正有
理数可写成互异的形如
1m 的数有限和（见文献[9]），其中m 为自然数，p q
为互异的形如
1m 的数有限和，假定最大的分母为N ，则有,N p
s M q
≥>当n N >时，具有n s M >，也就是lim n n s →∞
=∞，所以调和级数
1
1
n n ∞
=∑发散. 以下是由作者用有关定理或方法独立导出的证法 14证法十四：利用拉阿伯判别法：若
1
n
n u
∞
=∑是正项级数，
'
'
,N n N ?∈N ?≥，
有1(1)1n n u n r u +-≥>（1(1)1n
n u n u +-≤），则级数1
n n u ∞
=∑收敛（发散）.
在调和级数
1
1
n n ∞
=∑中，,n ?∈N 均有
11
1(1)(1)(1)11
n n u n n n n n u n n ++-=-=-=+，
所以调和级数
11
n n
∞
=∑发散. 15证法十五：应用厄耳玛可夫判别法：若()f x 为单调减少的正值函
数，且()
lim ()x x x e f e f x λ→∞=，则当1λ<时，级数1
()n f n ∞
=∑收敛；当1λ>时，级数1
()n f n ∞
=∑发散.
令1
()f x x
=
，则 1()lim lim lim 1()
x x
x
x
x x x e e f e e x f x x
→+∞→+∞→∞===+∞ ， 故级数111111
()123n n f n n
n ∞∞
====+++++∑∑ 发散.
证法十六：应用高斯判别法：在级数1
n n a ∞
=∑中，若0(1,2,3,)n a n >= 及
11(||,0),n n
n n a C a n n ε
θμλθε++=++<>则 (1)当1λ>时，
级数收敛；(2)1λ<时级数发散；(3)当1λ=时，若1μ>则级数收敛，若1μ≤则级数发散.
在调和级数11n n
∞
=∑
中，11
11
111
n n a n n a n n n ++===++，
据高斯判别法知，调和级数11
n n
∞
=∑发散.
17证法十七：设120,,n n n a s a a a >=+++ 级数1
,n n a ∞
==∞∑则1n
n n
a s ∞
=∑
发散.
以下是这个命题的证明： 因为 0,n n a s >单调增加，所以
1
11n p
k
n p
n p n k k n n k n k
n p n p n p a s s a s s s s s +++=+=++++-≥==-∑∑. 因为 n s →+∞，故n ?，当p ∈N 充分大时，有
12
n n p s s +<， 从而
111122n p
k k n k
a s +=+≥-=∑， 所以
1n
n n
a s ∞
=∑发散. 令 1,n a = 1,2
,n = ， 则 111n s n =+++= ，
所以 1n n n
a
s ∞
=∑=
11
n n
∞
=∑ 发散 . 18证法十八：利用[
]
ln 1
(1)n n n ∞
=-∑
的发散性.
记[
]
ln (1)n n a n
-=
，为研究级数1
n n a ∞
=∑的敛散性，
我们引进集合[]{}|ln k A n n k == (1,2,)k = . 那么集合k A 内的元素n 具有性质
ln 1k n k ≤≤+
或写成 k k e n e e ≤<
其个数(1)k
k p e e ??=-??，将k A 内的元素从小到大排列，可记为
,1,,1k k k k n n n p ++- .
现考虑 [
]
ln (1)k
k
n k n
n A n A u a
n
∈∈-=
=
∑∑
1
(1)(1)k
k k k n A v n
∈=-=-∑
， 其中 11
00111
k k k p p k k n A v v k v n n v e e --∈====≥+∑∑∑
=
1
(1)k k k k p e e e e e e
??=-?? 111(1)22k
k
e e e e e e
-≥-= . 下面证明级数1
n n a ∞=∑是发散的，采用反证法，假设1
n n a ∞
=∑收敛，则由柯西收敛准
则，对于任给的0ε>，存在0N ，使得当0n N ≥时，对于一切自然数p ，均有
1||n n n p a a a ε+++++< .
今取 1
04e e
ε-=
>，对于有此ε所找到的0N ，在0n N ≥中选一个数k n ，此处k 是适当大的一个自然数，有k k n A ∈，即
k k k e n e e ≤< .
又取自然数1k p p =-，则此时应有
11||k k k k n n n p a a a ε++-++< （1）
但另一方面却有
111
||||22k k k k n n n p k k e a a a u v e
εε++--++==≥
=> (2) (1)式与(2)式矛盾，因而级数1
n n a ∞
=∑发散.
利用这个结论我们可以证明调和级数发散。
由于[]ln (1)n n ??-???????
?的部分和大于1n ??
????的部分和，
所以由[
]
ln 1
(1)n n n ∞
=-∑
发散知11
n n
∞
=∑发散.
结束语
调和级数作为去判别另外一个级数的发散的一把“尺子”起到了重要作用，它
的发散性证明精彩纷呈。本文在综合已有证明方法的同时，再给出了笔者自己用有关定理或方法导出的另外几种证明，具有一定的创新意义。
参考文献
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华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日
摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。
正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。
数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法
摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足
n 3 5 n 2 3 5 3 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 ∞ ∞ 数项级数 ∑u n 收敛 ? 数项级数∑u n 的部分和数列{S n }收敛于 S . n =1 n =1 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{S } 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前 n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 ∞ ∞ ∞ （ 1） 若级数 ∑u n 与 ∑v n 都收敛， 则对任意常数 c,d, 级数 ∑(cu n + dv n ) 亦收敛， 且 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑(cu n + dv n ) = c ∑u n + d ∑v n ;相反的，若级数∑(cu n + dv n ) 收敛，则不能够推出级数∑u n 与 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∑v n 都收敛. n =1 ∞ ∞ ∞ 注：特殊的，对于级数 ∑u n 与 ∑v n ，当两个级数都收敛时， ∑(u n ± v n ) 必收敛；当其中一个 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 收敛，另一个发散时， ∑(u n ± v n ) 一定发散；当两个都发散时， ∑(u n ± v n ) 可能收敛也可能发散. n =1 n =1 ∞ 1 1 ∞ 1 1 例 1 判定级数∑( n n =1 + n ) 与级数∑( + n ) 的敛散性. n =1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 1 解：因为级数 ∑ n n =1 与级数 ∑ n n =1 收敛，故级数 ∑( n n =1 ∞
任意项级数敛散性判断 下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 () ∑ ∞ =--1 1 11n n n 2、 ()∑∞=--1131n n n n 3、 () ∑∞=+121sin n n na 4、 ()()011>-∑∞=a na n n n 5、 ∑∞=??? ?? +2ln 1sin n n n π 6、 Λ+-+-+- 332210 3 211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11 2 212 12121n n n n n 8、 ()() [] ()01111 >-+-∑∞=-p n n p n n
答 解：1、() ∑ ∞ =--1 1 11n n n 取绝对值 ()∑ ∑∞=∞ =-=-1 11 1 1n n n n n >∞ （ 2 1 =p 的p 级数） 而原级数是交错级数 且： 01lim 1 111==<+=∞ →+n u n n u n n n 由莱布尼兹定理，原级数收敛。所以是条件收敛。 2、()∑∞ =--113 1n n n n 13111lim 313 31lim lim 11<=??? ??+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n
绝对值级数 ()∞<-∑∞ =-113 1n n n n 所以原级数绝对收敛 3、() ∑∞ =+12 1sin n n na ()() 22111sin +≤+n n na () ∑∞ =+1211n n 是p=2 的p 级数。收敛！ 所以由比较判别法，原级数绝对收敛 4、() ()011>-∑ ∞ =a na n n n ()111lim lim 11<=+=+∞ →+∞→a a n na u u n n n n n a>1 时原级数绝对收敛 0 公式为正常公式,不是图片版 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n?，有n S （2）当0=l 且级数∑∞ =1 n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当∞→l 且∑∞=1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数 )(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n + 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛. 关于正项级数敛散性的判别法 作者: 学号： 单位： 指导老师 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化. 关键词：正项级数；敛散性；判别法 1引言 设数项级数 121...++... n n n a a a a ∞ +==+∑的n 项部分和为： 121 ......n n n i i S a a a a ==++++= ∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数 S ，使lim n x S S →∞ =.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情 况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞ 是否存在， 从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数 1 n n a ∞ =∑收敛? 0,, , N N n N p N ε+ + ?>?∈ ?>?∈对，有 +1+2+ +...+ 设数项级数 1 n n a ∞ =∑为正项级数( ) 0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增，由数列的单调有界定理，有 定理2.1：正项级数n 1u n ∞ =∑收敛?它部分和数列{}n S 有上界. 证明：由于,...), 2,1(0u i =>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条 件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得 定理2.2（比较判别法）： 设两个正项级数n 1 u n ∞ =∑和n 1 n v ∞ =∑，且 , n ,N N N ≥?∈?+ 有n n cv u ≤，c 是正常数， 则 1）若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，则级数n 1 u n ∞ =∑也收敛; 2）若级数n 1 u n ∞ =∑发散，则级数n 1 n v ∞ =∑也发散. 证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1 u n ∞ =∑的有限项，，则不改变级数n 1 u n ∞ =∑的敛散性.因此，不妨设 , + ∈?N n 有 n n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1 n v ∞=∑与n 1 u n ∞ =∑的n 项部分和分部是n B A 和n ，有上述不等式有， n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n . 1)若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届， 再根据定理1，级数n 1 u n ∞ =∑收敛; 2)若级数n 1 u n ∞ =∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届， 一个无穷级数的敛散性证明 我们在复变中曾见过这样一个无穷级数 231............23n n n Z Z Z Z Z n n ∞ ==+++∑ 其中Z 为复数。 它的收敛域为 |Z|<1 那在|Z|=1上上述无穷级数的收敛情况又是如何呢？ 当Z=1时上述无穷级数为调和级数，因此是不收敛的。 那当Z 取其它值时是否也是不收敛呢。答案是否定的，令Z=-1 则上述无穷级数为交错级数，由数学分析的知识知道它是收敛的。 事实上，除了Z=1外，单位圆周上其它点都可使上述无穷级数收敛。 为了方便计算，令Z=cos θ+isin θ 其中θ为实数为了方便讨论，下面我们限制0≤θ<2π 当θ取0时，则Z=1,上述无穷级数为调和级数，是不收敛的。 当θ取π时，则Z=-1,上述无穷级数为交错级数，是收敛的。 下面我们分两个阶段去证明。 第一阶段,当θ/π取有理数时,即θ=πp /q 其中p 为奇数 、q 为整数且p 、q 互素。 由欧拉公式 (cos sin )cos sin n i n i n θθθθ +=+ 则当n 取kq 时 其中k 为整数 则Z t =-Z t+q =Z t+2q =-Z t+3q =...(-1)k Z t+kq 其中t 小于q 即t=1、2、3...q 则级数 21............2t t q t q t nq n n Z Z Z Z T t t q t q t nq +++∞ ==++++++∑ 可化为 1......(1)......23t t t t t n n n Z Z Z Z Z T t t q t q t q t nq ∞ ==-+-+-++++∑ 即 111111(......(1) (234) n n n T Z t t q t q t q t nq ∞ ==-+-+-++++∑ 上述无穷级数为交错级数，故其是收敛的。 记F t 为上述无穷级数的和 则对任意的ε>0,存在正整数N t ，使得n>N t 时，都有 2|......|2t t q t q t nq t Z Z Z Z F t t q t q t nq ε++++++-<+++ 则讨论（1）的部分和 23......23n n Z Z Z S Z n =+++ 其中n=(k+1)q+h h 任意项级数敛散性判断 下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 () ∑∞ =--1 1 11n n n 2、 ()∑∞ =--1131n n n n 3、 () ∑∞=+121sin n n na 4、 ()()011>-∑∞=a na n n n 5、 ∑∞=??? ?? +2ln 1sin n n n π 6、 +-+-+- 332210 3 211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11 2 212 12121n n n n n 8、 ()() [] ()01111 >-+-∑∞=-p n n p n n } 答 解：1、() ∑ ∞ =--1 1 11n n n 取绝对值 ()∑ ∑∞=∞ =-=-1 11 1 1n n n n n >∞ （ 2 1 =p 的p 级数） 而原级数是交错级数 且： 01lim 1 111==<+=∞ →+n u n n u n n n ~ 由莱布尼兹定理，原级数收敛。所以是条件收敛。 2、()∑∞ =--113 1n n n n 13111lim 313 31lim lim 11<=??? ??+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n 绝对值级数 ()∞<-∑∞ =-113 1n n n n 所以原级数绝对收敛 3、() ∑∞ =+12 1sin n n na # ()() 2 211 1sin +≤+n n na () ∑∞ =+1211n n 是p=2 的p 级数。收敛！ 所以由比较判别法，原级数绝对收敛 4、() ()011>-∑ ∞ =a na n n n ()111lim lim 11<=+=+∞ →+∞→a a n na u u n n n n n a>1 时原级数绝对收敛 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1 )(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛. 正项级数敛散性的判别 刘 兵 军 无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。 一． 常数项级数的概念 所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。 对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式 +++++n u u u u 321 叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞ =1 n n u ，即 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211， (1) 其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。 级数(1)的前n 项的和构成的数列 n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n (2) 称为级数(1)的部分和数列。 根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。 定义 如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞ →n n s lim s ，则称级 数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。 级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。 二． 正项级数敛散性的判别 由正数和零构成的级数称为正项级数。 比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。 比较审敛法 如果正项级数∑∞=1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则∑∞ =1n n u 收敛； 如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞ =1n n u 发散； 比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键。 几何级数∑∞=-11n n aq 和p-级数∑∞ =11n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞=1n n v 。 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n + 易知：∑∞ =22ln 1n n n 收敛（积分判别法），又∑∞=22n n a 收敛，所以)ln 1 212 2 2 n n a n n +∑∞ =（收敛。 由比较判别法知∑ ∞ =2ln n n n n a 收敛（n a >0）. 例 2 . 证明：级数)0(sin )1(1 ≠?-∑∞ =x n x n 都是条件收敛的。 证： 不妨设x>0,则?x N >0，当n>x N 时，0< n x <2π,此时0sin >n x ,且{n x sin }正项级数收敛及其应用公式版
，成立不等式q u u n n ≤+1 ，则级数∑∞ =1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11 ≥+n n u u ，则级数∑∞=1 i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则 （1） 当1lim
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