正态分布
高考
正态分布
要求
层次
重难点
正态分布
A
利用实际问题的直方图，了解正态分布 曲线的特点及曲线所表示的意义．
例题
一) 知识内容
1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直 方
图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随 机变量 X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线．
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是 1，而随机变量 X 落在指定的两个数 a ，b
之 间的概率就是对应的曲边梯形的面积．
2．正态分布
⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的 准差为 的正态分布通常记作 N( , 2) ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
⑵标准正态分布：我们把数学期望为 0 ，标准差为 1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论： ①正态变量在区间 ( ,
) ，( 2 , 2 ) ，( 3 , 3 )内，取值的概率分别是 68.3% ，
95.4%， 99.7% ．
②正态变量在 ( ， ) 内的取值的概率为 1，在区间 ( 3
故正态变量的取值几乎都在距 x 三倍标准差之内，这就是正态分布的 3 原则．
变化中都只是起着均匀、 微小的作用， 则表示这样的随机现象的随机变量的 概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
正态变量概率密度曲线的函数表达式为 f(x)
2
π
(x
)2
e 2
，x 中 ， 是参数，且
0 ，
式中的参数 和 分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为 、标
3 ) 之外的取值的概率是 0.3% ，
R ，其
二）典例分析：
例1】 已知随机变量 X 服从正态分布 N （3 ，a 2） ，则 P （X 3） （ ）
值的概率为 0.4，则 X 在 0，2 内取值的概率为
【例4】 已知随机变量 X 服从正态分布 N （2， 2），P （X ≤ 4） 0.84，则P （X ≤0） （ ） A ． 0.16
B ．0.32
C ． 0.68
D
．0.84
N （0 ，4） ，则不属于区间 （ 4，4） 这个尺寸范
围的零
件约占总数的
【例 6】
已知 X N （ 1，
2
)，若 P( 3≤X ≤-1) 0.4，则 P( 3≤X ≤1) (
）
A ． 0.4
B ． 0.8
C ． 0.6 D
．无法计算
【例 7】
设随机变量 服从正态分布
N (2 ，9) ，
若 P(
c 2) P( c
2） ，
则
c ________
【例 8】 设 ~ N(0 ，1)，且 P(| | b)
a(0 a 1，b 0) ，则 P( ≥ b) 的值是
______________________________________
___（用
a 表示）．
例 9 】 设随机变量 服从正态分布 N （0 ，
1） ， a
0 ，则下列结论正确的个数是 ___ ．
⑴ P(| | a) P(| | a) P(| | a)
⑵ P(| | a) 2P( a) 1
⑶ P(| | a) 1 2P( a)
A ．
1
5
B ．
C ．
D ．
例2】 在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N 1
0 ，若 X 在 0 ，1 内取
例 3】 对于标准正态分布 N 0 ，1 的概率密度函数
1 xe 2π
x 2
2
列说法不正确的
是（ ）
A ． f x 为偶函数 B
C ． f x 在 x 0时是单调减函数，在 x ≤0时是单调增函数 D
最大值为
x 关于 x 1 对称
1 2π
例5】 某种零件的尺寸服从正态分布
⑷ P(| | a) 1 P(| | a)
如果随机变量 ~ N( ， 2)，E D 1 ，求 P( 1 1)的值．
A ．有最大值，也有最小值
B ．有最大值，但没最小值
C ．有最大值，但没最大值
D ．无最大值和最小值
A ．该市这次考试的数学平均成绩为 80 分
B ．分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同
C ．分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同
D ．该市这次考试的数学标准差为 10
【例16】 灯泡厂生产的白炽灯寿命 (单位： h )，已知 ~ N (1000，302) ，要使灯泡
的平均寿命为 1000h 的概率为 99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在 _____ 小时以上．
【例 17】 一批电池(一节)用于手电筒的寿命服从均值为 35.6小时、标准差为 4.4小
时的正态分布， 随机从这批电池中任意取一节， 问这节电池可持续使用不少于 40 小时的概率 是多少
例 10 】 例 11 】 正 态 变 量 X~ N(1， 2)
P(c X 2c)
P(2c X 3c) 0.4，求 P(X ≤ 0.5)的值．
【例 12】 A ． f(x)
列函数是正态分布密度函数的是( )
(x r)2 2
B ． f(x)
2πe
x
22
2π
C ． f(x)
1 (x
2 2
π e
1)2
例 13 】 若正态分布密度函数 (x 1)2
(x R) ，下列判断正确的是(
【例 14】 设 的概率密度函数为 f(x) 1
(x 1)2 1
2 e 2
2π
，则下列结论错误的是(
)
B ． P( 1≤ ≤ 1) P( 1 1)
D ． 1~ N(0 ，1)
【例 15】
某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，
其密 度函数为 f(x) 1
(x 80)2
1
e 200 ，则下列命题中不正确的是( )
10 2
2π
f (x)
x 2
f(x)
2
A ． P( 1) P( 1)
C ． f (x) 的渐近线是 x 0
例 18】 某班有 48 名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 80，标
准差为 10，理论上说在 80 分到 90分的人数是 ___
0 x ≤1
【例 19】
已知连续型随机变量 的概率密度函数 f (x)
x a 1≤ x 2 ，
x ≥ 2
⑴求常数
a 的值；⑵求 P(1 3
) ． 2
P(1
3
2
)．
ke x ≥ 0
ke x ≥0
，求 k 的值及 P(X 0.1)． 0 x 0
【例 22】 美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的
100 |x |
距离 X 的密度函数为
f (x) 10000
| x |≤ 100
，若炸弹落在目标 40 米以内时，将导致该铁
0 |x| 100
路枢纽破坏，已知投弹 3颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．
例 20 】 已知连续型随机变量
x ≤1
的概率密度函数 f(x) ax 2
1≤ x 2 ， 求 a 的值
及 0
x ≥2
例 21 】 设随机变量 X 具有概率密度 f (x)
1
x R ．
⑴求 ， ；⑵求 P(|x 1| 2) 及P(1 2 x 1 2 2) 的值．
例 24】 某校高中二年级期末考试的物理成绩 服从正态分布 N （70 ，102） ．
⑴若参加考试的学生有 100人，学生甲得分为 80 分，求学生甲的物理成绩排名； ⑵若及格（ 60分及其以上）的学生有 101人，求第 20 名的物理成绩． 已知标准正态分布表 （0.97） 0.833 ．
【例 25】 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N （70 ，
100） ．已知成绩在 90分以上（含 90分）的学生有 12名．
⑴试问此次参赛学生总数约为多少人
⑵若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分 附：标准正态分布表 （1.30） 0.9032 ， （1.31） 0.9049 ， （1.32） 0.9066 ．
x 2 2x 1
例 23】 设 X ~ N （ ， 2） ，且总体密度曲线的函数表达式为：
f(x)
2
π
e
正态分布和线性回归高考要求 1.了解正态分布的意义及主要性质 2.了解线性回归的方法和简单应用 知识点归纳 1．正态分布密度函数： 2 2 () 2 () 2 x f x e μ σ πσ - - =，（σ＞0，-∞＜x＜∞） 其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为) , (2 σ μ N 2．正态分布) , (2 σ μ N）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 例1、下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．（1）2 2 2 1 ) ( x e x f- = π ，（-∞＜x＜+∞) （2） 2 (1) 8 () 22 x f x e π - - =，（-∞＜x＜+∞) 解：(1)0,1 (2)1,2 3．正态曲线的性质：正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量ξ～N(μ，σ2)，根据定义有：μ=Eξ，σ=Dξ。 正态曲线具有以下性质： （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。 （2）曲线关于直线x =μ对称。 （3）曲线在x =μ时位于最高点。 （4）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。并且当曲线向左、
右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。 （5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。 五条性质中前三条较易掌握，后两条较难理解，因此应运用数形结合的原则，采用对比教学 4．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其 相应的函数表示式是2 221)(x e x f - = π ，（-∞＜x ＜+∞） 其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 5.标准正态总体的概率问题: 对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率， 即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <只要有标准正态 分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00 正态分布 要求层次 重难点 正态分布 A 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． （一） 知识内容 1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近 的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22 ()2()2πx f x e μσσ --=?，x ∈R ， 其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞． 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作 2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线． ⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． 例题精讲 高考要求 正态分布 x=μ O y x ⑶重要结论： ①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%． ②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则． （二）典例分析： 【例1】 已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ， ，则(3)P X <=（ ） A ．1 5 B ． 1 4 C ．1 3 D ． 12 【例2】 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布() ()210N σσ>，，若X 在()01， 内取值的概率为0.4，则X 在()02， 内取值的概率为 ． 【例3】 对于标准正态分布()01N ， 的概率密度函数()2 2 x f x -=，下列说法不正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()f x C ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数 D ．()f x 关于1x =对称 【例4】 已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ， ，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 【例5】 某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数 的 ． 【例6】 已知2(1)X N σ-， ~，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（ ） A ．0.4 B ．0.8 C ．0.6 D ．无法计算 【例7】 设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =． 正态分布（一） 教学目的： 1 掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 2．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理 3．通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成： 2 () 2 (),(,) x f x x μ σ - - =∈-∞+∞，（σ＞0） 由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为) , (2 σ μ N 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的 4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过) ( ) ( σ μ - Φ = x x F转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为 2 2 1 2 1 ) (x e x F- = π ，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化 6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程： 一、复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 借助于标准正态分布表求值 例 设ξ服从)1,0(N ，求下列各式的值： （1）);35.2(≥ξP （2）);24.1(-<ξP （3）).54.1(<ξP 分析：因为ξ用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形，故需要转化成小于非负值0x 的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地． 解：（1）;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P （2）;1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP （3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P .8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ= 说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用． 求服从一般正态分布的概率 例 设η服从)2,5.1(2N 试求： （1）);5.3(<ηP （2）);4(-<ηP （3）);2(≥ηP （4）).3(<ηP 分析：首先，应将一般正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布，利用结论：若),(~2σμηN ，则由)1,0(~N σμηξ-=知：,)(?? ? ??-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果． 解：（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=??? ??-Φ=<ηP 2．4 正态分布 1．问题导航 (1)什么是正态曲线和正态分布？ (2)正态曲线有什么特点？曲线所表示的意义是什么？ (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？ 2．例题导读 请试做教材P 74练习1题． 1．正态曲线 函数φμ，σ(x )＝1 2πσ e －（x －μ）2 2σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数， φμ，σ(x )的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝??a b φ μ，σ (x)d x ， 则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为________X ～N (μ，σ2)． 3．正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ(x)＝1 2πσ e －（x －μ）22σ2，x ∈R 有以下性质： (1)曲线位于x 轴________上方，与x 轴________不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线________x ＝μ对称； (3)曲线在________x ＝μ处达到峰值________1 σ2π ； (4)曲线与x 轴之间的面积为________1； (5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 正 态分布 一、选择题 1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ，若)1()1(-<=+>c P c P ξξ，则c 等于（） A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知随机变量ξ服从正态分),2(2σN ，且8.0)4(=<ξP ，则)20(<<ξP 等于（） A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 3.已知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ≤等于（） A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 4.已知随机变量X 服从正态分布),2(2σN ，8.0)40(=< 借助于标准正态分布表求值 例 设ξ服从)1,0(N ，求下列各式的值： （1）);35.2(≥ξP （2）);24.1(-<ξP （3）).54.1(<ξP 分析：因为ξ用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形，故需要转化成小于非负值0x 的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地． 解：（1）;0094 .09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P （2）;1075 .08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP （3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P .8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ= 说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用． 求服从一般正态分布的概率 例 设η服从)2,5.1(2N 试求： （1）);5.3(<ηP （2）);4(-<ηP （3）);2(≥ηP （4）).3(<ηP 分析：首先，应将一般正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布，利用结论：若),(~2σμηN ，则由)1,0(~N σμηξ-=知：,)(?? ? ??-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果． 解：（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=??? ??-Φ=<ηP （2）;0030.0)75.2(1)75.2(25.14)4(=Φ-=-Φ=??? ? ?--Φ=-<ηP 最新高中数学正态分布练习及解析 【2020年高考考查】 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【复习指导】 掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数μ、σ的含义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率． 基础梳理 1．正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x )＝12πσ e －(x －μ)2 2σ2， x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x )的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的解析式 ①指数的自变量是x 定义域是R ，即x ∈(－∞，＋∞)． ②解析式中含有两个常数：π和e ，这是两个无理数． ③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数． ④解析式前面有一个系数为 12πσ，后面是一个以e 为底数的指数函数的形式，幂指数为－(x －μ)2 2σ2. 六条性质 正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ(x)＝12πσ e －(x －μ)2 2σ2，x ∈R 有以下性质： (1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)曲线与x 轴围成的图形的面积为1； (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据． 双基自测 1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18πe －(x －10)2 8，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )． 2．正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a ，b (a 专题10.6 条件概率、二项分布及正态分布 【考试要求】 1.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，了解条件概率与独立性的关系； 2.会利用乘法公式计算概率，会利用全概率公式计算概率； 3.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题； 4.了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 【知识梳理】 1.条件概率 2.事件的相互独立性 (1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B － 也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ). 3.全概率公式 (1)完备事件组： 设Ω是试验E 的样本空间，事件A 1，A 2，…，A n 是样本空间的一个划分，满足： ①A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω. ②A 1，A 2，…，A n 两两互不相容，则称事件A 1，A 2，…，A n 组成样本空间Ω的一个完备事件组. (2)全概率公式 设S 为随机试验的样本空间，A 1，A 2，…，A n 是两两互斥的事件，且有P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ，∪n i ＝1 A i ＝S ，则对任一事件 B ，有P (B )＝∑n i ＝1 P (A i )P (B |A i )称满足上述条件的A 1，A 2，…，A n 为完备事件组. 4.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则 P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ). 2．4 正态分布 1．问题导航 (1)什么是正态曲线和正态分布？ (2)正态曲线有什么特点？曲线所表示的意义是什么？ (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？ 2．例题导读 请试做教材P 74练习1题． 1．正态曲线 函数φμ，σ(x )＝12πσ e －（x －μ）22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x )的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝??a b φμ，σ(x)d x ，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为________X ～N (μ，σ2)． 3．正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ(x)＝1 2πσe －（x －μ）2 2σ2，x ∈R 有以下性质： (1)曲线位于x 轴________上方，与x 轴________不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线________x ＝μ对称； (3)曲线在________x＝μ处达到峰值________1 σ2π ； (4)曲线与x轴之间的面积为________1； (5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝________0.682_________6； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝________0.954_________4； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝________0.997_________4． 1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．() (2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．() (3)正态曲线可以关于y轴对称．() 答案：(1)×(2)×(3)√ 2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝() A．0 B．σ C．－μD．μ 答案：D 考点38 正态分布与条件概率 【题组一 条件概率】 1．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A ，“第2次拿出的是白球”为事件B ，则事件A 发生的条件下事件B 发生的概率是（ ） A ． B ． C ． D ． 4751658514 2．一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件为“第一次取出A 白球”，事件为“第二次取出黑球”，则概率（ ） B ()P B A =A ． B ． C ． D ． 56351225 3．从中不放回地依次取个数，事件“第一次取到的是奇数”，事件“第二次1,2,3,4,5,6,7,8,92A =B =取到的是奇数”，则（ ） () P B A =A ． B ． C ． D ． 122531015 4．下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）高中数学正态分布知识点+练习
人教版高中数学(理科)选修正态分布(一)
高考数学百大经典例题 正态分布
高中数学必修2-3第二章2.4正态分布
高中正态分布经典练习题
高中数学 典型例题 正态分布 新课标
(原创)最新高中数学正态分布练习及解析
2020届高考数学一轮复习条件概率、二项分布及正态分布练习含解析
高中数学必修正态分布
考点38 正态分布和条件概率——2021年高考数学专题复习真题练习