函数的和、差、积、商的导数

课题:函数的和、差、积、商的导数

教学目的：

1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．

2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数

3.能够综合运用各种法则求函数的导数

教学重点：

用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则

教学难点：

函数的积、商的求导法则的推导．

授课类型：新授课

教学过程：

一、复习引入：

常见函数的导数公式：

0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a

==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=

二、讲解新课：

例1.求2y x x =+的导数.

法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±

法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x = 法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+

证明：令()()y f x g x =，则

=?y ()f x x +?()g x x +?-()()f x g x

()f x x =+?()g x x +?-()f x ()g x x +?+()f x ()g x x +?-()()f x g x ， =??x y ()()f x x f x x +?-?()g x x +?+()f x ()()g x x g x x

+?-? 因为()g x 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→?x 时，()()g x x g x +?→， 从而0lim →?x =??x y 0lim →?x ()()f x x f x x

+?-?()g x x +?+()f x 0lim →?x ()()g x x g x x +?-? '()()()'()f x g x f x g x =+，

法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即

'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠ ???

三、讲解范例：

例1 求下列函数的导数

1、y =x 2+sin x 的导数.

2、求2

(23)(32)y x x =+-的导数．(两种方法) 3、求下列函数的导数 ⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t

+= 4、y =5x 10sin x －2x cos x －9，求y ′

5、求y =x

x sin 2

的导数. 变式：(1)求y =3

32++x x 在点x =3处的导数.

(2) 求y =

x

1·cos x 的导数. 例2求y =tan x 的导数.

例3求满足下列条件的函数()f x

(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=

(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=

变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式

四、课堂练习：

1.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232x

x + (3)y =x cos 11- 五、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(v

u )′=2v v u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住 六、课后作业：

与差积商与复合函数导数

〖考纲要求〗复合函数地求导法则地运用. 〖复习建议〗和差积商地导数,复合函数地求导法则地推导与运用. 〖双基回顾〗 1.常见函数地导数公式： 0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a ==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -= 2.和差积商地导数 法则1 两个函数地和(或差)地导数,等于这两个函数地导数地和(或差),即 '')'(v u v u ±=± 2常数与函数地积地导数,等于常数与函数地积地导数．()''Cu Cu = 法则3两个函数地积地导数,等于第一个函数地导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数地导数,即 '')'(uv v u uv += 法则4 两个函数地商地导数,等于分子地导数与分母地积,减去分母地导数与分子地积,再除以分母地平方,即 '2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数地求导法则 复合函数对自变量地导数,等于已知函数对中间变量地导数,乘以中间变量对自变量地导数 ,即'''x x y y μμ=?或'(())'()'()x f x f x ?μ?=特别地,ax b μ=+时,''x y y a μ=? 〖课前预习〗 1.求下列函数导数. （1）5-=x y （2）、x y 4= （3）、x x x y = （4）、x y 3l o g = （5）、y=sin(2π+x) （6）、y=cos(2π－x) 2.曲线212y x =在点1(1,)2 处切线地倾斜角为 3.曲线3y x =在点(1,1)处地切线与x 轴、直线2x =所围成地三角形面积为__________． 4.求过曲线y=cosx 上点P( ) 地切线地直线方程. 5.若直线y=4x+b 是函数y=x 2图象地切线,求b 以及切点坐标. 6.若直线y=3x+1是曲线y=ax 3地切线,试求a 地值. 7.直线12y x b =+能作为下列函数()y f x =图象地切线吗？,若能,求出切点坐标,若不能,简述理由. （1）1()f x x = （2）1()f x x =- （3）()sin f x x = （4）()x f x e = 8.求下列函数地导数 （1）y =x 3+sin x 地导数. （ 2）求2(23)(32)y x x =+-地导数．(两种方法)

函数的和、差、积、商的导数(2)

课 题： 3．3函数的和、差、积、商的导数(2) 教学目的： 1.理解商的导数法则，并能进行运用. 2.能够综合运用各种法则求函数的导数 教学重点：商的导数法则. 教学难点：两个函数的商的求导法则的推导． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=- 3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个 新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导

5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件. 6. 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率x x y ?=?? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim 7. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x sin )'(cos -=8.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()u x v x u x v x u x v x '= +, [()]'(Cu x Cu x '= 二、讲解新课： 法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 '2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 证明：令) ()()(x v x u x f y ==， -?+?+=?])()([x x v x x u y ) ()(x v x u )()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u ?+?+-?+= ) ()()]()()[()()]()([x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ?+-?+--?+=， ∴ ) ()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ?+?-?+-?-?+=??

高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数

求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常

见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

和、差、积、商的导数

直接利用导数的运算法则求导 求下列函数的导数: 联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变 形，步步为营，使解决问题水到渠成. 解：1 . yy(x 4 -3X 2 -5X +6)， = (x 4) '—3(x 2)' —5x' + (6)，=4x 3 —6x —5. 广 x ?n X 、 (xsin x)' cosx — xsin x (cosx)‘ ,cosx 厂 cos 2 ^ 2 2cos x / =[(x +1)(x + 2)]'(x+3) +(x+1)(x + 2)(x+3)' = [(x + 1)'(x +2)+(x + 1)(x +2)](x + 3) +(x + 1)(x + 2) =(x +2+x + 1)(x +3)+(x + 1)(x +2) = (2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) = 3x 2 +12x+11. 2 cos x 3.解法 解法二：y X 3 +6x 2 +11x +6 , 1. y =X 4 -3x 1 2 -5x+6 ； .y = X ta n x 3. y =(x+1)(x+2)(x+3); X —1 y = x +1 分析：仔细观察和分析各函数的结构规律, 紧扣求导运算法则, 2. y ，= (x tan x)'= _ (sin X +cosx) cosx +xsin 2 x _ sin x -cosx + xcos 2 x "(xsin 2 x) 2 COS x 2 cos x

y' = 3x2+12x+11.

解法二：心一三 4.解法一：厂= (X -1、 (x-1)'(x+1) -(x-1)(x + 1)' l x +1 丿 2 (X+1) _(x+1)—(X-1) 2 (X +1)2 -(X +1)2 卜引=（亠一⑵EVE I x +1 丿 X +1 2 (x+1) 2? (x+1) 说明：理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运 算的前提条件，运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则, 特别是商的求导法同.求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因 素.从本题可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函 数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的 积极性，在解决新问题时举一反三，触类旁通，得心应手. 化简函数解析式在求解 求下列函数的导数. 1. 、审+4^ 皿； 2. y=sin 4 2+cos 4 Z ; 4 4 3. 1+v x 丄 1 -T X / ? X “ c 2 X\ y= ----- + ------ ; 4. y =—sin-(1-2cos —)? 1 -T x 1 +V x 分析：对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题 求解过程繁琐冗长，且易出错.可先对函数解析式进行合理的恒等变

函数与导数练习题(有答案)

函数与导数练习题（高二理科） 1．下列各组函数是同一函数的是 （ ） ①()f x = ()g x =()f x x = 与()g x =； ③0()f x x =与01 ()g x x = ；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--. A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 2．函数2 4 ++= x x y 的定义域为 . 3．若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = . 4．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 5．下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A ．12 log (1)y x =+ B ．2 log y =C ．2 1log y x = D ．2 log (45)y x x =-+ 6．)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时，,1 )(x x f =则当2-

复合函数求导练习题重点讲义资料

复合函数求导练习题 一．选择题（共26小题） 1．设，则f′（2）=（） A．B．C．D． 2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（） A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D． 3．下列式子不正确的是（） A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2 C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′= 4．设f（x）=sin2x，则=（） A．B．C．1 D．﹣1 5．函数y=cos（2x+1）的导数是（） A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1） C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1） 6．下列导数运算正确的是（） A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 7．下列式子不正确的是（） A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x C．D． 8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（） A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3 9．函数的导数是（） A． B． C．D． 10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（） A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x 11．y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（） A．0 B．1 C．﹣1 D．2

12．下列求导运算正确的是（） A． B． C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x 13．若，则函数f（x）可以是（） A．B．C．D．lnx 14．设 ，则f2013（x）=（） A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x） C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x） 15．设f（x）=cos22x，则=（） A．2 B．C．﹣1 D．﹣2 16．函数的导数为（） A．B． C．D． 17．函数y=cos（1+x2）的导数是（） A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2） 18．函数y=sin（﹣x）的导数为（） A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+） 19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（） A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（） A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x） C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x） 21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（） A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x 22．函数的导函数是（） A．f'（x）=2e2x B． C．D．

苏教版数学高二-苏教数学选修2-2 函数的和、差、积、商的导数

1．2.2 函数的和、差、积、商的导数 一、基础过关 1．下列结论不正确的是________．(填序号) ①若y ＝3，则y ′＝0； ②若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3； ③若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1； ④若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x . 2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________. 3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 4．设曲线y ＝x ＋1x －1 在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 5．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________. 6．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________． 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝(x －2)2； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2 . 二、能力提升 8．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝ f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 9．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________． 10．若函数f (x )＝13 x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 11．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的表达式． 12．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式； (2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 三、探究与拓展 13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方 程．

(完整版)函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x

函数的和差积商的导数教案

函数的和差积商的导数教案 教学目的 1．使学生学会根据函数的导数的定义推导出函数导数的四则运算法则； 2．使学生掌握函数导数的四则运算法则，并能熟练地运用这些法则去求由基本初等函数的和、差、积、商构成的较复杂的函数的导数． 教学重点和难点 本节课的重点是求函数的和、差、积、商的导数的运算法则．难点是求函数的积和商的导数的运算公式及其推导方法． 教学过程 一、复习提问 1．求导数的三个步骤是什么？ (先让全体学生回忆，再请一名学生单独回答．若答错或不完善则请另外学生纠正或补充．) (1)求函数的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)； 2．试用导数的定义求函数y＝x＋x2的导数． (要求全体学生在课堂练习本上做，同时找一至两名学生板演．) 解：设y=f(x)＝x＋x2， 则Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2) ＝Δx(1＋2x＋Δx)， 二、引入新课 让学生观察复习提问2的结果： y′=1＋2x． 从这个结果可以得到以下两点启示： 1．函数y＝x＋x2是两个函数(y＝x和y＝x2)的和，它的导数可以用导数的定义直接求得； 2．函数y＝x＋x2的导数y′=1＋2x，恰好是函数y＝x和y＝x2导数的和．那么，任意两个函数的和的导数是否都是这两个函数导数的和呢？ 结论是肯定的． 三、讲解新课 1．和(差)的导数． 法则1 两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．即 其中u和v都是x的可导函数． 证明：(可让学生自己完成．) 设y=f(x)＝u(x)＋v(x)， 则Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)] =[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)] =Δu±Δv， 即y'=(u±v)'=u'±v'．

高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 2. 已知).(323 2)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当41||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ） ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈ 有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2g x f x '= ． （1）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明： 3()2 f x ≥． 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 题型三：利用导数研究方程的根 例4：已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实 数a 的取值范围.

函数导数习题(含答案)

函数、导数部分 1、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){} 2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为 1或0 2、将函数()x x f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图 象2C ，作出2C 关于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为 ()11log 2--=x y 3、函数x x x y sin cos -=在下面的哪个区间上是增函数（ B ） A. ?? ? ??23,2ππ B. ()ππ2, C. ??? ??25,23ππ D. ()ππ3,2 4、设()x x x f s i n =，1x 、?? ? ???-∈2,22ππx ，且()1x f ＞()2x f ，则下列结论必成立的是（D ） A. 1x ＞2x B. 1x +2x ＞0 C. 1x ＜2x D. 2 1x ＞2 2x 5、方程2log 2=+x x 和2log 3=+x x 的根分别是α、β，则有（ A ） 6、方程0122 =++x ax 至少有一个负的实根的充要条件是 a ≤ 1 7、在同一坐标系中，函数1+=ax y 与1 -=x a y （a >0且a ≠1）的图象可能是 C 8、函数()()()b x b x a ax x f +-+-+=34812 3 的图象关于原点中心对称，则()x f （B ） A. 在[]34,34-上为增函数 C. 在[)+∞,34上为增函数，在(] 34,-∞-上为减函数 B. 在[]34,34-上为减函数 D. 在(]34,-∞-上为增函数，在[)+∞,34上为减函数 9、设(){}12,2 ++==bx x y y x M ，()(){}b x a y y x P +==2,，(){}φ==P M b a S ,， 则S 的面积是π

高三数学习题和、差、积、商的导数

直接利用导数的运算法则求导 例 求下列函数的导数： 1．65324+--=x x x y ； 2．x x y tan ?= 3．)3)(2)(1(+++=x x x y ； 4．.1 1+-=x x y 分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成． 解：1．)653(2 4'+--='x x x y .564)6(5)(3)(324--='+'-'-'=x x x x x 2．x x x x x x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )sin (cos sin )tan ('?-?'='?? ? ???='?=' x x x x x x x x x x x x x 22222cos )sin (cos cos sin cos sin cos )cos (sin ?+?=+?+= .cos 222sin cos sin cos 2sin 212222x x x x x x x x x +=++= 3．解法一：)3)(2)(1()3(])2)(1[('+++++'++='x x x x x x y )2)(1()3]()2)(1()2()1[(++++'++++'+=x x x x x x x )2)(1()3)(12(+++++++=x x x x x )2)(1()3)(32(+++++=x x x x .111232++=x x 解法二：61162 3+++=x x x y ， ∴ .111232++='x x y 4．解法一：2)1()1)(1()1()1(11+'+--+'-='?? ? ??+-='x x x x x x x y .) 1(2)1()1()1(22+=+--+=x x x x

函数求导习题

函数求导习题 一 函数全导 t z dt dv v z dt du u z dt dz dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz t w w t v v t u u w v u f z dt dv v z dt du u z dt dz t v v t u u v u f z ??+??+ ??= =??+ ??+ ??= ====??+??====，公式简化为 特别t w ) (),(),(),,,()(),(),,( t t e te t t u ve t z dt dv v z dt du u z dt dz dt dz t v e u t uv z t t t t cos sin cos cos )sin (,cos ,,sin 1 +-=+-+=??+ ??+??===+=解：求全导例

t Lnt t t t xy xy xy xy xy t e tLnt t t tLnt t t Lnt tLnt t t yz y e t yz z e yz ye t yz ye dt dz z u dt dy y u dt dx x u dt du dt du t z t Ln y t x yz e u 1 1 2 12 12 ) sin cos )(cos(cos )1)( sin(cos ) sin )(cos(1)) cos()sin(()1)(sin(,cos ),(,1),sin(2=-+-=-+++- =??+ ??+??==== =此处注意解：求全导 例 下面给出一个抽象函数的例子 ] ) () ()()()(2[]) () ()()()() ()([ 2)()()(1)(1)()(,,,,)(),(),,(32 ` ``2 2 ` `` 1` 2 `` ` 2 ` 2` 12 2 t t t t t t f t t t t t t t t f dt du t t y x t y t q dt dy y q dt dx x q dt dq x y t x t t x y t t p dt dy y p dt dx x p dt dp f q u f p u dt dq q u dt dp p u dt du y x t q x y t p dt du f t y t x y x t x y t f u ψψ?ψ??ψ?ψ??ψψ?ψ?ψ?ψ?-+ +-+=+-+=??+ ??+ ??= + +-=??+??+??==??=????+ ??=+====+=代入解：令均可微求全导 其中设例

和差积商的导数

直接利用导数的运算法则求导 例求下列函数的导数: 分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公 式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成. 解: 1. y (x 4 3x 2 5x 6) (x 4) 3(x 2) 5x (6) 4x 3 6x 5. (xsin x) cosx xsin x (cosx) 2 cos x (sin x cosx) cosx xsin 2 x 2 cos x ■ 2 / . 2 \ sin x cosx x cos x (xsin x) (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) (x 1)2 (x 1) (x 1) 2 2 2 (x 1) (x 1) 2 cos x 4 C 2 L c 1. y x 3x 5x 6 ； 2. y x tanx 3. y (x 1)(x 2)(x 3)； x 1 4 . y 厂1 [(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)](x 3) (x 1)( x 2) (x 2 x 1)(x 3) (x 1)(x 2) (2x 3)(x 3) (x 1)( x 2) 3x 2 12x 11. 解法二: y x 3 6x 2 ! 11x 6, 3.解法 [(x 1)(x 2)](x 3) (x 1)(x 2)(x 3) y 3x 2 12x 11. 2. y (x tanx) x sin x cosx 1 sin2x 2 ?2 xcos x xsin x sin2x 2x 2 cos x 2 cos 2 x 4.解法 y

(完整版)导数求导练习题

1．若f （x ）=sin α－cos x ，则f ′（α）等于 A ．sin α B ．cos α C ．sin α+cos α D ．2sin α 2．f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′（－1）=4，则a 的值等于 A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 3．函数y =x sin x 的导数为 A ．y ′=2x sin x +x cos x B ．y ′= x x 2sin +x cos x C ．y ′=x x sin +x cos x D ．y ′= x x sin －x cos x 4．函数y =x 2cos x 的导数为 A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin x D ．y ′=x cos x －x 2sin x 5.若y =(2x 2-3)(x 2-4),则y ’= . 6. 若y =3cosx -4sinx ,则y ’= . 7．与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是______． 8．质点运动方程是s =t 2（1+sin t ），则当t =2 时，瞬时速度为___________． 9.求曲线y=x3+x2-1在点P （-1，-1）处的切线方程.

1．函数y =2 2x a x +（a >0）的导数为0，那么x 等于 A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2 2．函数y =x x sin 的导数为 A ．y ′=2 sin cos x x x x + B ．y ′= 2 sin cos x x x x - C ．y ′=2 cos sin x x x x - D ．y ′=2cos sin x x x x + 3.若2 1,2x y x +=-则y ’= . 4.若423 335 ,x x y x -+-=则y ’= . 5.若1cos ,1cos x y x += -则y ’= . 6．已知f （x ）= 3 54 33 7x x x x ++，则f ′（x ）=___________． 7．已知f （x ）=x x ++-1111，则f ′（x ）=___________． 8．已知f （x ）=x x 2cos 12sin +，则f ′（x ）=___________． 9．求过点（2，0）且与曲线y =x 1 相切的直线的方程． 10.质点的运动方程是23 ,s t t =+求质点在时刻t=4时的速度.

苏教版高中数学选修2-2《1.2.2 函数的和、差、积、商的导数》教案

教学目标： 1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数； 3．能够综合运用各种法则求函数的导数． 教学重点： 函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． （1）常见函数的导数公式：（默写） （2）求下列函数的导数：23y x ＝； 2x y ＝； 2log y x ＝． （3）由定义求导数的基本步骤（三步法）． 2．探究活动． 例1 求2y x x ＝＋的导数． 思考 已知()()f x g x ''，，怎样求[]()()f x g x '＋呢？ 二、建构数学 函数的和差积商的导数求导法则： 三、数学运用 例2 求下列函数的导数： （1）2()sin f x x x ＝＋； （2）323()622g x x x x ＝－－＋． 例3 求下列函数的导数： （1）()sin h x x x ＝； （2）()2ln f x x x ＝； [()()]()()()() f x g x f x g x f x g x '''＝＋2()()()()()[]()() f x f x g x f x g x g x g x '''－＝()0g x ≠

练习 课本P22练习1～5题． 点评 正确运用函数的四则运算的求导法则． 四、拓展探究 问题1 求下列函数的导数： （1）11x y x －＝＋； （2）44sin cos 44 x x y ＝＋； （3） y （4）sin ln y x x x ??＝． 点评 求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数后应对结果进行整理化简． 问题2 设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋＋＋(4)x ＋，求(0)f '． 问题3 已知π()()sin cos 2f x f x x '＝＋，则π()4 f ＝ ． 五、回顾小结 函数的和差积商的导数求导法则． 六、课外作业 1．见课本P26习题1．2第1，2，5～7题． 2．补充：已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．

高考数学函数与导数专项练习题

函数与导数 一、填空题 （2017·11）若2x =-是函数2 1` ()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 （2016·12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1 ()m i i i x y =+=∑ （ ） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m （2015·5）设函数211log (2)(1) ()2 (1)x x x f x x -+-0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-U B ．(1,0)(1,)-+∞U C ．(,1)(1,0)-∞--U D ．(0,1)(1,)+∞U （2014·8）设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，则a =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2014·12）设函数()3x f x m π=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围 是（ ） A ．(,6)(6,+)-∞-∞U B ．(,4)(4,+)-∞-∞U C ．(,2)(2,+)-∞-∞U D ．(,1)(4,+)-∞-∞U （2013·8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ） A .c b a >> B .b c a >> C .a c b >> D .a b c >> （2013·10）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） A .00,()0x f x ?∈=R B .函数()y f x =的图像是中心对称图形

35708_《导数的概念与和、差、积、商的导数》学案1

题目导数的概念与和、差、积、商的导数 高考要求 1了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)； 2掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义； 3理解导函数的概念熟记基本导数公式； 4掌握两个函数和、差、积、商的求导法则 5了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数 6理解可导函数的单调性与其导数的关系； 7了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)； 8会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值 知识点归纳 1导数的定义：设函数 )(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 / x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 2导数的几何意义：是曲线 )(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果 )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=- 3导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ,称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4可导:如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间 ),(b a 内可导 5可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件 6求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x x f x x f x y ?-?+=??) ()( （3）取极限，得导数/ y ＝()f x '=x y x ??→?0lim