中学数学课型分类及标准
一、数学序言课
1、序言课的特点
序言课（或称引言课）是学生开始新章节学习的常见课型，内容包罗万象，具有承上启下的作用，既有章节内容介绍又有学法的必要指导，一节成功的序言课在学生整个学习过程中所起的作用是不可低估的。
序言课一般包括新知识的概括介绍、知识背景（数学史料、科学前沿等）、学习本章节新知的必要性及学习方法等方面内容，随着学生年龄的增加，学习自觉性的养成，序言课的内容会逐步调整，由集中变得分散，由具体详尽地讲述，变为简单精练地提示，内容的处理为学生留有更广阔的研究空间，更容易激起学生的学习欲望．因此，序言课的重要地位不可忽视．
然而，正是由于序言课的内容相对零散，对序言课所提及的内容，既不能深入，因为后续课中将进行全面研究，又不能过于简略，一笔带过，因为这样可能满足不了学生的好奇心，以致让学生失去学习兴趣．因此让教师感到很难处理．加之教学评价的不同，有的教师更愿意用序言课的时间，让学生集中精力钻研一些“有用”的数学问题，以为这样可以使教学更紧凑：使数学课更为“严谨”，可是，数学课不只是解题教学课，我们的教学目标也绝不只是简单地传授给学生书本上的知识，而是向学生介绍一种科学的学习、研究的方法；渗透一种不断求知，积极探索，勇于创新的科学意识；培养学生不怕挫折，自主学习的学习习惯．这就有必要让我们把现有的数学经验的发生、发展过程，强大广泛的应用前景介绍给学生，为学生提供科学的研究方法，揭示科学研究的方向。
前面提到，由于学生年龄的增加，序言课的内容更加简练，但是这并不意味着，序言课可以由上课前的几句“导入语”来替代，它要求教师更加深入地挖掘序言课的功能，研究怎样才能实现序言课的最佳作用，因此有必要研究序言课的教学模式，避免轻视甚至放弃序言课教学的情况发生．
根据数学学科的特点，中学数学的知识主要有代数、几何两大知识块，比较便于集中开展序言课教学，又由于数学的强大工具作用，各章节的内容具体，作用明显，加之中学研究性学习的开展，使得序言课教学的内容可以就着教学内容、学生实际而有序扩展，增强序言课对数学教学的各环节的指导作用，改变序言课的教学模式，使序言课所反映的数学思想、数学方法、研究意识贯穿于教师与学生的教学、研究的全过程。
2、序言课常见的教学流程
课题引入、明确目标——阅读回忆、明确对象——展示内容、释疑激趣——实际操作、介绍学法——适时小结、巩固新知；
二、数学概念课
1、数学概念课的特点
数学概念的学习，其关键是获得新旧概念之间的联系，从认知的发展机制看，适应和组织，是学生原有的数学认知结构，与数学新知识的相互作用过程中，不可分割的一个机制的两个相辅相成的过程．按照皮亚杰的观点，认知发展是受同化、顺应和平衡三个基本过程影响的，新知识被旧知识同化，旧知识顺应新知识，在同化与顺应之间得到某种均势而实现平衡，从皮亚杰的理论看，在学生的思维
过程中，同化和顺应是同时起作用的，当新知识被原有的认知结构同化后，由顺应所导致认知结构的分化或改组而建构起来的新的认知结构一般是不稳定的，需要保持下来，需要通过正迁移于数学新问题的解决来巩固，这一阶段正是稳定的旧认知结构与不稳定的新认知结构的碰撞期，碰撞的结果应是达到新的平衡，而达到新的平衡的重要途径除了比较式的学习，即通过比较新认知结构中区别于旧认知结构的相异点在解决新问题中的独有作用，来加强学生对新认知结构的理解外，还应该有扩进式的学习，即教师要为学生提供渗透了相关的更新的数学概念的数学问题，或解决一些旧概念遗留的问题，这样做，不但可以促进新平衡的真正实现，而且有利于在学习相关的更新的数学概念时实现新的同化、顺应和平衡，这一理论从认知发展的心理机制方面，以数学概念为载体，可以很好地建立学生的认知结构
对概念学习的另一重要问题是迁移，迁移是指一种学习对另一种学习的影响或学得的经验对完成其它活动的影响，数学概念学习的过程是一个不断的迁移过程，学生在学习新概念时必然受原有认知结构的影响，这种影响可能起积极的促进作用（正迁移)，也可能起消极的干扰或抑制作用（负迁移），这种现象就是学习迁移规律，对学生的学习来说，就是要实现新旧知识之间相互起促进作用的正迁移。
在数学概念的学习中，对数学概念的理解往往需要由表及里、由浅入深，学习的概念可纵向成链，也可横向联系、相互渗透，是一个有层次的认知序列，这是学习的累积递进规律．按此规律学习，能把握住由量变到质变的过程，当质变跃进到新的层次后，再次累积递进，循环往复，不断提高．布鲁纳强调，教学生学习知识，绝不是让学生被动地接受教师灌输的知识，而应是教师启发学生主动探索，发现并获取知识．这种发现学习的方法若能用好，有利于学生掌握数学概念的本质问题，并能促进学生的智力发展．
从为什么教、教什么、怎样教、师生关系四个方面来说，数学概念课教学模式的建构所遵循的教学原则主要是：
（1）、智力培养与心力培育相协调的原则；
（2）、知识传授与能力培养相协调的原则；
（3）、思维训练与操作训练相协调的原则；
（4）、收敛思维发展与发散思维发展相协调的原则；
（5）、深入与浅出相协调的原则；
（6）、教师主导作用与学生主体作用相协调的原则
所以，依照科学的理论，学习他人的优秀成果，结合自己的教学实际，在数学概念课教学中，可建构出很多具有不同特点的教学模式．但不论选择哪一结构，并可以进行创造性的应用。
2、数学概念课常见的教学流程
设问激疑、以旧探新——观察感知、启发引导——讨论辨析、形成概念——示例练习、初步运用——变式引申、揭示内涵——反思小结、培养能力；
诊断补偿、查缺补漏——明确目标、引入课题——营造氛围、自学研讨——交流释疑、及时评价——联系运用、把握本质——归纳小结、形成能力；
三、数学原理课
1、数学原理课的特点
原理通常指某一领域或学科中具有普遍意义的基本规律．中学数学知识除数学概念外，还有数学原理，数学原理包括数学公理、定理、法则、定律、公式等
内容，它们既具有一定的形式符号化的抽象性和概括性等特征，又是促进学生认知水平发展的重要学习载体。
数学原理的学习一般应从五个方面进行：，一要用准确的数学语言表述其内容，二要认清由诸元素之间的内在关系决定的结构，三要正确地掌握其理性证明及相应的方法（公理或以公理形式提出的内容除外)，四要明确其使用的条件、适用的范围、应用的规律，五要考虑对一些重要的数学原理能否作适当的引申与推广。数学原理的证明处于数学原理学习过程中的核心地位，其心理机制是在相关信息的刺激下，依次激活记忆网络中相应的知识，并对被激活的知识进行选择、组织、再识，使它们协调起来，直到将原理的条件和结论之间的路径接通且建立起严密的推理关系。数学原理的学习需要学生具备多种能力，如：对新旧知识联系的洞察、理解能力，对旧知识的检索、调用能力，证明过程中的推理、演算、想像能力，认知过程中的自我意识、自我监控能力，对新知识的储存、记忆、应用能力等．
教材中的数学原理具有内容上的简约性，这虽然可以为教学提供时间上的快捷，但是容易使学生的学习偏向于记忆而忽视理解，偏向于接受而忽视创造（实际上是再发现)。要避免这种现象的发生，教师就应依照数学原理的教学规律进行创设性的工作。应将数学原理的发生、形成、发展过程以适当的方式展示给学生，让学生通过自主发现、合作学习等多种方式完成这一过程并达到相应的目标．有些数学原理可纵向成链，如性质链、公式链等，又可横向联系、相互渗透，是一个有层次的认知序列，这样，在教学中就务必使学生打好基础，认清其内部联系，环环相扣，循序渐进，领悟数学思想方法所起的重要作用，并逐步掌握数学思想方法，当学生对数学原理有了本质性的理解后，要为学生提供具有迁移价值的问题让其解答以促进正迁移的形成。要让学生学会编织起数学原理的知识网络，使头脑里的知识结构精良化和有序化，需用之时随时可用。
建构数学原理的教学模式可以使教师将教学诸要素有机地组合成一种结构，其内在的合理匹配能使诸要素在教学中更好地发挥作用，形成整体效应，可以改变存在的对教学诸要素重此轻彼的教学现象，数学原理学习的关键是获得概念之间的关系，各种关系的获得又依赖于新原理与原有认知结构中有关知识的关系，奥苏贝尔提出的上位关系、下位关系、并列关系揭示出其本质特征。布鲁纳认为，学生在掌握学科的基本结构的同时，还要掌握学习该学科的基本方法，其中发现的方法和发现的态度是最为重要的，他主张学生用自己的头脑亲自获得知识，这种发现学习的观点有利于学生掌握数学原理的结构，皮亚杰认为，认知发展是受同化、顺应和平衡三个基本过程影响的，新知识被旧知识同化，旧知识顺应新知识，在同化与顺应之间得到某种均势而实现平衡．即学习就是一种主动的建构过程，可以有效促进新认知结构的形成。
2、数学原理课常见教学流程
创设情境、依旧托新——引导探索、发现结论——科学论证、形成原理——示例练习、促进保持——变式训练、点拨方法——挖掘内涵、体验欣赏；
设问激趣、引出课题——分组讨论、指导探究——交流结果、互辩互启——反馈评价、统一认识——深入讨论、获取结论——练习巩固、反思矫正；
四、数学习题课
1、数学习题课的特点
“问题是数学的心脏”，教会学生解题是中学数学教学的首要任务，同时，由
于数学知识严密的逻辑性与高度的概括性，在例、习题中，还隐藏很多没写明的东西。即使最简单的例、习题里，也存在着可发掘的因素，而这些往往并不是学生们所能领会的。因此，就需要设计一些习题课，通过教师引导学生观察、思考，挖掘例、习题的潜在因素，以利于学生对知识的更好理解与应用。
习题课是以巩固知识、训练技能技巧、发展思维为主要任务的课，因此，习题课的设计要按照整体、有序和适度原则，做到有目的、有实效、有层次，逐步提高，防止简单的机械重复和单一模式化。一般说来，习题课往往分为三个层次，即基本习题：回忆、巩固所学知识；深化习题：加探理解，提高应用水平；综合习题：加强知识之间的联系，培养综合运用知识的能力，由于课时时间限制，可根据教学目标，选取一至三个层次作为一节习题课的主要内容，
需要注意的是，习题课中不仅要求学生得到正确的结果或结论，更要重视计算、推理、论证的过程，注重思维训练，让学生有所“悟”，对于“悟”，分三个方面：其一是要明确每一道习题考查课本上的哪些基础知识；其二是让学生做完一道习题后，反思一下，到底解题关键、困难在哪里，通过做一道题可总结哪些经验，汇滴水而得江河，逐步提高解题能力；其三是引导学生观察、比较，揭示隐藏在具体的习题中的一般特征，推广为某一类对象的普遍性质，使学生从不同的角度运用不同的知识和方法处理问题，把握数学问题的本质，揭示解题规律，提高分析、探索能力和创造能力。另外，需注意，要重点辅导中差生，树立正确的学习观，面向全体，使各类学生都能自主学习
2、数学习题课常见教学流程
教师呈现习题——学生观察讨论——教师问题引导——学生讨论发现解题规律——学生解决题目并反思——教师总结解题规律；
教师提出问题——形成解题思路——分析解题困境——探求优化方法——教师启发引导——找到解决方案；
五、数学复习课
1、数学复习课常见教学流程
复习课是中学数学教学的一种非常重要的课型，仅就内容上的划分就可以有章节复习、单元复习及专题复习等多种类型。由于复习课的特殊性，一般情况下学生对所复习的内容都接触过，比较熟悉，加之考试等方面的需要，教师在处理上，往往会使复习课的形式过于单一，导致复习的效果不够理想，因此，我们有必要研究复习课的教学模式，期望能够很好地完成教学目标，收到良好的效果。
高中数学知识是比较系统的，相对独立，叉有密切联系．因此对于章节复习，教师往往主动点明复习目标，给学生列出简明的知识要点，让学生方向明确地进行复习，并且教师根据自己的经验会及时地给学生总结一些数学思想方法，学生比较满足，教师也认为自己起到了主导作用，乐此不疲。但是这样一种模式，既不能强化学生能力的形成和提高，也不利于学生创新意识的培养，实际情况是学得快，遗忘得也快，一个很重要的原因就是学生没有真正动起来。对复习课教学，我们应当考虑如何让学生动起来，为他们创造比较多的交流机会。
在对所学知识巩固的基础上，发展学生能力是复习课的主要目的，经常需要练习一些典型例题，而选题这一过程，学生往往过分依赖教师。教师选题，学生来解，解出来自信心十足，解不出来，认真听老师讲，似乎便可以掌握，这样的教学，形式上单一，很大程度上受老师能力的限制，达不到培养学生创新精神和实践能力的目的，况且由于学生的个性差异，题目的选择是否恰好满足学生需要，不能得到保证。如何加强例、习题的针对性，达到最大限度地发展学生能力的目
第8课时分类讨论题 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 类型之一直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要. 1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80° 2.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处， (1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.
类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __． 5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5 B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ． 6.（?威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均 为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）． （1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？
§2 分类讨论思想 方法解读 1．分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个 简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原问题的思维策略，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度． 2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重 复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论． 3．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有： ①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口 方向；④反比例函数y ＝k x (x ≠0)的反比例系数k ，正比例函数y ＝kx 的比例系数k ，一次函数y ＝kx ＋b 的斜率k 与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数y ＝x a 的幂指数a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指数函数y ＝a x 及其反函数y ＝log a x 中底数a ＞1及a ＜1对函数单调性的影响；⑦等比数列前n 项和公式中q ＝1与q ≠1的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k 是否存在．
4．分类讨论的一般流程： 明确讨论的对象确定讨论的全体 选择分类的标准 逐类进行讨论获得初步结果 归纳整合写出结论 分类突破 一、根据概念分类 例1若函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． a＞1 解析设函数y＝a x(a＞0且a≠1)和函数y＝x＋a.则函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝a x(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a＞1. 归纳拓展有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题．
中考数学专题复习——分类讨论问题 一、教学目标 使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。 二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。 三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。 四、板书设计 1：分式方程无解的分类讨论问题； 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题； 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题； 4：分类问题在动点问题中的应用； 4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论； 4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题 的分类。 1：分式方程无解的分类讨论问题 例题1：（2011武汉） 解：去分母，得： 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 例题2：（2011郴州） 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题3：（2010上海）已知方程有实数根，求m的取值范围。 （1）当时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x= （2）当时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：，且综（1）（2）得， 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略的条件）
总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。 例题4：（2011益阳）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的 根都是整数。 解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即，， 同理，且，又因为m为整数 （1）当m=—1时，第一个方程的根为不是整数，所以m=—1舍去。 （2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1. 练习：已知关于ｘ的一元二次方程有实数根，则ｍ的取值范围是： 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题 例题:5：（2011青海）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） Ａ 12 Ｂ 12或15 Ｃ 15 Ｄ不能确定 例题6：（2011武汉）三角形一边长AB为13cm，另一边AC为 15cm，BC上的高为12cm,求此三角形的面积。（54或84）例题8：（2011四校联考）一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C，且有BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请 问这条绳子的长度为：60cm或120cm A B C 4：动点问题的分类分类讨论问题 4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论； 例题9：（2011永州）正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D两点间的距离。
初中数学中的分类讨论解题法 数学思想是人们在长期的实践经验和社会生活中得出的有关现实世界的数量关系、空间结构等科学意识的反应，是人类思维活动的结晶。数学思想在漫长的历史演变中逐渐发展，帮助人类掌握学习知识的技巧，提供最优质的解决方案，常见的数学思想包括数形结合、分类讨论、换元思想、函数与方程、等效思想等等。本文就以分类讨论思想为例，探讨其在初中数学中的具体运用。 一、分类讨论思想的意义 分类讨论思想其最主要本质就是“化整为零，积零为整”的解题策略。当我们在解决数学问题时，当所面对的问题不能进行整体统一的研究时，根据数学的本质属性需进行分类讨论和研究，这种逻辑思维解决方法就是“分类讨论思想”。 而分类讨论思想在中学数学中，历年是考试的侧重点，主要是考查学生对于知识面的分析能力和解题思路技巧，分类讨论思想不仅有利于提高学生在学习数学中的广泛兴趣，还有利于培养思维能力的条理性和缜密性。学生可以通过分类讨论思想掌握数学当中分类方法、一题多解和对知识结构认知的能力。在教学中，教师可以利用小组合作充分发挥分类讨论的作用，为学生营造一种合作交流积极应变的氛围。因此，分类讨论思想可以有效地培养学生的思维灵活性和解题思路的能力，在初中数学解题应用中具有非常重要的作用和意义。 二、分类讨论思想具体解题步骤探讨 在学生能够基本掌握分类讨论思想的情况下，教师要引导学生运用正确的解题思路，大体可以从以下几个方面去引导，一是要认真仔细阅读题目，明白题目要考查的知识点；二是要明确分类讨论的对象，列举所有可能的结果，不可以遗漏，不可以重复；三是要讨论出所有列举问题的结论；四是要认真总结归纳，对于做过的题目要能够总结出规律和解题思路。对于数学问题的研究要有效针对各种属性的对象，研究的结果也自然会因为研究对象的不同而产生差异，因此对于不同的研究对象就需要采用不同的研究思想，又或者说在研究过程中出现了不同的状况，就需要采用不同的分类研究的思想。 三、分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用实例分析
高中数学分类讨论归纳总结（二）：集合中的分类讨论 一、参数取值引起的分类讨论 1．已知函数y ＝2x ，x ∈[2,4]的值域为集合A ，y ＝log 2[－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)]的定义域为 集合B ，其中m ≠1.设全集为R ，若A ??R B ，求实数m 的取值范围． 解析： 由－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)＞0，得(x －m －1)(x －2)＜0， 若m ＞1，则B ＝{x |2＜x ＜m ＋1}，所以?R B ＝{x |x ≤2或x ≥m ＋1}． 因为A ??R B ，所以m ＋1≤4，所以1＜m ≤3. 若m ＜1，则B ＝{x |m ＋1＜x ＜2}，所以?R B ＝{x |x ≤m ＋1或x ≥2}， 此时A ??R B 成立． 2．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a ＝__________. 解析：∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1或a ＝－32 . 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，与元素互异性矛盾，应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3. ∴a ＝－32满足条件．答案：－32 二、空集引起的分类讨论 1、已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1＜x ＜2m －1}．若B ?A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ≤4 D ．m ≤4 思维启迪：若B ?A ，则B ＝?或B ≠?，要分两种情况讨论． 解析：当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠?时，若B ?A ，如图． 则????? m ＋1≥－2，2m －1≤7， m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4. 综上，m 的取值范围为m ≤4，故选D . 2、．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a ＜0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解析：∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}． ①当3a ＋1＞2，即a ＞13 时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ?B .
中考数学专题复习——分类讨论问题 一、教学目标 使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。 二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。 三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。 四、板书设计 1：分式方程无解的分类讨论问题； 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题； 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题； 4：分类问题在动点问题中的应用； 4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论； 4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。 1：分式方程无解的分类讨论问题 例题1：（2011武汉）=+=-+-a 3 49332无解，求x x ax x 解：去分母，得： 1 .6,801a 31 -a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=?-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或 例题2：（2011郴州） ==--+a 21 12无解，求x a x 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题3：（2010上海）已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。 （1） 当02 =m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-
（2） 当02 ≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：4 1-m ,0144)12(22≥≥+=-+=?即m m m ，且02≠m 综（1）（2）得，4 1-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件） 总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。 例题4：（2011益阳）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数。 解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即02≠m ，0≠m ， 1.m ,01≤≥?解得 同理，.45 m ,02-≥≥?解得1m 4 5≤≤-∴且0≠m ，又因为m 为整数.11或取-∴m （1）当m=—1时，第一个方程的根为222±-=x 不是整数，所以m=—1舍去。 （2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1. 练习：已知关于ｘ的一元二次方程01)1(2 =++-x x m 有实数根，则ｍ的取值范围是： 1m 450 01≠≤????≥?≠-且m m 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题 例题:5：（2011青海）方程01892=+-x x 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） Ａ 12 Ｂ 12或15 Ｃ 15 Ｄ 不能确定 例题6：（2011武汉）三角形一边长AB 为13cm ，另一边AC 为15cm ，BC 上的高为12cm,求此三角形的面积。（54或84）
分类讨论 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 类型之一直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要. 1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80° 2.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处， (1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.
类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __． 5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5 B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ． 6.（?威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均 为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）． （1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？
分类讨论专题 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏． 分类的原则： （1）分类中的每一部分是相互独立的； （2）一次分类按一个标准； （3）分类讨论应逐级有序进行． （4）. （5）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型. 综合中考的复习规律，分类讨论的知识点可分为三大类： 1.代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限 等. 2.几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等. 3.综合类：代数与几何类分类情况的综合运用. 代数类 考点1与数与式有关的分类讨论 1.化简：|x-1|+|x-2| ： 2.已知α、β是关于x的方程x2+x+a=0的两个实根。 (1)求a的取值范围； (2)试用a表示|α|+|β|。
3. 代数式 a a b b ab ab |||||| ++的所有可能的值有（ ） · A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 考点2 与方程有关的分类讨论 4. 解方程：①（a -2）x =b -1 ②试解关于x 的方程111 =--x )x ( ） 5. 关于x 的方程2 2 (21)10k x k x +-+=有实数根，则k 的取值范围是（） A ．4k ≤ B.104 k k ≤ ≠或 <14 D. k≥14 6. 已知关于x 的方程2 2(4)(4)0kx k x k +++-= （1）若方程有实数根，求k 的取值范围 （2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长. （ 考点3 函数部分
分类讨论思想例题分析 [线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。 例1已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为_3：2_或_3：4____。 练习：已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，且线段AB=7cm ，点M 为线段AB 的中点，线段BC=3cm ，点N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长. 解析：(1)点C 在线段AB 上： (2)点C 在线段AB 的延长线上 M 例2下列说法正确的是（ ） A 、 两条线段相交有且只有一个交点。 B 、如果线段AB=A C 那么点A 是BC 的中点。 C 、两条射线不平行就相交。 D 、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。 [ OM 平分∠AOB ，ON 平分∠[练习] 已知o AOB 60∠=,过O 作一条射线OC ，射线OE 平分AOC ∠，射线OD 平分 这两种情况下，都有o o AOB 60 DOE= 3022 ∠∠== A B C1 C2
小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然AOC ∠的大小不确定，但是所求的DOE ∠与AOC ∠的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。 [三角形中分类讨论思想的应用] 一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。 1、三角形的形状不定需要分类讨论 例4、 在△AB C 中，∠B＝25°，AD 是BC 上的高，并且 AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为_____________。 解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图1，当△ABC 的高在形内时， 由AD BD DC 2=·， 得△ABD∽△CAD，进而 可以证明△ABC 为直角三角形。由 ∠B＝25°。可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝65°。 如图2，当高AD 在形外时，此时 △ABC 为钝角三角形。 由 AD BD DC 2=·，得△ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25° ∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115° 2、等腰三角形的分类讨论： a 、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。 例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。 [练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。 若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得???????=+=+,1221,921y x x x 或???????=+=+.921,122 1y x x x 解 得???==,9,6y x 或???==.5, 8y x 即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm 时，底边长是5cm 。 b 、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。 例6、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）
初一（上）数学中的分类讨论（1） 在数学中,如果一个命题的题设或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。笔者从以下四个方面对初一（上）数学中出现的分类讨论问题进行了探究。 一、由于问题中的几何图形的不确定而需要对其分类。 题1、已知线段AB＝6cm,点C在直线AB上,BC=2cm,则AC之长为_________________ A、8cm B、4cm C、8cm或4cm D、非以上答案 题2、已知∠A0B=120o，∠BOC=30o，则∠AOC=_____________________ 题3、平面上, ∠AOB=100 o, ∠BOC=40 o,若OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,求∠MON的度数。题4、在上午6点到7点之间,时钟的时针和分针成直角的时刻是__________________ 二、由于问题的条件和结论有多种可能情况而需要对其分类。 题5、平面内有四点，经过两点可画__________________条直线. 题6、富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。如果小明一次性购书付款162元，那么小明所购书的原价一定为__________________ A、180 B、202.5 C、180或202.5 D、180或200 题7 甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付189元，而乙班则一次购买苹果70kg. (1)乙班比甲班少付多少元？ (2)甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？
数学中的分类讨论（高三数学复习课） 教学目的： 1通过对一些数学问题的解决，总结出需要分类讨论的情况，分类讨论的标准。分类讨论的步骤，并能够利用这些结论解决复杂的问题。 2．通过这节课的复习，学生能够充分认识到分类思想在数学中的地位，进一步完善学生数学思想，数学方法的体系。 教学重点：归纳总结分类讨论的基本方法。 教学难点：对分类讨论标准的掌握。 教学手段：多媒体演示文稿，运用课堂交流复习模式。 教学过程： 一、引言（提出问题、点出课题） 前一段时间，我们对整个高中数学进行了较系统的复习，大家是否发现，虽然高中数学面广量大，习题类型复杂，但是我们在解决许多不同问题时，考虑问题的思想方法却有许多是相同的。例如，课前布置的一组练习，大家在解题过程中，有没有发现解法上有何共性？（分类讨论） 分类讨论是数学中重要的思想方法，今天这节课我们将专门研究数学中的分类讨论问题。 2．学生分小组交流，课前准备的练习 要求：每小组重点研究其中一道题目（1）这一道为何要分类讨论？（2）分类的标准是什么？即怎样分类？（3）分类讨论时应该注意什么？ 然后推荐一名代表进行班级交流，其他小组纠正，补充。（学生到讲台前，借助投影仪讲解） 练习1：设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为Sn,又设,Tn=。(n?N),求 解：当q=1时，Sn=n,Tn=,=1 当q≠1,Sn=,Sn+1=,Tn=
.于是当0〈q〈1时，=0, ∴=1 当q>1时，0〈<1,=0,∴=1/q 综上所述，= 教师说明：有些定理、公式、法则在一定条件下才成立，或在不同条件下有不同的结论（如等比数列前n项和公式，以及qn极限）这时必须进行相应分类。 练习2：已知Z=cosα+I(1--sinα),α[0,2π],求argZ. 答案： 说明：有些概念，在下定义时，就对所考虑的对象的范围作了限制（如复数的模和辐角主值，反三角函数，直线与平面所成角等），解题时，常可根据此分类进行讨论。 练习3：函数f(x)=kx2-4x-8在区间[5，20]上单调递减，求k的取值范围。 分k=0,k>0,k<0进行讨论，答案：k∈(-∞,1/10] 教师说明：1、随着参数的取值不同，表示不同的函数，这是分类讨论问题中常见的题型。 2、在分类的过程中，我们是利用函数图象不同位置进行分类，充分体现了数形结合的思想。 练习4：设A（x,y）为曲线y=|x2/2-1|上任一点,B（0，a）（a>1），A与B距离为d，求d的最小值的解析式f（a）。 答案： 教师说明：含绝对值的问题，常根据定义进行分类讨论。 三、归纳小结（师生共同完成，然后投影） 需要分类讨论的问题很多，但我们可将一些常见的情况，归纳如下：
圆中分类讨论问题归类举例 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。本文就近年中考题举例说明如下。 一、点和圆的位置 凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。 例1.过不在⊙O 上的一点A ，作⊙O 的割线，交⊙O 于B 、C ，且 AB ·AC ＝64，OA ＝10，则⊙O 的半径R 为___________。 解：依题意，点A 与⊙O 的位置关系有两种： （1）点A 在⊙O 内，如图1，延长AO 交⊙O 于F ， 则 AE R AF R =-=+1010 ，由相交弦定理得：()()R R -+=101064 所以（负值已舍去） R =241（2）点A 在⊙O 外，如图2， 此时AE R AF R =-=+1010，由割线定理得：()()101064 -+=R R 所以（负值已舍去） R =6故⊙O 的半径R 为或6。 241
二、点与弦的相对位置 例2.⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则 ∠BAC＝_________。 解：（1）点A和圆心O在弦BC同侧，如图3，可求得∠BAC＝∠BOD＝48° （2）点A和圆心O在弦BC异侧，如图4，可求得∠BAC＝132° 三、弦所对的圆周角 3 例3.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。 解：弦所对的圆周角有两种情况： （1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为60°； （2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为120°。 故应填60°或120°。 四、平行弦与圆心的位置 例4.在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，弦CD＝8cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。 分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。