高一数学衔接教育六 二次函数在特定区间上的最值
知识要点：
a
b a
c a b x a y 44)2(22-++=在m ≤x ≤n 上的最值问题要注意以下几个方面： (1)a
b 2-是否属于这个范围；(2)当m ≤x ≤n 时，y 是随x 的增大而增大?还是随x 的增大而减小?这可借助图象进行分析； (3)f(m)与f(n)的大小关系； (4)含有参数(字母)问题的讨论．
1．若m ，n 为定值， a b 2-在变化，即x 取值范围是m ≤x ≤n ，则需讨论m ≤a b 2-≤n ，或a b 2-
2．若m ，n 为变量， a
b 2-为定值，也需进行上述讨论求最值． 例题分析：
1．函数y=x 2+4x+3有否最大或最小值?为什么?若有则求出取得最值时x 的值．若函数y=x 2+4x+3 (–5≤x ≤0)呢?
2．(1)求函数222+-=x x y (–2≤x ≤5)的最大最小值；
(2) 求函数222+-=x x y (x ≤–2)的最大最小值； y ≥37，无最大值
(3) 求函数222+-=x x y (x ≥2)的最大最小值．
3．函数)0(222≠++-=a b ax ax y 在2≤x ≤3上有最大值5及最小值2，求a ，b 的值．
4．已知y= -x 2+2ax+1-a 在0≤x ≤1上最大值是2，求实数a 的值．
习题：
1． 函数342+-=x x y 在0≤x ≤5上的最大值是_________，最小值是________， –5≤x ≤0上
的最大值是__________，最小值是___________．
2．对于函数y= –x(2–x)，当x ≥0时，求y 的取值范围．
3．求函数y=2x 2-6x+1在-1≤x ≤1上的最小值和最大值．
*4．函数y=ax 2+2ax+1在–3≤x ≤2上的最大值是4，求a 的值．
*5．已知x 1，x 2是方程x 2-2ax+a+6=0的两实数根，求(x 1-1)2+(x 2-1)2的最小值．
*6．函数y=x 2+2ax+a 2-1使对应0≤x ≤1上一段曲线位于x 轴上方，求a 的取值范围．
高中数学-二次函数定区间上最值问题 一、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． （二）二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． （三）二次函数基本形式： 1、2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 如设： f x a x b xc a ()() =++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 方法思路分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f x ()的最值：
二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为- -?? ???b a ac b a 2442 ，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是 f b a ac b a f x -?? ???=-2442 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-< b a m 2，由f x ()在[] m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[] m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y x x =-+-2 42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习. 已知232 x x ≤，求函数f x x x ()=++2 1的最值。 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的 最值”。 例2. 如果函数f x x ()()=-+112 定义在区间[] t t ，+1上，求f x ()的最值。 例3. 已知2 ()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值． 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((2 12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f
二次函数在各区间上的最值 一、知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值： （1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。 （2）当时 若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是 若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。函数的最大值为，最小值为。 图1 练习. 已知，求函数的最值。 解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。
图2 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。 解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。 图1 如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。 图2 如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值 综上讨论，?? ? ??<+≤≤>+-=0110,11 ,1)1()(22min t t t t t x f 图8 例3. 已知 2 ()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 解：由已知可求对称轴为1x =．
中考数学 求二次函数在闭区间上的最值-轴定区间变 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x a x b xc a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]- ?b a m n 2，时 若-二次函数的区间最值问题知识讲解
二次函数最值问题 二次函数y =ax 2 bx C a = 0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基 础?在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况（当a ■0时, 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时，函数的最值问 题?在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的 x 的取值范 围区间的两个端点， 二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴， 注意结合图像学会用数形结 合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面： 1.定轴定区间。2.动轴定区 间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。 【例1】当-2空x 空2时，求函数y =x 2 -2x-3的最大值和最小值. 分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目， 只需要画出函数图像即可以解 决。 1 5 【例2】当t 兰x 兰t +1时，求函数y = -x 2 -X -一的最小值（其中t 为常数）? 2 2 函数在x 二 b 2a 处取得最小值 4ac -b 2 4a 无最大值；当时 a . 0，函数在x —处取得 2a 最大值 4ac -b 2 4a 无最小值.
分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于 X 所给的范围随着t 的变化而变化，所以 需要比较对称轴与其范围的相对位置. 1 5 解：函数y =-x2—x _-的对称轴是x=1。画出其草图。 2 2 (1) 灯=}12 j_| = —3 ； 1 i 5 1 i A min =尹+1) -(t +1)石=|t -3. 1 2 -t 2 -3,t<0 2 综上所述：y min = -3,0_t_1 】t 2 —t —5,t A 1 I 2 2 【例3】设二次函数f x =-x 2 ? 2ax ? 1-a 在区间0,1 ］上的最大值为2，求实数a 的 值。分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随 a 的变化而变化，所 ⑵当对称轴在所给范围左侧.即 1 2 5 t 1时当X"时，畑； (4)当对称轴在所给范围之间?即 t _1 _t 1= 0_t _1 时；当 x = 1 时, ⑹当对称轴在所给范围右侧?即 t 1 ：：：1= t :: 0时，当 x =t ? 1 时,
二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的x ，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点. 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点＆例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： Case Ⅰ、给定区间确定，对称轴位置也确定 说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内. （i ）当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得； （ii ）当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数223y x x =-+在闭区间[]1,2-上的最大值是_______. 例2、函数2()42f x x x =-+-在区间[]0,3上的最大值是_______，最小值是_______.
例3、已知223x x ≤，则函数2()1f x x x =++的最大值是_______，最小值是______. Case Ⅱ、给定区间确定，对称轴位置变化 说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）在给定区间[],p q 上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论. 这里我们以0a >的情形进行分析： （ⅰ）若2b p a - <，即对称轴在给定区间[],p q 的左侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递增，此时max [()]()f x f q = ，min [()]()f x f p =； （ⅱ）若2b p q a ≤- ≤，即对称轴在给定区间[],p q 的内部，则函数()f x 在[,]2b p a -上单调递减，在[,]2b q a - 上单调递增，此时min [()]()2b f x f a =-，max [()]() f x f p =或()f q ，至于最大值究竟是()f p 还是()f q ，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若22 b p q p a +≤- < ，则max [()]()f x f q =；若22p q b q a +≤-≤，则max [()]()f x f p =； （ⅲ）若2b q a - >，即对称轴在给定区间[],p q 的右侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递减，此时max [()]()f x f p = ，min [()]()f x f q =. 综上可知，当0a >时， max (),22[()](),22b p q f q a f x b p q f p a +? -
二次函数的区间最值及应用 模块一：二次函数的区间最值 1．定轴定区间 对于二次函数2(0)y ax bx c a =++>在m x n ≤≤上的最值问题（其中a 、b 、c 、m 和n 均为定值，max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） （1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在2b x a =-时，取到最小值，无最大值． （2）若2b n a <-，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． （3）若2b m a >-，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． （4）若2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--，如图④，当2b x a =-，min y y =；当x n =， max y y =． 2．动轴或动区间 对于二次函数2 (0)y ax bx c a =++>，在m x n ≤≤（m ，n 为参数）条件下，函数的最值 需要分别讨论m ，n 与2b a -的大小． 模块二：二次函数的应用 1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为： （1）经济利润类问题； （2）方案选择类问题； （3）行程问题； （4）数学建模类问题； （5）工程问题。 2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。 b
分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值： （1）x 取任意实数；（2）当 20 x -≤≤ 时；（3）当13x ≤≤时；（4）当12x -≤≤时． 【解析】（1），∴当时，函数的最大值为，无最小值； （2）∵在右侧， ∴当时，函数取得最大值1；当时，函数取得最小值； （3）∵在左侧， ∴当时，函数取得最大值2；当时，函数取得最小值； （4）∵，且， ∴当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值． 【教师备课提示】这道题主要讲解最值的求法（1）配方，求对称轴，（2）画草图． 试求(1)(2)(3)(4)5y x x x x =+++++在33x -≤≤的最值． 【解析】令，则有222(54)(56)5(4)(6)51029y x x x x t t t t =+++++=+++=++ ∵当时，的取值范围是， ∴原题转化为当时，求的最大值和最小值． ∵，故当时，．而当解得：， 又∵，∴当时，． 当时，；当时，，而， ∴当时，即时，． 【教师备课提示】这道题主要是高次函数利用换元转化为二次函数区间最值. 2 317248y x ? ?=--+ ?? ?34x =1783 4 x =20x -≤≤0x =2x =-13-3 4 x =13x ≤≤1x =3x =8-3 124-≤≤331244-->-34 x = 17 81x =-4-25t x x =+33x -≤≤t 25 244 t -≤≤25 244t - ≤≤21029y t t =++()254y t =++5t =-min 4y =255x x -=+1,255 x -±=33x -≤≤55 x -+=min 4y =254t =- 9516y =24t =845y =9845516 >24t =3x =max 845y =
闭区间上二次函数的最值 二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。 一. 定二次函数在定区间上的最值 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y x x =-+-242在区间[] 03，上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[] 03，上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。 图1 例2. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。 解：由已知232x x ≤，可得032≤≤ x ，即函数f x ()是定义在区间032，? ? ????上 的二次函数。将二次函数配方得f x x ()=+? ? ???+1234 2 ，其对称轴方程x =-12，顶
点坐标-?? ???1234，，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间032，? ?????内，如 图2所示。函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 3219 4 ?? ???=。 图2 解后反思：已知二次函数f x ax bx c ()=++2（不妨设a >0），它的图象是 顶点为--?? ? ??b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =- 2、开口向上的抛物线。由数形结合可得在[] m n ，上f x ()的最大值或最小值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???= -2442 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] -?b a m n 2，时 若- 闭区间上二次函数最值问题教案
闭区间上二次函数的最值问题 一、?教材分析 1、教学背景 二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都要化归为二次函数来处理。二次函数又与一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系，因此必须熟练掌握它的性质，并能灵活地运用它的性质去解决实际问题。二次函数在高考中占有重要的地位，而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用，主要考察我们分类讨论和数形结合思想。这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值。影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。 2、学情分析 从心理特征来说，高三学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，作为普通高中美术班的学生，学生层次参次不齐，个体差异比较明显。大部分学生接受能力较慢、注意力容易分散，学习数学的自信心和兴趣不够，所以在教学一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，提高学生自信心。
从认知状况来说，学生在此之前已经复习了函数定义域、值域以及单调性，对二次函数的开口、对称轴已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于闭区间上“动对称轴和动区间”的二次函数最值，由于其抽象程度较高，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。 3、教学重难点 重点：轴定区间定的闭区间上二次函数最值问题，轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题 难点：轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题 二、?教学目标分析 1.会结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解一元二次函数的最值问题，提高学 生的综合能力，培养学生良好的思维习惯，加深对数形结合、分类讨论等数学思想的认识。 2.了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。 3.经历从“轴动区间定”到“轴定区间动”的类比推理，培养学生类比推理能力； 使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。 三、教学方法：类比推理法，讲授发现法
《二次函数在区间上的最值》学案 教师：任后兵 一、目标 知识与技能：理解函数最值的概念,会用函数的单调性找出二次函数在给区间上的最值 过程与方法：经历求二次函数最值的求法，通过课件实验归纳求二次函数在给定区间上最值的一般方法,通过问题串的形式，层层递进。 态度、情感与价值观：感知在函数最值当中求法，在学习中，提高观察、分析、归纳、概括的能力，体验函数思想、数形结合与分类讨论的数学思想方法。 二、重点、难点 （－）重点:二次函数在给定区间上最值的一般方法． （二）难点:对称轴与区间的相互位置关系的讨论． 三、教具学具准备：多媒体（PPT 、几何画板），直尺 1）教学过程：1设f x ax bx c a ()()=++≠20，求x ∈R 的最大值与最小值（必修1教材16页）。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()在a<0时，它的图象是开口向下的抛物线，f x ()的最大值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()取最大值还是取最小值与a 正负有关， （－）定义域为R 的二次函数的值域（教材16页） 问题1：求y=-2x +2x+3在x ∈R 值域为： （二）定义域不为R 的二次函数的值域 问题2：例１、当x ∈[2,3]时，求函数y=-2x +2x+3上的值域。 问题3：当x ∈[2,3]改为x ∈（2,3] 问题:4：当x ∈[2,3]改为x ∈[-1,1] 问题5：当x ∈[2,3]改为x ∈[-1,2] 问题6：当x ∈[2,3]改为x ∈[0,4]
二次函数在闭区间上的最值问题 湖北省荆州中学 鄢先进 二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。 类型一 定轴定区间 例1．已知函数2 ()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =- 变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。 分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数， min ()(2)0f x f ∴== 变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值. 分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。 max ()(3)3f x f ∴== 例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[] -41，上的最大值为5，求实数a 的值。 | 解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间 []-41，内。 x
①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去 图1 图2 ②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 ： 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去 综上可知：函数f x ()在区间[] -41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。在例1中，二次函数图像的开口，对称轴和区间都是固定的，需引起同学们注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小。在例2中，二次函数图像的对称轴和区间是固定的，但图像开口方向是随参数a 变化的，要注意讨论。 小结：二次函数2()()f x a x k h =-+(0)a >在区间[,]m n 最值问题。 ①若[,]k m n ∈，则min ()()f x f k h ==，max ()max{()()}f x f m f n =? ②若[,]k m n ?，当k m <时，min ()()f x f m =，max ()()f x f n = 当k n >时，min ()()f x f n =，max ()()f x f m = 当0a <时，仿此讨论 类型二 定轴动区间
二次函数在特定区间的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值2 44ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 在这个基础上还有当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．以及二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 一般范围类： 分为正向型和逆向型两大类 （一）、正向型 是指已知二次函数和自变量的范围，求其最值。对称轴与自变量的取值范围的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定； （4）轴变，区间变。 初中阶段，我们一般情况下只研究前3类。第4类，学有余力的同学不妨去探究。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1．当22x -≤≤时，求函数 223y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时， min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 例2．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 例3．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数 2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．
高一数学衔接教育六 二次函数在特定区间上的最值 知识要点： a b a c a b x a y 44)2(22-++=在m ≤x ≤n 上的最值问题要注意以下几个方面： (1)a b 2-是否属于这个范围；(2)当m ≤x ≤n 时，y 是随x 的增大而增大?还是随x 的增大而减小?这可借助图象进行分析； (3)f(m)与f(n)的大小关系； (4)含有参数(字母)问题的讨论． 1．若m ，n 为定值， a b 2-在变化，即x 取值范围是m ≤x ≤n ，则需讨论m ≤a b 2-≤n ，或a b 2-
习题： 1． 函数342+-=x x y 在0≤x ≤5上的最大值是_________，最小值是________， –5≤x ≤0上 的最大值是__________，最小值是___________． 2．对于函数y= –x(2–x)，当x ≥0时，求y 的取值范围． 3．求函数y=2x 2-6x+1在-1≤x ≤1上的最小值和最大值． *4．函数y=ax 2+2ax+1在–3≤x ≤2上的最大值是4，求a 的值． *5．已知x 1，x 2是方程x 2-2ax+a+6=0的两实数根，求(x 1-1)2+(x 2-1)2的最小值． *6．函数y=x 2+2ax+a 2-1使对应0≤x ≤1上一段曲线位于x 轴上方，求a 的取值范围．
二次函数给定区间最值问题的思维导图讲解及测试题 二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。 一、轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“轴定区间定”。 例1. 函数2()42f x x x =-+-在区间[]3,0[上的最大值是_______，最小值是______。 思维导图：第一步：对2()42f x x x =-+-配方→第二步：求出对称轴，判断图 像开口方向→第三步：判断对称轴与区间]3,0[的关系→第四步：确 定该函数在]3,0[上的单调性→第五步：求最值。 解析：由配方法得2 (2)2y x =--+， 其对称轴方程是x =2 ，且图象开口向下， 又2[0,3]∈， )(x f ∴在]2,0[上单调递增，]3,2[上单调递减， 如图所示，故函数的最大值为f ()22=， 最小值为f ()02=-。 同学们试着求一下：2()42f x x x =-+-分别在区间]5,3[],1,1[-上的最值。 小结：二次函数2 (),(0) f x ax bx c a =++≠在给定区间],[n m 内的最值情况： 当0>a 时， （1）当[,]2b m n a -∈时，f x ()的最小值是24()()24b ac b f f x a a --=，的 最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[,]2b m n a -?时，若-a 在闭区间上的最值情况都罗列出来了，对0 二次函数在某区间上的最值问题 决定二次函数在某区间上的最值问题的主要因素是二次函数图象的对称轴，开口方向及所给的区间。而对称轴与所给的区间的相对位置的关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。再注意结合二次函数的图象及函数在有关区间上的单调性，可以达到顺利求解的目的。 例1 当m 为何值时，方程0)53()2(22=+++-+m m x m x 的两实根的平方和取 最大值，并求最大值。 解：0)53(4)2(22≥++--=?m m m 即0161632 ≤++m m 3 44-≤≤-m 设所给方程的两实根为βα,，则153,22++=-=+m m m αββα 而19)5(6102)(22222++-=---=-+=+m m m αββαβα 至此，目标函数19)5()(2++-=m m f 的对称轴为5-=m 区间为]3 4,4[5],34 ,4[--?-=--m ∴ 顶点处不能取得最大值19，函数只能在区间的端点处取得最大值。 当4-=m 时，,18)4(=-f 当34-=m 时，9 55)34(=-f ∴ 当4-=m 时，22βα+有最大值18。 已知2244)(22+-+-=a a ax x x f 在]2,0[∈x 上的最小值为2，求实数a 的值。 解：22)2(4)(2+-- =a a x x f 1）当220≤≤ a 即40≤≤a 时 0,222)(min =∴=+-=a a x f 2）当02 a 即4>a 时8222816)2()(2min =∴=+-+-==a a a a f x f 综上所述：0=a 或8 2018届初三数学培优材料（一） 函数实际应用专题（一） 例题1 小华的爸爸在国际商贸城开专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元∕只，售价20 元∕只．为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元，但是最低价为16元∕只． （1）顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？ （2）写出当一次购买x 只时（x ＞10），利润y （元）与购买量x （只）之间的函数关系式． （3）星期天，小华来到专卖店勤工俭学，上午做成了两笔生意，一是向顾客甲卖了46只，二是向顾客乙卖了50只，记账时小华发现卖50只反而比卖46只赚的钱少．为了使每次卖得越多赚钱越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元∕只至少要提高到多少？为什么？ 练习1：某城市香菇上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千 克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放 这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售． （1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出 y与x之间的函数关系式． （2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金 额-收购成本-各种费用） （3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 分析： （1）根据等量关系“销售总金额=（市场价格+0.5×存放天数）×（原购入量-6×存放天数）”列出函数关系式； （2）按照等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出函数方程求解即可； （3）根据等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出函数关系式并求最大值 解答： （1）由题意y与x之间的函数关系式为y=（10+0.5x）（2000-6x）， =-3x2+940x+20000（1≤x≤90，且x为整数）； （2）由题意得： -3x2+940x+20000-10×2000-340x=22500 解方程得：x 1=50，x 2 =150（不合题意，舍去） 李经理想获得利润22500元需将这批香菇存放50天后出售； （3）设利润为w，由题意得 w=-3x2+940x+20000-10×2000-340x=-3（x-100）2+30000 ∵a=-3<0，∴抛物线开口方向向下，在1≤x≤90时w随x的增大而增大 ∴x=90时，w 最大=29700 ∴存放90天后出售这批香菇可获得最大利润29700元二次函数在某区间上的最值问题
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