18、统计
18．3 总体特征数的估计
【知识网络】
1． 会根据实际问题的需求，合理地选取样本，掌握从样本数据中提取基本的数字特征（平
均数、标准差）的方法。
2． 理解样本数据平均数的意义和作用；会计算样本数据平均数；能用样本数据平均数估
计总体平均数。
3． 理解样本数据标准差的意义和作用；会计算样本标准差；能用样本标准差估计总体标
准差。
4． 初步体会样本频率分布和数字特征的随机性；了解样本信息与总体信息存在一定的差
异；理解随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，能解决一些简单的实际问题；了解统计思维与确定性思维的差异；会对数据处理过程进行初步评价。 【典型例题】
[例1]（1）在方差计算公式])20()20()20[(10
1
21022212-++-+-=
x x x s 中，数字10和20分别表示 （ ）
A ．数据的个数和方差
B ．平均数和数据的个数
C ．数据的个数和平均数
D ．数据组的方差和平均数
（2
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中的数据，就业形势一定是 （ ） A ．计算机行业好于化工行业 B 。建筑行业好于物流行业 C ．机械行业最紧张 D 。营销行业比贸易行业紧张
（3）从鱼塘捕得同时放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5，
1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是 （ ） A ．300克 B ．360千克 C ．36千克 D ．30千克
（4）某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地西瓜约600个.在西瓜上
市时随机摘了10个成熟的西瓜，称重如下： 则这10个西瓜的平均质量是_________千克，这亩地西瓜产量约是_________千克.
（5）校初三年级甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，两个班参加比赛的学生每分钟
有一位同学根据下表得出如下结论：
①甲、乙两班学生的平均水平相同； ②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（每分钟输入汉字达１５０个以上为优秀）； ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是__________（填序号）。 [例2] 已知一组数据x 1，x 2，…，x 10的方差是2，且(x 1-3)2+(x 2-3)2+…+(x 10-3)2=380，求x ．
[例3] 为了科学地比较考试成绩，有些选拔性考试常常将考试分数转化为标准分Z ，转化
关系式为：x x
Z S
-=
，其中x 是某位学生的考试分数，x 是这次考试的平均分，S 是这次考试的标准差，Z 为这位学生的标准分．转化后的分数可能出现小数或负数，因此，又常将Z 分数作线性变换转化为其他分数．例如某次学业选拔性考试采用的是T 分数，线性变换公式为：T =42Z +58．
已知一组学号（i ）为1~10的学生的某次考试成绩如下表：
求学号为2的学生的T 分数．
[例4] 不通过计算，比较图中1、2两组数据的平均值和标准差．（其中黑点●表示数据）
--图1 --图2
【课内练习】
1． 随机抽查某商场四月份中5天的营业额如下：（单位：万元）3.4,2.9,3.0,3.1,2.6，试估
计这个商场四月份营业额大约是 （ ） A ．90万元 B 。950万元 C 。900万元 D 。80万元 2． 从观测所得的数据中取出m 个1x ，n 个2x ，p 个3x 组成一个样本，那么这个样本的
平均数是
（
）
A ．
33
21x x x ++
B 。
p
n m x x x ++++3
21
C 。3
3
21px nx m x ++
D 。
p
n m px nx mx ++++3
21
3． 已知甲、乙两个样本（样本容量一样大），若甲样本的方差是0.4，乙样本的方差是0.2，
那么比较甲、乙两个样本的波动大小的结果是 （ ） A ．甲样本的波动比乙大 B ．乙样本的波动比甲大 C ．甲、乙的波动一样大 D ．无法比较
4． 数据501，502，503，504，505，506，507，508，509的标准差是 （ ）
A ．
20
3
B C D 。1 5． 数据0，1，3，2，4的极差为________，方差为___________，标准差为 。 6． 已知一个样本1，3，2，5，X 。若它的平均数是3，则这个样本的标准差为____________。
7． 有一组数据：123,,,,n x x x x ()123n x x x x ≤≤≤≤ 它们的算术平均值为10，若去
掉其中最大的n x ，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的1x ，余下数据的算术平均值为11，则1x 关于n 的表达式为 ；n x 关于n 的表达式为 。 8． 已知一组数据1210,,,x x x 的方差是2，且 2221210(3)(3)(3)x x x -+-++- =120，求x 。
9．某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
10．为了缓解道路交通高峰的压力，某市政府采取了错时上下班的措施．下表是新华路在采取措施前后每30min通过的汽车量：
(1)从6∶30到9∶30这个时间段内，采取错时上下班前后，汽车的平均流量有变化吗?
(2)分别计算两组数据的方差．你认为采取的措施是否有效果?
18、统计
18．3 总体特征数的估计
A组
1．如果一组数据的极差是80，若画图前确定组距是9，则组数是（）A．7组B．8组C．9组D．10组
2．能反映一组数据与其平均值的离散程度的是（）A．极差和方差B。极差和标准差C。方差和标准差D。平均数与极差3．若样本x1+1，x2+1，…，x n+1的平均数为10，其方差为2，则对于样本x1+2，x2+2，…，x n+2，的下列结论正确的是（）A．平均数为10，方差为2 B。平均数为11，方差为3
C．平均数为11，方差为2 D。平均数为14，方差为4
4．如果一个有40个数据的样本的平均数是5
为。
5．
其中产量比较稳定的小麦品种是 .
6．下面是一个班在一次测验时的成绩，分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以及众数．试分析一下这个班级学习情况．
男生：55，55，61，65，68，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94 女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97。
7．甲、乙两工人同时加工一种圆柱零件，在他们所加工的零件中各抽取10个进行直径检测，测得数据如下（单位：mm）：
甲：19.9，19.7，19.8，20.0，19.9，20.2，20.1，20.3，20.2，20.1 ；
乙：20.0，20.2，19.8，19.9，19.7，20.2，20.1，19.7，20.2，20.4。
(1)分别计算上面两个样本的平均数和方差；
(2)若零件规定直径为20.0±0.5(mm)，根据两个样本的平均数和方差，说明谁加工的零件的质量较稳定。
8．
根据统计学知识判断两个小组的成绩谁优谁劣，并说明理由．
18、统计
18．3 总体特征数的估计
B组
1．一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差是（）
A．1
2
s2B。2 s2 C。4 s2D。s2
2．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数等错了，甲实得80分却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别为（）
A．70，75 B。70，50 C。70，D。65，25
3．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 ，8.4 ，9.4，9.9，9.6，
9.4，9.7。现去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
（）A．9.4，0.484 B。9.4，0.016 C。9.5，0.04 D。9.5，0.016
4．期末考试后班长算出全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值N，那么M∶N为。5．某班有30名学生．分成3个小组，每个小组10个同学在一次考试中，第一小组的平均成绩是80分，第二小组的平均成绩是77分，第三小组的10个同学的考试分数分别为76，85，86，92，83，81，89，73，78，87．则该班这次考试的平均分为。6．某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%.一段时间后准备打捞出售，第一次从网中取出40条，称得平均每条鱼重2.5 kg；第二次网出25条，称得平均每条鱼重2.2 kg；第三次网出35条，称得平均每条鱼重2.8 kg．请你根据这些数据，估计鱼塘中的鱼的总重量约是多少？
7．
已经算得两个组的人均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次，并说明理由．
8．有顾客反映某家航空公司售票处售票的速度太慢.为此，航空公司收集了100位顾客购票时所花费时间的样本数据（单位；分钟），结果如下表：
2.3 1.0
3.5 0.7 1.0 1.3 0.8 1.0 2.4 0.9
1.1 1.5 0.2 8.2 1.7 5.2 1.6 3.9 5.4
2.3
6.1 2.6 2.8 2.4 3.9 3.8 1.6 0.3 1.1 1.1
3.1 1.1
4.3 1.4 0.2 0.3 2.7 2.7 4.1 4.0
3.1 5.5 0.9 3.3
4.2 21.7 2.2 1.0 3.3 3.4
4.6 3.6 4.5 0.5 1.2 0.7 3.5 4.8 2.6 0.9
7.4 6.9 1.6 4.1 2.1 5.8 5.0 1.7 3.8 6.3
3.2 0.6 2.1 3.7 7.8 1.9 0.8 1.3 1.4 3.5
11 8.6 7.5 2.0 2.0 2.0 1.2 2.9 6.5 1.0
4.6 2.0 1.2
5.8 2.9 2.0 2.9
6.6 0.7 1.5
航空公司认为，为一位顾客办理一次售票业务所需的时间在5分钟之内就是合理的.上面的数据是否支持航空公司的说法？顾客提出的意见是否合理？
请你对上面的数据进行适当的分析，回答下面问题：
（1）根据原始数据计算中位数、均值、和标准差，并进行分析；
（2）对数据进行适当的分组，分析数据分布的特点；
（3）你认为应该用哪一个统计量来分析上述问题比较合适？
参考答案
18．3 总体特征数的估计
【典型例题】
[例1]（1）C ．提示：对照公式∑=-=n
i i x x n s 1
22
)(1即可知道。
（2）B ．提示：从表中可以看出，计算机行业应聘人数与招聘人数都比较多，但录用率约
占50％.化工行业招聘名额虽少，但应聘者也相应较少，故A 不正确.相对物流行业、机械行业不是最紧张的.建筑行业应聘人数不多，显然好于物流行业。营销行业招聘比约为1∶1.5，但贸易行业招聘数不详，无法比较
（3）B ．提示：从放养的草鱼240尾，从中任选9尾，这9尾鱼具有代表性，由此可由样
本估计总体的情况．任选9尾鱼，每尾鱼的平均质量为
5.1)8.17.12.14.13.1
6.14.16.15.1(9
1
=++++++++=
x （千克），
3605.1240=?（千克）。 （4）5.0，3000． （5）①②③。
[例2]依题设有
2
22
1210()()()
210
x x x x x x -+-++-= ，变形得
2
222
12101210()102()20x x x x x x x x ++++-+++= ． ①
又由 (x 1-3)2+(x 2-3)2+…+(x 10-3)2=380，变形得
22212101210()1096()x x x x x x ++++?-?+++ =380． ②
②-①并化简得 2
6270
x x --=．解得 3x =-，或9x =． [例3] 易知x =1
10
(70+80+69+75+68+68+79+87+70+74)=74， 22221
[(7074)(8074)(7474)]10
s =
-+-++- =36． 于是，学号为2的学生的Z 分数为：8074
16Z -==．
故该学生的T 分数为：14258100T =?+=． [例4] 从图1，2中可以看出，两组数据的平均值相等．这是因为图1，2中的数据均关于1“对称”，故平均值均为1．
图1的标准差比图2的标准差大．这是因为图1中各数据与其平均值离散程度大，图
2中前10个数据与其平均值的离散程度与图1相同，而后几个数据与其平均值的离散程度
小，因此整体上说图2中所有数据与其平均值的离散程度小于图1． 【课内练习】 1． A 。提示：根据
90305
6
.21.30.39.24.3=?++++算出。
2． D 。提示：根据加权平均数的定义或直接根据平均数定义即可得出。 3． A 。提示：方差越小数据越稳定。 4． B 。提示：由方差的计算公式可得。 5． 4，2，2。 6．
2。
7． 11-n ，n+9。 8． 由条件可得:
2
222
12101210()102()20x x x x x x x x ++++-+++= , ①
22212101210()1096()120x x x x x x ++++?-?+++= ②
将②-①得29010(26)10100x x x -+-?=,即2
610x x --=,
解得33x =
9． 设第一组20名学生成绩为,20)1,2,(i x i ???=，学生成绩的标准差为1S ，
第二组20名学生的成绩为,20)1,2,(i Y i ???=，学习成绩的标准差为2S 。
所以有：90)(2012021=+???++x x x ，80)(20
1
2021=+???++y y y ， 从而全班平均成绩为85)20802090(40
1
=?+?=z 。 又因为 6,90),20(20
1122
20222121==-+???++=S x x x x x S ；
4,80),y 20(20
1222
20222122==-+???++=S y y y y S ，
所以51)40(40
122
2022212202221=-+???++++???++=
z y y y x x x S ，
即所求的平均成绩和标准差分别为85，51。
10．（1）由于21002100x x ==后前（辆），（辆），所以，汽车的平均流量没有变化．
（2）22
203105s s ≈≈后前，，比较方差说明，采取措施后，各时间段的汽车流量平缓，
采取的措施有一定的效果．
18、统计
18．3 总体特征数的估计
A 组
1． C 。提示：极差就是样本数据的最大值与最小值的差。 2． C 。提示：根据方差和标准差的定义。 3． C 。 4． 1120。
5． 甲。提示：比较它们的方差即可。
6． 17名男生成绩的平均值是72.9分，中位数是73分，众数为55和68． 20名女生成绩的平均值是80.3分，中位数是82分，众数为73,80和82． 从上述情况来看，这个班女生成绩明显好于男生成绩． 7． 因为样本数据在20.0上下波动，故取a=20.0， 所以02.200.2010
2
.0,02.200.20102.0=+==+=
乙甲x x ； )(0336.0)102.0(1034.0101222
mm s =???
????-?=
甲， )(0516.0)102.0(1052.0101222
mm s =??
?
????-?=
乙，
显然甲工人加工零件的质量比较稳定。
8． x 甲 =80，x 乙 =80，2
S 甲=172，2S 乙=256，2S 甲=172＜2
S 乙=256。
（1）从众数来看，甲组90分，乙组70分，甲组成绩较好；
（2）从中位数来看，甲组80分，乙组80分，但80分以上甲组有33人，乙组只有
26人，甲组成绩较好；
（3）从方差来看，从众数来看，甲组90分，乙组70分，甲组成绩较好，甲组成绩
波动较小好；
（4）从满分来看，甲组6人，乙组12人，乙组成绩较好。
B 组
1． C 。 2． B 。
3． D 。提示：最高分是9.9，最低分是8.4，去掉后的数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7， 它们的平均数是：5.95
7
.94.96.94.94.9=++++=
x ，
方差为：22222
2
(9.49.5)(9.49.5)(9.69.5)(9.49.5)(9.79.5)0.0165
s -+-+-+-+-==。
4． 1。 5． 80。
6． 先算出三次称鱼的平均数为：
)(53.235
254035
8.2252.2405.2kg =++?+?+?，所以鱼塘
中的鱼的总重量为2.53×(100000×95%)≈24万(kg)。
7． (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，以成绩的众数比较看，甲组成绩好些． (2)22222
)8080(13)8070(10)8060(5)8050(2[50
1
-?+-?+-?+-?=
甲s 172])80100(6)8090(1422=-?+-?+；
22222
)8080(2)8070(16)8060(4)8050(4[50
1
-?+-?+-?+-?=
乙s
256])80100(12)8090(1222=-?+-?+，
2
2乙甲s s <，表明甲组成绩较乙组波动要小．
(3)甲、乙两组成绩的中位数都是80分，甲组成绩在中位数以上的有33人，乙组成绩
在中位数以上的有26人，从这一角度看，甲组的成绩总体较好．
(4)从成绩统计表看，甲组成绩高于80分的人数为14＋6＝20(人)，乙组成绩高于80分的人数为12＋12＝24(人)，所以乙组成绩集中在高分段的人数多，同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好． 8． （1）根据原始数据计算中位数、均值和标准差如下：
顾客购票花费时间的中位数为：中位数位置=(n+1)/2=(100+1)/2=50.5，中位数在第50个数值（2.4）和第81个数值（2.6）之间，其具体数值为：中位数=（2.4+2.5）/2=2.5（分钟）；
平均花费时间为：17.3100
.3171005.17.00.13.21
==++++=
=
∑= n
x
x n
i i
（分钟）；
标准差为：86.21
10097
.8111
)(1
2
=-=
--=
∑=n x x
s n
i i
（分钟）.
（2）对数据进行分组的结果如下表：
100名顾客购票花费时间的分组表
从直方图可以看出，顾客购票所花费时间的分布为右偏.有顾客反映某家航空公司售票处售票的速度太慢，这可能是由少数人提出来的.因此这些少数顾客提出的意见并不能代表大多数人，可以认为顾客提出的意见是不完全合理的。. （3） 从中位数来看，其结果为2.5分钟，因此，从总体上看，该航空公司办理一项
售票业务所需的平均时间为2.5分钟，在航空公司认为的合理时间（5）分钟之内，因此，可以说顾客提出的意见是不合理的。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II) 数学 本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。 4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。 1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数()20y x x =≥的反函数为 (A)()24x y x R =∈ (B) ()2 04 x y x =≥ (C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33 a b > 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 5.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A) 1 3 (B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若 2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于 (A) 22 (B) 33 (C) 63 (D) 1
2011年上海市春季高考数学试卷 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．（4分）函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域是． 2．（4分）若集合A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=． 3．（4分）在△ABC中，tanA=，则sinA=． 4．（4分）若行列式=0，则x=． 5．（4分）若，，则x=（结果用反三角函数表示）6．（4分）（x+）6的二项展开式的常数项为． 7．（4分）两条直线l1：x﹣y+2=0与l2：x﹣y+2=0的夹角的大小是．8．（4分）若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5=0，则=．9．（4分）若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是． 10．（4分）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为． 11．（4分）根据如图所示的程序框图，输出结果i=．
12．（4分）2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为． 13．（4分）有一种多面体的饰品，其表面右6个正方形和8个正三角形组成（如图），则AB与CD所成的角的大小是． 14．（4分）为求方程x5﹣1=0的虚根，可以把原方程变形为（x﹣1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=0，由此可得原方程的一个虚根为． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．（5分）若向量，则下列结论正确的是（）A．B．C． D． 16．（5分）f（x）=的图象关于（） A．原点对称B．直线y=x对称C．直线y=﹣x对称 D．y轴对称 17．（5分）直线l：y=k（x+）与圆C：x2+y2=1的位置关系是（） A．相交或相切B．相交或相离C．相切D．相交 18．（5分）若，，均为单位向量，则=（，）是++=（，）的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸
一．选填题（每题5分） 1. （2017年，第6题）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） 2. （2017年，第16题）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 3. （2016年，第7题）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是 （ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 4.（2016年，第11题）平面过正文体ABCD —A1B1C1D1的顶点A,，，则m ，n 所成角的正弦值为 （ ） （A ）（B ）（C ）（D ） 5.（2015年，第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 斛 斛 斛 斛 6.（2015年，第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r = （A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 7.（2014年，第8题）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
2011年浙江省高考数学理科试卷(含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 一、选择题 （1）设函数若，则实数 （） （A）—4或—2 （B）—4或 2 （C）—2或4 （D）—2或2 （2）把负数的共轭复数记作i,i为虚数单位。 若z=1+i,则（） （A）（B） （C）（D)3 (3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的直观图可以是（） （4）下列命题中错误的是 （） （A）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定 直线平行于平面β （B）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内 2 ,0, () ,0. x x f x x x -≤ ? =? ?> ()4 fα=α= z (1)z z - +?= 3i-3i+ 13i +
一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ， l αβ?=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有 直线都垂直于平面β （5）设实数x 、y 是不等式 组 ，若x 、y 为整数，则 34x y + 的最小值为 （ ） （A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 （6）若02πα<<，02πβ-<<，1 cos ()23 πα+=，3 cos ()42πβ-= 则cos ()2βα+= （A ）3 （B ）3- （C ）53 （D ）69 - （7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1 a b <”或1 b a >的 （ ） （A ）充分二而不必要条件 （B ）必要而不充 250x y +-> 270x y +->， 0x ≥，0y ≥
2011年上海市普通高等学校春季招生考试 数 学 试 卷 一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题填对得4分，否则一律得零分. 1．函数)2lg(-=x y 的定义域为__________________。 2．若集合}4|{},1|{2≤≥=x x B x x A ，则B A ?=_____________。 3．在△ABC 中，3 2tan =A ，则A sin =_______________。 4．若行列式021 42=x ，则x =____________。 5．若]2 ,2[,31sin ππ-∈=x x ，则x =____________。（结果用反三角函数表示） 6．6)1(x x +的二项展开式的常数项为_______。 7．两条直线023:1=+-y x l 与02:2=+-y x l 的夹角的大小是________。 8．若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则3 6S S =_________________。 9．若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线14 52 2=-y x 的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是___。 10．若点O 和点F 分别为椭圆12 22 =+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||PF OP +的最小值为___________。 11．根据如图所示的程序框图，输出结果i =___________。 12．2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法 的种数为____________。
13．有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB 与CD 所成的角的大小是_______________。 14．为求方程015=-x 的虚根，可以把原方程变形为 0)1)(1)(1(22=++++-bx x ax x x ，由此可得原方程的一 个虚根为______________。 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，选对得 5 分，否则一律得零分. 15．若向量)1,1(),0,2(==b a ，则谢列结论正确的是 [答] ( ) （A ）1=?. （B =（C ）⊥-)(. （D ）//. 16．x x x f 2 14)(-=的图像关于 [答]（ ） （A ）原点对称. （B ）直线x y =对称. （C ）直线x y -=对称. （D ）y 轴对称. 17．直线)2 1(:+=x k y l 与圆1:22=+y x C 的位置关系是 [答] ( ) （A ）相交或相切. （B ）相交或相离. （C ）相切. （D ）相交. 18．若321,,a a a 均为单位向量，则)3 6,33(1=a 是)6,3(321=++a a a 的[答] ( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，写出必要的步骤. 19. (本题满分12分) 已知向量)c o s 2,1(),cos ,12(sin x x x =-=，设函数 x f ?=)(，求函数)(x f 的最小正周期及]2 ,0[π∈x 时的最大值. 20. (本题满分14分) 某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球 A B D C
线性规划高考题 1.[2013.全国卷 2.T3]设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥??+-≥??≤? ，则23z x y =-的最小值是（ ） A.7- B.6- C.5- D.3- 2.[2014.全国卷2.T9]设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥??--≤??-+≥? ，则2z x y =+的最大值为（ ） A.8 B.7 C.2 D.1 3.[201 4.全国卷1.T11]设1，y 满足约束条件,1, x y a x y +≥??-≤-?且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ） A ．-5 B. 3 C ．-5或3 D. 5或-3 4. [2012.全国卷.T5] 已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（ ） A.(1－3，2) B.(0，2) C.(3－1，2) D.(0，1+3) 5.[2010.全国卷.T11]已知 Y ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在 Y ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是（ ） A.（-14，16） B.（-14，20） C.（-12，18） D.（-12，20） 6. [2016.全国卷3.T13]设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥??--≤??≤? 则z =2x +3y –5的最小值为 7．[2016.全国卷2.T14]若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥??+-≥??-≤? ，则z =x -2y 的最小值为 8.[2015.全国卷2.T14]若x ，y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤??--≥??-+≤? ，则2z x y =+的最大值为
2012年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（56分）： 1．（2012?上海）计算：=_________（i为虚数单位）． 2．（2012?上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=_________．3．（2012?上海）函数f（x）=的值域是_________． 4．（2012?上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）． 5．（2012?上海）在的二项展开式中，常数项等于_________． 6．（2012?上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═_________． 7．（2012?上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是_________． 8．（2012?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为_________． 9．（2012?上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=_________． 10．（2012?上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=_________．
11．（2012?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个 项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_________（结果用最简分数表示）．12．（2012?上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若 M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是_________． 13．（2012?上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、 C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为_________． 14．（2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c， 且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是_________． 二、选择题（20分）： 15．（2012?上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A ． b=2，c=3B ． b=﹣2，c=3C ． b=﹣2，c=﹣1D ． b=2，c=﹣1 16．（2012?上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定
2011年高考数学文科试题（全国卷2） 一 选择题。 （1） 设集合U={ 1,2,3,4 }，M={ 1,2,3 }，N={ 2,3,4 }, 则()Cu M N = （A ）{1,2} （B ）{2,3} （C ）{2,4} (D) {1,4} （2 ）函数(0)y x =≥的反函数是（A ）2 ()4 x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24()y x x R =∈ （D ）24(0)y x x =≥ （3）设向量,a b 满足||||1a b ==，12 a b ?=-，则|2|a b += （A （B （C (D) （4）若变量,x y 满足约束条件6321x y x y x +≤??-≤-??≥? ，则23z x y =+的最小值为 （A ）17 （B ）14 （C ）5 ( D ) 3 （5）下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是 （A ）1a b >+ （B ）1a b >- （C ）22a b > (D) 3a b > （6）设n S 为等差数列的前n 项和，若11a =，公差2,d =，224,k k S S +-=则k= （A ）8 （B ）7 （C ）6 (D)5 （7）设函数()cos (0),f x wx w =>将()y f x =的图像向右平移3 π个单位长度后的图像与原图像重合，则w 的最小值等于 （A ）13 （B ）3 （C ）6 (D) 9 （8）已知直二面角,l αβ--点,,A AC l C α∈⊥为垂足，点,,B BD l D β∈⊥为垂足， 若AB=2，AC=BD=1，则CD=（A ）2 （B （C (D) 1 （9）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不 同选法有多少种（A ）12 （B ）24 （C ）30 (D) 36 （10）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-则5()2 f -= （A ）12- （B ）14- （C ）12 (D) 14
2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析从2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，数学因为容易拉分，加上难度变幻不定，可以说是我省考生最为害怕的一个学科，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。选择、填空题会以基础题呈现，属于中等难度。选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题的位置。 一、近五年高考数学考点分布统计表：
从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。具体
来说几个方面： 1．整体稳定，覆盖面广 高考数学全国卷2、3全面考查了新课标考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查。有些内容这几年轮换考查，如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划，理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。 2．重视基础，难度适中 试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。理科前8道选择题都是考查基本概念和公式的题型，相当于课本习题的变式题型。填空题前三题的难度相对较低，均属常规题型。解答题的前三道题分别考查解三角形，分布列、数学期望，空间线面位置关系等基础知识，利用空间直角坐标系求二面角，属中低档难度题。 4．全面考查新增内容，体现新课改理念 如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。 5．突出通性通法、理性思维和思想方法的考查 数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查。尤其数形结合，每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题 6．注重数学的应用和创新
绝密★考试结束前 2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（文科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 台体的体积公式 11221 ()3 V h S S S S =++ 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R π= 球的体积公式 34 3 V R π= 其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么 ()()()P A B P A P B +=+
一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 １．若{1},{1}P x x Q x x =<>，则 A ．P Q ? B ．Q P ? C ．R C P Q ? D ．R Q C P ? 2．若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)z z +?= A ．13i + B ．33i + C ．3i - D ．3 X +2y -5≥0 3．若实数x ，y 满足不等式组 2x +y -7≥0，则3x +4y 的最小值是 x ≥0,y ≥0 A ．13 B ．15 C ．20 D ．28 4．若直线l 不平行于平面a ，且l a ?，则 A ．a 内存在直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 5．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2 s i n c o s c o s A A B + = A ．-12 B ．1 2 C ．-1 D ．1 6．若,a b 为实数，则“01ab ∠∠”是“1 b a ∠”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 A ． B ． C ． D ． 8．从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 A ． 110 B ．310 C ．35 D ．910
2011年上海高考数学试卷（文） 一．填空题（每小题4分，总56分） 1. 若全集U R =，集合{1}A x x =≥，则U C A = 2. 计算3lim(1)3 n n n →∞-+= 3. 若函数()21f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f --= 4. 函数2sin cos y x x =-的最大值为 5. 若直线l 过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l 得方程为 6. 不等式11x <的解为 7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为 8. 在相距2千米的,A B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则,A C 两点 之间的距离是 千米. 9. 若变量,x y 满足条件30350x y x y -≤??-+≥? ，则z x y =+得最大值为 10. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市 数分别为4，12， 8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 11. 行列式(,,,{1,1,2}a b a b c d c d ∈-所有可能的值中，最大的是 12. 在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB AD ?= 13. 随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个 月的天数相同，结果精确到0.001） 14. 设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的 值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为 二．选择题（每小题5分，总20分） 15.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） （A ）2y x -= （B ）1y x -= （C ）2y x = （D ）13y x = 16.若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ） （A ）222a b ab +> （B ）a b +≥ （C ）11 a b +> （D ）2b a a b +≥
2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)复数 212i i +-的共轭复数是 （A ）3 5 i - （B ） 35 i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是 （A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）1 3 （B ） 12 （C ） 23 （D ） 34 （5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ）45 - （B ）35 - （C ）35 （D ） 45 （6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为
（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，A B 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 （A （B （C ）2 （D ）3 （8）5 12a x x x x ???? +- ? ?? ???的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 （A ） 103 （B ）4 （C ）163 （D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:10,3P a b πθ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ?? +>?∈ ??? 3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ?? ->?∈ ? ?? 其中的真命题是 （A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,) 2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π，且 ()()f x f x -=，则 （A ）()f x 在0, 2π?? ??? 单调递减 （B ）()f x 在3, 44π π?? ? ?? 单调递减 （C ）()f x 在0,2π?? ?? ? 单调递增 （D ）()f x 在3, 44π π?? ? ?? 单调递增 (12)函数1 1 y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和 等于
1. （2017年，第6题）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） 2. （2017年，第16题）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 3. （2016年，第7题）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是 （ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 4.（2016年，第11题）平面α过正文体ABCD —A1B1C1D1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值 为 （ ） （A ） 3（B ）2（C ）3（D ）13 5.（2015年，第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 斛 斛 斛 斛 6.（2015年，第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =
2011年浙江省高考数学文科卷解析版 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. （1）若{1},{1}P x x Q x x =<>，则 A ．P Q ? B ．Q P ? C ．R C P Q ? D ．R Q C P ? （2）若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)i z +?= A ．13i + B ．33i + C ．3i - D ．3 【答案】 A 【解析】：22(1)1(1)z z z z i i +?=+=+++2112i i i =++++112113i i i =+++-=+ （3）若实数x ，y 满足不等式组250, 270,0,0,x y x y x y +-≥?? +-≥??≥≥? 则3x +4y 的最小值是 A ．13 B ．15 C ．20 D ．28 【答案】 A 【解析】：作出可行域，25032701 x y x x y y +-==????+-==??由得， min 334113z A =?+?=故选 （4）若直线l 不平行于平面a ，且l a ?，则 A ．a 内的所有直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 【答案】 B 【解析】：直线l 不平行于平面a ，l a ?所以l 与a 相交 （5）在A B C ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2 sin cos cos A A B += A ．－ 12 B ． 12 C ． －1 D ． 1
（6）若,a b 为实数，则 “0
绝密★启封并使用完毕前 2011年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 2．复数 2 12i i -=+ A ．i B ．-i C ．4355i - - D ．4355 i -+ 3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A ．(1, )2π B ．(1,)2 π - C ． (1,0) D ．(1，π) 4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．- 12 C ．1 3 D ．2 5．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ? ?? ?≥<=A x A c A x x c x f ,, ,)(（A ，C 为 常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60， 16
糖果工作室 原创 欢迎下载！ 绝密★考试结束前 2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 如果事件,A B 互斥 ，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件,A B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ?=? 如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()(1) (0,1,2,...,)k k n k n n P k C p p k n -=-= 台体的体积公式 121()3V h S S = + 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13 V Sh = 其中S 表示 锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 2 4S R π= 球的体积公式 3 43 V R π= 其中R 表示球的半径
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.设函数2 , 0(), x x f x x x -≤?=?>?，若()4f a =，则实数a = （A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 2.把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +?= （A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3 3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 4.下列命题中错误．． 的是 （A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ?=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 5.设实数x 、y 是不等式组250 2700,0x y x y x y +->?? +->??≥≥? ，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是 （A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 6.若02 π α<< ，02 π β- <<，1cos( )4 3 π α+= ，cos ( )4 2 3 π β - = ，则cos ()2 β α+ = （A 3 （B ）3 - （C 9 （D ）9 - 7.若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b < 或1b a >”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 8.已知椭圆2212 2 : 1x y C a b + =（a >b >0）与双曲线 2 2 2:14 y C x - =有公共的焦点，2C 的一条渐近线 与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学试题卷 本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。 1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数()20y x x =≥的反函数为 (A)()24x y x R =∈ (B) ()2 04 x y x =≥ (C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33 a b > 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 5.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π 个单位长度后，所得的图 像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A) 1 3 (B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若 2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于 (A) 22 (B) 33 (C) 63 (D) 1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A) 13 (B) 12 (C) 2 3 (D) 1
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理科） 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1.不等式 204 x x ->+的解集是 （-4,2） 。 解析：考查分式不等式的解法204 x x ->+等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4 则随机变量ξ的均值是 8.2 解析：考查期望定义式E ξ=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2 7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S 表示上 海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数， a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 S ←S+a 。 8.对任意不等于1的正数a ，函数f(x)=log (3)a x +的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标是 （0，-2） 解析：f(x)=log (3)a x +的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2） 9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为 “抽得为黑桃”，则概率P （A ?B ）== 7 26 （结果用最简分数表示） 解析：考查互斥事件概率公式 P （A ?B ）= 26 75213521=+ 10．在n 行n 列矩阵12321 234113*********n n n n n n n n n n ???--?? ????- ? ???? ?????????????????????? ? ????---?? 中， 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =???。当9n =时，11223399a a a a +++???+=
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