试卷类型:A
2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。 注意事项:
1、答卷前,考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号,填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2、选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。
4、作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:柱体的体积公式 V=Sh 其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高
线性回归方程 y
b
x a =+ 中系数计算公式
其中,x y 表示样本均值。 N 是正整数,则()n
n
a b
a b -=-1
2
(n n a
a
b --++
…2
1
n n a b b
--+)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 设复数z 满足()12
i z
+=,其中i 为虚数单位,则z =
A .1i + B. 1i - C. 22i + D.22i - 2.已知集合(){,A x y =
∣,x y 为实数,且}
2
2
1x
y
+=,()
{,B
x y =
,x y
为实数,且}
y
x =,
则A B
?
的元素个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
3. 若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则(2)
c a b
?+=
A.4 B.3 C.2 D.0
4. 设函数()
f x和()
g x分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是
A.()()
f x
g x
+是偶函数
B.()(
)
f x
g x
-是奇函数
C.()()
f x
g x
+是偶函数D.(
)()
f x
g x
-是奇函数
5. 在平面直角坐标系x O y上的区域D
由不等式组
2
x
y
x
?≤≤
?
≤
?
?
≤
?
给定。若(,)
M x y为D上的动点,点A的坐标为,则z O M O N
=
的最大值为
A. B.C.4
D.3
6. 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为
A.1
2
B.3
5
C.2
3
D.3
4
7. 如图1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为
A. B. C. 11
8.设S是整数集Z的非空子集,如果,,
a b S
?∈有a
b
S
∈,则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集,,
T U Z
?=且,,,
a b c T
?∈有;,,,
a b c T x y z V
∈?∈有x y z V
∈,则下列结论恒成立的是
A. ,T V中至少有一个关于乘法是封闭的
B. ,T V中至多有一个关于乘法是封闭的
C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的
16. 填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。 (一)必做题(9-13题) 9. 不等式
130
x x +--≥的解集是 .
10. 7
2x x x ?
?- ?
?
?的展开式中,4x 的系数是 (用数字作答)
11.
等差数列n
a 前9项的和等于前4项的和. 若
141,0
k a a a =+=,则k=____________.
12. 函数
2
()31
f x x x =-+在x=____________处取得极小值。
13. 某数学老师身高176cm ,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.
(二)选做题(14 - 15题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知两面线参数方程分别为o s (0)
s in x y θ
θπθ
?=
?≤
=?? 和
25()4x t t R y t ?
=
?∈??=?
,它们的交点坐标为___________.
15.(几何证明选讲选做题)如图4,过圆O 外一点p 分别作圆的切线 和割线交圆于A ,B ,且P B =7,C 是圆上一点使得B C =5, ∠B A C =∠A P B , 则A B = 。
三.解答题。本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 (1) (本小题满分12分)
已知函数1()2sin (),.3
6
f x x x R π
=-
∈
(1)求
5(
)
4
f π的值;
(2)设106,0,,(3),(32),22135f a f ππαββπ??
∈+=+=????
求c o s()αβ+的值.
17. 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175,且y ≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列极其均值(即数学期望)。
18.(本小题满分13分)
如图5.在椎体P-ABCD 中,ABCD 是边长为1的棱形,
且∠DAB=60?,P A
P D ==
E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明:AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.
19.(本小题满分14分)
设圆C 与两圆2
2
22
(4,(4
x y
x y
+
+=-+=中的一个内切,另一个外切。
(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程;
(2)已知点M (0)
55F ,且P 为L 上动点,求
M P F P
-的最大值及此时点P
的坐标.
20.(本小题共14分) 设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ,11(2)
22
n n
n n b a a n a n --=
≥+-.
(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数n ,11
1.2
n n n b a ++≤
+
21.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 上,给定抛物线L:2
14
y x
=
.
实数p ,q 满足2
40
p q -≥,x 1,
x 2是方程2
x p x q -+=的两根,记{}12(,)
m ax ,p q x x ?=。
(1)过点2
0001(,)(0)
4
A p p p ≠作L 的切线教y 轴于点B. 证明:对线段A
B 上任一点
Q(p ,q)有0(,)
;
2
p p q ?=
(2)设M(a ,b)是定点,其中a ,b 满足a 2-4b>0,a ≠0. 过M(a ,b)作L 的两条切线12,l l ,切点分别为2
2
112211(,
),(,
)
4
4
E p p E p p ',12,l l 与y 轴分别交与F,F'。线段E
F 上异于两端点的
点集记为X.证明:M(a,b) ∈X ?12P P >?(,)a b ?12
p =
;
(3)设D={ (x,y)|y ≤x-1,y ≥
14
(x+1)2-54
}.当点(p,q)取遍D 时,求(,)p q ?的最小值 (记
为m in ?)和最大值(记为m a x ?).
2011年广东高考理科数学参考答案
一、选择题
二、填空题 9. [1,)+∞; 10. 84
; 11. 10;
12. 2; 13. 185;
14. (1,
5;
15.
三、解答题 16.解:(1)55(
)2sin (
)2sin
4
12
6
4
f πππ
π
=-
==;
(2)10(3)2sin 2
13
f π
αα+
==
,5s in 13
α∴=,又[0,
]2
π
α∈,12c o s 13
α∴=
,
6(32)2s in ()2c o s 2
5
f π
βπββ+=+
==
,3c o s 5
β∴=,
又[0,
]2
π
β∈,4s in 5
β∴=
,
16c o s ()c o s c o s s in s in 65
αβαβαβ+=-=
.
17.解:(1)乙厂生产的产品总数为1453598
÷=;
(2)样品中优等品的频率为
25
,乙厂生产的优等品的数量为235145
?
=;
(3)0,1,2ξ=, 223
25
()i
i
C C P i C ξ-==(0,1,2)i =,
ξ的分布列为
均值314()125
10
5
E ξ=?
+?
=
.
18.解:(1) 取AD 的中点G ,又PA =PD ,P G A D ∴⊥,
由题意知ΔABC 是等边三角形,B G A D ∴⊥, 又PG , BG 是平面PGB 的两条相交直线,
A D P G
B ∴⊥平面,
//,//
E F P B D E G B , D E F P G B ∴平面//平面,
A D D E F ∴⊥平面
(2) 由(1)知P G B ∠为二面角P A D B --的平面角,
在R t P G A ?中,2
2
17(
)
2
4
P G
=-=
;在R t B G A ?中,2
2
2
131(
)
2
4
B G
=-=
;
G
P
A
S
B
S
C
S
D
S
F
E
在P G B ?
中,2
2
2
c o s 27
P G
B G
P B
P G B P G B G
+-∠=
=-
?.
19.解:(1)两圆半径都为2,设圆C 的半径为R ,两圆心为1
(0)F 、20)F ,
由题意得12||2||2R C F C F =-=+或21||2||2R C F C F =-
=+,
1212||||||4||C F C F F F ∴-=<=,
可知圆心C 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线,设方程为
222
2
1x y a
b
-
=,则 2
22
24,2,1,1
a a c b
c a
b ===
=-
==,所以轨迹L 的方程为
2
2
14
x
y
-=.
(2)∵||||||||2M P F P M
F -≤=,仅当(0)P M P F λλ=>
时,取"=",
由2M F k =-
知直线:2(M F l y x =--
,联立2
2
14x
y -=并整理得2
15390x -+=解得
5
x =
15
x =
舍去),此时-55
P
所以||||||M P F P -最大值等于2,此时55
P .
20.解(1)法一:
1
12(1)
n n n a b a n
a n --=
+-,得
11
1
2(1)
121n n
n n a n n n a b a b
b
a ---+--=
=
+
?
,
设
n n
n b a =,则121n n b b b
b -=
?+
(2)n ≥,
(ⅰ)当2b =时,{}n b 是以12
为首项,
12
为公差的等差数列,
即111(1)2
22
n b n n =
+-?
=,∴2n a =
(ⅱ)当2b ≠时,设12()n n b b b
λλ-+=?+,则122(
1)n n b b b
b
λ-=
?+-,
令21(
1)b b
λ-=,得12b
λ=
-,1121()22n n b b b b b
-∴+
=
?+
--(2)n ≥,
知12n b b +
-是等比数列,1
111
2()()
22n n b b b b
b
-∴+
=+?--,又11b b
=
,
12112
()222n
n
n
n n
b b b
b b
b
b
-∴=
?-
=
?---,(2)2
n
n n
n
n b b a b
-∴=
-.
法二:(ⅰ)当2b =时,{}n b 是以12
为首项,12
为公差的等差数列,
即111(1)2
22
n b n n =
+-?
=,∴2n a =
(ⅱ)当2b ≠时,1a b =,2
2
22
2
22(2)2
2
b
b b a b b
-=
=
+-,3
3
22
3
3
33(2)24
2
b b b a b
b b -=
=
++-,
猜想(2)2
n
n n n
n b b a b
-=
-,下面用数学归纳法证明:
①当1n =时,猜想显然成立; ②假设当n k =时,(2)2
k
k k k
k b b a b
-=
-,则
1
11
1
(1)(1)(2)(1)(2)
2(1)
(2)2(2)
2
k
k k k k
k
k
k k k k b a k b kb b k b
b a a n kb b k b
b
+++++?+?-+-=
=
=
+--+?--,
所以当1n k =+时,猜想成立, 由①②知,
*n N ?∈,(2)2n
n n n
n b b a b
-=
-.
(2)(ⅰ)当2b =
时, 11
2212
n n n a ++==
+,故2b =时,命题成立;
(ⅱ)当2b ≠时,22
122n n n n b b ++≥=,
21
21
1
22
2n n n n
b
b b --+?+?≥=,
1
1
1
1
1
,2
2
2
n n n n n n
b b b +--++?+?≥= ,以上n 个式子相加得
221
2n
n b
b
-+?+1
1
11
22
n n n n b b
+--++?+?+ 21
21
22
2
n n
n n
b n b -++?+≥?,
1
221
2121
1
2(2)
[(22
2
)2](2)
2
(2)
2
(2)
n n
n
n n n
n
n
n n n
n
n n
n
n b b b
b
b b b a b b
+--++?-+?++?+-?-=≤
--
221
21
21
(22
2
)(2)2(2)
2
(2)
n
n n n n
n
n n
n
b
b
b b b b b
--++?++?+--?-=
-
21
21
1
1
1
(2
)2
2
2
(2)
n n n n
n
n n n
n
b
b b b
+++++--?+?=
-
21
1
1
21
1
(2)(2
2)
2(2)
n n n
n
n n n n
n
b
b
b b
+++++-?+?-=
-11
12
n n b ++=
+.故当2b ≠时,命题成立;
综上(ⅰ)(ⅱ)知命题成立.
21.解:(1)0
011'|(
)|2
2
A B x p x p k y x p =====
,
直线AB 的方程为2
0011()4
2
y p p x p -
=
-,即2
00112
4
y p x p =
-
,
2
001124
q p p p ∴=
-
,方程2
0x
p x q -+=的判别式2
2
04()p
q p p ?=-=-,
两根001,2||
2
2
p p p p x ±-=
=
或02
p p -
,
00p p ?≥ ,00||||||||22
p p p p ∴-
=-,又00||||p p ≤≤, 000|
||||
||
|2
2
2
p p p p ∴-≤-≤,得000|||||||||
|2
2
2
p p p p p ∴-
=-≤,
0(,)|
|2
p p q ?∴=.
(2)由2
40a b ->知点(,)M a b 在抛物线L 的下方,
①当0,0a b >≥时,作图可知,若(,)M a b X ∈,则120p p >≥,得12||||p p >; 若12||||p p >,显然有点(,)M a b X ∈; (,)M a b X ∴∈12||||p p ?>. ②当0,0a b ><时,点(,)M a b 在第二象限,
作图可知,若(,)M a b X ∈,则120p p >>,且12||||p p >; 若12||||p p >,显然有点(,)M a b X ∈;
(,)M a b X ∴∈12||||p p ?>.
根据曲线的对称性可知,当0a <时,(,)M a b X ∈12||||p p ?>, 综上所述,(,)M a b X ∈12||||p p ?>(*);
由(1)知点M 在直线EF 上,方程2
0x a x b -+=的两根11,22
p x =或12
p a -
,
同理点M 在直线''E F 上,方程2
0x a x b -+=的两根21,22
p x =或22
p a -,
若1(,)|
|2p a b ?=,则1|
|2
p 不比1||2p a -
、2|
|2
p 、2||2
p a -
小,
12||||p p ∴>,又12||||p p >(,)M a b X ?∈,
1(,)|
|2p a b ?∴=?(,)M a b X ∈;又由(1)知,(,)M a b X ∈1(,)|
|2
p a b ??=;
1(,)||2
p a b ?∴=?(,)M a b X ∈,综合(*)式,得证.
(3)联立1y x =-,2
15(1)4
4
y x =
+-
得交点(0,1),(2,1)-,可知02p ≤
≤,
过点(,)p q 作抛物线L 的切线,设切点为2
001(,
)4
x x ,则
2
000114
2
x q x x p
-=
-,
得2
00240x p x q -+=
,解得0x p =+
又2
15(1)4
4
q p ≥
+-
,即2
442p q p -≤-,
0x p ∴≤+
t =,2
0122x t
t ∴≤-
++2
15(1)2
2
t =-
-+
,
0m a x m a x |
|2
x ?= ,又052
x ≤
,m a x 54
?∴=
;
1q p ≤- ,0|2|2x p p p ∴≥+
=+-=,
0m in m in |
|12
x ?∴==.