北京市西城区2015年初三二模试卷
数 学 2015.6
一、选择题(本题共30分，每小题3分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2015年羊年除夕夜的10点半，在央视春晚送红包的活动中，微信“摇一摇”峰值的摇动次数达到8.1亿次/分钟，送出微信红包120 000 000个．将120 000 000用科学记数法表示应为
A. 90.1210?
B. 71.210?
C. 81.210?
D. 71210? 2．如图，BD ∥AC ，AD 与BC 交于点E ，如果∠BCA =50°，∠D =30°， 那么∠DEC 等于
A. 75°
B. 80°
C. 100°
D. 120° 3．64的立方根是
A. 8±
B. 4±
C. 8
D. 4
4．函数y x 的取值范围是 A.2x ≠ B. x ≥2 C. x ＞2 D. x ≥2-
5．如图，△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，且DE ∥BC ， 如果
2
3
AD AB =，AC =6，那么AE 的长为 A. 3 B. 4 C. 9 D. 12
6．某居民小区开展节约用电活动，该小区100户家庭4月份的节电情况如下表所示．
那么4月份这100户家庭的节电量（单位：千瓦时）的平均数是
A. 35
B. 26
C. 25
D. 20 7. 若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于
A. 2
B. 1
C.
D.
8．如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C ，D 两点，且经过圆心O ， 边AB 与⊙O 相切，切点为B ．如果∠A =34°，那么∠C 等于 A ．28° B ．33° C ．34° D ．56°
9．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系xOy 中，O 是原点，
若点A 的坐标为，则点C 的坐标为
A ．
B ．(-
C ．(
D ．(1)-
10．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(,1)m ．如果以原点为圆心，半径为1的⊙O
上存在点N ，使得45OMN ∠=?，那么m 的取值范围是
A ．1-≤m ≤1 B. 1-＜m ＜1 C. 0≤m ≤1 D. 0＜m ＜1 二、填空题(本题共18分，每小题3分)
11．若2
(2)0m ++ 则m n -= ．
12．若一个凸n 边形的内角和为1080?，则边数n = ． 13．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成
像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如下装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距
小孔20cm ，光屏在距小孔30cm 处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm ，则光屏上火焰 所成像的高度为______cm ．
14．请写出一个图象的对称轴是直线1x =，且经过(0,1)点的二次函数的表达式：
_____________．
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =与双曲线n
y x =
（n ≠0）在第一象限的公共点是(1,)P m ．小明说：“从图象上可 以看出，满足3n
x x
>
的x 的取值范围是1x >．”你同意他的 观点吗？答： ．理由是 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点D 为直线2y x =上且在第一
象限内的任意一点，1DA ⊥x 轴于点1A ，以1DA 为边在1DA 的右侧 作正方形111A B C D ；直线1OC 与边1DA 交于点2A ，以2DA 为边在 2DA 的右侧作正方形222A B C D ；直线2OC 与边1DA 交于点3A ，以 3DA 为边在3DA 的右侧作正方形333A B C D ，……，按这种方式进行下去，则直线1OC 对应的函数表达式为 ，直线3OC 对应的函数表达式为 .
三、解答题(本题共30分，每小题5分)
17．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 两点分别在AB ，BC
的延长线上，BD =CE ，连接AE ，CD ． 求证：∠E ＝∠D ．
18．计算：101
2cos 30()1(3)3
π-++--.
19．已知2540x x --=，求代数式(2)(2)(21)(2)x x x x +----的值． 20．解方程：
2
312
33x x x x
-=--． 21．列方程（组）解应用题：
某超市的部分商品账目记录显示内容如下：
求第三天卖出牙膏多少盒．
22．已知关于x 的函数 2
(3)3y mx m x =+--．
（1）求证：无论m 取何实数，此函数的图象与x 轴总有公共点；
（2）当m ＞0时，如果此函数的图象与x 轴公共点的横坐标为整数，求正整数m 的值．
四、解答题(本题共20分，每小题5分)
23．如图，将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C
与点A 重合，点D 的落点记为点D ′ ，折痕为EF ，连接 CF ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形；
（2）若∠B =45°，∠FCE =60°，AB =D ′F 的长．
24.1949年以来，北京市人口结构变迁经历了5个阶段，从2001年至今已进入第五个阶段
——人口膨胀增长阶段.以下是根据北京市统计局2015年1月的相关数据制作的统计图.
根据以上信息解决下列问题：
（1）以下说法中，正确的是
（请填写所有正确说法的序号）
①从2011年至2014年，全市常住
人口数在逐年下降；
②2010
来的最高值；
③ 2014年末全市常住人口比2013年末增加36.8万人；
④从2011年到2014年全市常住人口的年增长率连续递减.
（2）补全“2014年末北京市常住人口分
布图”，并回答：2014年末朝阳、丰
台、石景山、海淀四区的常住人口
总数已经达到多少万人？
（3）水资源缺乏制约着北京市的人口承
载能力，为控制人口过快增长，到
2015年底，北京市要将全市常住人
口数控制在2180万以内（即不超过
2180万）.为实现这一目标，2015年的
全市常住人口的年增长率应不超过．（精确到0.1%）
25．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG．
（1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且OA PG的长．
26．（1）小明遇到下面一道题：
如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90o，∠ACB =30o，BE ⊥AC 于
点E ，且=CDE ACB ∠∠．如果AB =1，求CD 边的长．
小明在解题过程中发现，图1中，△CDE 与△ 相似，CD 的长度等于
，线段CD 与线段 的长度相等；
他进一步思考：如果ACB α∠=（α是锐角），其他条件不变，那么CD 的长度可以表示为CD = ；（用含α的式子表示）
（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题： 在Rt △OMN 中，∠MON =90o，OM ＜ON ，OQ ⊥MN 于点Q ，直线l 经过点M ，且
l ∥ON ．请在直线l 上找出点P 的位置，使得NPQ ONM ∠=∠． 请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）
五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．
已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数
2224y x ax =-+（其中a ＞2）．
（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若2
5
=
a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a
的取值范围．
28．正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在射线DC ，DA 上运动，且DE=DF ．连接BF ，
作EH ⊥BF 所在直线于点H ，连接CH .
（1）如图1，若点E 是DC 的中点，CH 与AB 之间的数量关系是 ； （2）如图2，当点E 在DC 边上且不是DC 的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立
给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E ，F 分别在射线DC ，DA 上运动时，连接DH ，过点D 作直线DH
的垂线，交直线BF 于点K ，连接CK ，请直接写出线段CK 长的最大值．
29．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点
M ，N ，使△PMN 为正三角形，则称图形G 为点P 的τ型线，点P 为图形G 的τ型点， △PMN 为图形G 关于点P 的τ型三角形．
（1）如图1，已知点(0,A ，(3,0)B ，以原点O 为圆心的⊙O 的半径为1．在A ，B
两点中，⊙O 的τ型点是____，画出并回答⊙O 关于该τ型点的τ型三角形；（画 出一个即可）
（2）如图2，已知点(0,2)E ，点(,0)F m （其中m ＞0）．若线段EF 为原点O 的τ型线，
且线段EF 关于原点O 的τ，求m 的值； （3）若(0,2)H -是抛物线2y x n =+的τ型点，直接写出n 的取值范围．
北京市西城区2015年初三二模
数学试卷参考答案及评分标准
2015. 6
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3
分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17.证明：如图1.
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AC =BC ，∠ACB ＝∠ABC =60°．……………………………………………… 1分 ∵ D ，E 两点分别在AB
，BC 的延长线上，
∴ ∠ACE ＝∠CBD =120°． …………………2分
在△ACE 和△CBD 中，
,,AC CB ACE CBD CE BD =??∠∠?
=?
?，
＝ ……………………… 3分
∴ △ACE ≌△CBD ．……………………… 4分
∴ ∠E ＝∠D ．…………………………………………………………………… 5分
18．解： 101
2cos 30()1(3)3
π-++-
2311=+- ………………………………………………………………4分 1=. ………………………………………………………………………… 5分 19．解： (2)(2)(21)(2)x x x x +----
=22
4(252)x x x ---+………………………………………………………………2分
=224252x x x --+-
=256x x -+-．………………………………………………………………………3分 ∵ 2540x x --=，
∴ 254x x -=．…………………………………………………………………… 4分
∴ 原式=2(5)64610x x ---=--=-．……………………………………………5分 20．解：去分母，得 3(3)2x x --=．…………………………………………………… 1分 去括号，得 332x x -+=． ………………………………………………………2分
整理，得 21x =-．……………………………………………………………… 3分
解得 1
2x =-． …………………………………………………………………… 4分
经检验，1
2
x =-是原方程的解． …………………………………………………5分
所以原方程的解是1
2
x =-．
21．解：设牙膏每盒x 元，牙刷每支y 元．…………………………………………………1分 由题意，得 713121,
1415187.x y x y +=+=???
…………………………………………………… 2分
解得 85.x y ==???，
……………………………………………………………………… 3分
(124125)
88
-?=（盒）
． ………………………………………………………… 4分 答：第三天卖出牙膏8盒．………………………………………………………………5分
22．解：（1）当m =0 时，该函数为一次函数33y x =--，它的图象与x 轴有公共点.
……………………………………………………………… 1分
当m ≠0 时，二次函数2(3)3y mx m x =+--．
2
(3)4(3)m m ?=--?-26912m m m =-++2269(3)m m m =++=+． ∵ 无论m 取何实数，总有2(3)m +≥0，即?≥0， ∴ 方程2(3)30mx m x +--=有两个实数根．
∴ 此时函数2(3)3y mx m x =+--的图象与x 轴有公共点．……………2分 综上所述，无论m 取何实数，该函数的图象与x 轴总有公共点．
（2）∵m ＞0，
∴ 该函数为二次函数，它的图象与x 轴的公共点的横坐标为
(3)(3)
2m m x m --±+=
．
∴ 11x =-，23
x m
=． ……………………………………………………… 3分
∵ 此抛物线与x 轴公共点的横坐标为整数，
∴正整数m=1或3．……………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．（1）证明：如图2．
∵点C与点A重合，折痕为EF，
∴12
∠=∠，AE=EC．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴32
∠=∠．
∴13
∠=∠．
∴AE=AF
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AFCE是平行四边形．…………………………………………2分
又AE=AF，
∴四边形AFCE为菱形．…………………………………………………3分（2）解：如图3，作AG⊥BE于点G，则∠AGB=∠AGE=90°．
∵
点D的落点为点D′ ，折痕为EF，
∴D F DF
'=.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC．
又∵AF=EC，
∴AD AF BC EC
-=-，即DF BE
=．
∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=
∴AG=GB=6.
∵四边形AFCE为平行四边形，
∴AE∥FC.
∴∠4=∠5=60°.
∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°，
∴
tan60
AG
GE==
?
∴6
BE BG GE
=+=+.
∴6
D F'=+…………………5分
24.解：（1）③④.…………………………………2分
（2）补全统计图见图4.…………………3分
1055万人.…………………………4分
（3）1.3%. …………………………………………………………………………… 5分 25. 解：（1）补全图形如图5所示. ………………………………………………………… 1分 答：PG 与⊙O 相切.
证明：如图6，连接OG .
∵ PF =PG ， ∴ ∠1=∠2.
又∵OG =OA ， ∴ ∠3=∠A .
∵ CD ⊥AB 于点E ， ∴ ∠A +∠AFE =90°. 又∵∠2 =∠AFE ， ∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分 即 OG ⊥PG . ∵ OG 为⊙O 的半径， ∴ PG 与⊙O 相切. …………………… 3分
（2）解：如图7，连接CG . ∵ CD ⊥AB 于点E ，
∴ ∠OEC =90°. ∵ DG ∥AB ， ∴∠GDC =∠OEC =90°. ∵∠GDC 是⊙O 的圆周角， ∴ CG 为⊙O 的直径. ∵ E 为半径OA 的中点，
∴ 22
OA OC
OE =
=. ∴ ∠OCE =30°即∠GCP =30°.
又∵∠CGP =90°
，2CG OA ==
∴tan 4PG CG GCP =?∠==. …………………………… 5分 26.解：（1）CAD
BC . …………………………………………………………… 3分
1
tan α
.……………………………………………………………………………4分 （2）方法1：如图8，以点N 为圆心，ON 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点 1P ，2P 为符合题意的点.……………………………………………… 5分 方法2：如图9，过点N 画NO 的垂线1m ，画NQ 的垂直平分线2m ，直线1m 与
2m 交于点R ，以点R 为圆心，RN 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，
则点1P ，2P 为符合题意的点. ……………………………………… 5分
五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．解：（1）∵ 一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，
∴ 20,4 1.
k b k b +=??+=?
解得1,
21.k b ?
=???=-? ………………………………………………………………
1分
∴ 12
1
1-=
x y ． ………………………………………………………… 2分 ∵ 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=，
∴ 二次函数图象的顶点坐标为2
(,4)a a -．
………………………………… 3分
（2）①当2
5
=
a 时，4522+-=x x y ． ………………………………… 4分
如图10，因为10y >且2y ≤0，由图象
得2＜x ≤4． ………………………… 6分
②
136≤a ＜5
2
．……………………………7分 28．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分 证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，
AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．
在△ABF 和△CBE 中，
,,,AB CB A BCE AF CE =??
∠=∠??=?
∴ △ABF ≌△CBE ．
∴ ∠1=∠2．……………………………………………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE =90°，
∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1． ∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC =90°， ∴ ∠4=∠HBC ．
∴ CH=CB ．………………………………………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．………………………………………………………………… 6分
（3
）3．………………………………………………………………………7分
29．解：（1）点A ．………………………………………1分 画图见图12．（画出一个即可）………… 2分
△AMN （或△AJK ）. …………………… 3分
（2）如图13，作OL ⊥EF 于点L .
∵ 线段EF 为点O 的τ型线，
∴ OL 即为线段EF 关于点O 的τ型三角形的高. ∵线段EF 关于点O 的τ
，
∴OL =
. ……………………………… 4分 ∵ 2OE =，OF m =，
∴EL = ∴
cos 1EL OE ∠=
=. ∴
cos 2cos 1
OL OL
OF ==∠∠
∴m =………………………………………………………………………6分
（3）n ≤5
4
-.……………………………………………………………………………8分
北京市海淀区初三数学一模试卷及答案 数 学 2015．5 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．． 是符合题意的． 1．2015年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为 A ． 50.1510? B ．41.510? C ．51.510? D ．31510? 2．右图是某几何体的三视图，该几何体是 A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D.正方体 3．如图，数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数为 2 A 0B A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．2 4．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 A ． 12 B ．45 C ．49 D ．59 5．如图，直线a 与直线b 平行，将三角板的直角顶点放在直线a 上，若∠1=40°，则∠2等于 A ． 40° B ．50° C ．60° D ．140° 6．如图，已知∠AOB ．小明按如下步骤作图： （1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于点E ． （2）分别以D ，E 为圆心，大于1 2 DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ． （3）画射线OC ． 根据上述作图步骤，下列结论正确的是 A ．射线OC 是AO B ∠的平分线 B ．线段DE 平分线段OC b a 2 1
C ．点O 和点C 关于直线DE 对称 D ．O E =CE 7．某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则 这15名选手成绩的众数和中位数分别是 A ．98，95 B ．98，98 C ．95，98 D ．95，95 8. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程S （单位：千米）与时间t （单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a 等于 A ．1.2 B ．2 C ．2.4 D ．6 9．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E .若60B ∠=?，AC =3，则CD 的长为 A ． 6 B ． C D ．3 10．小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有 一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：32a ab -=____________． 12．写出一个函数y kx =（0k ≠），使它的图象与反比例函数1 y x =的图象有公共点，这个函数的解析式为___________． 13 ．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小 A B C D S /千米
黄浦区2015年九年级学业考试模拟卷 数学试卷 一. 选择题 1. 下列分数中，可以化为有限小数的是（ ） A. 115； B. 118； C. 315； D. 318 ； 2. 下列二次根式中最简根式是（ ） A. ； B. ； C. D. 3. 下表是某地今年春节放假七天最低气温（C ?）的统计结果 A. 4，4； B. 4，5； C. 6，5； D. 6，6； 4. 将抛物线2 y x =向下平移1个单位，再向左平移2个单位后，所得新抛物线的表达式是（ ） A. 2 (1)2y x =-+； B. 2 (2)1y x =-+； C. 2 (1)2y x =+-； D. 2 (2)1y x =+-； 5. 如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（ ） A. 内含； B. 内切； C. 外切； D. 相交； 6. 下列命题中真命题是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是矩形； B. 对角线相等的四边形是矩形； C. 四条边都相等的四边形是矩形； D. 四个内角都相等的四边形是矩形； 二. 填空题 7. 计算：22 ()a = ； 8. 因式分解：2 288x x -+= ； 9. 计算： 1 11 x x x +=+- ； 10. 1x =-的根是 ； 11. 如果抛物线2 (2)3y a x x a =-+-的开口向上，那么a 的取值范围是 ；
12. 某校八年级共四个班，各班寒假外出旅游的学生人数如图所示，那么三班外出旅游学生 人数占全年级外出旅游学生人数的百分比为 ； 13. 将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，硬币证明均朝上的概率是 ； 14. 如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为 ； 15. 已知AB 是O e 的弦，如果O e 的半径长为5，AB 长为4，那么圆心O 到弦AB 的距 离是 ； 16. 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是边CD 中点，点N 是边BC 上的点，且 1 2 CN BN =，设AB a =uu u r r ，BC b =uu u r r ，那么MN uuu r 可用a r 、b r 表示为 ； 17. 如图，△ABC 是等边三角形，若点A 绕点C 顺时针旋转30°至点A '，联结A B '，则 ABA '∠度数是 ； 18. 如图，点P 是以r 为半径的圆O 外一点，点P '在线段OP 上，若满足2 OP OP r '?=， 则称点P '是点P 关于圆O 的反演点，如图，在Rt △ABO 中，90B ∠=?，2AB =， 4BO =，圆O 的半径为2，如果点A '、B '分别是点A 、B 关于圆O 的反演点，那么 A B ''的长是 ； 三. 解答题 19. 计算：10 1 2 481)|1-+-+-；