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正余弦定理与解三角形

正余弦定理与解三角形（一）---------解三角形中的元素

【学习目标】

1.理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系，

2.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换．【自主先学】

1、在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为

2，

则C ＝________. 60°

2、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝

a sin A ，则角A 的大小为________. π

3、已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc

＝4，则△ABC 的面积为________. 3

4、在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝

2π3，则B ＝________. π

5、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1

，

3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 4

【质疑拓展】：

题型1 判断三角形的形状

【例1】?ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，根据下列条件判断三角形形状：

（1）()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，则ABC △的形状是

________三角形．

（2）2

()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC △的形状是________三角

形．

（3）a 2b 2＝tan A tan B ，则△ABC 的形状为________________三角形． [答案]等腰或直角

题型2

【例2】?在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2

－c 2

＋3bc ＝0，2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14.

(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积.

解 (1)由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，得b 2＋c 2－a 2＝3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3

2，∴A ＝

π6，

由2b sin A ＝a ，得b ＝a ，∴B ＝A ＝π

6. (2)设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，

得AM 2

＝x 2

＋x 24－2x ·x 2·

? ??

－12＝(14)2，解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×3

2＝2 3.

题型3 【例3】? 【变式训练】【反思小结】：【检测反馈】：

1. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝6，A ＝2π

，则B ＝________.

[答案]

π4

2.在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________. [答案] 60°或120°

3．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为3

，则C ＝________. [答案]60°

4.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC

的面积为________. [答案] 3

5.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1

4，3sin A ＝2sin B ，

则c ＝________.

[答案] 4

6. 在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若tan A ＝7tan B ，a 2－b 2

c ＝3，

则c ＝________. [答案] 4

1.在△ABC 中，若a ＝23，b ＝6，A ＝45°，则∠C ＝________. 答案 105°

解析在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A

a ＝6×

223＝12，因为b ＜a ，所以B ＜A ，

所以B ＝30°，C ＝180°－A －B ＝105°.

2.在ABC ?中, 若9cos 24cos 25A B -=，则BC

的值为．

答案：23

3. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a cos B =5，b sin A ＝12，则a =________. 解析：由正弦定理a sin B =b sin A ＝12，① （a sin B ）2+（a cos B ）2=a 2=169，所以a =13.

3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠C ＝60°，且

a ＋

b ＝5，

c 则△ABC 的面积为．

[答案]

4. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A

sin C ＋sin B ，则B ＝________.

答案 π

5. 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝________.

答案：1

解析 ∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，

设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1.

6. 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1

3BC ，则cos A ＝________.

解析设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝2

3BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋2

1－1×2

＝－3，所以cos A ＝－10

10.

答案－1010

如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD

的张角45CAD ∠=?，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD = m ．

【答案】18

7.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足3cos cos 5

a B

b A

c -=，求

tan tan A

B 的值．答案:4

7. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，

那么AB ＝________. [答案]

8.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14.

(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积. [答案] (1) B ＝A ＝π6； (2) S △ABC ＝12×22×22×3

2＝2 3.

正余弦定理与解三角形（二）-----三角形中的不等关系

【自主先学】

1.在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围________． [答案] 5

2. 在锐角ABC ?中，若2C B =，则AB

的取值范围为 .

答案：

4. 若ABC ?的内角满足sin sin 2sin A B C +=，则角C 的最大值是 . 解析：由sin sin 2sin A B C +=可得：2a b c +=，2

a b

c +∴=

22222

33112442cos 2222

a b a b a b ab a b c C ab ab ab +??+-+- ?+-??∴===≥

∵cos C 在()0π，递减，∴03

C π

<≤

答案：

π 5. 若一个钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．答案：(2，＋∞)

解析设A 为钝角，C 为最小角，则A ＋C ＝120°，C ∈(0°，30°)，由正弦定理得m ＝a

c ＝

sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.而0＜tan C ＜33，∴1

tan C ＞3，则m ＞2. 【质疑拓展】：

题型1 正余弦定理与不等式结合，转化为“解不等式组”

【例1】? 设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，则

的取值范围是______________. 思路：由sin ,sin ,sin A B C 成等比数列可得：2

sin sin sin B A C =，也可视为2

b a

c =，

所求表达式

b a

也可视为

sin sin B

，如果从角入手，则

()22sin sin sin sin sin sin B A C B A A B =?=+无法与

sin sin B

联系,所以考虑从边入手.解析：由sin ,sin ,sin A B C 成等比数列得2

sin sin sin B A C =，即2

b a

c = 不妨设

(0)b c

q q a b

==>，则,b a c bq q ==，

由,,a b c 能构成三角形得b

b bq q b

bq b q

?+>???+>??

?+>??（布列含q 的不等式组，同时“减元”）

q <<.

答案：112

2??

???

说明：（1）也可以特殊化，如设1

1,,b a c q q

===；

（2）上述不等式组中，第三个恒成立，可省略，想一想，为什么？

变题1：设ABC ?内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c ，若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，，则

a b

b a

+的取值范围是________．

答案：??

变题2：已知ABC ?中，sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，则sin 2sin cos B

B B

+的取值范围是

________．

答案：0,2? ??

题型2 正余弦定理与基本不等式结合，转化为利用基本不等式求“范围或最值” 【例2】? （1）已知ABC ?中，sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，则B 的取值范围是________．

答案：0,3π?? ???

解析：由sin ,sin ,sin A B C 成等比数列得2

sin sin sin B A C =，即2

b a

c =

由余弦定理得2222221

cos 2222

a c

b a

c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=（当且仅当a =c 时，“=”

成立）

又因为(0,)B π∈，所以0,

3B π??

∈ ??

（2）若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是

________.

思路：所求cos C 的最值可想到余弦定理用边进行表示，222

cos 2a b c C ab

+-=

，考虑

sin 2sin A B C +=

角化边得到：2a c =，进而消去c 计算表达式的最值即

可

解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C .

由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b

2，

cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2

＋b 2

－?

??a ＋2b 22

2ab

＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，

当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝2

3时等号成立.

∴cos C 的最小值为6－2

4. 答案

6－24

题型3 正余弦定理与三角变换结合，转化为利用三角函数求“范围或最值” 【例2】? 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,2sin a b c a b A =.

（1）求B 的大小；

（2）求cos sin A C +的取值范围．

解：（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1

sin 2

B =，

由ABC △为锐角三角形得π6

B =

．

（2）cos sin cos sin A C A A π??+=+π-

- ?6??cos sin 6A A π??=++ ???

1cos cos 22A A A =+

+3A π?

?=+ ??

?．

由ABC △为锐角三角形知，02020523205626A A C A A A C πππππππ

π?

故 2536A ππ<<

，所以1sin()232A π<+<

3A π?

?<+< ???

所以cos sin A C +

的取值范围为322??

? ???

，．点评：

要注意对“锐角三角形”条件的运用，注意转化中的“等价性”，即三个角均为锐角，进一步的将C 用A 代换，其目的是确定出“目标角A ”的范围.C 满足锐角的条件也由A 来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担.

变题1：在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c

sin c

（1）求A 的大小

（2）若6a =，求b c +的取值范围

解：（1

sin c

=可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”

sin 1sin sin c C

C C

=?==

tan A ∴=

A π

∴=

（2）思路：考虑在ABC V 中，已经已知,A a ，从而可求出外接圆半径R ，进而,B C 与

,b c 也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于

第三边”，但不易利用60A =o

这个条件，考虑利用角来解决

解：

sin sin sin b c a

B C A

===

,b B ∴=

c C = 3

A π

Q 2233

B C C B ππ∴+=

?=-

)2sin sin sin sin 3b c B C B B π?

??∴+=+=+- ?????

11sin sin 12cos 12sin 226B B B B B B π???

?=++=+=+?? ??????

203B π

Q 51,

,sin ,166662B B ππππ???

???∴+∈+∈ ? ? ???????

(]6,12b c ∴+∈

变题2：在锐角ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2b C a c =- （1）求角B

（2）求sin sin A C 的取值范围解：（1）方法一：使用余弦定理222

2cos 2222a b c b C a c b a c ab

+-=-??

=- 222222b c a ac b a c ac ∴--=-?=+-

由余弦定理得：2

2cos b a c ac B =+- 1cos 23

B B π∴=?= 方法二：观察等式,,a b c 齐次，考虑使用正弦定理

2cos 22sin cosC 2sinA sinC b C a c B =-?=-

()2sin cos 2sin sin sin 2sin cos B C B C C C C B ?=+-?=

1cos 23

B B π

∴=?=

（2）2233

A C C A ππ

+=?=-

2211sin sin sin sin cos sin 322A A A A A A A A π???

∴-=+=+? ?????

1cos2112sin 24264

A A A π-??=+=-+ ???

ABC QV 为锐角三角形 ,,0,2A B C π??∴∈ ??? 02

262032A A A πππππ

?<-

52,666A π

ππ

??∴-

∈ ??? 1sin 2,162A π????∴-∈ ? ????? 13sin sin ,24A C ??

∴∈ ???

【反思小结】：

【检测反馈】：

1.设锐角ABC ?的三内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，且1,2a B A ==，则b 的取值范围为 .

答案：

解析：2sin sin2B A B A =?=

sin 2sin cos B A A ∴= 2cos 2cos b a A A ∴==

由锐角ABC V 可知：()02202032B A A C A B A πππππ?

<=-+=-

，解得64A ππ<<，所

以

cos 22A ?∈ ??

，从而2cos b A =∈

2. 已知ABC ?中，sin 2sin cos 0A B C +=，则tan A 的最大值是．

【答案】

【解析】sin 2sin cos 0A B C +=Q ，2cos 0a b C ∴+=，222

202a b c a b

+-∴+=， 22220a b c ∴+-=；

由于2

tan 1

cos A A =-．

又222223cos 244b c a b c A bc bc bc

+-+==≥=，

当且仅当c =时，等号成立．即cos A

故2tan A

，故tan A

解析：由sin 2sin cos 0A B C +=得：sin()2sin cos 0B C B C ++= 化简得：tan 3tan C B =- 所以2tan tan 2tan 2

tan tan()1

1tan tan 13tan 3tan tan B C B

A B C B C B

B B

+=-+=-

-++

≤=sin2sin cos0

A B C

+=，易知cos0

C<，故tan0

B>）.

3.若一个锐角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的

取值范围是________．

答案：[1，2)

4.在斜角△ABC中，

112

tan tan tan

A B C

，则sin C的最大值是．

答案：

5.若ABC

?的内角满足tan3tan

A B

=，则A B

-的最大值是.

答案：

6.已知函数()2cos22cos21

f x x x

=+-+

（1）求()

f x的对称中心

（2）若锐角ABC

?中角,,

A B C所对的边分别为,,

a b c，且()0

f A=，求

的取值范围

解析：（1）(

2cos222cos21

f x x x x

=--+

2cos212sin21

x x x

=-+=-++

∴对称中心为：()

6122

x k x k Z

πππ

+=?=-+∈

∴对称中心为：,1

122

ππ

（2）由已知可得：

2sin210sin2

662

A A

ππ

????

-++=?+=

? ?

????

ππ

+=（舍）或

663

A A

πππ

+=?=

sin sin

sin1

322

sin sin sin2tan2

C C C

b B

c C C C C

π??

∴====+

因为ABC

?为锐角三角形

262

B C

ππ

????

∴?∈

? ?

?<=-<

tan

∴>

∴∈ ?

2. 在锐角△ABC中，角,,

A B C的对边分别为,,

a b c，22

b a ac

-=，2

c=，则a的取

值范围是．

答案：

变6 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2－a2＝ac，则

tan A－

tan B的最小值___________．

答案：22．

变7 在ABC

?中，若B

A tan

tan

tan+

=，且3

c，则该三角形

的面积的最大值为___________．

（三角恒等变换和基本不等式的综合考察，是好题）

答案：5

；

解析：将B

A tan

tan

tan+

=化为边的关系可得27

a，

S sin

222222222111324sin (1cos )44416S a b C a b C a b =

=-=-

21182718()421616a b +-≤-==变8 在ABC ?中，若B C C A B A tan tan tan tan tan tan +=，且2=c ，则该三角形的面积的最大值为___________．答案：5

在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，

b =

B =

，则2a c -的取值范围是___ __.

答案：()

323-，解析：由正弦定理得

2sin sin sin a c b

A C B

=== C

C C A c a C B

b c A B A b a sin 2)32sin(4sin 2sin 42sin 2sin sin ,sin 2sin sin --=-=-∴===

∴π

C C C sin 2sin 32cos cos 32sin 4-??

??-=ππC

cos 32= 3

2cos 3231

cos 2

,320,3<<-∴<<-∴<

<∴=

C C C B ππ

Θ ∴2a c -的取值范围为()

323-，

已知在ABC ?中，且AB 边上的高与边AB 的长相等，则2

AC BC AB

BC AC AC BC

++?的最大值是___ __. 答案：4

解析：看到“高”想面积.

由三角形面积公式得11

sin 22AB AB AC BC C ??=??，即2sin AB C BC AC =?

2222

AC BC AB AC BC AB BC AC AC BC AC BC

++++=?? 联想到公式特点，强行介入“余弦定理”得

222222222

222()22AC BC AB AC BC AB AB AC BC AB AB BC AC AC BC AC BC AC BC AC BC

+-++-++=?=+???

?2(cos sin ))4

A A A π

=+=+.

所以当4

A π

=时，2

AC BC AB BC AC AC BC ++?

的最大值是. 变1 已知在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC

边上的高为

a ，则

c b

b c

+的最大值是___ __. 答案：4

解析：看到“高”想面积.

由三角形面积公式得11sin 262a a bc A ??=

，即2

a A bc

22222cos 2cos 2cos 4sin()6

c b b c bc A a a A A A A b c bc bc bc π

+++===+=+=+. 变2 已知ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则2c b

b a

+的取值范围是________．

答案：(2，4)

变 3 在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角B 为锐角，且

28sin sin sin A C B =，则

a c

+的取值范围是________．

答案：,22?

解析：本题的难点在于将“B 为锐角”这一条件进行转化. ∵角B 为锐角 ∴cos (0,1)B ∈

又2222222

2()2()10()cos 512224

a c

b a

c ac b a c ac a c B ac ac ac b +-+--+-+=

===- 2

)5(0,1)a c b

+=-∈

a c

b +<< ∴a c

b +

的取值范围是??

解三角形题型5正、余弦定理判断三角形形状(供参考)(新)

解三角形题型5：正、余弦定理判断三角形形状 1、（2013·陕西高考文科·Ｔ9）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若 cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 2、（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形. （C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 4、在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 5、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 6、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 7、在△ABC 中，若c C b B a A sin cos cos = =，则△ABC 是（） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为30°的等腰三角形 D ．等边三角形 8、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 9、（2010辽宁文数17）在ABC ?中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ?的形状. 10、在ABC ?中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +?-=-?+,判断该三角形的形状。 11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A

高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径）（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

三角函数正弦定理和余弦定理

(文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- . (1)若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 答案：证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R ? =? ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b =. ABC ∴?为等腰三角形（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知， 2 2 2 4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去. 11 sin 4sin 223 S ab C π ∴==??= 来源：09年高考上海卷题型：解答题，难度：中档

(文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4 2sin(π - A 的值。答案：（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理， A BC C AB sin sin = ，于是522sin sin ===BC A BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=2cos 2 22 于是A A 2cos 1sin -== 5 5，从而5 3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 10 2 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 来源：09年高考江西卷题型：解答题，难度：容易在⊿ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且

2020年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破

2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破考纲要求: 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 1 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题S ab sin C . 2 基础知识回顾: a b c 1. ＝＝＝2R，其中R 是三角形外接圆的半径． sin A sin B sin C 由正弦定理可以变形：(1) a∶b ∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2 Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2 ．余弦定理：a2＝b 2＋c2－2 bccos A，b 2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C． b 2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b 2－c2 变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝ 2bc 2ac 2ab 4. 三角形常用的面积公式 1 1 1 1 abc (1)S＝a·h a(h a表示a边上的高)．(2) S＝absinC ＝acsinB ＝bcsinA ＝ 2 2 2 2 4R

1 （3）S＝2r（a＋b＋c）（r 为内切圆半径）．应用举例: 类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】已知中，，点在边上，且．（1 ）若，求；（2 ）求的周长的取值范围．【答案】（1 ）；（2 ）. 所以：中，利用正弦定理得：

由于：则：，，由于：，则：，得到：，所以的周长的范围是：. 【点睛】本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。【例2】已知在中，所对的边分别为，. （1 ）求的大小；（2）若，求的值. 【答案】（1 ）或（2）1

正余弦定理与解三角形整理(有答案)

正余弦定理考点梳理： 1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） A （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 C B 2. 2．斜三角形中各元素间的关系： a 如图6-29 ，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝_____ （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 3. 正弦定理： a b c 2R 。（R为外接圆半径）sin A sin B sin C a b c ＝＝＝2R的常见变形： sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (2) a b ＝＝ sin A sin B c ＝ sin C a＋b＋c ＝2R； sin A＋sin B＋sin C (3) a＝2R sin_ A，b＝2R sin_ B，c＝2R sin_ C； a b c (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. 2R 2R 2R 4. 三角形面积公式：S＝1 2 ab sin C＝ 1 1 bc sin A＝ca sin B. 2 2 5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 2 2 2 a b c 2bccos A 2 2 2 b a c 2accosB 2 2 2 c b a 2ba cosC 或 cos A cos B cos C 2 2 2 b c a 2bc 2 2 2 a c b 2ac 2 2 2 b a c 2ab 余弦定理的公式：. 6. （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

三角函数之正余弦定理

教师寄语：天才=1％的灵感+99％的血汗 1 戴氏教育中高考名校冲刺教育中心【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】主管签字：________ §3.6 正弦定理和余弦定理一、考点、热点回顾 2014会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识.自主学习 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数一解两解一解一解