圆锥曲线经典解答题汇编
目录
1.轨迹问题 ................................................................................................................................................................................ 1 2.中点弦及弦长公式的运用 .................................................................................................................................................... 5 3.最值问题 ................................................................................................................................................................................ 9 4.面积问题 .............................................................................................................................................................................. 10 5.求解参数范围问题 .............................................................................................................................................................. 13 6.对垂直的处理 ...................................................................................................................................................................... 14 7.比例问题 .............................................................................................................................................................................. 16 8.直线过定点或多点共线问题 .............................................................................................................................................. 18 9.定值问题 .............................................................................................................................................................................. 19 10.相切与公共切线问题 .. (23)
1.轨迹问题
1. 如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；
（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹
解：（1）设M （y 2
0,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0)
则直线的斜率为－k ，方程为200().y k x y -=-
∴由2
002()y y k x y y x
?-=-??=??，消2
00(1)0x ky y y ky -+-=得
解得0021(1,F F ky ky y x k k
--=∴= ∴00220000
2
22
112
14(1)(1)2E F EF E F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+-
--===
=---+--(定值) 所以直线EF 的斜率为定值
（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==o o 当时所以直线ME 的方程为2
00()y y k x y -=-
由2
002y y x y y x
?-=-??=??得200((1),1)E y y --
同理可得2
00((1),(1)).F y y +-+
设重心G （x , y ），则有2222
00000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x x ?+-+++++===???
+--+++?===-?? 消去参数0y 得2122
().9273y x x =->
2. 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，
0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=?TF TF （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x a
c
a F +
=||1； x y
O A
B
E
F M
（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；
（Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x 由P ),(y x 在椭圆上，得
1||F P =u u u r
由0,>+-≥+
≥a c x a
c a a x 知，所以 .||1x a c
a P F +=………3分
证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==
则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=
由.||,4,211222121x a c a r F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a
c
a
由椭圆第二定义得a c c
a x F =
+|
|||2
1，即.||||||2
1x a c a c a x a c F +=+=
由0,>+-≥+-≥a c x a
c a a x 知，所以.||1x a c
a F +=…………………………3分
（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x
当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.
时，由0||||2=?TF PT ，得2TF PT ⊥. 为线段F 2Q 的中点.
a Q F =|1，所以有.222a y x =+ 的方程是.2
22a y x =+…………………………7分 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.
当时，由02=?TF PT ，得2TF PT ⊥. 又2F 2Q 的中点.
设点Q 的坐标为（y x '',），则???????'=+'=.2,2y y c x x 因此???='-='.2,2y y c x x ① 由a F 2||1=得.4)(2
2
2
a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.2
2
2
a y x =+
综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2
2
2
a y x =+……………………7分
3. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥．
（Ⅰ）求AOB ?得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （Ⅱ）AOB ?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
③ ④
解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则???
????+=+=33
21
21y y y x x x (1)
∵OA ⊥OB ∴1-=?OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)
又点A ，B 在抛物线上，有2
22211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x
∴3
2332)3(31]2)[(31)(31322212212
22121+=+?=-+=+=+=
x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3
2
32+=x y
（II ）2
2
212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==? 由（I ）得6666
6121211112222(1)2212222AOB S x x x x ?=++≥?+=-+=?= 当且仅当6
261x x =即121-=-=x x 时，等号成立。所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1；
4. 如图，动圆222
1:C x y t +=,1 与椭圆2C ：22 19 x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2 C 的左，右顶点。 (Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大 面积； (Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程。 【解析】(Ⅰ)设A(0x ，0y )，则矩形ABCD 的面积S=004|||x y ， 由220019x y +=得，22 0019 x y =-， ∴2200x y = 2 2 (1)9x x -=220 199()924x ---， 当2 092x = ，2 012 y =时，max S =6， ∴t =5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6. x y O A B (Ⅱ) 设()()1111,,,-A x y B x y ，又知()()12-3,0,3,0A A ，则 直线1A A 的方程为 ()1 1=+3+3y y x x ① 直线2A B 的方程为 ()11-=-3-3 y y x x ② 由①②得 ()2 2 221221-=-3-3 y y x x ③ 由点()11,A x y 在椭圆0C 上，故可得2112+=13x y ，从而有22112=1-3x y ?? ???，代入③得 ()22 -=1<-3,<09 x y x y ∴直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程为()22 -=1<-3,<09 x y x y ……12分 5. 如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ?，且2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C 。 （Ⅰ）求轨迹C 的方程； （Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求 || || PR PQ 的取值范围。y x B A O M 【答案】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定义等基础知识，考查基本运算能力，逻辑推理能力，考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想 [解析]（1）设M 的坐标为（x,y ），显然有x>0,0≠y . 当∠MBA=90°时，点M 的坐标为（2，, ±3） 当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB, 有tan ∠MBA=MAB MAB ∠-∠2 tan 1tan 2,即2 )1||(11| |2 2||+-+=--x y x y x y 化简得：3x 2-y 2-3=0,而又经过（2，,±3） 综上可知，轨迹C 的方程为3x 2-y 2-3=0（x>1）…………………5分 (II)由方程? ??=--+-=03322 2y x m x y 消去y ，可得0342 2=++-m mx x 。（*） 由题意，方程（*）有两根且均在（1，+∞）内，设34)(2 2 ++-=m mx x x f 所以???? ?????>+--=?>++-=>--0)3(4)4(0341)1(124222 2m m m m f m 解得，m>1,且m ≠2 设Q 、R 的坐标分别为),(),,(00R R y x y x ，由PR PQ <有 )1(32,)1(32202--=-+=m m x m m x R 所以) 1 1(3241)11(32)1 1(32)1(32)1(3222222 m m m m m m m x x PQ PR Q R --+-=--- +=---+== 由m>1，且m ≠2，有 .7m 1 1324 1,347)1 1(3241122≠--+ -+<- -+ -<） （且m 所以 PQ PR 的取值范围是()7,7(7,1Y 2.中点弦及弦长公式的运用 6. 设A 、B 是椭圆λ=+2 2 3y x ）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； （Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=2 2 3,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([42 2 >--+=?∴k k λ ② )3,1(.3 )3(22 21N k k k x x 由且+-= +是线段AB 的中点，得.3)3(,122 21+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A .0))(())((33, 3212121212 2222 121=+-++-??????=+=+y y y y x x x x y x y x λ λ 依题意，.) (3,2 12121y y x x k x x AB ++- =∴≠ . 04即), 1(3的方程为直线). ,12(的取值范围是. 12313,在椭圆内)3,1(又由.1从而,6,2,的中点是)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+?>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB λλΘ （II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分Θ代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x ③ 是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根， 340340011313 1,(),2,(,).22222 x x x x x y x M ∴+=-=+=-=+=-且即 于是由弦长公式可得).3(2||)1 (1||432 -= -?-+=λx x k CD ④ 将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x .016842=-+-λx x ⑤ 同理可得.)12(2||1||212-= -?+=λx x k AB ⑥ .||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当Θ 假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232 | 423 21|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 .|2 |2321229|2| ||||2 2222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2| |CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得： A 、 B 、 C 、 D 共圆?△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2 DN CN AN ?=? ).2 | |)(2||()2||( 2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=.2 12 -λ 由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ,212 2923-=--=λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆 7. 如图，在直角坐标系xOy 中，点P （1， 12）到抛物线C ：2 y =2px （P ＞0）的准线的距离为54 。点M （t ，1）是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分。 （1）求p,t 的值。 （2）求△ABP 面积的最大值。 【解析】 （1）由题意得215124pt p =???+=??，得121 p t ?=? ? ?=?. （2）设()1122(,),,A x y B x y ，线段AB 的中点坐标为(,)Q m m 由题意得，设直线AB 的斜率为k （k 0≠）. 由2 11222 2px 2px y y ?=??=??，得211221()()()y y y y k x x -+=-，得21k m ?= 所以直线的方程为1 ()2y m x m m -= -，即2220x my m m -+-=. 由2 2220x my m m y x ?-+-=??=??，整理得22220y my m m -+-=， 所以244m m =-V ，122y y m +=，2 122y y m m =-.从而得 d 由令t = ，102t << ，则2(12)S t t =-. 设2 (12)S t t =-，102 t <≤，则216S t '=-. 由2160S t '=-=，得10,2t ?? = ??? ，所以max 9S = ，故?ABP 的面积的最大值为9. 8. 己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22 22100x y a b a b -=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ． （Ⅰ）求C 的离心率； （Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF =g ，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切． 【参考答案】 3.最值问题 9. 如图，椭圆22 22:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M 的标准方程； (Ⅱ) 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求|| || PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值. 【答案】(21)(I)22233 4 c a b e a a -==?=……① 矩形ABCD 面积为8，即228a b ?=……② 由①②解得：2,1a b ==， ∴椭圆M 的标准方程是2 214 x y +=. (II)222244, 58440, x y x mx m y x m ?+=?++-=? =+?， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844 ,55 m x x m x x -+=-=， 由226420(44)0m m ?=-->得55m <2 2284442||245555m PQ m m -?? =--=- ???当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-. y Q P N M F O x ①当51m -<<-时，有(1,1),(2,2),||2(3)S m T m ST m ---+=+， 222||45446 1||5(3)5PQ m ST m t t -==-+-+ 其中3t m =+，由此知当134t =，即45 ,(5,1)33 t m ==-∈--时，||||PQ ST 255. ②由对称性，可知若15m <<53m =时，||||PQ ST 2 55 . ③当11m -≤≤时，||2ST =2||2 5||5 PQ m ST =- 由此知，当0m =时， ||||PQ ST 2 55 . 综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST 2 55 . 4.面积问题 10. P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2 2 12 x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF u u u r 与FQ u u u r 共线，MF u u u u r 与 FN u u u r 共线，且0PF MF ?=u u u r u u u u r ．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值． 解：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ ⊥MN ，直线PQ 、NM 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为K ，又PQ 过点F(0,1)，故PQ 的方程为y =kx +1 将此式代入椭圆方程得(2+2k )2 x +2kx －1=0 设P 、Q 两点的坐标分别为(1x ，1y )，(2x ，2y )，则 22122222,k k k k x x --+-++== 从而22222 1212228(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=+亦即222(1)||k PQ +=(1)当k ≠0时，MN 的斜率为－1k ，同上可推得2 2 122(1(1))||12()k MN k +-=+- 故四边形面积2222222211 4(1)(1)4(2) 1||||122(2)(2)52k k k k S PQ MN k k k k ++++== =++++ 令u =2 21k k +得4(2)12(1)5252u S u u +==-++ ∵u =221 k k +≥2 当k =±1时u =2，S=169且S 是以u 为自变量的增函数∴16 29 S ≤< ②当k =0时，MN 为椭圆长轴，22S=1 2 |PQ||MN|=2 综合①②知四边形PMQN 的最大值为2，最小值为16 9 。 11. 如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22 b y =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与 椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a, b 的值. 【解析】（I ）121 6022 c F AF a c e a ο ∠=?=?= = （Ⅱ）设2BF m =；则12BF a m =- 在12BF F ?中，222 12122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-?? 2 2 2 3 (2)5 a m m a am m a ?-=++?= 1AF B ?面积211133sin 60()403 2252 10,5,53 S F F AB a a a a c b ο=??????+?=?=== 12. 如图，椭圆C ：22 22+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，其左焦点到点P (2，1)10O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ) 求?ABP 的面积取最大时直线l 的方程． 【解析】(Ⅰ)由题：1 2 c e a = =； (1) 左焦点(﹣c ，0)到点P (2，1)的距离为：22(2)1d c =++=10 (2) 由(1) (2)可解得：222431a b c ===，，． ∴所求椭圆C 的方程为：22 +143 x y =． (Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12x ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，R (x 0，y 0)．其中y 0＝1 2 x 0． ∵A ，B 在椭圆上， ∴22 02 2 0+12333 43 4422 +14 3A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ?=?-+??= =-?=-?=-?-+?=??． 设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣32 x m +(m ≠0)， 代入椭圆：22 22+143 333032 x y x mx m y x m ?=???-+-=? ?+??＝-． 显然222(3)43(3)3(12)0m m m ?=-?-=->． 12m 12m ≠0． 由上又有：A B x x +＝m ，A B y y +＝23 3 m -． ∴|AB |1AB k +A B x x -|1AB k +2 ()4A B A B x x x x +-1AB k +2 43 m -． ∵点P (2，1)到直线l 的距离表示为：31211AB AB m m d k k -+-+= = ++． ∴S ?ABP ＝12d |AB |＝1 2 |m ＋243m - 当|m ＋2|243m -m ＝﹣3 或m ＝0(舍去)时，(S ?ABP )max ＝1 2 ． 此时直线l 的方程y ＝﹣3 122 x + ． 13. 已知以原点O 为中心，) 5,0F 为右焦点的双曲线C 的离心率52 e = 。 （I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点 ()22,N x y （其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线 C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ?的面积。 5.求解参数范围问题 14. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。 (1) (2) 与双曲线C 恒有两个不同的交点)，求k 的 解：1= ).0,0(>>b a .1,22 2 2 2 ==+b b 得（Ⅱ）将得代入13 222 =-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得2 222 130, )36(13)36(1)0. k k k ?-≠???=+-=->?? 即.131 22<≠k k 且 ① 设),(),, (B B A A y x B y x A ，则 22 9 ,,22,131A B A B A B A B x x x x OA OB x x y y k -+==?>+> --u u u r u u u r 由得 而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++ 22 22937 (1)2.1331k k k k -+ =++=-- 于是2222 37392,0,3131k k k k +-+>>--即解此不等式得.33 1 2< 1 2< 2y x =上，l 是AB 的垂直平分线。 （Ⅰ）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围。 ∵抛物线的准线是x 轴的平行线，1200y y ≥≥，，依题意12y y ，不同时为0 ∴上述条件等价于()()2 2 121212120y y x x x x x x =?=?+-= ∵12x x ≠∴上述条件等价于120x x +=即当且仅当120x x +=时，l 经过抛物线的焦点F 。 （Ⅱ）设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为2y x b =+；过点A B 、的直线方程可写为1 2 y x m =- +，所以12x x 、满足方程21202x x m + -=, 得1214 x x +=- A B 、为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式1804m ?=+f ，即1 32 m -f 设AB 的中点N 的坐标为()00x y ，，则()0121128x x x =+=-，0011 216 y x m m =-+=+ 由N l ∈，得11164m b +=-+，于是5519 16163232 b m =+-= f 即得l 在y 轴上截距的取值范围为932?? +∞ ???， 6.对垂直的处理 16. （1）设F C 的坐标； （2）过C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3相切，求证：OP ⊥OQ [解]（1）双曲线1: 22 1 2 =-y C x ，左焦点)0,(2 6- F . 设),(y x M ，则2 2 2222 62) 3()(||+ =++=x y x MF ， ……2分 由M 是右支上一点，知2 2≥x ，所以223||2 2=+ =x MF ，得2 6= x . 所以)2,( 2 6 ±M . ……5分 （2）左顶点)0,(2 2-A ，渐近线方程：x y 2±=. 过A 与渐近线x y 2= 平行的直线方程为：)(22 2+ =x y ，即12+=x y . 解方程组???+=-=122x y x y ，得?????=- =2 1 4 2y x . ……8分 所求平行四边形的面积为4 2 ||||= =y OA S . ……10分 （3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故 11 ||2=+k b ， 即12 2 +=k b (*). 由???=-+=1 22 2y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则 ?? ? ? ? = = + - - - - 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 k b k kb x x x x . ) )( ( 2 1 2 1 b kx b kx y y+ + =，所以 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ) ( ) 1(b x x kb x x k y y x x OQ OP+ + + + = + = ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ) 1 )( 1( k k b k b k k b k - - + - - - - - += +. 由(*)知0 = ?OQ OP，所以OP⊥OQ. 17. 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为 2 1 ,F F，线段的中点分别为 2 1 ,B B， 且△ 2 1 B AB是面积为4的直角三角形. （Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程； （Ⅱ）过做直线l交椭圆于P，Q两点，使2 2 QB PB⊥，求直线l的方程 【命题立意】本题考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的基本运算，直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综合问题. 解：设所求椭圆的标准方程为() 22 22 10 x y a b a b =>>，右焦点为() 2 ,0 F c。 因 12 AB B V是直角三角形，又 12 AB AB =,故 12 B AB ∠为直角，因此 2 OA OB =,得 2 c b=。 结合222 c a b =-得222 4b a b =-，故2222 5,4 a b c b ==，所以离心率 2 5 5 c e a ==。 在 12 Rt AB B V中， 12 OA B B ⊥，故 12 2 122 1 22 AB B c S B B OA OB OA b b ==== V g g g 由题设条件 12 4 AB B S= V ，得24 b=，从而22 520 a b ==。 因此所求椭圆的标准方程为： 22 1 204 x y += （2）由（1）知 1 (2,0),(2,0) B B -，由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：2 x my =-，代入椭圆方程得() 22 54160 m y my +--=， 设()() 1222 ,,, P x y Q x y，则 12 ,y y是上面方程的两根，因此 122 4 5 m y y m += + , 122 16 5 y y m =- + g 又()() 211222 2,,2, B P x y B Q x y =-=- u u u u r u u u u r ，所以 ()() 221212 22 B P B Q x x y y =--+ u u u u r u u u u r g ()()121244my my y y =--+ () ()212121416m y y m y y =+-++ ()222216116165 5 m m m m +=- -+++ 22 1664 5 m m -=-+ 由21PB QB ⊥,得220B P B Q =u u u u r u u u u r g ,即216640m -=，解得2m =±， 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：220x y ++=和220x y -+=。 7.比例问题 18. 设椭圆C ：22 1(0)x y a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角 为60o , AF u u u r (I) (II) C 的方程. 解： 设1122( A 1y ＜0，2y ＞0. （Ⅰ）直线l 的方程为 )y x c = -，其中c =. 联立2 222),1 y x c x y a b ?=-??+=??得22224 (3)30a b y cy b ++-= 解得22122222 (2) (2) ,33 c a c a y y a b a b +-==++ 因为2AF FB =u u u r u u u r ，所以122y y -=. 即 222222 (2)(2) 233c a c a a b a b +-=?++ 得离心率 2 3 c e a = =. ……6分 （Ⅱ）因为21AB y =-22215 34a b =+. 由 23c a =得3b a =.所以515 44 a =，得a=3， b =椭圆C 的方程为22 195 x y +=. … 19. 已知椭圆2 21:14 x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率。 （1）求椭圆2C 的方程； （2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =u u u r u u u r ，求直线AB 的方程。 【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆2C 的方程为()22 2124 y x a a +=>， =，则4a =． 故椭圆2C 的方程为1 4162 2=+x y ． 两点的坐标分别为(A A x y ， 及（Ⅰ）知，O A B ，，三点共线且点轴上， kx y =． 1中，得()4122=+x k ， 将kx y =代入22+1164y x =中，得()22416k x +=，所以2 2 164B x k =+， 又由2AB OA =u u u r u u u r ，得2 24A B x x =，即 22 4116 416k k += +． 解得1±=k ，故直线AB 的方程为x y =或x y -=． 解法二：A B ， 两点的坐标分别为()()B B A A y x y x ,,,， 由2=及（Ⅰ）知，O A B ，，三点共线且点A B ，不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为kx y =． 将kx y =代入1422=+y x 中，得()44122=+x k ，所以2 2 414k x A +=， 又由2AB OA =u u u r u u u r ，得2 2 4116k x B += ，222 4116k k y B +=， 将2 2, B B y x代入1 4 16 2 2 = + x y 中，得 1 4 1 4 2 2 = + + k k ，即2 24 1 4k k+ = +， 解得1± = k，故直线AB的方程为x y=或x y- = 8.直线过定点或多点共线问题 20. 如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。 （1）求抛物线E的方程； （2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。 解答： （I）设 1122 (,),(,) A x y B x y；则22 1122 2,2 x py x py == 222222 11221122 12121212 22 ()(2)0(2,,0) OA OB x y x y py y py y y y p y y y y p y y =?+=+?+=+ ?-++=?=> Q 得：点,A B关于y轴对称 83(43,12),(43,12) OA OB AB A B ===?- 代入抛物线E的方程得： 2 2 2 x p y ==?抛物线E的方程为24 x y = （II）设 2 (,) 4 x P x；则2 11 42 y x y x ' =?= 过点P的切线方程为2000 11 () 42 y x x x x -=-即2 00 11 24 y x x x =- 令 2 4 1(,1) 2 x y Q x - =-?- 设(0,) M t满足：0 MP MQ= u u u r u u u u r g及 2 00 4 (,),(,1) 2 x MP x y t MQ t x - =-=-- u u u r u u u u r 得：22 4(2)(1)0 t t t x +-+-=对 x≠均成立 2 20,101t t t t ?+-=-=?= 以PQ 为直径的圆恒过y 轴上定点(0,1)M 21. 已知曲线()()()2 2 :528C m x m y m -+-=∈R . （1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围； （2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与 曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线. 解：（1）原曲线方程可化简得：22 18852 x y m m +=-- 由题意可得：88528058 02m m m m ?>?--??>?-??>?-? ，解得：7 52m << （2240+=， ?，② 设(N MB 方程为：6 2M M kx y x x += -，则316M M x G kx ?? ?+?? ，， ∴316M M x AG x k ??=- ?+?? u u u r ，，()2N N AN x x k =+u u u r ，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG u u u r ，AN u u u r 共线 即 3(2)6 M N N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。 9.定值问题 22. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点， OA OB +u u u r u u u r 与(3,1)a =-r 共线。 （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈u u u u r u u u r u u u r ，证明2 2μλ+为定值。 解：设椭圆方程为)0,(),0(122 22c F b a b y a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(2 2222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令A （11,y x ），B 22,(y x ），则2222212122222 2,.a c a c a b x x x x a b a b -+==++ 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+u u u r u u u r r u u u r u u u r 与a r 共线，得 ,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,， .2 3 ,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即2322 22c b a c a =+，所以3 6.32222a b a c b a = -=∴=， 故离心率.3 6 == a c e （II ）证明：（1）知2 2 3b a =，所以椭圆12222=+b y a x 可化为.332 22b y x =+ 设(,)OM x y =u u u u r ，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+= ???+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(2 21212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（ =1212x x x x c x 又21x =故2λ+23. 抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k . （Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足MA BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上； 解：（Ⅰ）由抛物线C 的方程2