常见分布的期望和方差
概率与数理统计重点摘要
1、正态分布的计算：()()(
)X F x P X x μ
σ
-=≤=Φ。
2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72）
3、分布函数(,)(,)x y
F x y f u v dudv -∞-∞
=
⎰⎰
具有以下基本性质：
⑴、是变量x ，y 的非降函数；
⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；
⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<
，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥
4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23
x y
F x y πππ2=++22的概率密度为：2222
6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边缘分布：
边缘概率密度：
()(,)()(,)X Y f x f x y dy
f y f x y dx
+∞
-∞+∞
-∞
==⎰⎰
边缘分布函数：
()(,)[(,)]()(,)[(,)]x
X y
Y F x F x f u y dy du
F y F y f x v dx dv
+∞
-∞-∞+∞
-∞
-∞
=+∞==+∞=⎰⎰
⎰⎰
二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。
7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞
+∞
-∞
-∞
=
-=-⎰
⎰
其中Z ＝X ＋Y
8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即2222
1212(,Z aX bY
N a b a b μμσσ=+++)。
9、期望的性质：……（3）、()()()E X Y E X E Y +=+；（4）、若X ，Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =。
10、方差： 2
2
()()(())D X E X E X =-。 若X ，Y 不相关，则()()()D X Y D X D Y +=+，否则()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++，
()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-
11、协方差：(,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--，若X ，Y 独立，则(,)0Cov X Y =，此时称：X 与Y 不相关。 12
、相关系数：(,)
()()
XY Cov X Y X Y ρσσ=
=
1XY ρ≤，当且仅当X 与Y 存在线性关系时1XY ρ=，且1,b>0;1,b<0XY ρ⎧=⎨-⎩
当 当。
13、k 阶原点矩：()k k v E X =，k 阶中心矩：[(())]k
k E X E X μ=-。
14、切比雪夫不等式：{}
{}2
2
()
()
(),()1D X D X P X E X P X E X εεεε-≥≤
-<≤-
或。贝努利大数定律：0
lim 1n m P p n ε→⎧⎫
-<=⎨
⎬⎩⎭
。 15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因2111n i i P X n n σμεε2
=⎧⎫-<≥-⎨⎬⎩⎭∑，所以011lim 1n i n i P X n με→=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭
∑ 。
16、独立同分布序列的中心极限定理：
(1)、当n 充分大时，独立同分布的随机变量之和1
n
n i
i Z X
==
∑的分布近似于正态分布2
(,)N n n μσ。
(2)、对于12,,...n X X X 的平均值11n i i X X n ==∑，有11()()n i i n E X E X n n
μ
μ===
=∑，221
1()()n
i i n D X D X n n n σσ22
====∑，即独立同分布的随机变量的均值当n 充分大时，近似服从正态分布()N n
σμ2
,
。
(3)、由上可知：{}{}lim ()()()()n n n P a Z b b a P a Z b b a →∞
<≤=Φ-Φ⇒<≤≈Φ-Φ。
17、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：设m 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 发生的概率，则对任意x
,
lim ()n P x x →∞
⎧⎫⎪
≤=Φ⎬⎪⎭
， 其中1q p =-。 (1)、当n 充分大时，m 近似服从正态分布，()N np npq ,。 (2)、当n 充分大时，
m n 近似服从正态分布，(,)pq
N p n
。 18、参数的矩估计和似然估计：(参见P200)
19
20、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见P243和P248。
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常见分布的期望和方差Last revision on 21 December 2020
概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ =? ? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2 = ++22的概率密度为：22226 (,)(,)(4)(9) f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分 布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。 7、两个独立随机变量之和的概率密度： ()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞ -∞ -∞ =-=-? ? 其中Z ＝X ＋Y
罕睹分散的憧憬战圆好之阳早格格创做 (0,1)N 2()Y x n t = 概率取数理统计沉面纲要 1、正态分散的预计：()()()X F x P X x μσ -=≤=Φ.
2、随机变量函数的概率稀度： X 是遵循某种分散的随机变量，供()Y f X =的概率稀度： ()()[()]'()Y X f y f x h y h y =.（拜睹 P66～72） 3、分散函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具备以下基赋本量： ⑴、是变量x ，y 的非落函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对付于任性牢固的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 闭于x 左连绝，闭于y 左连绝； ⑷、对付于任性的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述没有等式创造： 4、一个要害的分散函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率稀度为：222 26 (,)(,)(4)(9) f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边沿分散： 边沿概率稀度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞-∞+∞ -∞ ==⎰⎰ 边沿分散函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=⎰⎰ ⎰⎰ 二维正态分散的边沿分散为一维正态分散. 6、随机变量的独力性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独力.简称X 取Y 独力. 7、二个独力随机变量之战的概率稀度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞ +∞ -∞ -∞ =-=-⎰⎰ 其中 Z ＝X ＋Y
常见分布的期望和方差
概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。
概率分布计算公式 概率分布是概率论中重要的概念之一，它描述了随机变量在各个取 值上的取值概率。在实际问题中，我们常常需要计算概率分布以解决 相关的概率统计问题。本文将介绍几种常见的概率分布以及它们的计 算公式。 一、二项分布(Binomial Distribution) 二项分布是概率论中常用的离散型概率分布，它描述了在一定次数 的独立重复试验中，成功事件发生的次数的概率分布。其计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) 其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，n表示试验次数，p 表示每次试验成功的概率，C(n, k)表示组合数，可以使用n个数任取k 个的方式计算。二项分布的期望为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。 二、泊松分布(Poisson Distribution) 泊松分布是一种离散型概率分布，适用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发生的次数。其计算公式为： P(X=k) = (λ^k * e^(-λ))/k! 其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率，λ表示单位时间(或单位空间)内事件发生的平均次数，e为自然对数的底。泊松分布的期望为 E(X)=λ，方差为Var(X)=λ。 三、正态分布(Normal Distribution)
正态分布是概率论中最重要的连续型概率分布，也称为高斯分布。 它的形状呈钟型曲线，对称于均值。正态分布在实际问题中得到广泛 应用。其概率密度函数的计算公式为： f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^((-1/2)*((x-μ)/σ)^2) 其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ为均值，σ为标准差，π为数学常数3.14159。正态分布的期望为E(X)=μ，方差为Var(X)=σ^2。 四、指数分布(Exponential Distribution) 指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数具有常数倍衰减 的特点。指数分布常用于研究随机事件的等待时间。其计算公式为：f(x) = λ * e^(-λx) 其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，λ为事件发生率的倒数，e为自然对数的底。指数分布的期望为E(X)=1/λ，方差为 Var(X)=1/λ^2。 五、伽马分布(Gamma Distribution) 伽马分布是一种连续型概率分布，适用于描述等待时间为正的随机 事件。其概率密度函数的计算公式为： f(x) = (1 / (Γ(k) * θ^k)) * x^(k-1) * e^(-x/θ) 其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，k为形状参数，θ为尺 度参数，Γ(k)为伽马函数。伽马分布的期望为E(X)=kθ，方差为 Var(X)=kθ^2。
概率分布的期望与方差的计算概率分布是概率论和统计学中的重要概念之一，用于描述随机变量的取值及其对应的概率。期望和方差是概率分布的两个重要指标，用来描述随机变量的集中程度和离散程度。本文将介绍概率分布的期望与方差的计算方法，并举例说明。 一、期望的计算 期望是随机变量的平均值，用于表示随机变量的中心位置。下面介绍几种常见概率分布的期望计算方法。 1. 离散型随机变量的期望计算 对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为： E(X) = Σ(xP(x)) 其中，x代表随机变量X的取值，P(x)代表X取值为x的概率。 举例：假设某公司的年度营业额X（单位：万元）服从以下概率分布： X | 10 | 20 | 30 | 40 P(X) | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 则该概率分布的期望计算如下： E(X) = 10*0.2 + 20*0.3 + 30*0.4 + 40*0.1 = 24 (万元) 2. 连续型随机变量的期望计算
对于连续型随机变量X，其期望的计算公式为： E(X) = ∫(x*f(x))dx 其中，f(x)为X的概率密度函数。 举例：假设某产品的寿命X（单位：小时）服从指数分布，其概率密度函数为： f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0 则该概率分布的期望计算如下： E(X) = ∫(x * λ * exp(-λx))dx，积分区间为0到∞ 利用积分计算方法可得E(X) = 1/λ 二、方差的计算 方差衡量了随机变量的离散程度，是随机变量与其期望之间差异的平方的期望。下面介绍几种常见概率分布的方差计算方法。 1. 离散型随机变量的方差计算 对于离散型随机变量X，其方差的计算公式为： Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(x)) 其中，x代表随机变量X的取值，P(x)代表X取值为x的概率， E(X)代表X的期望。 举例：继续以上述年度营业额X的概率分布为例，其期望为24万元。则该概率分布的方差计算如下：
罕见分布的期望和方差之吉白夕凡创作 (0,1)N 2()Y x n t = 概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。
2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（拜见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基赋性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率密度为：222 26 (,)(,)(4)(9) f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边沿分布： 边沿概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞-∞+∞ -∞ ==⎰⎰ 边沿分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=⎰⎰ ⎰⎰ 二维正态分布的边沿分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。 7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞ +∞ -∞-∞=-=-⎰⎰其中Z ＝X ＋Y
期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。 这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。 定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞ =1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞ =1 i i i p a ， 如果i i i p a ∑∞ =1 =∞，则数学期望不存在。[]1 定义2期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…， n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 （1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。 三、 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的
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期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。 这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。 定义1 若离散型随机变量可能取值为（=1，2，3 ，…），其分布列为（=1，2，3，…），则当<时，则称存在数学期望，并且数学期望为E=，如果=，则数学期望不存在。 定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi （i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xi pi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 （1）设C是常数，则E(C)=C 。 （2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。 （3）。 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量