2、观察表一寻找规律（表二表三分别是从表一中选取的一部分）。则a+b=＿＿＿。
表一 表二 表三
3、有一串真分数：1/2 ,1/3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4,1/5, 2/5 ,3/5, 4/5 …那么第1001个分数是＿＿＿。
4、先观察算式，找出规律，然后填数。 (11－2)÷9=1 (111－3)÷9=12 (1111－
4)÷9=123
(11111－ )÷9=1234
( － )÷9=123456 5、找规律填上合适的数。
6、根据数与数的规律，找出与其他3个圆内数的排列规律不同的一个
圆。
数列、数阵练习题汇总
1、观察下列各数：1, 1, 5/7, 7/15, 9/31,…按你发现的规律计算这列数的第7个数为
＿＿＿。
⑴⑵⑶⑷( )
7、1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3， (100)
请观察上面数列的规律，问：
（1）这个数列一共有多少项？
（2）这个数列所有数的总和是多少？
8、观察下面两列数：
5、9、13、17、21、25、29、……
4、7、10、13、16、19、22、……
它们中间第15对相同的数是
9、在下面的一列数中,只有一个九位数,它是______.
1234,5678,9101112,13141516,……
10、把自然数按下表的规律排列,其中12在8的正下方,在88正下方的数是______.
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 ×××××
×××××××
11、计算:1996+1995-1994-1993+1992+1991-1990-1989+…+4+3-2-1,结果是____.
12、下面是一列有规律排列的数
组:(1,1/2 ,1/3);(1/3,1/4 ,1/5),(1/5,1/6 ,1/7);……;第100个数组内三个分数分母的和是______.
13、把所有的奇数依次一项,二项,三项,四项循环分
为:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39, 41),(43),…,则第100个括号内的各数之和为______.
14、有一串数,第100行的第四个数是______.
1，2
3，4，5，6
7，8，9，10，11，12
13，14，15，16，17，18，19，20
15、下图是自然数列排成的数表，按照这个规律，1993在哪一列？
A B C D E F
1 2 3
6 5 4
7 8 9
12 11 10
13 14 15
18 17 16
19……
…
16、观察下面的三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
………..第1000行第89个数是______________
17、下面的算式是按规律排列的：5+1，3+4，1+7，5+10，3+13，1+16，…，请观
察上面数列的规律。请问：是否存在算式的运算结果是2012？是第几个？
18、1991414199141419…共2008个数字，其中1有个，9有个，4有个，这些数字的
和是。
19、
一种电子表在10点28分06秒时，显示的时间如图所示，那么从10点至10点半这段时间内，电子表上六个数字都不相同的时间有多少个？
20、先找规律，再填数
3x4=12
33x34=1122
333x334=111222
3333x3334=11112222
33333x33334=( )
333333333x333333334=( )
21、自然数如下表的规律排列：
（1）求上起第10行，左起第7个数是几？
（2）87在上起第几行，左起第几列？
22、观察下列各式：
13＝12 13 +23＝32 13 +23+32＝62
13 +23+33+43＝102 ……
猜想：13 +23+33+……+103＝_______
23、将连续正整数依下列方式分组：
（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9），….
其中第一组有一个数,第二组有2个数,第三组有3个数,…依次类推,请问在第30组内所有数的总和是多少?
24、下面是一串有规律的数:
1, 2/3, 5/8, 13/21, 34/55, …这串数中的第7个数是多少?
25、1+3=2×2；1+3+5=3×3；1+3+5+7=4×4。
请问：1+3+5+…+2011= ×
数列、数阵练习题汇总答案
数列变形为：1/1，3/3，5/7，7/15，9/31……
分子的规律：公差为2的递增数列
分母的规律：两个相邻分母之间的差从左到右分别为2，4，8，16……
这列数第7个数为13/127。
1、由14-11=3得知，表二中的“11”在表一的第四列第三行，a：14+3=17
由17-11=6，13-11=2得知，表三中的“13”在表一的第二行第六列，b：13+7=20 a+b=17+20=37
2、把数串分组：（1/2）,（1/3,2/3）,（1/4,2/4,3/4）,（1/5,2/5,3/5,4/5）……
用试数法：（1+44）×44÷2=990 （1+45）×45÷2=1035
由此可知，第1001个分数是在第45组中。
1001-990=11，所以第1001个分数是第45组的第11个数。
分子规律：每组分数的分子为从1开始递增的自然数。第11个数即为11。
分母规律：第n组分母为n+1，n=45时，分母为45+1=46
第1001个分数为11/46
3、算式规律：括号中的减数为n时，被减数就为n位数，且每个数位上的数字都
是1，除数为9，商为n-1位数，且各个数位上的数从高到低分别为从1到n-1的自然数。
故3处划线上应分别填：5，1111111，7
4、表1规律：同一行上，第一列数与第三列数相加，等于第二列数。故5+9=14
表2规律：同一行上，第二列数与第三列数的和的2倍等于第一列数。故（7+5）×2=24
5、圆1、2、4的规律均为：左上×7=左下，右上÷7=右下，而圆3不是。
6、把题中数列摘分为两个数列：
数列一：1，4，7，10，13，……，100 公差为3，项数：（100－1）÷3＋1＝34（项）
数列二：1，2，3，1，2，3，……分插入数列1，因头尾均为数列1中的数，故数列2有34-1＝33项
（1）、34+33＝67（项）（2）、（1＋100）×34÷2＋33÷3×（1＋2＋3）＝1783
8、第一个数列公差为4，第二个数列公差为3，观察得知，它们出现的相同的数亦为一个公差为12的等差数列，即13，25，37，……故第15对相同的数为：13+12×（15-1）＝181
9、规律：“四数合一”。100÷4＝25，第25个数由3个两位数1个三位数合成，即979899100。
10、观察得知，每行尾数的排列规律为1，3，6，10，15，21……，78，91…… 88应该和91一行，即第13行。故其下面的数为88+13＝101
11、原式＝（1996+1995-1994-1993）+（1992+1991-1990-1989）+……＋（4+3-2-1）＝1996
12、每组分数的分母相加，所得的和组成新的数列：6，12，18，24……公差为6
题中所求的分母和为：6+（100-1）×6＝600
13、每4个括号为一组，每组有10个数，100个括号有25组，共250个数。第100个括号中有四个数，最后一个数是250×2+1=501，则前三个数分别为499，497，495，所以第100年括号内的各数之各为501+499+497+495=1992
14、第1行有2个数，第2行有4个数，第3行有6个数……所以第99行有198个数，前99行共有（2+4+6+……198）=9900个数。第100行第四个数是9900+4=9904
15、排周期：BDFECA，1993÷6=332……1 1993在B列
16、前999行共有数字（1+999）×999÷2＝499500个，
第1000行第89个数为499500+89＝499589
17、规律：第一个加数：5，3，1，5，3，1…第二个加数：1，4，7，10，……公差为3
所以初步符合题意的算式有3个：5+2007=2012 3+2009=2012 1+2011=2012 末项=首项+（项数-1）×公差，只有2011代入公式求得的项数才是整数。
2011=1+（项数-1）×3 项数=671 所以存在算式的运算结果是2012，是第671个。
18、排周期：199**** ****÷7＝286（组）……6个数。
1的个数：286×3+3＝861 9的个数：286×2+2＝574
4的个数：286×2+1＝573 和：（1+9+9+1+4+1+4）×286+（1+9+9+1+4+1）＝8319
19、因题中要求时间段为10:00—10:30，且六个数字均不相同，故此题化为填空题，10:2(a) :(b)(c)，其中b为秒数的十位，取值范围3、4、5，三种选择，a 为分钟数的个位，取值范围3，4，5，6，7，8，9，七种选择，c为秒数的个位，取值范围3，4，5，6，7，8，9，七种选择。
先确定b，再确定a，最后确定c：3×（7-1）×（7-2）＝90（种）
20、规律：第一个因数有n个3，第二个因数中有（n-1）个3，积就有n个1和n 个2，
故空中填1111122222，111111111222222222
21、（1）每行第一个数的排列规律是n的2次方，第10行的第一个数是10×10＝100，从100开始递减到第7个数，100-7+1＝94
（2）9×9＝81，87在第10行，第10行的第一个数是82，因此87在第10行的第6列
22、规律（先只看底数不看指数）：1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10，……
1+2+3+……10＝55，空中应填55的平方。
23、前29组中共有数字（1+29）×29÷2＝435个，因此第30组中的数字为436，437，438……465。第30组内所有数的总和为：（436+465）×30÷2＝13515
24、规律：前一个分数分子与分母的和是后一个分数的分子。前一个分数的分母与后一个分母的分子的和是后一个分数的分母。
此数串中的第7个数是233／377。
25、等号左边：1，3，5，7，……等差数列的求和。等号右边：此数列的“中数”（即“平均数”）的平方。（2011+1）÷2＝1006，故空中应填1006、1006。
数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?
例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+
例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠
放缩法典型例题 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：
解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．．
∴．3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，
第二讲：数字游戏—填图与拆数 【有话要说】 填数是一种既有趣，又能锻炼头脑、发展智力的趣味活动。它不仅可以提高你的运算能力，而且能促使你积极地去思考问题，解决问题。 填数这类题目的题型比较多，解答时除了口算要熟练外，更重要的是要会分析、推理。有的题目答案不止一种，要多尝试，要尽量运用发散思维、求异思维，把各种可能的答案想出来。 【经典例题】 例1：把1、3、5、7、9、11、13七个数填入右图中的七个圆圈内，使每条直线上三个数的和都等于21. 思路导航：这道题可以这样想：1+3+5+7+9+11+13=49,21+21+21=63，63-49=14，由于计算三条直线上三个数时，中间圆圈里的数多算了两次，就多出了14，正好7+7=14，说明中间圆圈里应该填“7”，21-7=14，把另外六个数两个两个分组，使每组两个数的和都等于14； 1+13=3+11=5+9=14，也就是首尾配对。 例2：如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、 斜行的三个数的和等于15. 思路导航：因为每一横行、竖行、斜行三个数的和都等于15，我们可以 先填一行中只有一个空格的数，如：4+（9）+2=15，竖行6+（7）+2=15，斜行6+（5）+4=15，根据填出的数再填只有一个空格的数。 6 4 2
3 7 56 4 52 1 3解： 例3：把1、2、3、4、5、6这六个数填入右图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于13。 思路导航：先确定图形中央的两个数分别填几，可以这样想，先求六个数的和与两个大圆上八个数的和：1+2+3+4+5+6=21,13+13=26,26-21=5，这个5就是中央两个圆的数的和，1+4=5,2+3=5，就是说中央两个小圆里可以填1和4，也可以填2和3，中央填1和4,13-5=8，左边填3和5，右边填2和6，中央填2和3行不行呢？剩下的数有1、4、5、6任意两个数的和都不是8，所以无法填出，因此，中央只能填1和4. 解： 例4：由图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上1 ～7七个自然数，在一些部分中，自然数3、5、7三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是15. 思路导航：
数列求和方法总结 一、公式法 ()()111122 n n a a n n n .na d +-==+等差型 S ()111111n n na q a q q q =??=-?≠?-? ，2.等比型 S ， →3.分式型/阶乘型 裂项相消法 () 1111111n n n n n a a a d a a ++??=- ???? ，其中为等差； ( 12n a d = ，其中为等差； ()()() ()113=+1+1+1n n n!n !n!.n !n!n !-?=- ， ()()()( )1111153759 11121121231233n n . .,n N n *???++++∈+++++++KK KK K KK 例1：求下列各数列的前项和S ，，， 二、等差等比混合型 (){}=n n n a b kn b q ??+?→ 1.等差等比 错位相减法 n n S 例2：求下列各数列的前项和 ()()112n n .a n =+? ()()12312n n .a n ??=-? ??? ()()()3312n n .a n =-+?-
{}111122n n k n b a q a q ±+++→ 2.等差等比 分组求和 n n S 例3：求下列各数列的前项和 ()1111123248 .,,,KK ()2211121333333 n n .,,,,+++KK → 3.奇偶项不同 分组求和 n n S 例4：求下列各数列的前项和 ()()()1115913143n n .n -=-+-++--K 相邻异号 例：S ()11211n n n .a ,a a ,S -=+= 和为常数 例：求()122314=+2n n n .a ,a ,a a ,S -== 差为常数 例：求()12+11142=63n n n n n .a a ,a a ,a S ??== ??? 比为常数 例：，求及 三、倒叙相加/相乘型 n n S 例5：求下列各数列的前项和 ()11110142n x n .f (x ),S f ()f ()f ()f ()n n -= =++++ 已知求；()211121220121201220112 x .f (x ),f ()f ()f ()f ()f ()f ()x =+++++++KK KK 已知求；()1312.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，求插入个数之积； ()1412.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等差数列，求插入个数之和； 22112n n n n n n n +++??== ??? T ,S
数阵图是小学奥数阶段一个很重要的专题。在这节课中，我们的教学目标就是让学生初步认识数阵，并能通过一系列的练习，找到解数阵的一般方法。今天我们重点研究的方法，就是通过找中心数来解题，会根据题目中给出的已知条件来求中心数。在例题的设计中，我们也是层层深入，让学生能通过简单的例题来发现规律找到解题的方法，通过例题难度的加深来拓展应用。希望这节课的学习能使学生的思维能力得到培养，能让学生对数阵产生兴趣，为今后的继续学习奠定基础。 在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜， 奇妙无穷．它就是数阵图．到底什么是数阵图呢？我们先观察下面两个图： 数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形．它一般分为辐射型(图1)和封闭型(2)两种．要把一些数字按一定的规则填入图形中，并不是一件容易的事，这需要我们多观察，找关系，仔细推理才能完成．下面我们就一起来找一找数阵图的秘密吧 【例1】 把1，2，3，4，5这 5个数分别填入图中的圆圈内，（1）使得横行 3个数的和与竖列 3个数的和都 等于 10。（2）使得横行3个数的和与竖列3个数的和都相等.一共有多少种不同的填法？ 【例2】 把4～8这五个数填入图中(已填入6)，使两条直线上的三个数之和相等 . 例题精讲 知识框架 数阵图 巧求周长
【例3】把1，2，3，4，5，6，7 这7个数分别填入圆圈中，使得每条直线上的3个数的和等于12． 【例4】把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条线上的三个圆圈内的数之和都等于15。 【例5】1～7这七个数分别填入图中的各○内，使每条直线上三个○里数的和相等．一共有多少种方法？ 【例6】把1～9这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的和都等于15。 【例7】将1，2，3，4，5，6这6个数分别填入下图中，使两个大圆上4个数的和都等于14.
数列求和汇总答案 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 例1、已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +???+++=32（利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。 解：2222222212345699100-+-+-+--+ 由等差数列的求和公式得 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. 例2求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----?+=-- ∴2 1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1}的通项之积 设n n n S 2 226242232+???+++=…………………………………①
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =
（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。
二下《填数阵图》练习题 基础知识 填空 1、四千零九十写作（），八千写作（） 三百零七写作（），二个千，五个百是（） 2、甲数是125，比乙数多18，乙数是（）。 3、老师有20个本子，最少还要买（）个就可以平均分给7个小朋友了。 4、从一个钝角上剪去一个直角后得到的角是（）。 5、32个百加上6个十是（）；差和减数都是1700，被减数是（）。 6、383中左边的3表示（），右边的3表示（）。 7、20比一个数少5，这个数是（）。 8、被除数和除数（0除外）相等，商是（）。 9、如果被减数不变，减数减少10，那么差就会（）。 10、正方形四条边（），四个角都是（）。 11、3m＝( )cm 9cm＝( )mm 50dm＝( )m 5km10m＝( )m 12、按规律填数：3785 , 3885 ,（）,（）, 4185 , ( ) 13、填“＞”，“＜”或“＝”： 2时○200分1时30分○90分 3080○2985 10个十○2个百 1000-30○700 200分○2小时 判断 1．下午第一场电影是1小时30分开映。（） 2、3米、400厘米、350厘米按从大到小的顺序排列是400厘米＞350厘米＞3米（） 3、最小的四位数减１就是最大的三位数（） 4、求比72多20的数是多少，用加法计算（） 5、3点整、3点半、9点整、9点半的时针分针都成直角。（） 6、两个数相除，被除数一定大于除数。（） 7、在除法里，商不一定小于除数。（） 选择 1、3000是（）可以看成 ①30个千②30个百③30个十 2、一个钝角可以分成（）。 A．一个直角和一个锐角 B.两个锐角 C.不能确定 列竖式计算 100－81＝ 400－380＝ 根据算式提问题或条件。 1、小鸡有6只，小鸭是小鸡的5倍，？算式是：6＋6×5
三、数列求和 数列求和的方法. （1）公式法：①等差数列的前n 项求和公式 n S =__________________=_______________________. ② 等 比 数 列 的 前 n 项 和 求 和 公 式 ? ? ?≠===)1(___________________)1(__________q q S n （2）....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. （3）n n n C a b =?，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错 位相减法”. （4）1 n n n C a b = ?，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n n 1-=的类型。举例如下： ()()() 5050 12979899100129798991002 22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式： （1） 111)1(1+-=+n n n n ;(2) =+-) 12)(12(1 n n ____________________;(3)1 1++n n =__________________ 题型一 数列求解通项公式 1. 若数列{a n }的前n 项的和1232 +-=n n S n ，则{a n }的通项公式是n a =_________________。 2. 数列}{n a 中，已知对任意的正整数n ，1321-=+???++n n a a a ，则22221n a a a +???++等 于_____________。 3. 数列中，如果数列是等差数列，则________________。 4. 已知数列{a n }中，a 1＝1且 3 1 111+=+n n a a ，则=10a ____________。 5. 已知数列{a n }满足)2(1 1≥-= -n a n n a n n ，则n a =_____________.。 6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ，则n a =_____________.。 {}n a 352,1,a a ==1 { }1 n a +11a =
等差数列求和 引例：计算1+2+3+4+……+97+98+99+100 一、有关概念: 像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。这个固定的数就叫做“公差”。 二、有关公式： 和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+公差×（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 项数=（末项-首项）÷公差+1 三、典型例题： 例1、聪明脑筋转转转： 判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差项数 （1）1、2、4、8、16、32. （）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（） 例2、已知等差数列1,8,15,…,78.共12项，和是多少？（博易P27例2）
（看ppt,推出公式） 例3、计算1+3+5+7+……+35+37+39 练习2：计算下列各题 （1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7+……+95+97+99 （2）3+15+27+39+51+63 （4）2+4+6+8+……+96+98+100 （3）已知一列数4,6,8,10，…，64，共有31个数，这个数列的和是多少？ 例5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加一根，共堆了10层。这堆圆木共有多少根？（博易P27例3）（看ppt） 练习3： 丹丹学英语单词，第一天学了6个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？ 等差数列求和练习题 一、判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项 及公差写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差 1. 2、4、6、8、10、12、14、16.（）（）（）（） 2. 1、3、6、8、9、11、12、14. （）（）（）（） 3. 5、10、15、20、25、30、35. （）（）（）（） 4. 3、6、8、9、12、16、20、26.（）（）（）（） 二、请计算下列各题。 （1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33 （2）4+8+12+16+20+24+28+32+36+40 （3）求3、6、9、12、15、18、21、这个数列各项相加的和。 （4）2+4+6+8+……+198+200 ★（5）求出所有三位数的和。 （其他作业：练习册B 1题、4题、6题）
15 数列求通项问题 数列求通项方法一：累加法，解决形如型数列通项问题)(1n f a a n n =-+. 例．设数列}{a n 的前n 项和为S n ，}{a n }满足a 1＝1，a n +1﹣a n ＝n d ，n ∈N *．若n d ＝3n ，求数列}{a n 的通项公式； 解：（1）若a n +1﹣a n ＝d n ＝3n ，则a 2﹣a 1＝3， a 3﹣a 2＝32，a 4﹣a 3＝33，……a n ﹣a n ﹣1＝3n ﹣1， 累加得：a n ﹣a 1＝＝，又由a 1＝1，∴a n ＝. 数列求和方法二：构造法，解决形如型或接近于等差或d pa n n +=+1a .等比数列型 例．已知数列{a n }满足a 1＝1且a n +1＝2a n +1，求a n ； 解：∵a n +1＝2a n +1，∴a n +1+1＝2a n +2＝2（a n +1），又a 1+1＝2≠0，所以， ∴数列{a n +1}是等比数列，公比q ＝2，首项为2．则， ∴； 例 数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n +n ﹣1．求数列{a n }的通项公式． 解：根据题意，a n +1＝2a n +n ﹣1，则a n +1+n +1＝2a n +n ﹣1+n +1＝2a n +2n ＝2（a n +n ） 所以，所以数列{a n +n }为等比数列． 数列{a n +n }为以2为公比的等比数列，又a 1＝1，所以a 1+1＝2． 所以，所以． 例．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝﹣1，a n +1＝S n ?S n +1,求{a n }的通项公式． 解：因为a n +1＝S n +1﹣S n ，所以S n +1﹣S n ＝S n ?S n +1． 两边同除以S n ?S n +1得﹣＝﹣1．因为a 1＝﹣1，所以＝﹣1． 因此数列{ }是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列． 得＝﹣1+（n ﹣1）（﹣1）＝﹣n ，S n ＝﹣．
2016春季数学集训二队每周习题(3)参考答案 星期一 1.将自然数1，2，3，……按下表的规律排列。问：55应该出现在哪个字母所在的一列？如果1、2、3、4所在的那行称作第1行，那么它在第几行？ 解：(提示：每个周期8个数，每个周期占两行) 55÷8＝6…… 7(是C 列) 行数：2×6＋2＝14(行) 答：55应该出现在C 字母所在的一列，它在第14行。 2.如果今年的3 月26日是星期三，那么今年的4月26日是星期几？ 解：(3＋31)÷7＝4……6(星期六) 答：今年的4月26日是星期六。 3.如果今年的6月26日是星期三，那么今年的8月4日是星期几？ 解：(3＋30＋31＋4－26)÷7＝6(日) 答：今年的8月4日是星期日。 星期二 4.将2、5、8、11、14【解题思路】：确定图中的公用数。 图中两条线上6个数的总和为：2×24＝48， 已知5个数的总和为：(2＋14)×5÷2＝40或8×5＝40， 或2＋5＋8＋11＋14＝40 图中两条线的总和比已知数的总和多出了：48－40＝8， 则公用数为8。 5.将2、4、6、8、10、12、14填入下图的○中，使每条线上三个数之和都等于24。 【解题思路】：确定图中的公用数。 图中三条线上9个数的总和为：3×24＝72， 已知7个数的总和为：(2＋14)×7÷2＝56或8×7＝56， 图中三条线的总和比已知数的总和多出了：72－56＝16， 因为中间的公用数多用了2次，所以公用数为：16÷2＝8
6.把1～7填入下图的圆圈中，使每条线上三个数之和都等于12。 【解题思路】：确定图中的公用数。 图中三条线上9个数的总和为：3×12＝36， 已知7个数的总和为：(1＋7)×7÷2＝28或4×7＝28， 图中三条线的总和比已知数的总和多出了：36－28＝8， 因为中间的公用数多用了2次，所以公用数为：8÷2＝4。 星期三 7.将2～10这九个数分别填入下图的方格内，使每行、每列及每条对角线上的三个数之和都为18。 【解题思路】：确定中间数。 因为每边之和是18，可以得到中间数是：18÷3＝6， 最后填完整个九宫图。 8.把4～9填入下图的□内，使每条线上三个数的和都是18。 【解题思路】：确定图中三个公用数。 图中三条线上9个数的总和为：3×18＝54， 已知6个数的总和为：(4＋9)×6÷2＝39， 图中三条线的总和比已知数的总和多出了：54－39＝15则三个公用数之和为15。又因15＝4＋5＋6， 所以三个公用数分别是4、5、6。 9.将1～10填入下图的○中，使每个菱形的四个顶点上四个数之和都为20。 【解题思路】：确定图中两个公用数。 图中四个菱形上12个数的总和为：3×20＝60已知10个数的总和为：(1＋10)×10÷2＝55图中四个菱形的总和比已知数的总和多出了：60－55＝5，则两个公用数的和为5。 5＝1＋4＝2＋3。 (答案不唯一。举其中一例，如右图所示)
数列求和方法及典型例题 1.基本数列的前n 项和 ⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和：n S ???? ??????+?-++=n b n a d n n na a a n n 211)1(212)( ⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S ： ①当1=q 时，1na S n =；②当1≠q 时，q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11； 2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法. 题型一 公式法、性质法求和 1.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，公比7,299==S q ，则=++++99963a a a a 2.等差数列{}n a 中，公差2 1= d ，且6099531=++++a a a a ，则=++++100321a a a a . [例1]求数列 ，，，，，)21(813412211n n +的前n 项和n S . 题型二 拆项分组法求和 [练2]在数列{} n a 中，已知a 1=2，a n+1=4a n －3n ＋1，n ∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，求S n 。 [练].求数列{}2)12(-n 的前n 项和n S . [例].求和：) 1(1431321211+++?+?+?n n . 题型三 裂项相消法求和 [例].求和： n n +++++++++11341231121 . [例]求和：n +++++++++++ 321132112111 [练4]已知数列{}n a 满足()*1112,1N n a a a n n ∈+==+
数阵图 小朋友们，你喜欢填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不是一 件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能 找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！ 例1.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现。 (1)填数，使横行、竖行的三个数 (2)填数，使每条线上的三个数 相加都得11. 之和都得15. 例2.在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.
在空格中填入适当的数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15。 例3.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数之 和都等于14。 拓展练习 （1）把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等 于12。 （2）把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13. 例4.把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12。 把1，3，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为17。
简单数阵图 一、辐射型数阵图 从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。 突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和 数和+中心数×重复次数＝公共的和×线数 数和：指所有要填的数字加起来的和 中心数：指中间那数字，即重复计算那数字 重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少 1 公共的和：指每条直线上几个数的和 线数：指算公共和的线条数 例1、把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。例2、把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三个○内数的和等于10。 例3、在下图圆圈内分别填入数字1~9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少？ 二、封闭型数阵图
数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距 为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622 3219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1 { n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足 ,,2 1 1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1 1*2 N n a b n n ∈-= 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n a a 2 11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；
数列的求和 1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 2 ． 公 式 法 ： 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=++++= ∑L 2 3 3 3 3 3 1 (1)1232n k n n k n =+?? =++++=????∑L 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常 见 拆 项公式 ： 1 11)1(1+-=+n n n n ； 1111 ()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? （三）例题分析： 例1．求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1 (n n n x x x x x x S ++++ ++=Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：①)110(9 1 10101011112-= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ])101010[(9 1)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ8110910]9)110(10[ 911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ n x x x x x x n n 2)1 11()(242242++++++++=ΛΛ （1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2) 1() 1)(1(21)1(1)1(2 2222222222+-+-=+--+--=+---
数列专项之求和-4 （一）等差等比数列前n 项求和 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n n 项求和 ② 数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ?的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ?的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列 {}n n a b ?的前n 项和. 此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法. 例23. 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S )0(≠x 例24.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前 n 项的和. 一般地，当数列的通项12()() n c a an b an b = ++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将n a 变成两项的差，采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项： 设1 2 n a an b an b λ λ = - ++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得 21 c b b λ= -，从而可得 122112 11 =().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++ 常见的拆项公式有： ① 111(1)1n n n n =-++； ② 1111 ();(21)(21)22121 n n n n =--+-+
③ 1a b =-- ④11; m m m n n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ?=+- ⑥]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n …… 例25. 求数列 ???++???++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和. 例26. 在数列{a n }中，1 1211++ ???++++=n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. 例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和：231 ,,71,41,1112-+???+++-n a a a n 如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： 121...n n a a a a -+=+= 例29.求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 例30. 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 ⑸记住常见数列的前n 项和： ①(1) 123...;2 n n n +++++= ②2 135...(21);n n ++++-= ③22221 123...(1)(21).6 n n n n ++++= ++ ④2 33 3 3 )]1(2 1[321+=+ +++n n n
3322 11 1321.lim _____212.lim _____3(5)33.lim _____(5)3 4 4.lim ______1234....(21)2 5.lim _____1 (2)6.lim ______124...(2)7.lim(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞++→∞→∞ →∞+-→∞→∞+=++=+-+=-+=-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题 21213)______211118.lim ....(1)______3927319.lim 0,____,_____110.(1)lim(12),_____ (2)4,__11.lim(2)5,lim n n n n n n n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞ →∞ →∞ →∞ --=+??-+++-=??????+--=== ?+?? -+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1 (3)1,lim()1 13(1) 12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n n n n a b a b n n n a S a n n a S →∞ -→∞ →∞ -=-??≤≤?+?=???≥??求的值 若为数列的前项和求
{}{}12123101511113.,9,27,,lim 31 14.,1,,, 32lim 15.,321111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞ →∞ ++--→∞→∞+===-=∈-??=-+-++-??+??数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且 求范围 数列都是公差不为的等差数列12211212 22 1121 ,lim 2, ...lim 17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim ,lim ...19.{},,lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞→∞++→∞→∞++→∞=+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围 数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521 111,1...20.lim ...121.{},lim()12 n n n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞→∞-++++++++-= +求范围求等比数列公比为求取值范围