圆锥曲线的统一性质： 石家庄第一中学 冯伟冀 1． 第二定义的统一性 圆的准线在∞,0=e . 2． 极坐标方程的统一性 3． 曲线上一点光学性质的统一性 椭圆：点光源在一个焦点上，光线通过另一个焦点。 双曲线：点光源在一个焦点上，反射光线与另一焦点到反射点的连线在同一条直线上。 抛物线：点光源在焦点上，反射光线相互平行且垂直于准线。具体应用：探照灯 4． 一般弦长公式具有统一性 5． 过焦点弦长公式具有统一性 6． 过曲线上一点切线方程的统一性 7． 直径所对周角之斜率乘积的统一性 8． 焦点弦端点切线的交点轨迹的统一性 9． 过焦点且和焦点弦垂直的的直线和焦点弦端点切线的关系统一性 10． 过非等轴双曲线曲线上一点做互相垂直弦共有的性质 11． 过曲线上一点做倾斜角互补直线所成弦而具有共有的性质 12． 内部焦点弦被焦点分成两个焦半径倒数和为定值 13． 圆锥曲线内部外部点代入方程后不等式符号的统一性 14． 过同一焦点两任意焦点弦AB 和CD ，AC 和BD 交点轨迹统一 15． 任意一弦BA 延长交准线于E ，则FE 平分BFA 外角 16． 任意一弦BA 延长交准线于E ，则FE 平分BFA 外角，又任意一弦AN 延长 交准线于Q ，则FQ 平分BFA 外角后得到EFQ 是直角 17． 过一个焦点交圆锥曲线于MN ，做MN 的垂直平分线交轴与P 则离心率等于 2PF/MN 18． 二次曲线和二次曲线交于两点AB ，联立两方程消X 得0)(=Y H ,消Y 得 0)(=X G 则AB 为端点的圆的方程就是0)()(=+Y H X G （必须先保证X 和Y 系数相同） 19． 若有弦AB,AB 中点为),(00.y x P 则弦AB 方程为 0)2,2(),(00=---y y x x f y x f 20． 圆锥曲线通径长统一为定值ep 2 21． 利用统一的圆锥曲线方程中判别式可以判断曲线类型 22． F 是焦点，E 是F 对应准线L 和轴交点AD 垂直L ，BC 垂直L 则有BD 、AC 同时平分线段EF （一组关系） 23． F 是焦点，E 是F 对应准线L 和轴交点AB 是过焦点F 的弦，BC 平行FE ，N 是线段EF 的中点，则BC 和AN 交点C 在准线L 上 24 F 是焦点，E 是F 对应准线L 和轴交点，B 是圆锥曲线上一点，C 在L 上，BC 平行FE ，N 是线段EF 中点，则直线BF 和CN 的交点A 恰在圆锥曲线上 25过圆锥曲线准线L 上一点做圆锥曲线的两条切线MA 、MB 则切点弦必过焦点F 且和MF 垂直（一组关系） 25 F 是焦点，过曲线上一点P 的切线与相应于焦点F 的准线交于Q ，则PFQ 是直角 26 点P 在圆锥曲线上时过P 的切线方程和点P 不在曲线上的切点弦方程一致 27 截圆锥得到圆锥曲线的统一性：用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。 28焦点关于切线的对称点的轨迹统一性问题 29过圆锥曲线外一点做和圆锥曲线有一个公共点的直线的统一性问题 30 圆锥曲线的以焦点为圆心以2a 为直径的特征大圆和以中心为圆点以a 为半径的特征小圆的统一性问题 31从圆锥曲线外一定点P 引两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，过圆锥曲线上的任一点引切线交P A 、PB 于C 、D ，则CFD ∠是定值． 32从圆锥曲线外准线上一点P 引两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，过圆锥曲线上的 任一点引切线交P A 、PB 于C 、D ，则2 π =∠CFD ,是定值． 33AB 是圆锥曲线的(直径,长轴,实轴,轴)，过B 的直线l AB ⊥，点D 是圆锥曲线上除轴两端点外任意一点，直线AD 交直线l 于点E ，点C 是线段BE 的中点，那么DC 是圆锥曲线的切线。(一组关系) 34过圆锥曲线焦半径的端点作切线，与以轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 35已知圆锥曲线E 的焦点为F,其对应准线为L,L 与F 所在的对称轴交于点A,动弦BC 平行于L,直线AB 与圆锥曲线E 相交于D,则C,D,F 三点共线.
第一节焦点三角形 一、焦点三角形的周长 知识点：（1）已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则21F PF ?的周长恒为c a 22+； （2）已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点，l 过焦点1F 且与椭圆交于B A ,两点，则2ABF ?的周长恒为. 4a 例1，已知21,F F 分别为椭圆1:22 22=+b y a x E 的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于B A ,两点，且22,,BF AB AF 成等差数列，求E 的离心率.变式1，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为2 2，过点1F 的直线l 交C 于B A ,两点，且2ABF ?的周长为16，求椭圆的方程.二、焦点三角形的面积 知识点：（1）已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点，M 是椭圆上的动点，则21F MF ?的面积为)(2 tan 212MF F b y c S M ∠===θθ；（2）已知21,F F 分别为双曲线1-22 22=b y a x 的左、右焦点，M 是双曲线上的动点，则21F MF ?的面积为).(2 tan 212MF F b y c S M ∠===θθ
例2，已知双曲线122 2 =-y x 的焦点为21,F F ，点M 在双曲线上且021=?MF MF ，则点M 到x 轴的距离为_______. 变式2，已知双曲线1:22=-y x C 的焦点为21,F F ，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则21PF PF ?=___________. 三、焦点三角形的角平分线 知识点：（1）在ABC ?中，AD 为ABC ?的角平分线，则CD BD AC AB =；（2）已知点P 是椭圆122 22=+b y a x 上的动点，21,F F 为椭圆的两个焦点，21F PF ?的内切圆的半径为r ，则). (21c a r S F PF +=?例3，已知21,F F 为椭圆112 162 2=+y x 的左右焦点，点)3,2(A 在椭圆上，求21AF F ∠的角平分线所在直线的方程. 变式3，已知21,F F 分别为双曲线127 9:2 2=-y x C 的左右焦点，A 为C 上一点，点M 的坐标为)0,2(-，AM 为21AF F ∠的角平分线，则._____2=AF
2021年高中数学2.5圆锥曲线的共同性质 要点精讲 椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质： 圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线． 椭圆的离心率满足0
圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求 导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF
9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上 根据第8条，证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。（点差法）
圆锥曲线的共同性质 【教学目标】 1、 知识与技能 通过本节的学习，掌握圆锥曲线的共同性质，理解离必率、焦点、准线的意义。 2、 过程与方法 教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。 3、 情感、态度与价值观 通过本节的学习，可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。 【教学重点】圆锥曲线第二定义的推导 【教学难点】对圆锥曲线第二定义的理解与运用 【教学方法】讨论发现法 【教学过程】 一、知识回顾 1 在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：222)(y c x a cx a +-=-， 将其变形为： a c x c a y c x =-+-2 2 2)(， 你能解释这个式子的意义吗？ 这个式子表示一个动点P （x ，y ）到定点（c ，0）与到定直线c a x 2=的距离之比等于定值a c ，那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？ 二、新课讲解 已知点点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线c a x l 2 :=的距离之比是常数)0(>>c a a c ，求点P 的轨迹。 解：由题意可得 a c x c a y c x =-+-2 2 2)( 化简得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-。 令2 22b c a =-，则上式可以化为 )0(12 2 22>>=+b a b y a x
这是椭圆的标准方程。 所以点P 的轨迹是焦点为（c ，0），（-c ，0），长轴长、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆。 若将条件0>>c a 改为c a <<0呢？ 由上例知，椭圆上的点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比是一个常数，这个常数就是椭圆的离必率e 类似地，可以得到：双曲线上的点P 到定点F （c ，0）的距离和它到定直线c a x l 2 :=（2220a c b a c -=>>，）的距离的比是一个常数，这个常数a c 就是双曲线的离心率e 。 F 和到一条定直线l （F 不在定直线l 上）的距离之比是一个常数e 。 这个常数e F l （1） 椭圆的离心率e 满足0
圆锥曲线的基本定义性质与结论 考点一 圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2.椭圆的标准方程： ①x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21 c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． ② y 2a 2+ x 2b 2 =1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． 3.椭圆的几何性质（用标准方程x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)研究）： 1）范围：?a ≤x ≤a ，?b ≤y ≤b ； 2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； 3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的2121,,,B B A A ； 4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的A 1A 2；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B 1B 2． 5）椭圆的离心率：e =c a ，焦距与长轴长之比，0
For pers onal use only in study and research; not for commercial use 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 . For pers onal use only in study and research; not for commercial use 椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭圆 点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的外角. PT平分△ PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 F0(X 若 P0(X0 2 x ,y0)在椭圆一亍 a 2 、x ,y0)在椭圆一2 a 2 2 2 2 y - b y - b =1上，则过P0的椭圆的切线方程是一0厂?辔=1. a b =1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦 2 x 椭圆 一2 a 2 x 椭圆一 2 a 2 2 2 2 y b y - b =1 (a>b> 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点一RPF2 - =1 ( a > b> 0)的焦半径公式： P1P2的直线方程是°2 - =1. a b 戈，则椭圆的焦点角形的面积为S A：1PF2 = b2 tan—
|MF i |=a ex o ,|MF 2p a-( Fj-c,0) , F 2(c,0) M (心 y °)). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A i 、A 2为椭圆长轴上的顶点， A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A i Q 交于点N ，则MF 丄NF. 2 2 2 2 -2 y ^ = 1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是一2 y^ - ―02 - a b a b a b 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 2 2 5. 若F 0(x 0, y 0)在双曲线 令-占=1( a > 0,b > 0)上，则过F 0的双曲线的切线方程是 彎一呼 =1. a b a b 2 2 6. 若i =0(x 0, y 0)在双曲线—~2 ^2 -1(a >0,b >0)外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是■X 0，__y°y = 11. AB 是椭圆 即 K AB 2 2 a 2 b 2 b 2X 0 —2 。 a y ° =1的不平行于对称轴的弦， M (x 0, y 0)为AB 的中点，_则k OM k AB = b 2 ~2 ， a 12. F 0(X o ， y o )在椭圆 2 2 7占=1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是翠晋色 止 a 2 b 2 13. F 0(x 0,y °)在椭圆
圆锥曲线的统一定义解读 江苏王冬琴 圆锥曲线的统一定义揭示了椭圆、双曲线、抛物线三种曲线的内在关系，使我们充分感受数学的内在的、和谐的美，有了发现美、欣赏美的意识；统一定义的推导需要娴熟的代数恒等变形的技能，整个推导过程渗透了特殊到一般，具体到抽象的数学思想. 一、圆锥曲线的统一定义 1．定义平面内到一定点F 与到一条定直线l ( 点F 不在直线l 上)的距离之比为常数e 的点的轨迹叫圆锥曲线. ①当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆；②当e= 1 时, 点的轨迹是抛物线；③当e>1 时, 点的轨迹是双曲线，其中常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线. 2．焦半径：圆锥曲线上的点与焦点的连线段叫做焦半径. 运用圆锥曲线的统一定义，可以推导出曲线上一点到焦点的距离就是焦半径，一般用点的坐标和离心率表示. 3．注意事项 （1）统一定义是充分必要条件，即满足条件的点一定在圆锥曲线上，反之，圆锥曲线上的任意一点也满足条件. （2）焦点与准线要对应，对于椭圆或双曲线，其上的一点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于它的离心率。这里的“相应”指的是：“左焦点对应左准线”、“右焦点对应右准线”；特别地，对于焦点在x 轴上的双曲线来说，右支上任意一点到左焦点的距离与这点到左准线的距离之比也等于离心率. （3）准线与圆锥曲线一定没公共点. （4）当点F在直线l上时，设平面内动点M到直线l的距离是d，且MF e d =，若1 e>， 则动点M的轨迹是过F点与直线l成等锐角的两条相交直线；若1 e=，则动点M的轨迹是过F点与直线l成等直角的一条直线；若1 e<，则动点M的轨迹不存在. 二、圆锥曲线的几何性质
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是002 21x x y y a b +=. 6. 若000 (,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为12 2 tan 2F PF S b γ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2 OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。
1命题12．椭圆两个共轭直径上的正方形之和等于两个对称轴上的正方形之和．命题13．双曲线两个共轭直径上的正方形之差等于两个对称轴上的正方形之差．命题31．椭圆或双曲线的两条共轭直径所构成的平行四边形(以其交角为内角)等于两条对称轴所构成的矩形． 2我探究的这一特性是在抛物线、椭圆和双曲线上讨论的——过圆锥曲线的焦点，做一条弦与圆锥曲线相交，则由焦点分割弦得到的两段线段长度的倒数之和，与圆锥曲线离心率和焦点到相应准线的距离相乘的倒数的两倍；但是对于双曲线，当这两个交点分别位于两支上面的时候，之和应该改为之差。这样说来可能比较抽象，那么用数学表达式来说明一下。设m和n是焦点分割弦形成的线段的长度，e代表圆锥曲线的离心率，p代表焦点到相应准线的距离，则有112mnep+=恒成立，对于交点位于两支上的弦，满足112mnep?=的关系。换句话说，焦点分割弦得到的线段长度的倒数之和或者之差是一个定值，只与圆锥曲线有关系，而与点在圆锥曲线的位置没有关系。这给我们什么启示呢 3用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式：，两边取模，运用三角不等式得 。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。因此托勒密定理得证。 1．第二定义的统一性圆的准线在∞,0=e. 2．极坐标方程的统一性3．曲线上一点光学性质的统一性椭圆：点光源在一个焦点上，光线通过另一个焦点。双曲线：点光源在一个焦点上，反射光线与另一焦点到反射点的连线在同一条直线上。抛物线：点光源在焦点上，反射光线相互平行且垂直于准线。具体应用：探照灯4．一般弦长公式具有统一性5．过焦点弦长公式具有统一性6．过曲线上一点切线方程的统一性7．直径所对周角之斜率乘积的统一性8．焦点弦端点切线的交点轨迹的统一性9．过焦点且和焦点弦垂直的的直线和焦点弦端点切线的关系统一性10．过非等轴双曲线曲线上一点做互相垂直弦共有的性质11．过曲线上一点做倾斜角互补直线所成弦而具有共有的性质12．内部焦点弦被焦点分成两个焦半径倒数和为定值13．圆锥曲线内部外部点代入方程后不等式符号的统一性14．过同一焦点两任意焦点弦AB和CD，AC和BD交点轨迹统一15．任意一弦BA延长交准线于E，则FE平分BFA外角16．任意一弦BA延长交准线于E，则FE平分BFA外角，又任意一弦AN延长交准线于Q，则FQ平分BFA外角后得到EFQ是直角17．过一个焦点交圆锥曲线于MN，做MN的垂直平分线交轴与P则离心率等于2PF/MN 18．二次曲线和二次曲线交于两点AB，联立两方程消X得0)(=YH,消Y得0)(=XG则AB为端点的圆的方程就是0)()(=+YHXG（必须先保证X和Y系数相同）19．若有弦AB,AB中点为),(00.yxP 则弦AB方程为0)2,2(),(00=???yyxxfyxf 20．圆锥曲线通径长统一为定值ep2 21．利用统一的圆锥曲线方程中判别式可以判断曲线类型22．F是焦点，E是F对应准线L和轴交点AD垂直L，BC垂直L 则有BD、AC同时平分线段EF（一组关系）23．F是焦点，E是F对应准线L和轴交点AB是过焦点F的弦，BC平行FE，N是线段 EF的中点，则BC
Gandongle 椭圆双曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF
圆锥曲线间的三个统一 内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅 世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。 一、四种圆锥曲线的统一定义 动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e ，则当01e <<时，动点P 的轨迹是椭圆：当1e =时，动点P 的轨迹是抛物线；当1e >时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e =，我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值（非零），则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为焦点，L 为准线。 二、四种圆锥曲线的统一方程 从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p ，则2 b p a = 。 如图1，将椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>按向量（,0a ）平移 得到 2 22 2()1x a y a b -+ = ∴2 22 2 2 2b b y x x a a = + ∵椭圆的半通径2 11||b F M p a == ， 22 2 1b e a =- ∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x =+- (01)e << 类似的，如图2，将双曲线 222 2 1(0,0)x y a b a b - =>>按向量(,0)a -平移得到 2 22 2 ()1x a y a b +- = ∴2 22 2 2 2b b y x x a a = +
∵双曲线的半通径2 22||b F M a = ， 22 2 1b e a =- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+-> 对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成 2 2 2 2(1)(1)y px e x e =+-= 对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成222 2(1)(0)y px e x e =+-= 于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。 三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式 在同一坐标系下，作出方程2222(1)y px e x =+-所表示的四种圆锥曲线，如图3，设P 、B 、A 、C 分别是圆的圆心，椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一记为2222(1)y px e x =+-的焦点F 则有22 2 (1)(1)1 1 c a a e P O C c a e a c e e --=-= = = >+++ (1)2 1p p O A e e == =+，2 2 2 (1)(01)1 1 a c a e p O B a c e a c e e --=-= = = <<+++ (0)1 p O P p e e == =+ 即方程2222(1)y p x e x =+-所表示的四种圆锥曲线的一个焦点为 ( ,0)1 p F e +，设焦点F 相应的准线为x m =，则有 O F e m =-。 ∴准线L 为(1) p x m e e -==+，对于圆0e =表示准线L 在无限远处，设点
圆锥曲线的性质 、基础知识 （一）椭圆： 1定义和标准方程： （1）平面上到两个定点F U F2的距离和为定值（定值大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆，其中F1, F2称为椭圆的焦点，F1F2称为椭圆的焦距 （2）标准方程： ①焦点在x轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F1 -c,0 , F2C,0，设距离和 2 2 PF i PF2 = 2a，则椭圆的标准方程为：-y2 =1，其中a b 0,b2二a2 - c2 a b ②焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F10^C ,F20,C，设距离和 2 2 PFi +|PF2；=2a，则椭圆的标准方程为：专+令二丨，其中（a Ab>0,b2=a2—c2） a b 焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大 2 2 2、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例：笃?爲=1 a b 0 a b （1）a:与长轴的顶点有关：A - a,0 ,A a,0 ，A A =2a称为长轴长 b :与短轴的顶点有关: BdO,-b）,B2（0,b ），IB1B2 =2b称为短轴长 C :与焦点有关：斤（—c,O ）F? （c,O ）, F1F2 =2c称为焦距 （2）对称性：椭圆关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设P x O,y O，则-a乞x O空a,-b乞y O乞b （4）通径：焦点弦长的最小值 ①焦点弦：椭圆中过焦点的弦 2b2 ②过焦点且与长轴垂直的弦，PQ|=—— a 说明：假设PQ过F r；_c,O ，且与长轴垂直，则P：L c, y O ,Q1. —c, - y O，所以
= (|PF i | +IPF 2I ) -2 PF 』PF 2 (1 +COSF 1PF2 ) .4c 2 =4a 2 -2 PF j|PF 2 1 cosFfF 2 PF 」|PF 2 = " _2c 1 +cosF 1PF 2 1 +cosF 1PF 2 比 2 .込各比出n 吐 1 COS RPF 2 2 F 1,F 2距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支 2、标准方程: 厶 + 卑=1 二 y ； =3，可得 y 。-。则 PQ = a b a a 2b 2 (5) 离心率：e = c ，因为c a ，所以e - 0,1 a (6) 焦半径公式：称 P 到焦点的距离为椭圆的焦半径 ①设椭圆上一点 P(x 0,y 0 )，则 PR =a+ex), PF 2 ②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为 (7)焦点三角形面积： S P FF 2二b 2 tan ；(其中n 1 证明：S PF ^- PF 1 - PF 2 sinRPF 2 2 + PF 且 F 1F 2 2 -2 PF 1H PF 2 cosRPF ? =a - e)(Q (可记为“左加右减”) a c ，最小值为a - c =PF 1F 2) 2b 2 1 〈PFf =2 PF 1 ' PF 2 1 sin F ]PF 2 : 2 1 cosPF F 2b 2 sin F |PF 2 1 因为 S PF/2 = 2 2c F 1PF 2 We%，所以2 =c y o ，由此得到的推论: ①.F 1PF 2的大小与 y 0之间可相互求出 ②? F 1 PF 2的最大值: F 1 PF 2 最大二 S PF 1 F 2 最大二 y o 最大=P 为短轴顶点 (二) 双曲线: 1、定义：平面上到两个定点 F 「F 2距离差的绝对值为一个常数(小于 F 1F 2)的点的轨迹 称为双曲线，其中 h,F 2称为椭圆的焦点, F 1F 2称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点
2019-2020年高中数学圆锥曲线的共同性质教案苏教版选修1-1 教学目标：（1）掌握圆锥曲线的共同性质，理解离心率、焦点、准线的意义 （2）通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质 （3）通过本节的学习，可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力 重点：圆锥曲线第二定义的推导 难点：对圆锥曲线第二定义的理解与运用 一．知识回顾 二．数学探究 问题1：圆锥曲线有什么共同性质？它们的离心率有什么联系？从抛物线的定义出发来研究： 1．抛物线离心率e=1: 准线方程： 2．椭圆的离心率0
问题2：椭圆和双曲线的准线方程各是什么？ 练习：求下列曲线的准线方程： （1）（2） （3）（4） （5）（6） 例4．在椭圆内有一点P（1，-1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使的值最小，求这个最小值. 巩固练习: 1.双曲线的准线方程是____________. 2.已知平面内动点P到一条定直线的距离和它到定点F的距离的比等于，则点P 的轨迹是__________. 3.椭圆上一点到其左准线的距离等于，则P到右焦点的距离等于_______ 4.以椭圆的右准线为准线的抛物线的标准方程是___________. 问题探究： 设A，是右焦点为F的椭圆上三个不同的点，则“AF,BF,CF成等差数列”是“”的____________条件.
高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=.
8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线 于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ， 则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角.
§2.5 圆锥曲线的共同性质 一、双基检测 1、课本P24《椭圆的标准方程》、P32《双曲线的标准方程》 思考： 在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子： 222)(y c x a cx a +-=-， 将其变形为： a c x c a y c x =-+-2 2 2)(， 你能解释这个式子的意义吗？ 这个式子表示一个动点P （x ，y ）到定点（c ，0）与到定直线c a x 2=的距离之比等于定值a c ，那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？ 二、新课讲解 例1 已知点点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线c a x l 2 :=的距离之比是常数)0(>>c a a c ，求点P 的轨迹。 解：由题意可得 a c x c a y c x =-+-2 2 2)( 化简得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-。 令2 22b c a =-，则上式可以化为 )0(12 2 22>>=+b a b y a x 这是椭圆的标准方程。 所以点P 的轨迹是焦点为（c ，0），（-c ，0），长轴长、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆。 变式 若将条件0>>c a 改为c a <<0呢？ 由上例知，椭圆上的点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比
是一个常数，这个常数就是椭圆的离必率e 类似地，可以得到：双曲线上的点P 到定点F （c ，0）的距离和它到定直线c a x l 2 :=（2220a c b a c -=>>，）的距离的比是一个常数，这个常数a c 就是双曲线的离心率e 。 圆锥曲线的共同定义：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在定直线l 上）的距离之比是一个常数e 。 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线。 注： （1） 椭圆的离心率e 满足0