【新华东师大版】九年级数学上册：第22章《二次函数》教案合集

22.2一元二次方程的解法

第一课时直接开平方法和因式分解法（1）

教学目标

知识技能目标

1.认识形如x2＝a(a≥0)类型的方程，并会用直接开平方法或因式分解法求解；

2.培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力；

过程性目标

1.使学生体会运用直接开平方法和因式分解法解某些特殊的一元二次方程；

2.在学生自主实践中感悟一元二次方程解法的多样性，从而初步认识一些特殊一元二次方程的求解思路．

情感态度目标

通过两边同时开平方或运用因式分解的方法，将一元二次方程转化为一元一次方程，渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化的思想，这是研究数学问题常用的方法．

重点和难点

重点：掌握运用直接开平方法和因式分解法解某些特殊的一元二次方程；

难点：怎样的一元二次方程用直接开平方法，以及用因式分解法，理解一元二次方程的解的情况．

教学过程

一、创设情境

问题解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流．

(1)x2＝4； (2)x2-1＝0．

二、探究归纳

概括(1)x2＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为±2，所以x＝±2．我们知道，求一个数平方根的运算叫做开平方．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．

(2)x2-1＝0，如果把它化为x2＝1，由直接开平方法，得x＝±1．

对于x2-1＝0，将左边运用平方差公式因式分解后再解这个方程，(x＋1)(x－1)＝0，必有x ＋1＝0或x－1＝0，从而得，x1＝-1，x2＝1．

这种通过因式分解来解一元二次方程的方法叫因式分解法．通常用x1、x2来表示未知数为x 的一元二次方程的两个实数解．

思考 (1)能够运用直接开平方法来求解的一元二次方程有什么特征？

(2)x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？

能够运用直接开平方法来求解的一元二次方程形如x 2

＝a (a ≥0)；用因式分解法来解时，首先应将它化成一般形式．

三、实践应用

例1 试用两种方法解方程：x 2

-900＝0．

学生分组分别用直接开平方法和因式分解法解这个方程． 并指出x ＝±30，或x 1＝30，x 2＝-30都可以作为方程的解． 例2 解方程：(1)x 2

-2＝0；(2)16x 2

-25＝0．

分析 对于缺少一次项的一元二次方程ax 2

+c ＝0(a ≠0)，用直接开平方法来解比较简便． 解 (1)移项，得 x 2

＝2， 直接开平方，得 x ＝2±.

所以原方程的解是．，2221-==x x

(2)移项，得16x 2＝25， 方程的两边都除以16，得x 2

16

25

=， 直接开平方，得4

5±

=x ， 原方程的解是4

54

521=

-=x x ，． 思考 本题若用因式分解法求解，应如何解？ 例3 解方程(1)3x 2

＋2x ＝0；(2)x 2

＝3x ．

分析 将方程化成一般形式后，可把左边因式分解再求解，因式分解的常用方法有提公因式法和运用公式法.

解 (1)方程左边分解因式，得x (3 x ＋2)＝0， 所以 x ＝0，或3 x ＋2＝0． 原方程的解是3

2,021-==x x . (2)原方程化为x 2－3x ＝0

方程左边分解因式，得x (x －3)＝0， 所以 x ＝0，或x －3＝0 原方程的解是x 1＝0，x 2＝3.

注意 运用因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)方程化为一般形式； (2)方程左边因式分解；

(3)至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；

(4)两个一元一次方程的解就是原方程的解． 例4 解方程3(x －2)－x (x －2)＝0．

分析 这个方程的左边能否因式分解？有没有必要去掉括号化成一般形式？ 解 原方程可变形为(x －2)(3－x )＝0． 所以x －2＝0或3－x ＝0． 原方程的解是x 1＝2，x 2＝3． 四、交流反思

1.如果一元二次方程的一边是含有未知数的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如ax 2

＝c （a 、c 为常数，a ≠0，c ≥0）．

2.平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由二次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径．

3.一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．如方程x 2

＝－3，就没有实数解；x 2

＝0，有两个相等的实数解是x 1＝x 2＝0．

4.运用因式分解法解一元二次方程，一般要把方程化成一般形式，再运用提公因式法或公式法进行分解因式，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，然后求解；但有时不一定要化成一般形式（如例4）．在解方程的过程中，要注意方程的结构特点，进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出方程解的目的．

五、检测反馈 1.解下列方程：

(1)x 2

＝169； (2)45－x 2

＝0； (3)12y 2

－25＝0； (4) x 2

－2x ＝0； (5)(t －2)(t ＋1)＝0； (6)(x ＋1)2

－5 x ＝0．

2.小明在解方程x 2

＝3x 时，将方程两边同除以x ，得x ＝3，这样做法对吗？为什么？ 3.用适当的方法解下列方程： (1)

082

12

=-x ； (2)x x 432=； (3)x (x -1)+3(x -1)＝0； (4)(3x -1)2

-x 2

＝0． 六、布置作业 习题22．2的第1题.

22.2一元二次方程的解法

第二课时 直接开平方法和因式分解法（2）

教学目标： 知识技能目标

1.通过对形如(ax +b )2

＝c （其中a 、b 、c 是常数且c ≥0）的一元二次方程解法的探讨，让学生进一步熟悉直接开平方法；

2.熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程； 过程性目标

1.体会运用直接开平方法与因式分解法解某些一元二次方程；

2.进一步了解，解一元二次方程的方法虽然有所不同，但结果是一样的；

3.经历各种类型的一元二次方程，灵活选取适当的方法解一元二次方程． 情感态度目标

1.通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神；

2.让学生在实际解题中进一步体会转化的思想． 重点和难点：

合理选择直接开平方法与因式分解法解某些一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程.

教学过程： 一、创设情境

问题 如何解下列方程：(1) (x +1)2

-4＝0；(2)12(2-x )2

-9＝0．

对于这两个方程，你想到了哪些求解方法？你能从上一课学习的内容中得到一些启发吗？ 二、探究归纳

分析 对于(1)，如果退一步解x 2

－4＝0，同学们都能想到运用直接开平方法求解；那么将这里的x 换成x ＋1，不是同样的思考方法吗？实际上，这两个方程都可以化成( )2

=a 的形式．

解 (1)原方程可以变形为(x +1)2

＝4， 直接开平方，得

x ＋1＝±2，即x ＋1＝2或 x ＋1＝－2．

所以原方程的解是x 1＝1，x 2＝-3． (2)原方程可以变形为()4

3

22

=

-x ， 直接开平方，得

232±

=-x ，即232=-x 或2

32-=-x ． 所以原方程的解是2

3

2,23221+=-

=x x ． 思考 你对上面两个方程还有其他解法吗？ 三、实践应用

例1 用因式分解法解方程：(1)(x +1)2

-4＝0；(2)12(2-x ) 2

-9＝0．

分析 对(1)左边容易分解为(x ＋1＋2)(x ＋1－2)；而对(2)左边应分解为

()()

3243243--+-x x .（为什么？）

解 (1)原方程左边分解因式，得(x ＋1＋2)(x ＋1－2)＝0. 所以x ＋3＝0，或x －1＝0． 原方程的解是x 1＝1，x 2＝－3．

(2)方程左边分解因式，得3(4－2x ＋3)(4－2x －3)＝0． 所以4－2x ＋3＝0，4－2x －3＝0． 原方程的解是2

3

21-

=x ，2322+=x ．

例2 用适当的方法解方程(1)5(3x ＋1)2

＝20；(2) 4(x -1)2

-(x +2)2

＝0．

分析 (1)变形为(3x ＋1)2

＝4时，用直接开平方法来解简单；(2)把左边分解因式成[2(x -1)+(x +2)] [2(x -1)-(x +2)]，再进一步化成两个一元一次方程求解．

解 (1)原方程可以变形为(3x ＋1)2

＝4． 直接开平方，得

3x ＋1＝±2，即3x ＋1＝2或 3x ＋1＝－2． 所以原方程的解是1,3

1

21-==

x x ． (2)原方程左边分解因式，得[2(x -1)+(x +2)] [2(x -1)-(x +2)]＝0． 整理为3x (x －4)＝0． 所以3x ＝0，或x －4＝0． 原方程的解是x 1＝0，x 2＝4．

例3 小张和小林一起解方程x (3x +2)-6(3x +2)＝0． 小张将方程左边分解因式，得(3x +2)(x -6)＝0 所以3x ＋2＝0，或x －6＝0， 方程的两个解为6,3

2

21=-

=x x ． 小林的解法是这样的：移项得x (3x +2)＝6(3x +2)， 方程两边都除以3x ＋2，得x ＝6．

小林说：“我的方法多简便！”可另一个解3

2

-

=x 哪里去了？小林的解法对吗？为什么？ 分析 小林的解法中有一步“方程两边都除以3x ＋2”是错误的，根据等式的性质，在方程两边只能乘以或除以同一个不等于零的数，等式才成立，现在小林在方程两边都除以3x ＋2，就会丢失一个解．因此，在解一元二次方程时，不可以在方程两边都除以一个含有未知数的代数式．

四、交流反思

1.若方程是( )2＝a的形式，用直接开平方法求解简单；有时方程经过变形后可以得到形如( )2＝a的形式，也适合用直接开平方法；

2.所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式．如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零．用因式分解法更为简单．例如：x2＋5x＋6＝0，因式分解后(x＋2)(x＋3)＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解．可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键．“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据．方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件．满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单；

3.因式分解法解一元二次方程的步骤是：

(1)化方程为一般形式；

(2)将方程左边因式分解；

(3)至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；

(4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．

4.运用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．两种方法的选择，要具体情况具体分析．

五、检测反馈

1.解下列方程：

(1)(x＋2)2－16＝0； (2)(x－1)2－18＝0；

(3)(1－3x)2＝1； (4)(2x＋3)2－25＝0．

2.用适当的方法解下列方程：

(1) 3(x-5)2＝2(5-x)； (2) x2-x-6＝0；

(3) (x-1)2＝(2x+3) 2； (4)2(3x-1)2＝16．

3.当x为何值时，代数式3x2-2x+1的值与2x+1的值相等．

六、布置作业

习题22．2的2，3.

22.2一元二次方程的解法

第三课时配方法

教学目标：

知识技能目标

1.正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0(p2-4q≥0)的方程变形为(x＋m)2＝n(n≥0)类型；

2.会用配方法解形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的数字系数的一元二次方程；

3.培养学生准确、快速的计算能力以及观察、比较、分析问题的能力；

过程性目标

1.让学生经历配方法的推导形成过程，并能够熟练地运用配方法求解一元二次方程；

2.让学生探索用配方法解形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)数字系数的一元二次方程，并与形如x2＋px＋q＝0的方程进行比较，感悟配方法的本质．

情感态度目标

通过本节课，继续渗透由未知向已知转化的思想方法，配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．

重点和难点

重点：掌握用配方法解一元二次方程；

难点：把一元二次方程化为(x＋m)2＝n的形式．

教学过程

一、创设情境

问题：怎样解下列方程：(1)x2＋2x＝5；(2)x2－4x＋3＝0．

二、探究归纳

思考能否经过适当变形，将它们转化为(x－m)2＝n(n≥0)的形式，应用直接开平方法求解？

分析对照公式：a2±2ab+b2＝(a+b)2，对于x2＋ax型的代数式，只需再加上一次项系数一半

的平方，即可得到

2

2

2

2

2

?

?

?

?

?

+

=

?

?

?

?

?

+

+

a

x

a

ax

x完成转化工作．

解(1)原方程化为x2＋2x＋1＝5＋1．

即(x＋1)2＝6．

两边开平方，得x＋1＝±6．

所以x1＝6－1，x2＝－6－1．

(2)原方程化为x2－4x＋4＝－3＋4

即(x－2)2＝1．

两边开平方，得x－2＝±1．

所以x1＝3， x2＝1．

归纳上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数．这样，就能应用直接开平方的方法求解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．

运用配方法解一元二次方程的步骤：第一步是移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到方程的另一边；第二步是配方，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，进行这一步的依据是等式的基本性质和完全平方公式a2±2ab+b2＝(a+b)2；第三步是用直接开平方法求解．

三、实践应用

例1 用配方法解下列方程：(1)x 2－6x －7＝0；(2)x 2

＋3x ＋1＝0． 解 (1)移项，得x 2

－6x ＝7 ……第一步

方程左边配方，得x 2

－2?x ?3＋32

＝7＋32

……第二步 即 (x －3)2

＝16． 所以x －3＝±4．

原方程的解是x 1＝7， x 2＝-1． (2)移项，得x 2＋3x ＝－1． 方程左边配方，得x 2

＋2?x ?

23＋(23)2＝－1＋(2

3)2

， 即(x ＋

23)2＝45

． 所以x ＋

2

3

＝±25．

原方程的解是x 1＝－

23＋25，x 2＝－2

3

－25．

试一试 用配方法解方程：x 2

＋px ＋q ＝0(p 2

-4q ≥0) 解 移项，得x 2

＋px ＝－q ，

方程左边配方，得2

22

2222??

?

??+-=??? ??+??+p q p p x x

即44222

q p p x -=??

? ??

+

当p 2

-4q ≥0时，得2

42

2q

p p

x -±

=+ 原方程的解是2

42

422

21q

p p ，x

q

p p x ---=

-+-= 例2 如何用配方法解方程：2x 2

＋3＝5x ．

分析 这个方程化成一般形式后，二次项的系数不是1，而上面的几个方程二次项的系数都是1，只要将这个方程的二次项系数化为1，就变为上面的问题．因此只要在方程的两边都有除以二次项的系数2就可以了．

解 移项，得：2x 2

－5x ＋3＝0， 把方程的各项都除以2，得02

3

252=+-

x x ， 配方，得2

2

245234525??? ??+-=??

?

??+-x x ，

即161452

=??

? ??

-x ，

所以4

145±=-

x ， 原方程的解是12

3

21==

x x ，． 说明 例2中方程的特点和例1不同的是，例2的二次项系数不是1．因此要想配方，必须化二次项系数为1．对形如一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)用配方法求解的步骤是：

第一步：化二次项系数为1； 第二步：移项； 第三步：配方；

第四步：用直接开平方法求解．

思考 怎样解方程9x 2

－6x ＋1＝0比较简单？ 解法(1) 化二次项的系数为1，得09

1

962=+-x x ， 移项，得9

1

962-=-

x x ， 配方，得2

2

2

31913196??? ??+-=??

?

??+-x x ，

所以，0312

=??? ?

?

-x ．

原方程的解是3

1

21=

=x x ． 解法(2) 原方程可整理为(3x －1)2

＝0． 原方程的解是3

121=

=x x ． 比较上面两种方法，让学生体会配方法是通用方法，但有时用起来麻烦；解法(2)是据方程的特点所采用的特殊的方法，较解法(1)简捷，明快．所以学习不要机械死板，在熟练掌握通法的基础上，可根据方程的结构特点灵活地选择简单的方法，培养灵活运用能力．

四、交流反思．

1.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，其步骤如下： (1)把二次项系数化为1；

(2)移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项；

(3)配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；

(4)用直接开平方法求解．配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的又一种方法．

2.对于二次项的系数不是1的一元二次方程，通常在方程的两边都除以二次项的系数，转化为二次项系数为1的方程，从而用配方法求解；

3.通过观察、比较、分析去发现新旧知识的联系，以旧引新，学会化未知为已知的转化思想是学习数学常用策略；配方法是一种重要的方法，在后面的学习中经常会用到．

五、检测反馈 1.填空：

(1)x 2

＋6x ＋( )＝(x ＋ )2

； (2)x 2

－8x ＋( )＝(x － )2

；

(3)x 2＋

2

3

x ＋( )＝(x ＋ )2； (4) 4x 2－6x ＋( )＝4(x － )2

＝(2x － )2

． 2.用配方法解方程：

(1)x 2

＋8x －2＝0； (2)x 2

－5x －6＝0；

(3)4x 2

－12x －1＝0； (4)3x 2

＋2x －3＝0．

六、布置作业

习题22．2的4(1)\(2)\(3)\(4).

22.2一元二次方程的解法

第四课时 公式法和一元二次方程根的判别式

教学目标： 知识技能目标

1.让学生熟练应用一元二次方程求根公式解一元二次方程；

2.通过公式的引入，培养学生抽象思维能力． 过程性目标

1.让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，感受分类思想；

2.让学生在实践中运用公式法解一元二次方程，体会求根公式的结构特点． 情感态度目标

1. 通过一元二次方程求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想；

2. 培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识． 重点和难点：

重点：让学生掌握一元二次方程求根公式解一元二次方程； 难点：对字母系数二次三项式进行配方． 教学过程： 一、创设情境

问题1 用配方法解方程：x 2-4x+2＝0． 问题2 思考如何用配方法解下列方程？ (1)4x 2-12x-1＝0，(2)3x 2+2x-3=0． 二、探究归纳

让学生独立解决问题1，并思考：用配方法解一元二次方程的步骤怎样？关键是什么？ 用配方法解一元二次方程的步骤：(1)移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到方程的另一边；(2)配方，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方；(3)用直接开平方法求解．其中(2)是关键．

问题1的结果是：21,2121-=+

=x x ．

让学生仿问题1，讨论尝试求解问题2；当二次项系数不为1时，如何应用配方法？ 指出 当二次项系数不为1时，只要在方程两边同除以二次项的系数，将方程转化为二次项系数为1的方程．

问题2的结果是：(1)210

3±=

x ；(2)3101±-=

x ．

探索

我们来讨论一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解． 用配方法来解一般形式的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．

因为a ≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数a ，得

02=++

a c

x a b x ，

移项，得

a c x a

b x -=+

2，

配方，得

2

2222?

?? ??+-=??

?

??++a b a c a b x a b x ， 即

222

442a ac b a b x -=

??? ?

?

+． 因为a ≠0，所以4a 2＞0，当b 2-4ac ≥0时，得

22442a ac b a b x -±=+，

即

a ac

b a b x 2422-±=+．

所以

a ac

b a b x 2422-±

-=，

即

a ac

b b x 242-±-=

．

上面的式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 从上面的结论可以发现：

(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a 、b 、c 确定的． (2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、

c 的值代入a ac b b x 242-±-=

(b2-4ac ≥0)中，可求得方程的两个根．

思考(1)当b 2-4ac ＝0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根怎样？ (2)当 b 2-4ac ＜0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根怎样？ 例 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？

（1）03522

=+-x x ；

（2）8(25)25y y -=-；

（3）2

10x x ++=．

学生独立利用公式法解上述3个方程，然后观察方程的解的情况，观察解题

过程，总结一元

二次方程根的规律和24b ac -的关系．

鼓励学生独立解方程，在解出方程后引导学生观察方程的解，经过讨论得出下列结论：

（1）当240b ac ->时，一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有实数根

1x =，2x =；

（2）当240b ac -=时，一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有实数根 122b

x x a

==-； （3）当240b ac -<时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根．

这里的24b ac -叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“△”来表示，用它可以直接判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况。

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＜0时，方程有两个相等的实数根； 当△=0时，方程没有实数根。 三、实践应用 例1 解下列方程：

(1)2x 2＋x-6＝0； (2)x 2＋4x ＝2； (3)5x 2-4x-12＝0； (4)4x 2＋4x ＋10＝1-8x ． 解 (1)这里 a ＝2，b ＝1，c ＝-6．

因为b 2-4ac ＝(1)2-4×2×(-6)＝1＋48＝49＞0，

所以 x=,

47

122491242±-=?±-=-±-a ac b b

即原方程的解是x1＝-2，x2

23

=

.

(2)将方程化为一般式，得x 2＋4x-2＝0. 因为 b 2-4ac ＝24，

所以

62224

4±-=±-=

x ．

原方程的解是x1＝-2＋6，x2＝-2-6. (3)因为b 2-4ac ＝256，

所以

58

21016452256)4(±=

±=?±--=

x ．

原方程的解是

56

1-

=x ，x2＝2.

(4)整理，得4x 2-12x ＋9＝0. 因为b 2-4ac ＝0，所以

8012±--

=x ，

原方程的解是

2321-

==x x .

在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤 ：(1)确定a 、b 、c 的值；(2)算出b 2-4ac 的值；(3)代入求根公式求出方程的根．

对于(4)b 2-4ac ＝0，方程有两个相等的实数解，而不是一个实数解，不能写成23

-

=x ．

例2 运用适当方法解下列方程：

(1)()1321

2=-x ； (2)()()x x x 2211=-+；

(3)(2x-5)(x-3)＝0； (4)05422

=+-x x ．

分析 (1)适宜用直接开平方法；(2)化简后，得01222

=--x x ，可选择用公式法；(3)用因式分解法简单；(4)用公式法．

解 (1)化为

()232

=-x ， 直接开平方，得23±=-x ， 所以原方程的解是23,2321-=+

=x x ．

(2)化为01222

=--x x ， 因为b 2-4ac ＝12，

所以

3

223

2221212)22(±=±=?±--=

x ，

原方程的解是x1＝32+，x2＝32-. (3)移项并因式分解，得(2x-5)(x-3)＝0， 所以2x-5＝0或x-3＝0．

原方程的解是x1＝25

，x2＝3.

(4)因为b 2-4ac ＝-4＜0，

所以这个方程没有实数解.

例3 不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1)x2＋4x-6＝0； (2)2x2＋6x＝-7；

(3)2x2+4x-2＝0； (4)4x2＋4x＋5＝1-8x．

解（1）因为△=42-4×1×（-6）=40，所以方程有两个不相等的实数根。

（2）原方程变形为2x2＋6x+7=0，因为△=62-4×2×7=-20，所以方程没有实数根。

（3）因为△=42-4×2×2=0，所以方程有两个相等的实数根。

（4）原方程可变形为4x2＋12x＋4＝0，因为△=122-4×4×4=80，所以方程有两个不相等的实数根。

四、交流反思

1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式

a ac

b

b

x

2

4 2-

±

-

=

(b2-4ac≥0)．

利用公式法求一元二次方程的解的步骤：(1)化方程为一般式；(2)确定a、b、c的值；(3)算出b2-4ac的值；(4)代入求根公式求根．

2.通过上面的例1和例2，可以发现，在应用求根公式时，一定要先算b2-4ac的值．

3.解一元二次方程的方法有：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，对于各种类型的一元二次方程，可以用不同的方法求解，在具体求解时，应当根据方程的特点，灵活运用各种方法．

五、检测反馈

1.应用求根公式解方程：

(1)x2-6x＋1＝0；(2)2x2-x＝6；

(3)4x2-3x-1＝x-2；(4)3x(x-3)＝2(x-1)(x＋1)．

2.运用适当的方法解下列方程：

(1) (x-1)(x＋3)＝15；(2) 2x2+3＝6x；

(3)

()0

1

3

2=

+

+x

x；(4)(2x+1)2＝2(2x+1)．

六、布置作业

习题22．2的第4(5)\(6\(7)\( 8)，5，6，7，8，9题.

22.2一元二次方程的解法

第五课时一元二次方程的根与系数的关系

教学任务分析

教学过程

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：

如果ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么

我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x 2

＋px ＋q ＝0的根与系数的关系．

6、总结归纳：如果方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根是x 1和x 2，那么 21x x += ；

21x x =

三、例题学习： 1、例(教材P 34例8)

2、已知方程022=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。

3、 已知方程0652=--x x 的根是 x 1和x 2，求下列式子的值： （1）2

22

1x x + + 21x x （2）

1

2

21x x x x +

交流与点拨：

教师要示范例题，可以让学生尝试应用根与系数的关系解题。

牢牢把握一元二次方程根与系数的关系

四、课堂练习： 1教材P 35练习

学生板演，教师点评。

通过练习加深学生对一元二次方程根与系数的关系的理解。

五、布置作业

1、教材P 36习题22.2第10，11题

六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。

22.3 实践与探索

第一课时

教学目标：

知识技能目标

1.通过探索、参与和体验，学习解有关面积和体积的问题；

2.培养学生观察、分析和合情推理能力. 过程性目标

经历分组讨论，以及交流、归纳、总结，培养合作学习的意识，运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的价值.

情感态度目标

让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养数学应用能力.

重点和难点：

1.利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题;

2.学会分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案. 教学过程： 一、创设情境

请说出矩形的面积公式和长方体的体积公式.

（矩形面积等于长乘以宽；长方体的体积等于长、宽和高的乘积.） 二、实践应用

例1 如图，在长为50m 、宽为30m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分种植花草，且使花草的总面积是道路面积的3倍，请你画出设计图，并计算道路的宽度.

解 方案一：如图所示，

设道路宽为x m ，则横向的路面面积为250xm ，纵向的路面面积为230xm ， 根据题意列出方程为

30503050412??=-+x x x

解得 75,521==x x

但752=x 不合题意舍去，所以5=x 答：道路的宽为5m.

方案二：如图所示，把道路平移到两边，保持面积不变，可使列方程较容易.

设道路宽为x m ，则种植花草的矩形的长为（50－x ）m ，宽为（30-x ）m ， 根据题意列出方程为

)3050(4

3

)30)(50(?=

--x x 解得 75,521==x x

但752=x 不合题意舍去，所以5=x 答 按图设计，道路的宽应为5m.

例2 如图，小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子.

(1)如果要求长方体的底面面积为81cm 2

，那么剪去的正方形边长为多少？

(2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方体的边长会发生什么变化？折成的长方体体积又会发生什么变化？ 折合成的长方体底面积 81

64

49

36

25

16

9

4

剪去的正方形边长

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

折合成的长方体体积

40.5 64 73.5 72 62.5 48 31.5 16

分析 在你观察到的变化中，你感到折合成的长方体体积会又最大的情况吗？先在下列表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致.

解 (1)设剪去的正方形的边长为x cm ，根据题意得

81)10(2

=-x

解这个方程得 19,121==x x 但192=x 不合题意舍去，所以1=x ．

答 剪去的正方形的边长为1cm 时，长方体的底面积为81cm 2

.

(2)按表列出的长方体底面面积的数据要求，剪去的正方形的边长会逐步增大，折合成的长方体体积会先变大，后变小.

探索 在观察到的变化中，感到折合而成的长方体体积会有最大的情况，在直角坐标系中画出相应的点之后，也可得到体积有最大的情况，这与感觉一致.

上述两题要让学生自己去探索，培养学生结合图形的直观感受去解题，培养学生观察、分析合情推理的能力.

课堂练习：

小明家准备用150米的篱笆围成一个长方形的野鸡养殖场，鸡场的一边靠墙，如何搭建才能使养殖场的面积最大?

三、交流反思

本课内容与生活密切相关，具有一定探索性和思考性，是有价值的问题，让学生综合应用已有知识去亲自体验探索过程.

四、检测反馈

1.如图，从一块长80cm ，宽60cm 的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周的宽度一样，并且小长方形的面积使原来铁片面积的一半，求这个宽度.

2.用一块长方形的铁片，把它的四个角各剪去一个边长为4cm 的正方形，然后把四边折起，做成一个无盖的盒子，已知铁片的长是宽的两倍，做成的盒子的容积为1536cm 2

，求这块铁片的长和宽.

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最新华东师大版九年级上册数学知识总结

华东师大版数学九年级上知识点小结 第21章 二次根式 1、二次根式的意义 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。 2、最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 4、二次根式的主要性质 （1）双重非负性：)0(0≥≥a a （2）还原性：（a 2)=a )0(≥a 。 ＊（3）绝对性：?? ???<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a 5、二次根式的运算 （1）因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根 号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法 二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根 式。 0,0).a b ?=≥≥ = (0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

华东师大版数学九年级上册教案

23.1 一元二次方程 教学目标： 1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02 =++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 重点难点： 1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 教学过程： 一 做一做： 1．问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分 析：设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程 x(x ＋10)＝900 整理可得 x 2＋10x －900=0. （1） 2．问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x ，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即5（1＋x ）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程 5（1＋x ）2=7.2, 整理可得 5x 2＋10x －2.2=0. （2） 3．思考、讨论 这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ （ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2 二、 一元二次方程的概念 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式： ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。 其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。.

华东师大版九年级数学中考复习模拟试题

华东师大版九年级数学中考复习模拟试题 一、 填空题（20102=?） 1、1-2的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。 2、因式分解=-+-++121232826m m m x x x 。 3、桌上摆着一个由正方体木块组成，主视图如A 所示，左视图如B 所示，这个几何体最多有 块木块，最少有 块木块。 4、一幢大楼有三个楼梯，4个人从楼上下来，4个人同走一个楼梯的概率 是 。 5、已知点)3,(-a P 与O(2,b)关于原点对称，则a= ,b= . 6、已知函数x k y = 与8+-=x y 有两个不同的交点，则k 的取值范围为 。 7、关于x 的方程(n-1)x n-1-2x n+1 +n=0是一元二次方程，则n= . 8、已知半径分别9CM 为3CM 和的两圆外切，那么它们的外公切线的中点到两圆切点的离是 。 9、如图AB=8CM ，BC=7CM ，AC=6CM ，BE=CE ，那么CD= 。 10、如图，矩形ABCD 的顶点A 在坐标原点，AB ，AD 分别在X 轴，Y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（1，0），点D 的坐标为)3,0(，当此矩形绕点B 旋转到如图 A ’B’C’D’位置时C’的坐标为 . 二、选择题（20102=?） 11、在同一坐标系中，若直线x k y 1=与双曲线x k y 2=没有交点，那么一定 满足（ ） A B B C E D （9） A D B O A’ C’ D’ C (10) X Y

A 0 ,021<>k K B 0,021>K K D 021

2018年华师大版初中数学知识点总结

华师大版初中数学知识点总结 七年级上 第二章有理数 1．相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1)按有理数的定义分类2）按正负分类 正整数正整数 整数0 正有理数 有理数负整数有理数正分数 正分数0 负整数 分数负有理数 负分数负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义）（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a的相反数是—a。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值

华师大版九年级数学上册全册教案

第22章一元二次方程 22.1 一元二次方程 【知识与技能】 1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）. 2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 【过程与方法】 通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 【情感态度】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.

一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5 （1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：

九年级上学期-数学-知识点总结(华东师大版)

? ? ? ? 华师大版九年级上册数学知识点总结 第21 章二次根式 1.二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式． 2.二次根式的性质： ?(a > 0)（1）( a ) 2 =（a≥0）；（2） 0)；（3） 3.二次根式的乘除： a 2 = = ? (a = 0) ?(a < 0) ?= (a ≥0,b≥0) 计算公式：? ? ? = (a ≥0,b>0) 4.概念：?1.最简二次根式：(1) (2) (3) ? 2.同类二次根式： 5.二次根式的加减：(一化，二找，三合并) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6.二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算 术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7.二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 1.一元二次方程： 第22 章一元二次方程 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0) ．它的特征：等式左边 是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． ax 2 叫做二次项，a叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c叫做常数项．2.一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如(x +a)2 =b 的一元二次方程．根据平方根的定义可知，x +a 是b 的平方根，当b ≥0时，x +a =± b ，x =-a ± b ，当b<0 时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式a2 ± 2ab +b2 = (a +b)2 ，把公式中的a 看做未知 数x，并用x 代替，则有x2 ± 2bx +b2 = (x ±b)2 ．

华东师范大学出版社九年级上册数学知识点总结

华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1）=2)( a （a ≥0）；（2 ；（3） ?? ? ??<=>==)0___()0___() 0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除： 计算公式：___(0,0) ___(0,0) a b a b ?=≥≥??=≥>?? 4. 概念： 1.2.?? ?最简二次根式：(1) (2) (3) 同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整

式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项 系数；c 叫做常数项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根 的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+， b a x ±-=， 当b <0时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式22 2)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有22 2)(2b x b bx x ±=+±． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 3. 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 中， ac b 42-叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?． 1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

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华东师大版数学九年级上知识点小结 第21章 二次根式 1、二次根式的意义 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。 2、最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 4、二次根式的主要性质 （1）双重非负性：)0(0≥≥a a （2）还原性：（a 2 )=a )0(≥a 。 ＊（3）绝对性：?? ???<-=>==)0()0(0) 0(2 a a a a a a a 5、二次根式的运算 （1）因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法 二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根式。 0,0).a b ? =≥≥ = (0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。 附：1、根式 )0,0(>≥a b a b 的化简方法 （1）把 a b 化为,a b 然后分母有理化为 .a ab （2）把a b 化为a a a b ??，然后化为 .a ab 2、 分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为： (1)根据（a ）a =2 )0(≥a 可知a (2)根据平方差公式，可知b ±a 的有理化因式为b a μ，y b x a ±的有理化因式是y b x a μ 第22章 一元二次方程： 1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这

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华东师大初中九年级数学上册教案 21．1. 二次根式（1） 教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方 等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）． 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1． 所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考：2a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方” 出来，从而达到化简的目的．例如： 22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 五、 拓展

2017年华东师大版九年级数学上册全册教案(含教学反思)

二次根式 21.1 二次根式 【知识与技能】 1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目. 2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a. a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简. 3.理解2 【过程与方法】 1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题. 2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题. 3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题. 【情感态度】 通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质. 【教学重点】 1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用. 3. 【教学难点】 利用“a（a≥0）”解决具体问题. 关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出

一、情境导入，初步认识 回顾： 当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根. 当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根. 当a是负数时，a没有意义. 【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念. 二、思考探究，获取新知 概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有： （1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）. 形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数. 思考：2a等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律. 概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a. 三、运用新知，深化理解 1.x取什么实数时，下列各式有意义？ 2.计算下列各式的值：

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最新华师大版初中数学教科书目录 七年级上 第1章走进数学世界 数学伴我们成长 人类离不开数学 人人都能学会数学 第2章有理数 § 2.1有理数 1. 正数与负数 2. 有理数 § 2.2数轴 1. 数轴 2. 在数轴上比较数的大小 § 2.3相反数 § 2.4绝对值 § 2.5有理数的大小比较 § 2.6有理数的加法 1. 有理数的加法法则 2. 有理数加法的运算律 § 2.7有理数的减法 § 2.8有理数的加减混合运算 1. 加减法统一成加法 2. 加法运算律在加减混合运算中的应用§ 2.9有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 2. 有理数乘法的运算律 § 2.10有理数的除法 § 2.11有理数的乘方 § 2.12科学记数法 § 2.13有理数的混合运算 § 3.1列代数式 1.用字母表示数 2.代数式 3.列代数式 § 3.2代数式的值 § 3.3整式 1.单项式 2.多项式 3.升幕排列与降幕排列§ 3.4整式的加减 1. 同类项 2. 合并同类项 3. 去括号与添括号 4. 整式的加减 第4章图形的初步认识 § 4.1生活中的立体图形 § 4.2立体图形的视图 1. 由立体图形到视图 2. 由视图到立体图形 § 4.3立体图形的表面展开图 § 4.4平面图形 § 4.5最基本的图形一点和线 1. 点和线 2. 线段的长短比较 § 4.6 角 1. 角 2. 角的比较和运算 3. 余角和补角 第5章相交线与平行线 § 5.1相交线 1. 对顶角 2. 垂线 3. 同位角、内错角、同旁内角§ 5.2平行线 1. 平行线 2. 平行线的判定 3. 平行线的性质 七年级下 第6章一元一次方程 § 6.1从实际问题到方程 § 6.2解一元一次方程 1. 等式的性质与方程的简单变形 2. 解一元一次方程 § 6.3实践与探索 第7章一次方程组 § 7.1二元一次方程组和它的解 § 7.2二元一次方程组的解法

华东师大版数学教材九年级

华东师大版数学教材九年级(上)教材分析 作者：李伟金(课堂教学评价技能与方法广西崇左大新课堂教学评价技能与方法六班) 评论数/浏览数： 0 / 613 发表日 期： 2010-12-13 23:25:27 二次根式一元二次方程图形的相似解直角三角形随机事件的概率 第二十二章二次根式 一、教学内容： 本章的主要内容是二次根式的概念和基本性质，二次根式的化简以及二次根式的运算。 二、教学目标： 1．了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件和基本性质。 2．了解二次根式的性质，并会用来化简二次根式。 3．理解二次根式的乘除法法则，会进行简单的二次根式的乘除运算。 4．理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会进行简单的二次根式的加减运算。5．了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简。 三、课时安排： 22．1二次根式…………（2课时） 22．2二次根式的乘除法…（3课时） 22．3二次根式的加减法…………（1课时） 复习……………………………（2课时） 第23章一元二次方程 一、教学目标 1．联系一次方程、方程组和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”。 2．了解一元二次方程的基本概念，理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法。

3．理解配方法的意义，会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。 4．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否和合理。 5．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，更好地体会数学的价值。 6．结合实践与探索，让学生经历探究性学习的过程，从根本上改变学习方式，发展思维，提高学生自主学习和合作交流两方面的能力。 二、教材特点 本章的内容主要有两个方面： （1）一元二次方程的基本概念及其解法； （2）一元二次方程在实际问题中的应用——实践与探索。教材充分注意了两者的关系，始终将本章的教学置于实际情境之中，让学生充分感受和经历在实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中进行解释、检验和应用的过程，体会数学的价值。 一元二次方程的学习是一次方程、方程组和不等式知识的延续与深化，也是函数等重要数学思想方法的基础，根据课程改革的基本理念，教材中作了如下安排： 1．创设学生熟悉的生活情境，联系实际，导入对基本内容的学习与探索，选用的题材贴近学生生活，具有时代气息，有利于激发学生的学习兴趣，体现数学的价值。注重引导学生对实际问题进行数量关系的分析，体现数学建模的思想和方法，破除形式化的概念教学和繁琐的模式训练。 2．删繁就简，注意数学思想方法的渗透，重视学生能力的培养。教材简化了概念的引入，删除了一些繁琐而实际意义不大的解方程运算，以及一些繁、难、偏、旧的应用问题。注重引导学生参与知识的探索过程，在介绍一元二次方程的解法时，注意与一元一次方程知识的联系与转化，并引导学生体会和熟悉几种解法之间的相互关系。 3．充分体现以学生为主体的教育理念，教材从例题、练习的安排及其开放性设计，到设置“实践与探索”单元，都力图创设有利于学生进行自主探索与合作交流的情境。

华东师大版初中数学按章节目录(最新整理)

华东师大版 初中数学按章节目录七年级上 第1章走进数学世界 §1.1 从实际问题到方程：1. 数学伴我们成长；2. 人类离不开数学；3. 人人都能学会数学；阅读材料华罗庚的故事；视数学为生命的陈景润；少年高斯的速算； §1.2 让我们来做数学；1. 跟我学；2. 试试看；阅读材料幻方. 第2章有理数 §2.1 正数和负数：1. 相反意义的量；2. 正数与负数；3. 有理数； §2.2 数轴；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.3 相反数； §2.4 绝对值； §2.5 有理数的大小比较；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.6 有理数的加法；1. 有理数的加法法则； 2. 有理数加法的运算律； §2.7 有理数的减法； §2.8 有理数的加减混合运算；1. 加减法统一成加法；2. 加法运算律在加减混合运算中的应用； 阅读材料中国人最早使用负数； §2.9 有理数的乘法；1. 有理数的乘法法则； 2. 有理数乘法的运算律； §2.10 有理数的除法； §2.11 有理数的乘方； 阅读材料10003与31000； §2.12 科学记数法； 阅读材料光年和纳米； §2.13 有理数的混合运算； §2.14 近似数和有效数字； §2.15 用计算器进行数的简单运算； 阅读材料从结绳记数到计算器； 小结； 复习题 第3章整式的加减 §3.1 列代数式：1. 用字母表示数；2. 代数式； 3. 列代数式；§3.2 代数式的值； 阅读材料有趣的“3x+ 1”问题； §3.3 整式；1. 单项式；2. 多项式；3. 升幂排列与降幂排列； §3.4 整式的加减；1. 同类项；2. 合并同类项； 3. 去括号与添括号； 4. 整式的加减； 阅读材料用分离系数法进行整式的加减运算；供应站的最佳位置在哪里； 复习题； 课题学习身份证号码与学籍号 第4章图形的初步认识 §4.1 生活中的立体图形； 阅读材料欧拉公式； §4.2 画立体图形；1. 由立体图形到视图；2. 由视图到立体图形； §4.3 立体图形的表面展开图； §4.4 平面图形； 阅读材料七巧板； §4.5 最基本的图形－点和线；1. 点和线；2. 线段的长短比较； §4.6 角；1. 角；2. 角的比较和运算；3. 角的特殊关系； §4.7 相交线；1. 垂线；2. 相交线中的角；§4.8 平行线；1. 平行线；2. 平行线的识别； 3. 平行线的特征； 小结； 复习题； 第5章数据的收集与表示 §5.1 数据的收集；1. 数据有用吗；2. 数据的收集； 阅读材料赢在哪里；谁是《红楼梦》的作者；§5.2 数据的表示；1. 利用统计图表传递信息；2. 从统计图表获取信息； 阅读材料计算机帮我们画统计图 小结； 复习题； 课题学习图标的收集与探讨 七年级下： 第6章一元一次方程； §6.1 从实际问题到方程； §6.2 解一元一次方程；1. 方程的简单变形； 2. 解一元一次方程； 阅读材料丢番图的墓志铭与方程；

(完整word版)华师大版九年级下册数学知识点总结

华师大版九年级下册数学知识点总结 第二十六章 二次函数 一、二次函数概念： 1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。 ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：

3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

华师大版初中数学知识点总结

数学知识点总结 1 2 像+12（2 1) 有理数（3 4（1）【注】 （2 1）2） 5 （1 5 （几何意义）不能单独存在。 如果是偶数个， 叫做数

（3(4)(5)（6123）7(1)12）34（28. 9-8+6，负4的和”

（2 （3 13 （1 （2 数法。 （3） 14 （1 （2 （3 15 （1 （2 （3 （4） 2 1 2 （1） （2 1)代数式中出现的乘号，通常写作“”或省略不写。 但数字与数字相乘时，要用“”。 2 3 4) 5) 3．单项式 （1）如100t、6a、2.5x、vt、- n，它们都是数或 字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数 或一个字母也是单项式。 （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单 1时，“1”通常 (3)一个多项式含有几项，就叫几项式；例如：x

7（1（2(3)1面的“2（41（1（212（312（42（1） 、“一三二Z n 边a 。 a

（3 （4 2 （5 做法： （6 7．角 （1 （2） 无关。 （3 1）用数字表示单独的一个角。如∠1，∠2等 2）用小写的希腊字母表示单独的一个角。如∠， ∠等 3）用一个大写的英文字母表示独立（在一个顶点处只 4 等。 （4 直角∠= 交前 （直角），就说 （平角），就

（2 （3 9 直线l截直线a、b得到八个角。 ∠6 与∠5 10．平行线 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 若直线a与直线b互相平行，记作“//b”。 【注】 行。 （2 （3 画 （4 明确调查对确定调查对象选择调查方法 展开调查记录结果得出结 论 2．频数：表示每个对象出现的次数 方程 从方程的一 这样的方程叫

2020华东师大版初中数学9年级全册知识点汇总

九年级上 第二十一章 二次根式 1．二次根式 )0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，也就是说，)0(≥a a 是一个非负数，它的平方等于a ，即有：（1）)0(0≥≥a a （2）())0(2≥=a a a 形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。 二次根式的性质：???<-≥=) 0()0(2a a a a a 2．二次根式的乘法 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。 )0,0(≥≥=?b a ab b a 3．积的算术平方根 积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。主要用于二次根式的化简。 )0,0(≥≥?=b a b a ab 4．二次根式的除法 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除。 )0,0(>≥=b a b a b a 1． 商的算术平方根 商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母。 )0,0(>≥=b a b a b a 7．最简二次根式 被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。 8．二次根式化简主要包括两方面 （1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来。 （2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来。 9．同类二次根式 像33与32-， a 3、 a 2-与 a 4这样的几个二次根式，称为同类二次根式。 二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。

第二十二章 一元二次方程 1．一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。 一般形式：c b a c bx ax ,,(02 =++是已知数，)0≠a 。其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。 2．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 （2）因式分解法 （3）配方法 （4）公式法 () 042422≥--±-=ac b a ac b b x 3．一元二次方程的判别式，ac b 42 -=? 当0>?时，方程有两个不等的实根。 当0=?时，方程有两个相等的实根。 当0

华东师大版九年级上数学期末模拟试题

B 初中九年级12月月考试题 数 学 （120分钟完卷，满分120分） 友情提示：亲爱的同学，你好！今天是你展示才能的时候了，只要你仔细审题，认真答题，把你正常的水平发挥出来，你就有出色的表现。放松一点，请相信自己的实力！ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。 1、下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A 、12+a B 、a 4 C 、5 1 D 、4a 2、函数y=1+x + 2 1 -x 的自变量x 的取值范围是（ ） A 、x≥-1 B 、x≤-1 C 、x≠2 D 、x≥-1且x≠2 3、若关于x 的方程 x 2-m=2x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A 、m ＞-1 B 、m ＜-2 C 、m≥0 D 、m ＜0 4、已知实数x 满足x 2+ 2 1x +x+x 1 =0，如果设 x+x 1 =y ,则原方程可变形为（ ） A 、y 2 +y-2=0 B 、y 2 +y+2=0 C 、y 2 +y=0 D 、y 2 +2y=0 5、太阳光照射下的某一时刻，1.5m 高的竹竿影长2.5m,那么影长为30m 的旗杆的高是（ ）. A 、20m B 、18m C 、16m D 、15m 6、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 么S △ABC ∶S △BCD =( ) A 、2∶1 B 、3∶1 C 、3∶1 D 、4∶1 7、sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ） A 、cos28°＜ cos58° ＜ sin58° B 、sin58° ＜ cos28°＜cos58° 2013.12

华东师大版九年级上册数学期末试卷及答案

1 / 5 九年级数学试题 一.选择题 1. 下列各式中，与2是同类二次根式的是（） A.4 B.8 C.12 D.24 2. 下列方程中是一元二次方程的是（） A.210x?? B.21yx?? C.210x?? D.211xx?? 3. 用配方法解方程210xx???，配方后所得方程是（） A.(x－12)2 ＝ 34 B.(x＋12)2 ＝ 34 C.(x＋12)2 ＝ 54 D. (x－12)2 ＝ 54 4. 在“红桃5、红桃7、红桃9”这三张扑克牌中任取一张，抽到“红桃7”的概率是( ) A.21 B.31 C.23 D.1 5．如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（） A.∠D=∠B B.∠E=∠C C.ACAEABAD? D.BCDEABAD? 6. 如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（） A.1.3m B.1.65m C.1.75m D.1.8m 7.

在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则sin α的值为（） A.12 B.22 C.32 D.33 8.如图，R t△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论①∠AED=∠ADC；②=；③AC?BE=12；④3BF=4AC，其中结论正确的个数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二.填空题 9．若x<2，化简xx???3)2(2的正确结果是 10．若关于x的一元二次方程0235)1(22??????mmxxm的一个根为0，则m的值等于 11. 计算：2cos30tan60?＝_________．． 12. 关于x的一元二次方程220xxm???有两个实数根，则m的取值范围是 2.1m (第6题图) 太阳光线 α (第7题图) ED21CBA(第5题图) (第8题图) 2 / 5 第15题图13. 商店举办有奖销售活动，活动办法如下：凡购货满100元者发奖券一张，多购多得，每10000张奖券为一组进行开奖，每组设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个，那么买100元商品的中奖概率是__________. 14. 设12,xx是方程????1310xxx????的两根，则12xx?? . 15．如图，已知AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，下面给出三个关系式： ①. AG:AD=1:2；②. GE:BE=1:3 ③. BE:BG= 4:3，其中正确的为

2020最新华东师大版九年级数学下册期末试卷(有答案)

2020 年春学期初三数学期末试卷 一、选择题 1．下列函数是二次函数的是（ ） 2 A ．y=x+1 B ．y=x +1 2．以下问题，不适合普查的是（ ） A ．了解一批灯泡的使用寿命 B ．学校招聘教师，对应聘人员的面试 C ．了解全班 学生每周体育锻炼时间 D ．进入地铁站对旅客携带的包进行的安检 3．下随有关圆的一些结论：①任意三 点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等； ③平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中 错误的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个 4．中华汉字，源远流长．某校为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全校 3000 名 学生参加的“汉字听写”大赛为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了其中 200 名 学生的成绩进行统计分析在这个问题中，下列说法： ①这 3000 名学生的“汉字听写”大赛成绩的全体是总体 ②每个学生是个体 ③200名学生是总体的一个样本 ④样本容量是 200．其中说法正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个 5．矩形的周长为 12cm ，设其一边长为 xcm ，面积为 ycm 2，则 y 与 x 的函数关系式 及其 自变量 x 的取值范围均正确的是（ ） 22 A ．y=﹣x 2+6x （30；② a+b+c=2；③ b 2﹣4ac <0；④ b <2a ． 其中正确的结论是（ ） 2 D ．y=ax