2012考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分
1.1
高数第一章《函数、极限、连续》
求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于
00型和∞
∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞
1型的题目则是先转化为0
0型或∞
∞型，再
使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括
1sin lim
=→x x
x 、e x x x =+→1
)1(lim 、e x
x x =+∞
→)1(1lim ；4.夹逼定理。 1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》
第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积
分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分
?+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，
而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分
?dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是
?+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于
?
-a
a
dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有
?
-a
a
dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有?-a
a dx x f )(=2?a
dx x f 0)(；对于?2
)(π
dx x f 型
积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=
2
π
的代换是常用方法。所以解这一部分题的
思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量
替换x=-u 和利用性质
0=?
-a
a
奇函数 、??=-a
a a
2偶函数偶函数。在处理完积分
上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。
1.3
高数第五章《中值定理的证明技巧》
由本章《中值定理的证明技巧》讨论一下证明题的应对方法。用以下这组逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A ?E 、(A B)?C 、(C D E)?F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A 、B 、D ，求证F 成立。 为了证明F 成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F 成立必备逻辑公式中的A ?E 就可能有A ?H 、A ?(I K)、(A B) ?M 等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有可能用到，如(A B) ?M ，因为其中涉及了题目所给的3个条件中的2个，但这恰恰走不通； 2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(A B) ?C ，如果不知道或弄错则一定无法得出结论。从反方向入手证明时也会遇到同样的问题。
通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。
针对以上分析，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。 当我们解证明题遇到困难时，最常见的情况是拿到题莫名其妙，感觉条件与欲证结论简直是风马牛不相及的东西，长时间无法入手；好不容易找到一个大致方向，在做若干步以后却再也无法与结论拉近距离了。从出题人的角度来看，这是因为没能够有效地从条件中获取信息。“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式(C D E) ?F 再倒推想到 (A B) ?C 、 A ?E 就可以证明了。 如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型：
条件
欲证结论 可用定理
A 关于闭区间上的
连续函数，常常是只有连续性已知
存在一个ε满足某个式子
介值定理（结论部分为：存在一个ε使得
k f
=)
(ε）
零值定理（结论部分为：存在一个ε使得
0)
(=εf
）
B 条件包括函数在闭区间上连续、在开区间上可导 存在一个ε满足0)
()
(=εn f
费尔马定理（结论部分为：
0)(0='x f ）
洛尔定理（结论部分为：存在一个ε使得
0)(='εf ）
C 条件包括函数在闭区间上连续、在开区间上可导 存在一个ε满足k
f
n =)
()
(ε
拉格朗日中值定理（结论部分为：存在一个ε使得
a
b a f b f f --=')
()()(ε） 柯西中值定理（结论部分为：存在一个ε使得
)()()
()()
()
(a g b g a f b f g f --=''εε）
另外还常利用构造辅助函数法，转化为可用费尔马或洛尔定理的形式来证明
从上表中可以发现，有关中值定理证明的证明题条件一般比较薄弱，如表格中B 、C 的条件是一样的，同时A 也只多了一条“可导性”而已；所以在面对这一部分的题目时，如果把与证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处。故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日中值定理的掌握重点应该放在熟记定理的结论部分上；如果能够做到想到介值定理时就能同时想起结论“存在一个ε使得
k f
=)
(ε”、看到题目欲证结论中出现类似“存在一个ε使得k f
=)
(ε”的形
式时也能立刻想到介值定理；想到洛尔定理时就能想到式子
0)(='εf ；而见到式子
)()()
()()
()
(a g b g a f b f g f --=''εε也如同见到拉格朗日中值定理一样，那么在处理本部分的题目时就会
轻松的多，时常还会收到“豁然开朗”的效果。所以说，“牢记定理的结论部分”对作证明题的好处在中值定理的证明问题上体现的最为明显。 综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能”。希望这些想法对你能有一点启发。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；很多结论、性质和定理自己感觉确实是弄懂了、也差不多记住了，但是在做题时那种没有提示、或者提示很少的条件下还是无法做到灵活运用；这也就是自身感觉与实战要求之间的差别。 这就像在记英语单词时，看到英语能想到汉语与看到汉语能想到英语的掌握程度是不同的一样，对于考研数学大纲中“理解”和“掌握”这两个词的认识其实是在做题的过程中才慢慢清晰的。我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技巧，从而达到大纲的相应要求，提高实战条件下解题的胜算。依我看，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。
1.4
高数第六章《常微分方程》
本章常微分方程部分的结构简单，陈文灯复习指南对一阶微分方程、可降阶的高阶方程、高阶方程都列出了方程类型与解法对应的表格。历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。
对于本章的题目，第一步应该是辨明类型，实践证明这是必须放在第一位的；分清类型以后按照对应的求解方法按部就班求解即可。这是因为其实并非所有的微分方程都是可解的，在大学高等数学中只讨论了有限的可解类型，所以出题的灵活度有限，很难将不同的知识点紧密结合或是灵活转换。这样的知识点特点就决定了我们可以采取相对机械的“辨明类型——〉套用对应方法求解”的套路 ，而且各种类型的求解方法正好也都是格式化的，便于以这样的方式使用。
先讨论一下一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。各种类型都有自己对应的格式化解题方法，这些方法死记硬背并不容易，但有规律可循——这些方法最后的目的都是统一的，就是把以各种形式出现的方程都化为f(x)dx=f(y)dy 这样的形式，再积分得到答案。对于可分离变量型方程
0)()()()(2211=+dy y g x f dx y g x f ，就是变形为dx x f x f )
()(21=-dy y g y g )
()(12，再积分求
解；对于齐次方程)(x
y f y ='则做变量替换x y
u =
，则
y '化为dx
du x
u +，原方程
就可化为关于x u 和的可分离变量方程，变形积分即可解；对于一阶线性方程
)()(x q y x p y =+'第一步先求0)(=+'y x p y 的通解，然后将变形得到的
dx x p y
dy )(-=积分，第二步将通解中的C 变为C(x)代入原方程)
()(x q y x p y =+'解出C(x)后代入即可得解；对于贝努利方程
)()(x q y x p y =+'n y ，先做变量代换
n y z -=1代入可得到关于z 、x 的一阶线性方程，求解以后将z 还原即可；全微分方程
M(x,y)dx+N(x,y)dy 比较特殊，因为其有条件x
N y
M
??
??=，而且解题时直接套用通解公式
?
+
x
x dx y x M 0
),(0?
=y
y C dy y x N 0
),(.
所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。对于求解可降
阶的高阶方程也有类似的规律。对于)()
(x f y
n =型方程，就是先把)1(-n y 当作未知函
数Z ，则Z y n '=)( 原方程就化为 dx x f dz )(= 的一阶方程形式，积分即得；
再对
)2(-n y 、)3(-n y 依次做上述处理即可求解；
),(y x f y '='' 叫不显含
y 的二阶方程，解法是通过变量替换 p y ='、
p y '='' (p 为x 的函数)将原方程化为一阶方程；),(y y f y '=''叫不显含x 的二阶
方程，变量替换也是令
p y ='（但此中的p 为y 的函数），则
p p p y dy dp
dx dy dy dp '===''，也可化为一阶形式。
所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换u x
y
=”，“求解贝努利方
程就用变量替换n
y z -=1”一样，在这里也要记住“求解不显含y 的二阶方程就用变量替
换
p y ='、p y '='' ”、“求解不显含x 的二阶方程就用变量替换p y ='、
p p y '=''”。
大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分方程解的
结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理非常相似，可以对比记忆： 若
)(1x y 、)(2x y 是齐次方程
0)()(=+'+'y x q y x p y 的两个线性无关的特解，则该齐次方程的通解为
)()()(2211x y c x y c x +=?
若齐次方程组Ax=0的基础解系有(n-r)个线性无关的解向量，则齐次方程组的通解为
r n r n y k y k y k x --+???++=2211
非齐次方程
)()()(x f y x q y x p y =+'+'的通解为
)()()(12211x y x y c x y c y *
++=，其中)(1x y *是非齐次方程的一个特解，
)()(2211x y c x y c +是对应齐次方程
0)()(=+'+'y x q y x p y 的通解
非齐次方程组Ax=b 的一个通解等于Ax=b 的一个特
解与其导出组齐次方程Ax=0的通解之和
若非齐次方程有两个特解)(1x y )(2x y ，则对应齐
次方程的一个解为
)()()(21x y x y x y -=
若1r 、2r
是方程组Ax=b 的两个特解，则(1r -2r
)是其对应齐次方程组Ax=0的解
由以上的讨论可以看到，本章并不应该成为高数部分中比较
难办的章节，因为这一章如果有难点的话也仅在于“如何准确无误地记忆各种方程类型及对应解法”，也可以说本章难就难在记忆量大上。 1.5
高数第七章《一元微积分的应用》
本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体积或弧长引出积分方程，一般需要把积分方程中的变上限积分
dt t f x
a
)(?
单独分离到方程的一端形成“dt t f x
a
)(?＝∽”的形式，在两边
求导得到微分方程后套用相关方程的对应解法求解。 对于导数应用，有以下一些小知识点：
1. 利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或求
导判断，判定极、最值时则须注意以下两点： A. 极值的定义是：对于0x 的邻域内异于0x 的任一点都有
)(x f ＞)(0x f 或)(x f ＜)(0x f ,注意是＞或＜ 而不是
≥或≤； B. 极值点包括图1、图2两种可能，
所以只有在
)
(x f 在0x 处可导且在0x 处取极值时才有0)(='x f 。以上两点都是实际做题中经常忘
掉的地方，故有必要加深一下印象。
2. 讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零值定理（结论部分为0)(=εf ）、洛
尔定理（结论部分为
0)(='εf ）
；常用到构造辅助函数法；在作题时，画辅助图会起到很好的作用，尤其是对于讨论方程根个数的题目，结合函数图象会比较容易判断。 3. 理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：A.若函数)(x f 在 区
间I 上的
0)(<''x f ，则)(x f 在I 上是凸的；若)(x f 在I 上的0)(>''
x f ，
则)(x f 在I 上是凹的；B.若)(x f 在点0x 处有0)(='x f 且0)(0≠''x f ，则
当
0)(0<''x f 时)(0x f 为极大值，当0)(0>''x f 时)(0x f 为极小值。
其中，A 是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义，
)(x f '是)(x f 的变化
率，
)(x f ''是)(x f '的变化率。0)(>'x f 可以说明函数是增函数，典型图像是
；
0)(<''x f 可以说明函数)(x f 的变化率在区
间I 上是递减的，包括以下两种可能：
a.
此时
)(x f '为正，且随x 变大而变小（大小
关系可参考图3）；
b.
此时
)(x f '为负，随x 变大而变小（大小关
系可参考图3）；
同样，
0)(>''x f 也只有两种对应图像：
c.
此时
)(x f '为正，随着x 变大而变大；
d.此时
)(x f '为负，随x 变大而变大。
所以，当
0)(<''x f 时，对应
或的函数图像，是凸的；
当
0)(>''x f 时，对应
或的函数图像，是凹的。
相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹性的充要条件多了
“
0)(='x f 且0)(0≠''x f ”，这从图像上也很容易理解：满足0)(<''
x f 的图像必是凸的，即或，当
0)(='x f 且0)(0≠''x f 时不就一定是
的情况吗。
对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。在历年考研真题中，有大量的题
是利用微元法来获得方程式的，微元法的熟练应用是倍受出题老师青睐的知识点之一；但是由于微元法这种方法本身有思维上的跳跃，对于这种灵活有效的方法必须通过足量的练习才能真正体会其思想。在此结合函数图像与对应的微元法核心式来归纳微元法的三种常见类型：
1. 薄桶型. 本例求的是由平面图型a ≤x ≤b,0≤y ≤
f(x)绕y 轴旋转所形成的旋转体体积。方法是在旋转体上取一薄桶型形体（如上图阴影部分所示），则根据微元法思想可得薄桶体积 dx x xf dv
)(2π= ,其中)(x f 是
薄桶的高，)(2x xf π是薄桶展开变成薄板后的底面积，dx 就是薄板的厚度；二者
相乘即得体积。
对 dx x xf dv
)(2π= 积分可得 ?=dx x xf V )(2π。在这个例子中，体
现微元法特色的地方在于：1.虽然薄桶的高是个变化量，但却用)(x f 来表示；2.用dx
表示薄桶的厚度；3.核心式dx x xf dv
)(2π=。
2. 薄饼型.本例求的是由抛物线
2x y =及
24x y =绕y 轴旋转形成的高 H 的旋转体体积，方法是取如上图阴影部分所示
的一个薄饼型形体，可得微元法核心式 dy y dv y
)(4-=π。其中 )(4y y -π 是
薄饼的底面积，薄饼与
2x y = 旋转面相交的圆圈成的面积是 2r π,∵x r =，
∴
2r π2
x π=y π=；同理薄饼与 24x y = 旋转面相交的圆圈成的面积是
4y
π， 二者相减即得薄饼底面积。核心式中的 dy 是薄饼的高。这个例子中的薄饼
其实并不是上下一般粗的圆柱，而是上大下小的圆台，但将其视为上下等粗来求解，这
一点也体现了微元法的特色。
3. 薄球型.
本例求球体质量，半径为 R ，密度
2r =μ， 其中 r 指球内任意一点到球心的距离。方法是取球体中的一个薄球形
形体，其内径为 r 厚度为 dr ，对于这个薄球的体积有
dr rr dv 2
4π=，其中24r π是薄球表面积，dr 是厚度。该核心式可以想象成是将薄球展开、摊平得到一个
薄面以后再用底面积乘高得到的。由于dr 很小，故可认为薄球内质量均匀，为
2r =μ，则薄球质量dr r dr r r dm 42244ππ=?=，积分可得结果。本例
中“用内表面的表面积24
r π乘以薄球厚度dr 得到核心式”、“将dv 内的薄球密度视
为均匀”体现了微元法的特色。
通过以上三个例子谈了一下了我对微元法特点的一点认识。这种方法的灵活运用必须通过自己动手做题体会才能实现，因为其中一些逻辑表面上并不符合常规思维，但也许这正是研究生入学考试出题老师喜欢微元法的原因。
关于定积分的应用，以下补充列出了定积分各种应用的公式表格：
求平面图形面积
dx x f s b
a
)(?
=
求旋转体体积（可用微元法也可用公式）
左图中图形绕x 轴旋转体的体积
dx x f Vx b
a )(2?
=π，绕y 轴旋转体得体积
dx x xf Vy b
a
)(2?=π
左图中图形绕
x 轴旋转体的体积
dx x f x f Vx b
a
)]()([2
122-=?π，绕y 轴旋转体得体积
dx x f x f x Vy b
a
)]()([212-=?π
已知平行截面面积求立体体积
dx x s V
b
a
)(?=
求平面曲线的弧长
dx y l b
a
2)(1'+=?
1.6
高数第八章《无穷级数》
本章在考研真题中最频繁出现的题型包括“判断级数敛散性”、“级数求和函数”和“函数的幂级数展开”。其中判敛是大、小题都常考的，在大题中一般作为第一问出现，求和与展开则都是大题。这一章与前面的常微分方程、后面的曲线曲面积分等章都是比较独立的章节，在考试时会出大题，而且章内包含的内容多、比较复杂。陈文灯复习指南上对相关章节的指导并不尽如人意，因为套题型的方法在这些复杂章节中不能展现其长处，故整体来说结构比较散乱。
对于级数判敛部分，主要用的方法是比较法、级数敛散性的定义和四则运算性质。其中比较判敛法有一般形式和极限形式，使用比较判敛法一般形式有以下典型例子： 1. 已知级数
∑n a
2
收敛，判断级数
λ
+∑
2||n a n 的敛散性。其判敛过程的核心是找到不等式
)(221
221||λλ
+++≤n n n a a n ，再应用比较法的一般形式即可判明。其实这种“知一判一”
式的题目是有局限性的——若已知级数收敛，则所要求判敛的级数只能也是收敛的，因为只
有“小于收敛级数的级数必收敛”这一条规则可用，若待判敛级数大于已知收敛级数，则结果无法判定。所以考研真题中一般只会出成选择题“已知某级数收敛，则下列级数中收敛的是（）”。
2． 上一种题型是“知一判一”，下面的例子则是给出级数某些性质要求判断敛散性，方法是通过不等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联系，再应用比较法一般形式判断。举例
如下：已知单调递减数列n a 满足,lim 0
a a n x =→0>a ，判断级数n a n )(11∑+的敛
散性。关键步骤是：由11
11
1<<
++a a n 得到n
a n a n )()(1
111++<，再利用比较判敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式的题目一般也不会超出“知一判一”和“知性
质判敛”这两种形式。
幂级数求和函数与函数的幂级数展开问题是重点内容，也是每年都有的必考题。通过做历年真题，我发现像一元函数微积分应用中的微元法、无穷级数中的求和与展开这样倍受出题人青睐的知识点都有一个相似之处，就是这些知识点从表面上看比较复杂、难于把握，实际上也必须通过认真思考和足量练习才能达到应有的深度，但在领会到解决方法的精髓思想以后这些知识点又会“突然”变的十分简单。
也就是说，掌握这样的知识点门槛较高，但只要跨过缓慢的起步阶段，后面的路就是一马平川了；同时，具有这种特点的知识点也可以提供给出题人更大的出题灵活性，而通过“找到更多便于灵活出题的知识点来跳出题型套路”正是近几年考研真题出题专家致力达到的目标，这一趋势不仅体现在了近年来的考卷上，也必然是今后的出题方向。
所以我们在复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简单、思路巧妙、出法灵活”的知识点要倍加注意，对于无穷级数这样必出大题的章节中间的“求和、展开”这样必出大题的知识点，更是要紧抓不放。因为这种知识点对“复习时间投入量”的要求接近于一个定值，认认真真搞明白以后，只要接着做适量的题目巩固就行了，有点“一次投入，终生受益”的意思，花时间来掌握很划算。 另外，“求和与展开”的简单之处还在于：达到熟练做题程度以后会发现其大有规律可循。这种规律是建立在对6个关键的函数展开式“熟之又熟”的掌握上的。对此6个展开式的掌握必须像掌握重要定理一样，对条件、等式的左端和右端都要牢牢记住，不但要一见到三者中的任意一个就能立刻写出其他两部分，而且要能够区别相似公式，将出错概率降到最小。公式如下： 1.
∑∞
=-=???++???+++=0
2111n n n u
u u u u
（-1，1） 2.
∑∞
=+-=???+-+???+-+-=0
3211)1()1(1n n n n n u
u u u u u （-1，
1） 3.
∑∞
=++++-=???+-+???-+-=+0
11
3
3
12
2
11
1
)
1()1()1ln(n n u n n u n n n u u u u
),(+∞-∞
4.
∑
∞
==???++???+++=0
!
!
12
!
211n n u n
n u
n u u u e
),(+∞-∞
5.
∑∞
=++++-=???+-+???+-=0
)!
12(1
2)!
12(12!
311
2)
1()
1(sin n n u n n n n
n u
u u u ),(+∞-∞
6.
∑∞
=-=???+-+???-+-=0
)!
2(2)!
2(14!
412!
212)
1()
1(1cos n n u n n
n n
n u u u u ),(+∞-∞
这六个公式可以分为两个部分，前3个相互关联，后3个相互关联。1式是第一部分式子的基础。???++???+++n u u u 21不就是一个无穷等比数列吗，在1||
和公式u s
-=11正是函数展开式的左端。所以这个式子最好记，以此为出发点看式子2：1
式左端是u -11
，2式左端是u +11；1式右端是
∑∞
=0n n
u ，2式右端也仅仅是变成了交错级数
∑∞
=-0
)1(n n n u ,故可以通过这种比较来记忆式子2；对于3式来说，公式左端的
)1ln(u +与2式左端的u
+11存在着关系“u
u +='+11
])1[ln(
”，故由u +11的展开式
可以推导出)1ln(
u +的展开式为∑∞
=++-0
11
)
1(n n u n n 。这三个式子中的
)1,1(-∈u ，
相互之间存在着上述的清晰联系。 后3个式子的
∈u ),(+∞-∞，相互之间的联系主要在于公式右端展开式形式上的相似
性。这一部分的基本式是公式4：
∑
∞
==0!
n n u u
n e 与之相比，u sin 的展开式是
∑∞
=++-0
)!12(1
2)
1(n n u
n
n ，
u cos 的展开式是∑
∞=-0
)!2(2)1(n n u n n
。一个可看成是将
u e 展开式
中的奇数项变成交错级数得到的，一个可看成是将u
e 展开式中的偶数项变成交错级数而得到。像这样从“形似”上掌握不费脑子，但要冒记混淆的危险，但此处恰好都是比较顺的搭配：u sin 、
u cos 习惯上说“正余弦”，先正后余；而u sin 的展开式对应的是奇数项，
u cos 的展开式对应的是偶数项，习惯上也是说“奇偶性”，先奇后偶。
记好6个关键式是解决幂级数求和与函数的幂级数展开问题的基础，不仅在记忆上具有规律性，在解题时也大有规律可循。
在已知幂级数求和函数时，最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定公式：第一部分(前3式)的展开式都不带阶乘，其中只有u -11
的展开式不是交错级数；第二部分（后3式）的
展开式都带阶乘，其中只有u e 的展开式不是交错级数。由题目给出的幂级数的形式就可以
看个八九不离十了，比如给出的幂级数带阶乘而不是交错级数，则应该用公式4，因为幂级
数的变形变不掉阶乘和n )1(-；若题目给出的幂级数不带阶乘而且是交错级数，则必从2、
3两式中选择公式，其它情况也类似。
对于函数的幂级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上入手，相对来说更为简单。在判断出所用公式以后一般要使用下列变形方法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幂级数展开）、四则运算（用于展开、求和）、逐项微积分（用于展开、求和）。
对于数项级数求和的题目，主要方法是构造幂级数法，即利用变换
∑∑∞
=→∞==0
1
lim n n
n x n n x
a a 求得幂级数∑∞
=0
n n n
x a 的和函数)(x s 以后代入极限式即
可。其中的关键步骤是选择适当的n
x ，一般情况下如果n 、)12(-n 这样的项在分子
中，则应该先用逐项积分再用逐项求导，此时的n x 应为1)(-???x 的形式，如1
)(-n x 、
1)12(--n x ，以方便先积分；若题目有)12(1-n 、)13(1+n 这样的项，则n x 应为)(???x 的形
式，如)
12(-n x
、)
13(+n x
，便于先求导。这些经验在做一定量的题目后就会得到。
本章最后的知识点是付立叶级数，很少考到，属于比较偏的知识点，但其思想并不复杂，花
时间掌握还是比较划算的。函数的付立叶级数的物理意义就是谐波分析，即把一个复杂周期运动看作是若干个正余弦运动的叠加。首先需记住付立叶展开式和收敛定理，在具体展开时有以下两种情况：
1.
题目给出的函数至少有一个完整的周期，如图
则直接套用公式即可，不存在奇开拓和偶开
拓的问题。对于形状类似上图的函数，展开以
后级数中既有正弦级数也有余弦级数；
若为奇函数如，则展开后只有正弦级数；若为偶函数
则展开后只有余弦函数；
2. 题目给出函数后没有说明周期，则需要根据题目要求进行
奇开拓或偶开拓。如图，若要求进行奇开拓就是展开
成奇函数，此时得到的级数中只有正弦级数，图像为；
若要求进行偶开拓就是要展开成偶函数，此时得到的展开式中只有余弦级数，图像为
。
1.7
高数第九章《矢量代数与空间解析几何》
本章并不算很难，但其中有大量的公式需要记忆，故如何减少记忆量是复习本章时需要重点考虑的问题。抓住本章前后知识点的联系来复习是一种有效的策略，因为这样做既可以避免重复记忆、减少记忆量，又可以保证记忆的准确性。同时，知识点前后联系密切也正是本章的突出特点之一。以下列出本章中前后联系的知识点：
a) 矢量间关系在讨论线线关系、线面关系中的应用。这个联系很
明显，举例来说，平面与直线平行时，平面的法矢量与直线的方向矢量相互垂直，而由矢量
关系性质知此时二矢量的数积为0，若直线方程为n z z m
y y l
x x 0
00
---=
=
，平面方程
为
0=+++D Cz By Ax ，则有0=++Cn Bm Al 。同理可对线面、线线、
面面关系进行判定。
b) 数积定义与求线线、线面、面面夹角公式的联系。数积定义式 为θcos ||||→
→→
→=b a b a
，故有|
|||cos →
→→
→=
b a b
a θ，这个式子是所有线线、线面、面面夹
角公式的源公式。举例来说，设直线11
1
11
1:
1
n z z m y y l x x l ---=
=
，直线
22
2
22
2:
1n z z m y y l x x l ---=
=
，则二直线夹角|
|||22
22222121212
12121→
→→
→=
=
++?++++b a b
a n m l n m l n n m m l l θ
，
其中→
a 、→
b 分别是两条直线的方向矢量。对于线面、面面夹角同样适用，只需注意一点就
是线面夹角公式中不是
???
=
θ
cos而是???
=
θ
sin
，因为如右图所示
由于直线的方向矢量与直线的走向平行，而平面的法矢量却与平面垂直，所以线面夹角
θ是两矢量夹角θ'的余角，即
90
='
+θ
θ，故求夹角公式的左端是
θ
sin。对于线线夹角和面面夹角则无此问题。
c)平面方程各形式间的相互联系。平面方程的一般式、点法式、
三点式、截距式中，点法式和截距式都可以化为一般式。点法式
)
(
)
(
)
(
=
-
+
-
+
-z
z
C
y
y
B
x
x
A（点)
,
,
(
z
y
x为平面上已知点，}
,
,
{C
B
A为法矢量）可变形为0
)
(
=
+
+
-
+
+Cz
By
Ax
Cz
By
Ax，符合一般式0
=
+
+
+D
Cz
By
Ax的形式；截距式1
=
+
+
c
z
b
y
a
x
（c
b
a,,为平面在三个坐标轴上的截距）可变形为0
=
-
+
-abc
abz
acy
bcx，也符合一般式的形式。这样的转化不仅仅是为了更好地记公式，更主要是因为在考试中可能需要将这些式子相互转化以方便答题（这种情况在历年真题中曾经出现过）。
同样，直线方程各形式之间也有类似联系，直线方程的参数形式和标准式之间可以相互
转化。直线方程的参数形式?
?
?
?
?
+
=
+
=
+
=
nt
z
z
m t
y
y
lt
x
x
（
)
,
,
(
z
y
x是平面上已知点，}
,
,{n
m
l为方向矢量）可变形为
?
?
?
?
?
=
=
=
-
-
-
t
t
t
n
z
z
m
y
y
l
x
x
，即为标准式
n
z
z
m
y
y
l
x
x0
-
-
-=
=
；标准式n
z
z
m
y
y
l
x
x0
-
-
-=
=
若变形为
t
n
z
z
m
y
y
l
x
x=
=
=-
-
-0
则也可以转化为参数形式。这个转化在历年真题中应用过
不止一次。
d) 空间曲面投影方程、柱面方程、柱面准线方程之间的区别与联 系。关于这些方程的基础性知识包括：0),,
(=z y x F 表示的是一个空间曲面；由于空
间曲线可视为由两个空间曲面相交而得到的，故空间曲面方程为???==0),,(0
),,(2
1z y x F z y x F ；柱
面方程如圆柱面2
22R y x =+、椭圆柱面122
22=+b
y a x 可视为是二元函数
0),(=y x f 在三维坐标系中的形式。
在这些基础上分析，柱面方程的准线方程如?
??==00
),(z y x f 可视为是由空间曲面—
—柱面与特殊的空间曲面——坐标平面0=z
相交形成的空间曲线，即右图
中的曲线2；而空间曲线的投影方程与柱面准线方程其实
是一回事，如上图中曲线1的投影是由过曲线1的投影柱面与坐标平面相交得到的，所以也
就是图中的柱面准线。在由空间曲线方程???==0),,(0
),,(2
1z y x F z y x F 求投影方程时，需要先从方
程组中消去
z 得到一个母线平行于z 轴的柱面方程；；再与0=z 联立即可得投影方程
?
??==00
),,(z z y x f 。
1.8
高数第十章《多元函数微分学》
复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。本章主要内容可以整理成一个大表格：
二元函数的定义（略） 相似 数的定义（略） 二元函数的连续性及极限： 二元函数的极限要求点),(y x θ以任何方向、任何
路径趋向),(00y x P 时均有A
y x f →),(（
0x x →、0y y →）。如果沿不同路径的
),(lim 0
0y x f y y x x →→不相等，则可断定)
,(lim 0
y x f y y x x →→不存在。
不同
一元函数的连续性及极限：
一元函数的极限与路径无关，由等价式
A
x f x f A
x f x x ==?=+-→)()()(lim 000
即可判
断。
二元函数),(y x f z =在点),(00y x P 处连续性判断条件为：),(lim 0
y x f y y x x →→存在且等于
),(00y x f
相似
一元函数
)(x f y =在点0x 处连续性判断条件为)(lim 0
x f x x →且等于)(0
x f
二元函数的偏导数定义 二元函数),(y x f z
=的偏导数定义
一元函数的导数定义 一元函数
)(x f y =的导数定义：
x
y x f y x x f x z
x x ?-?+=??→?→?),(),(lim lim 000000分段函数在分界点处求偏导数要用 偏导数的定义
相似
x
x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000分段函数在分界点处求导数需要用导数定义
二元函数的全微分： 简化定义为：对于函数),(y x f z
=，若其在点
),(00y x P 处的增量z ?可表示为
)(ρo y B x A z +?+?=?，其中)(ρo 为
ρ的高阶无穷小，则函数),(y x f 在
),(00y x P 处可微，全微分为y B x A ?+?，
一般有dy dx dz
y z x z ????+=
相似
一元函数的全微分： 简化定义为：若函数
)(x f y =在点x
处的增量y ?可表示为
d x A y +?=?，其中d 是x ?的高
阶无穷小，则函数在该点可微，即
x A dy ?=，一般有dx x f dy )('=
二元函数可微、可导、连续三角关系图
连续 可导
可微
不同
二元函数可微、可导、连续三角关系图 连续 可导
可微
多元函数的全导数 设
),,(w v u f z =，)(t g u =，)(t h v =
，)(t k w =且都可导，则z 对t 的全导数
dt
dw w f dt dv v f dt du u f dt dz ??+??+??=
不
同
一元函数没有“全导数”这个概念，但是左边多元函数的全导数其实可以从“一元复合函数”的角度理解。一元复合函数是指
)(u f y =、)(x g u =时有
dx
du du dy dx dy =
。与左边的多元函数全导数
公式比较就可以将二式统一起来。
多元复合函数微分法 复合函数求导公式：设),,(w v u f z
=、
),(y x j u =、),(y x h v =、),(y x k w =，则有
???
?????????+?????+?????=
???????+?????+?????=??y w w z y z v z y u u z y z x
w
w z x v v z x u u z x z 。对于多元
相似
一元复合函数求导公式如上格所示，与多元
复合函数求导公式相似，只需分清式子中
dx dz 与x
z
??的不同即可
得数学者得天下，数学的重要性不言自明，一定要好好准备，我高中，大学数学底子还不错，自己也努力了，感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计，因为题型有限，变化不大，对比历年真题就会发现。真正难的是高数，因为花样太多了，虽然考点有限，但是怎么个综合法，你就不知道了，所以高数题目要多见识，今年考研高数证明题我就看过很类似的，所以很快就做出来了，没见过的同学都不知道怎么下手。我今年数学考得不太好的 原因是我线性代数和概率论各算错一道题目，后悔死了，所以大家在准备考研时，别忘记提 醒自己时刻细心做题。数学的辅导书我很反感陈文登的，比较支持李永乐的，蔡遂林的也不错。 我数学资料做了一大批。要不我把做过的辅导书点评下，仅供参考！ 2008数学大纲解析：由于2009没出版，只能用2008的，这是本好书，都是真题，分析透彻，建议买。 轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐，这本书对历年真题对比分析， 让你知道考研真正考什么？该准备什么。强烈推荐。 2006考研数学历年真题解析与指导--高教，图书馆借的，现在不出版了，也是分析真题, 像大纲解析，如果图书馆有的话，可以看看。 2009数学考试分析--高教，近3年的试题分析，数一到数四都包括，花2天时间琢磨出题的变化，觉得不错，你会发现一些规律。 武钟祥的历年真题分析，这是我认为真题分析最全面最好的书，里面涵盖了所以年份的试题，数一到数四的都有，大家要知道，数学题目经常是今年数学一考了，明年后年可能数学三考，只是变换出题的方式，大家不要只看数学一的题目。强烈推荐。其实上面这么多 书我觉得最好的还是这本，有一本就够了。 线性代数辅导讲义--李永乐，这本书要多看几遍，越看越好，越看越懂，然后做真题。强烈推荐。 概率论与数理统计辅导讲义--龚兆仁，还可以，有些地方有些繁琐，有些根本不会考的也作了详细介绍。 数学基础过关660题--李永乐。不是很必要买，做了没什么感觉。 陈文登的复习指南，我不推荐买，原因就不说了，你们在网上搜搜看评价，本人用过，的确不怎么样。 李永乐的全书，贴合实际，但是稍显繁琐，很多同学到了11月底才看完，根本没时间去想，思 考。感觉知识点是全，是细，但是你记起来就不容易了。数学的记不像政治，数学 要练习，多思考才能有体会，才能记得深刻，最后才能灵活用。如果买全书的话，要注意时
高数部分考研必备：超经典的考研数学考点与 题型归类分析总结 1、1 高数第一章《函数、极限、连续》 1、2 求极限题最常用的解题方向： 1、利用等价无穷小； 2、利用洛必达法则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则； 3、利用重要极限，包括、、； 4、夹逼定理。 1、3 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分的结果可以写为 F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C
也就漏掉了这1分。第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于型定积分，若f(x)是奇函数则有=0；若f(x)为偶函数则有=2；对于型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质、。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1、4 高数第五章《中值定理的证明技巧》由本章《中值定理的证明技巧》讨论一下证明题的应对方法。用以下这组逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式AE、(AB) C、(CDE)F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出 A、 B、D，求证F成立。为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类： 1、已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的AE就可能有AH、A(IK)、(AB)
考研数学十年真题题型总结！ 高等数学（①10年考题总数：117题②总分值：764分③占三部分题量之比重：53%④占三部分分值之比重：60%第一章函数、极限、连续（①10年考题总数：15题②总分值：69分③占第一部分题量之比重：12%④占第一部分分值之比重：9%）|考研|考研网:y/f S,Z H \%\题型 1 求1∞型极限（一（1），2003） 题型 2 求0/0型极限（一（1），1998；一（1），2006）|考研|考研网 D!V \ k [ g u 题型 3 求∞-∞型极限（一（1），1999） 题型 4 求分段函数的极限（二（2），1999；三，2000） 题型 5 函数性质（奇偶性，周期性，单调性，有界性）的判断（二（1），1999；二（8），2004）|考研|考研网 n1g:z1~ q9`*M m 题型 6 无穷小的比较或确定无穷小的阶（二（7），2004） 题型 7 数列极限的判定或求解（二（2），2003；六（1），1997；四，2002；三（16），2006）https://www.doczj.com/doc/c011813.html, u6t I+N+v r ` 题型 8 求n项和的数列极限（七，1998） 题型 9 函数在某点连续性的判断（含分段函数）（二（2），1999） 第二章一元函数微分学考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕 X I!P R5m;i$^ U w
（①10年考题总数：26题②总分值：136分③占第一部分题量之比重：22%④占第一部分分值之比重：17%）5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等 x*x F4as.E%s&Z.e 题型 1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题（二（7），2006）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕#G:w X K1V S O R 题型 2 函数可导性及导函数的连续性的判定（五，1997；二（3），2001；二（7），2005） 题型 3 求函数或复合函数的导数（七（1），2002）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕.m!n;l y(`*O.O u 题型 4 求反函数的导数（七（1），2003） 题型 5 求隐函数的导数（一（2），2002） n8U C G+J k B.R3w 题型 6 函数极值点、拐点的判定或求解（二（7），2003） 题型 7 函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定（二（1），2001；二（3），2002） 题型 8 函数在某点可导的判断（含分段函数在分段点的可导性的判断）（二（2），1999）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕/E+?;g CW u$Q 题型 9 求一元函数在一点的切线方程或法线方程（一（3），1997；四，
考研数学三大题型答题技巧总结 考研数学的题量较大，时间却是有限的，想要在有限的时间内取得最高的分数，除了自己的实力之外，应用答题技巧是十分必要的。按照科学的答题顺序作答，对最后成绩也是很有好处的! 一、选择题答题技巧 在做选择题的时候大家还是有很多方法可选的，常用的方法有：代入法、排除法、图示法、逆推法、反例法等。 代入法：也就是说将备选的一个答案用具体的数字代入，如果与假设条件或众所周知的事实发生矛盾则予以否定。 演算法：它适用于题干中给出的条件是解析式子。 图形法：它适用于题干中给出的函数具有某种特性，例如奇偶性、周期性或者给出的事件是两个事件的情形，用图示法做就显得格外简单。 排除法：排除了三个，第四个就是正确的答案，这种方法适用于题干中给出的函数是抽象函的情况。 反推法：所谓逆推法就是假定被选的四个答案中某一个正确，然后做反推，如果得到的结果与题设条件或尽人皆知的正确结果矛盾，则否定这个备选答案。 如果考试的时候大家发现哪种方法都不奏效的话，大家还可以选择猜测法，至少有25%的正确性。 二、填空题答题技巧 填空题的答案是唯一的，做题的时候给出最后的结果就行，不需要推导过程，同样也是答对得满分，答错或者不答得0分，不倒扣分。 这一部分的题目一般是需要一定技巧的计算，但不会有太复杂的计算题。题目的难度与选择题不相上下，也是适中。 填空题总共有6个，一般高数4个，线代和概率各1个，主要考查的是考研数学中的三基本：基本概念、基本原理、基本方法以及一些基本的性质。做这24分的题目时需要认真审题，快速计算，并且需要有融会贯通的知识作为保障。 三、解答题的答题技巧 解答主观大题目一定要学会放弃不会做的题，每道题思考时间一般不应超过10分钟，否则容易导致概率和线性代数等部分的题目无法解答，不要为了一道题目耽误了后面20～30分的内容。
高等数学 (数二 > 一. 重点知识标记 高等数学 科目大纲章节知识点题型重要度等级 高等数学 第一章函数、极限、连续 1 . 等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★ 2. 函数连续的概念、函数间断点的类型 3 . 判断函数连续性与间断点的类型★★★ 第二章一元函数微分学 1. 导数的定义、可导与连续之间的关系 按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★ 2 . 函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★ 3. 闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★ 第三章一元函数积分学 1 . 积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★ 2. 有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分 计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★ 第四章多元函数微分学 1. 隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系 2. 函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连 续性的讨论与它们之间的因果关系★★ 3 . 多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★ 第五章多元函数积分学 1.二重积分的概念、性质及计算 2.二重积分的计算及应用★★ 第六章常微分方程 1.一阶线性微分方程、齐次方程， 2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★ 一、函数、极限、连续部分：
极限的运算法则、极限存在的准则( 单调有界准则和夹逼准则 >、未定式的极限、主要的等价无穷 小、函数 间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质( 尤其是介值定理 >，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。 二、微分学部分： 主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。 一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近 线 ，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。 多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问 题 。 三、积分学部分： 一元函数积分学 一个重点是不定积分与定积分的计算。在计算过程中，会用 到 不定积分 / 定积分的基本性质、换元积分法、 分部积分法。其中，换元积分法是重点，会涉及到三角函数换元、倒代换，如何准确地进行换元从而得到最终 答案，却是需要下一番工夫的。定积分的应用同样是重点，常考的是面积、体积的求解，多练掌握解题技巧。对于定积分在物理上的应用( 数二有要求 >，如功、引力、压力、质心、形心等，近几年考试基本都没有涉及， 考生只要记住求解公式即可。 多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算，其中要用到二重积分的性质， 以及 直角坐标与极坐标的相 互转化。这部分内容，每年都会考到，考生要引起重视，需要明白的是，二重积分并不是难点。 四、微分方程： 这里有两个重点：一阶线性微分方程。二阶常系数齐次/ 非齐次线性微分方程。 线性 第一章行列式 1.行列式的运算 2.计算抽象矩阵的行列式★★★ 第二章矩阵 1.矩阵的运算 2.求矩阵高次幂等★★★ 3. 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题★★★★★ 第三章向量
考验数学十年真题题型总结！ 高等数学（①10年考题总数：117题②总分值：764分③占三部分题量之比重：53%④占三部分分值之比重：60%第一章函数、极限、连续（①10年考题总数：15题②总分值：69分③占第一部分题量之比重：12%④占第一部分分值之比重：9%）|考研|考研网 \%\ 题型 1 求1∞型极限（一（1），20**） 题型 2 求0/0型极限（一（1），1998；一（1），20**）|考研|考研网\ k[ 题型 3 求∞-∞型极限（一（1），1999） 题型 4 求分段函数的极限（二（2），1999；三，20**） 题型 5 函数性质（奇偶性，周期性，单调性，有界性）的判断（二（1），1999；二（8），20**）|考研|考研网n11~ q9`* 题型 6 无穷小的比较或确定无穷小的阶（二（7），20**） 题型 7 数列极限的判定或求解（二（2），20**；六（1），1997；四，20**；三（16），20**）.54326 r ` 题型 8 求n项和的数列极限（七，1998） 题型 9 函数在某点连续性的判断（含分段函数）（二（2），1999） 第二章一元函数微分学考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,法硕5$^
U w （①10年考题总数：26题②总分值：136分③占第一部分题量之比重：22%④占第一部分分值之比重：17%）5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等 x*4 题型 1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题（二（7），20**）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,法硕11 R 题型 2 函数可导性及导函数的连续性的判定（五，1997；二（3），20**；二（7），20**） 题型 3 求函数或复合函数的导数（七（1），20**）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,法硕 y(`* 题型 4 求反函数的导数（七（1），20**） 题型 5 求隐函数的导数（一（2），20**） n83w 题型 6 函数极值点、拐点的判定或求解（二（7），20**） 题型 7 函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定（二（1），20**；二（3），20**） 题型 8 函数在某点可导的判断（含分段函数在分段点的可导性的判断）（二（2），1999）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,法硕$Q
高等数学(数二> 一.重点知识标记 高等数学 科目大纲章节知识点题型重要度等级 高等数学 第一章函数、极限、连续 1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★ 2 .函数连续的概念、函数间断点的类型 3 .判断函数连续性与间断点的类型★★★ 第二章一元函数微分学 1 .导数的定义、可导与连续之间的关系 按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★ 2 .函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★ 3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★ 第三章一元函数积分学 1 .积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★ 2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分 计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★ 第四章多元函数微分学 1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系 2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连 续性的讨论与它们之间的因果关系★★ 3 .多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★ 第五章多元函数积分学 1. 二重积分的概念、性质及计算 2.二重积分的计算及应用★★ 第六章常微分方程 1.一阶线性微分方程、齐次方程， 2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★ 一、函数、极限、连续部分：
极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则>、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理>，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。 二、微分学部分： 主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。 一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。 多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。 三、积分学部分： 一元函数积分学 一个重点是不定积分与定积分的计算。在计算过程中，会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法。其中，换元积分法是重点，会涉及到三角函数换元、倒代换，如何准确地进行换元从而得到最终答案，却是需要下一番工夫的。定积分的应用同样是重点，常考的是面积、体积的求解，多练掌握解题技巧。对于定积分在物理上的应用(数二有要求>，如功、引力、压力、质心、形心等，近几年考试基本都没有涉及，考生只要记住求解公式即可。 多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算，其中要用到二重积分的性质，以及直角坐标与极坐标的相互转化。这部分内容，每年都会考到，考生要引起重视，需要明白的是，二重积分并不是难点。 四、微分方程： 这里有两个重点：一阶线性微分方程。二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程。 线性 第一章行列式 1.行列式的运算 2.计算抽象矩阵的行列式★★★ 第二章矩阵 1. 矩阵的运算 2. 求矩阵高次幂等★★★ 3. 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题★★★★★ 第三章向量 1. 向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法 2. 向量组的线性相关性★★★★★ 3. 线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示★★★★
考研数学篇：典型题型归纳总结 近年来考研数学试题难度比较大，平均分比较低，而高等数学又是考研数学地重中之重，如何备考高等数学已经成为广大考生普遍关心地重要问题，要特别注意以下三个方面. 第一，按照大纲对数学基本概念、基本方法、基本定理准确把握(也即三基地重要性务必引起重视).数学是一门逻辑学科，靠侥幸押题是行不通地.只有对基本概念有深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题地突破口和切入点.分析近几年考生地数学答卷可以发现，考生失分地一个重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，数学中最基本地方法掌握不好，给解题带来思维上地困难.资料个人收集整理，勿做商业用途 第二，要加强解综合性试题和应用题能力地训练，力求在解题思路上有所突破.在解综合题时，迅速地找到解题地切入点是关键一步，为此需要熟悉规范地解题思路，考生应能够看出面前地题目与他曾经见到过地题目地内在联系.为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识地纵向与横向联系，转化为自己真正掌握地东西.解应用题地一般步骤都是认真理解题意，建立相关数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其化为某数学问题求解.建立数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等.资料个人收集整理，勿做商业用途 第三，重视历年试题地强化训练.统计表明，每年地研究生入学考试高等数学内容较之前几年都有较大地重复率，近年试题与往年考题雷同地占左右，这些考题或者改变某一数字，或改变一种说法，但解题地思路和所用到地知识点几乎一样.通过对考研地试题类型、特点、思路进行系统地归纳总结，并做一定数量习题，有意识地重点解决解题思路问题.对于那些具有很强地典型性、灵活性、启发性和综合性地题，要特别注重解题思路和技巧地培养.尽管试题千变万化，其知识结构基本相同，题型相对固定.提练题型地目地，是为了提高解题地针对性，形成思维定势，进而提高考生解题地速度和准确性.资料个人收集整理，勿做商业用途 下面以数学一为主总结一下高数各部分常见题型. 一、函数、极限与连续 求分段函数地复合函数;求极限或已知极限确定原式中地常数;讨论函数地连续性，判断间断点地类型;无穷小阶地比较;讨论连续函数在给定区间上零点地个数，或确定方程在给定区间上有无实根.资料个人收集整理，勿做商业用途 二、一元函数微分学 求给定函数地导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定地函数求导，特别是分段函数和带有绝对值地函数可导性地讨论;利用洛比达法则求不定式极限;讨论函数极值，方程地根，证明函数不等式;利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足......”，此类问题证明经常需要构造辅助函数;几何、物理、经济等方面地最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线. 资料个人收集整理，勿做商业用途 三、一元函数积分学 计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;关于变上限积分地题：如求导、求极限等;有关积分中值定理和积分性质地证明题;定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;综合性试题.(注;高数中解答题地最后一步往往是求解一个积分，故积分地各种求解方法务必熟练再熟练!)资料个人收集整理，勿做商业用途 四、向量代数和空间解析几何 计算题：求向量地数量积，向量积及混合积;求直线方程，平面方程;判定平面与直线间
2011考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分 1.1 高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和∞ ∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞ ∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim 0=→x x x 、e x x x =+→10)1(lim 、e x x x =+∞ →)1(1lim ；4.夹逼定理。 1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四 章《定积分》 第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。 对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分
?+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分?dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是?+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于?-a a dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有? -a a dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f )(=2?a dx x f 0)(；对于?20)(π dx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π 的代换是常 用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=?-a a 奇函数 、??=-a a a 02偶函数偶函数。在处理完积分上下 限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。
考研数学常规题型和陌生题型解答方法 考研数学不仅要熟练掌握常规题型，面对陌生题型也要沉着应对，使用一些小技巧和方法 化解。 为大家精心准备了考研数学常规题型及陌生题型解答秘诀，欢迎大家前来阅读。 考研数学常规题型及陌生题型解答技巧一、 考研数学常规题型?1.选择题对于选择题来说， 大家还是有很多方法可选的，常用的方法有：代入法、排除法、图示法、逆推法、反例法等。 如果考试的时候大家发现哪种方法都不奏效的话，大家还可以选择猜测法，至少有 25%的 正确性。 选择题属于客观题，答案是唯一的，并且考研数学考试中的多选题也是以单选的形式出现 的，最终的答案只有一个，评分是不偏不倚的。 选择题的难度一般都是适中的，均为中等难度，没有特别难的，也没有一眼就能看出选项 的题目。 选择题主要考查的是考生对基本的数学概念、性质的理解，要求考生能进行简单的推理、 判断、计算和比较即可。 所以选择题对于考生来说，要么依靠扎实的知识得分，要么靠自身的运气得分，这 32 分 要想稳拿需要考生在复习的时候深入思考，不能主观臆想，要思考与动手相结合才行。 ?2.填空题填空题的答案也是唯一的，做题的时候给出最后的结果就行，不需要推导过程， 同样也是答对得满分，答错或者不答得 0 分，不倒扣分。 这一部分的题目一般是需要一定技巧的计算，但不会有太复杂的计算题。 题目的难度与选择题不相上下，也是适中。 填空题总共有 6 个，一般高数 4 个，线代和概率各 1 个，主要考查的是考研数学中的三基 本：基本概念、基本原理、基本方法以及一些基本的性质。 做这 24 分的题目时需要认真审题，快速计算，并且需要有融会贯通的知识作为保障。 ?3.解答题解答题的分值较多，占总分的 60%多，类型也较复杂，有计算题、证明题、实 际应用题等，并且一般情况下每道大题都会有多种解题方法或者证明思路，有的甚至有初等解 法，得分率不容易控制，所以考试在做解答题是尽量用与《考试大纲》中规定的考试内容和考 试目标相一致的解题方法和证明方法，每一步的表述要清楚，每题的分值与完成该题所花费的 时间以及考核目标是有关系的。 综合性较强、推理过程较多、或者应用性的题目，分值较高;基本的计算题、常规性试题 和简单的应用题分值较低。 解答题属主观题，其答案有时并不唯一，要能看到出题人的考核意图，选择合适的方法解 答该题。 计算题的正确解答需要靠自己平时对各种题型计算方法的积累及掌握的熟练程度。 如二元函数求最值的方法和步骤，曲线积分、曲面积分的计算方法及其与重积分的关系， 以及格林公式、高斯公式等，重积分的计算方法及一些特殊结论(如积分区域对称，被积对象
高等数学 （①10 年考题总数：117 题②总分值：764 分③占三部分题量之比重：53%④占三部分分值之比重：60%第一章函数、极限、连续 （①10 年考题总数：15 题②总分值：69 分③占第一部分题量之比重：12%④占第一部分分值之比重：9%） 题型 1 求1∞型极限（一（1），2003） 题型 2 求 0/0 型极限（一（1），1998；一（1），2006） 题型 3 求∞-∞型极限（一（1），1999） 题型 4 求分段函数的极限（二（2），1999；三，2000） 题型 5 函数性质（奇偶性，周期性，单调性，有界性）的判断（二（1），1999；二（8），2004） 题型 6 无穷小的比较或确定无穷小的阶（二（7），2004） 题型 7 数列极限的判定或求解（二（2），2003；六（1），1997；四，2002；三（16），2006） 题型 8 求 n 项和的数列极限（七，1998） 题型 9 函数在某点连续性的判断（含分段函数）（二（2），1999） 第二章一元函数微分学 （①10 年考题总数：26 题②总分值：136 分③占第一部分题量之比重：22%④占第一 部分分值之比重：17%） 题型 1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题（二（7），2006） 题型 2 函数可导性及导函数的连续性的判定（五，1997；二（3），2001；二（7），2005） 题型 3 求函数或复合函数的导数（七（1），2002） 题型 4 求反函数的导数（七（1），2003） 题型 5 求隐函数的导数（一（2），2002） 题型 6 函数极值点、拐点的判定或求解（二（7），2003） 题型 7 函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定（二（1），2001；二（3），2002）题型 8 函数在某点可导的判断（含分段函数在分段点的可导性的判断）（二（2），1999）题型 9 求一元函数在一点的切线方程或法线方程（一（3），1997；四，2002；一（1），2004） 题型 10 函数单调性的判断或讨论（八（1），2003；二（8），2004） 题型 11 不等式的证明或判定（二（2），1997；九，1998；六，1999；二（1），2000；八（2），2003；三（15），2004） 题型 12 在某一区间至少存在一个点或两个不同的点使某个式子成立的证明（九，2000； 七（1），2001；三（18），2005） 题型 13 方程根的判定或唯一性证明（三（18），2004）
2018考研数学：易出证明题的知识点总结要命的考研数学每年都会难倒一大批考研党，各位2018考研党可得在数学上多下功夫了。今天文都网校考研频道整理了一下容易出证明题的知识点与小伙伴儿们分享，希望对大家有所帮助。 考试难题一般出现在高等数学，对高等数学一定要抓住重难点进行复习。高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下： 一、数列极限的证明 数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。 二、微分中值定理的相关证明 微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理： 1.零点定理和介质定理; 2.微分中值定理; 包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。 3.微分中值定理 积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。 三、方程根的问题 包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。 四、不等式的证明 五、定积分等式和不等式的证明 主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法;积分学的方法：换元法和分布积分法。 六、积分与路径无关的五个等价条件 这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。 以上是容易出证明题的地方，同学们在复习的时候重点归纳这类题目的解法。 2018考研学子想要了解更多考研资讯、复习资料与备考经验，可以搜索文都网校进入考研频道，查看2018考研辅导课程，咨询专业老师考研相关内容。 考研不是你一个人在战斗，漫漫考研路上，文都网校考研老师会一直陪伴在同学们左右。祝2018考研学子备考顺利，考研成功!
题型总结 第一章极限与连续 题型一极限的概念 1）无穷一定无界，无界不一定无穷。 2）极限存在或连续》》左右极限存在且相等 题型二不定型极限的计算 1）0比0型，考虑等价无穷小、马克劳林公式、罗必达 2）遇到ln 用ln（1+a)~a等等 3）遇到x.sinx,tanx,arctanx,arcsinx任意两个相减时，用马克劳林 题型三连加或连成的式子求极限 1）拆项 2）使用夹逼 3）利用公式。（常常需要先夹逼后用公式） 题型四极限存在性问题 1）存在》》1、有界（夹逼等方法求解）2、单调（用导数或前项-后项证） 题型五中值定理法求极限 当看到两项相减，且各项的结构相同时（即可由一个函数表示出来），此时用中值定理：构造一个函数，原题即可表示为f(a)-f(b)=f`(§)(a-b) 题型六含变积分限的函数极限 1)换元2）再利用罗必达去积分号 题型七间断点及其分类 1）0点的连续》》f(0+0)=f(0-0) 题型八闭区间上的连续函数 看到【】闭区间的函数证明题，考虑介值定理：m<=f(§)<=M 第二章导数与微分 题型一导数 1）可导》》f`+=f`- 2)绝对值不影响函数的连续性，但是可能导数，在f(a)=0处受影响 3）可导等价于可微，注意两者表示公式，易考选择题 4）判断某点处的可导3条件：①保两侧都趋于0②导数公式分子第二项必为f(a) ③导数公式的分子分母必须为同阶无穷小 题型二基本求导类型 1）显函数求导2）隐函数求导3参数方程函数求导4）分段函数求导 题型三高阶导数 1）公式法2）归纳法3）泰勒公式法 第三章一元函数微分学的应用 题型一证明f``(§)=0 1)证f`(§)=0，先由介值定理或零点定理找到两个相等点，再用罗尔证。 2)证f``(§)=0,先用两次拉格朗日定理找出两个点，再用罗尔。 题型二待证结论中出了§没有其他字母 1）还原法，即找出辅助函数（原函数）：将结论中§变成x、去分母、移项，整理成g（x)=0,再还原是哪个函数的导数。 2）分组构造法，即“还原法”，两项和为一项，方法与1一样；
2009年考研数学高数典型题型归纳 一、函数、极限与连续 求分段函数的复合函数； 求极限或已知极限确定原式中的常数； 讨论函数的连续性，判断间断点的类型； 无穷小阶的比较； 讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。 二、一元函数微分学 求给定函数的导数与微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论； 利用洛比达法则求不定式极限； 讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式； 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数； 几何、物理、经济等方面的值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间； 利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
三、一元函数积分学 计算题：计算不定积分、定积分及广义积分； 关于变上限积分的题：如求导、求极限等； 有关积分中值定理和积分性质的证明题； 定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等； 综合性试题。 四、向量代数和空间解析几何 计算题：求向量的数量积，向量积及混合积； 求直线方程，平面方程； 判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角； 建立旋转面的方程； 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。 五、多元函数的微分学 判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续； 求多元函数（特别是含有抽象函数）的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数； 求二元、三元函数的方向导数和梯度； 求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函 数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、 右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极 限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小 求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类 型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的 性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示.
元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a ?M . 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, × × ×, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ×××, n , ×××}. N +={1, 2, ×××, n , ×××}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={×××, -n , ×××, -2, -1, 0, 1, 2, ×××, n , ×××}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ?A , 则必有x ?B , 则称A 是B 的子集, 记为A ìB (读作A 包含于B )或B éA . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ìB 且B ìA , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ìB 且A 1B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A èB , 即 A è B ={x |x ?A 或x ?B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ?A 且x ?B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ?A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A èB =B èA , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A èB )èC =A è(B èC ), (A ?B )?C =A ?(B ?C );
考研数学高数必考题型总结 考研数学高数必考题型总结 第一：求极限。 无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。区别在于有时以4分小题形式出现，题 目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。比如大题可能 需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因子、 重要极限等中的几种方法，有时考生需要选择其中简单易行的组合 完成题目。另外，分段函数个别点处的导数，函数图形的渐近线， 以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限 手段达到目的，须引起注意! 第二：利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式。 证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。等式的证明包括使用4个微分中值定理，1个积分中值定理;不等式 的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。这里泰勒中 值定理的使用是一个难点，但考查的概率不大。 第三：一元函数求导数，多元函数求偏导数。 求导数问题主要考查基本公式及运算能力，当然也包括对函数关系的处理能力。一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求 导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基本上每年都会考查，给出的函数可能是较为复杂的显 函数，也可能是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。 另外，二元函数的极值与条件极值与实际问题联系极其紧密，是一个考查重点。极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。
第四：级数问题。 常数项级数(特别是正项级数、交错级数)敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛的本质含义均是考查的重点，但常常以小题形式出现。函数项级数(幂级数，对数一来说还有傅里叶级数，但考查的频率不高)的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数等及函数在一点的幂级 数展开在考试中常占有较高的分值。 第五：积分的计算。 积分的计算包括不定积分、定积分、反常积分的计算，以及二重积分的计算，对数学考生来说常主要是三重积分、曲线积分、曲面 积分的计算。这是以考查运算能力与处理问题的技巧能力为主，以 对公式的熟悉及空间想像能力的考查为辅的。需要注意在复习中对 一些问题的灵活处理，例如定积分几何意义的使用，重心、形心公 式的反用，对称性的使用等。 第六：微分方程问题。 解常微分方程方法固定，无论是一阶线性方程、可分离变量方程、齐次方程还是高阶常系数齐次与非齐次方程，只要记住常用形式， 注意运算准确性，在考场上正确运算都没有问题。但这里需要注意：研究生考试对微分方程的考查常有一种反向方式，即平常给出方程 求通解或特解，现在给出通解或特解求方程。这需要考生对方程与 其通解、特解之间的关系熟练掌握。 整个数学复习，高等数学是占分值最大的，复习的时候，要以高等数学为主。同时线性代数和概率为辅，不管原来熟悉不熟悉，必 须要把线性代数和概率统计要复习好。高等数学它比较灵活的地方，主要集中在几章，一个是所谓的未定式极限的运算，再有一个是微 分中值定理，还有积分的应用，特别是定积分在几何上的应用，高 等数学的下半部分多元函数微分法、求偏导数，还有数学的线面积分，这都是我们特别应该注意的，应该出大题。 线性代数的大题主要是参数问题，第一步是用证明的方法求参数，第二步就用书上例题的基本办法来计算。概率统计大家不要只依靠 记忆公式，要把公式定理和题目有机的结合起来。