第一章函数与极限
教学目的：
1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函
数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、
右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极
限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小
求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类
型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的
性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：
1、复合函数及分段函数的概念；
2、基本初等函数的性质及其图形；
3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；
4、两个重要极限；
5、无穷小及无穷小的比较；
6、函数连续性及初等函数的连续性；
7、区间上连续函数的性质。
教学难点：
1、分段函数的建立与性质；
2、左极限与右极限概念及应用；
3、极限存在的两个准则的应用；
4、间断点及其分类；
5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1. 1 映射与函数
一、集合
1. 集合概念
集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示.
元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a ?M . 集合的表示:
列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.
例如A ={a , b , c , d , e , f , g }.
描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为
A ={a 1, a 2, × × ×, a n },
M ={x | x 具有性质P }.
例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}.
几个数集:
N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.
N ={0, 1, 2, ×××, n , ×××}. N +={1, 2, ×××, n , ×××}.
R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集.
Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集.
Z ={×××, -n , ×××, -2, -1, 0, 1, 2, ×××, n , ×××}.
Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q
p +∈∈=N Q
子集: 若x ?A , 则必有x ?B , 则称A 是B 的子集, 记为A ìB (读作A 包含于B )或B éA .
如果集合A 与集合B 互为子集, A ìB 且B ìA , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B .
若A ìB 且A 1B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集.
2. 集合的运算
设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A èB , 即
A è
B ={x |x ?A 或x ?B }.
设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即
A ?
B ={x |x ?A 且x ?B }.
设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即
A \
B ={x |x ?A 且x ?B }.
如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C .
集合运算的法则:
设A 、B 、C 为任意三个集合, 则
(1)交换律A èB =B èA , A ?B =B ?A ;
(2)结合律 (A èB )èC =A è(B èC ), (A ?B )?C =A ?(B ?C );
(3)分配律 (AèB)?C=(A?C)è(B?C), (A?B)èC=(AèC)?(BèC);
(4)对偶律 (AèB)C=A C?B C, (A?B)C=A CèB C.
(AèB)C=A C?B C的证明:
x?(AèB)C?x?AèB?x?A且x?B?x?A C且x?B C?x?A C?B C, 所以(AèB)C=A C?B C.
直积(笛卡儿乘积):
设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为A′B, 即
A′B={(x, y)|x?A且y?B}.
例如, R′R={(x, y)| x?R且y?R }即为xOy面上全体点的集合, R′R常记作R2.
3. 区间和邻域
有限区间:
设a (a, b)={x|a 类似地有 [a, b] = {x | a ￡x￡b }称为闭区间, [a, b) = {x | a￡x 其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度. 无限区间: [a, +￥) = {x | a￡x }, (-￥, b] = {x | x < b } , (-￥, +￥)={x | | x | < +￥}. 区间在数轴上的表示: 邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设d是一正数, 则称开区间(a-d, a+d)为点a的d邻域, 记作U(a, d), 即 U(a, d)={x | a-d< x < a+d} ={x | | x-a| 其中点a称为邻域的中心, d称为邻域的半径. 去心邻域 U(a, d): U(a, d)={x |0<| x-a | 二、映射 1. 映射的概念 定义设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : X?Y , 其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即 y=f(x), 而元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像; 集合X 称为映射f 的定义域, 记作D f , 即 D f =X ; X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域, 记为R f , 或f (X ), 即 R f =f (X )={f (x )|x ?X }. 需要注意的问题: (1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X , 即定义域D f =X ; 集合Y , 即值域的范围: R f ìY ; 对应法则f , 使对每个x ?X , 有唯一确定的y =f (x )与之对 应. (2)对每个x ?X , 元素x 的像y 是唯一的; 而对每个y ?R f , 元素y 的原像不一定是唯一的; 映射f 的值域R f 是Y 的一个子集, 即R f ìY , 不一定R f =Y . 例1设f : R ?R , 对每个x ?R , f (x )=x 2. 显然, f 是一个映射, f 的定义域D f =R , 值域R f ={y |y 30}, 它是R 的一个真子集. 对于R f 中的元素y , 除y =0外, 它的原像不是唯一的. 如y =4的原像就有x =2和x =-2两个. 例2设X ={(x , y )|x 2+y 2=1}, Y ={(x , 0)||x |￡1}, f : X ?Y , 对每个(x , y )?X , 有唯一确定的(x , 0)?Y 与之对应. 显然f 是一个映射, f 的定义域D f =X , 值域R f =Y . 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间[-1, 1]上. (3) f :]2 ,2[ππ-?[-1, 1], 对每个x ?]2 ,2[π π-, f (x )=sin x . f 是一个映射, 定义域D f =]2 ,2[π π-, 值域R f =[-1, 1]. 满射、单射和双射: 设f 是从集合X 到集合Y 的映射, 若R f =Y , 即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像, 则称f 为X 到Y 上的映射或满射; 若对X 中任意两个不同元素x 11x 2, 它们的像f (x 1)1f (x 2), 则称f 为X 到Y 的单射; 若映射f 既是单射, 又是满射, 则称f 为一一映射(或双射). 上述三例各是什么映射？ 2. 逆映射与复合映射 设f 是X 到Y 的单射, 则由定义, 对每个y ?R f , 有唯一的x ?X , 适合f (x )=y , 于是, 我们可定义一个从R f 到X 的新映射g , 即 g : R f ?X , 对每个y ?R f , 规定g (y )=x , 这x 满足f (x )=y . 这个映射g 称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域1-f D =R f , 值域1-f R =X . 按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？ 设有两个映射 g : X ?Y 1, f : Y 2?Z , 其中Y 1ìY 2. 则由映射g 和f 可以定出一个从X 到Z 的对应法则, 它将每个x ?X 映射成f [g (x )]?Z . 显然, 这个对应法则确定了一个从X 到Z 的映射, 这个映射称为映射g 和f 构成的复合映射, 记作f o g , 即 f o g : X ?Z , (f o g )(x )=f [g (x )], x ?X . 应注意的问题: 映射g 和f 构成复合映射的条件是: g 的值域R g 必须包含在f 的定义域内, R g ìD f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g 和f 的复合是有顺序的, f o g 有意义并不表示g o f 也有意义. 即使f o g 与g o f 都有意义, 复映射f o g 与g o f 也未必相同. 例4 设有映射g : R ?[-1, 1], 对每个x ?R , g (x )=sin x , 映射f : [-1, 1]?[0, 1], 对每个u ?[-1, 1], 21)(u u f -=. 则映射g 和f 构成复映射f o g : R ?[0, 1], 对每个x ?R , 有 |cos |sin 1)(sin )]([))((2x x x f x g f x g f =-=== . 三、函数 1. 函数概念 定义 设数集D ìR , 则称映射f : D ?R 为定义在D 上的函数, 通常简记为 y =f (x ), x ?D , 其中x 称为自变量, y 称为因变量, D 称为定义域, 记作D f , 即D f =D . 应注意的问题: 记号f 和f (x )的含义是有区别的, 前者表示自变量x 和因变量y 之间的对应法则, 而后者表示与自变量x 对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f (x ), x ?D ”或“y =f (x ), x ?D ”来表示定义在D 上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 函数符号: 函数y =f (x )中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母, 例如“F ”, “j ”等. 此时函数就记作y =j (x ), y =F (x ). 函数的两要素: 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R 内, 因此构成函数的要素是定义域D f 及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数的定义域: 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定. 求定义域举例: 求函数412--=x x y 的定义域. 要使函数有意义, 必须x 10, 且x 2 -430. 解不等式得| x |32. 所以函数的定义域为D ={x | | x |32}, 或D =(-￥, 2]è[2, +￥]). 单值函数与多值函数: 在函数的定义中，对每个x ?D , 对应的函数值y 总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x ?D , 总有确定的y 值与之对应, 但这个y 不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x 和y 之间的对应法则由方程x 2+y 2=r 2 给出. 显然, 对每个x ?[-r , r ]，由方程x 2+y 2=r 2,可确定出对应的y 值, 当x =r 或x =-r 时, 对应y =0 一个值; 当x 取(-r , r )内任一个值时, 对应的y 有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数. 对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x 2+y 2=r 2给出的对应法则中, 附加“y 30”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y 30”作为对应法则, 就可得到一个单值分支221)(x r x y y -==; 附加“y ￡0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ￡0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支222)(x r x y y --==. 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集 {P (x , y )|y =f (x ), x ?D } 称为函数y =f (x ), x ?D 的图形. 图中的R f 表示函数y =f (x )的值域. 函数的例子: 例. 函数???<-≥==0 0 ||x x x x x y . 称为绝对值函数. 其定义域为D =(-￥, +￥), 值域为R f =[0, +￥). 例. 函数?? ???<-=>==01000 1sgn x x x x y . 称为符号函数. 其定义域为D =(-￥, +￥), 值域为R f ={-1, 0, 1}. 例 设x 为任上实数. 不超过x 的最大整数称为x 的整数部分, 记作[ x ]. 函数 y = [ x ] 称为取整函数. 其定义域为D =(-￥, +￥), 值域为R f =Z . 0]7 5[=, 1]2[=, [p ]=3, [-1]=-1, [-3. 5]=-4. 分段函数: 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 例。 函数?????>+≤≤=1110 2x x x x y . 这是一个分段函数, 其定义域为D =[0, 1]è(0, +￥)= [0, +￥). 当0￡x ￡1时, x y 2=; 当x >1时, y =1+x . 例如22 12)21 (==f ; 2 1 2)1(==f ; f (3)=1+3=4. 2. 函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数f (x )的定义域为D , 数集X ìD . 如果存在数K 1, 使对任一x ?X , 有 f (x )￡K 1, 则称函数f (x )在X 上有上界, 而称K 1为函数f (x )在X 上的一个上界. 图形特点是y =f (x )的图形在直线y =K 1的下方. 如果存在数K 2, 使对任一x ?X , 有f (x )3 K 2, 则称函数f (x )在X 上有下界, 而称K 2为函数f (x )在X 上的一个下界. 图形特点是, 函数y =f (x )的图形在直线 y =K 2的上方. 如果存在正数M , 使对任一x ?X , 有| f (x ) |￡M , 则称函数f (x )在X 上有界; 如果这样的M 不存在, 则称函数f (x )在X 上无界. 图形特点是, 函数y =f (x )的图形在直线y = -M 和y = M 的之间. 函数f (x )无界, 就是说对任何M , 总存在x 1?X , 使| f (x ) | > M . 例如 (1)f (x )=sin x 在(-￥, +￥)上是有界的: |sin x |￡1. (2)函数x x f 1)(=在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 这是因为, 对于任一M >1, 总有x 1: 1101<< x , 使 M x x f >=111)(, 所以函数无上界. 函数x x f 1)(=在(1, 2)内是有界的. (2)函数的单调性 设函数y = f (x )的定义域为D , 区间I ìD . 如果对于区间I 上任意两点x 1及x 2, 当x 1 f (x 1)< f (x 2), 则称函数f (x )在区间I 上是单调增加的. 如果对于区间I 上任意两点x 1及x 2, 当x 1 f (x 1)> f (x 2), 则称函数f (x )在区间I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数y = x 2在区间(-￥, 0]上是单调增加的, 在区间[0, +￥)上是单调减少的, 在（-￥, +￥）上不是单调的. (3)函数的奇偶性 设函数f (x )的定义域D 关于原点对称(即若x ?D , 则-x ?D ). 如果对于任一x ?D , 有 f (-x ) = f (x ), 则称f (x )为偶函数. 如果对于任一x ?D , 有 f (-x ) = -f (x ), 则称f (x )为奇函数. 偶函数的图形关于y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: y =x 2, y =cos x 都是偶函数. y =x 3, y =sin x 都是奇函数, y =sin x +cos x 是非奇非偶函数 2020年考研高数知识点：极限中的“极限” 说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，能够出选择题也能够出填 空题，更能够出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极 限的形式给出的。 第一，极限的定义。理解数列极限和函数极限的定义，记住其定义。 第二，极限的性质。性，有界性，保号性和保不等式性要理解， 重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的 本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在 做题目的时候能够看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目 中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，能够根据这个 数值大于零或小于零，像这样的情况，就能够写出这个点的导数定义，利用极限的保号性，得出相对应的结论，切记要根据题目要求来判断 是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。 第三，极限的计算。这个部分是重中之重，这也是三大计算中的 第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会 计算不同类型的极限计算。首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹 逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定 义求极限。其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如： 四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷 形式的，分别抓分子和分母的次计算结果即可)，等价无穷小替换中要 掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换 公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第 二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替 2017考研数学极限知识点全解 来源：文都图书 极限是高数中的重要知识点，也是考研数学的重要考点，我们一起来了解一下极限在考研大纲中的相关考点，及其题型等。 一、极限在考研数学中的要求 根据考研大纲，极限需要理解和掌握的是：极限的概念，函数左右极限的概念以及函数极限存在与左右极限的关系，极限的性质及四则运算法则，极限存在的两个准则，利用两个重要极限计算极限的方法，无穷小量、无穷大量的概念，无穷小的比较方法。 要求会求和了解的是：利用极限存在的两个准则求极限，用等价无穷小量求极限。 二、极限是高等数学的基础 1、极限是高数三大基本工具(极限、微分、积分)中最基本的工具，也是微分与积分的基础。另外高等数学中很多概念都是通过极限来定义的，如连续的概念，导数的概念，定积分的概念以及级数的概念都是通过极限来定义的。考研数学虽然大多数题目是计算题，但是只记住计算步骤，死记硬背，是万万不行的。要想考高分，需要对基本概念的理解到位，否则你学的知识就如同浮光掠影，很难取得好成绩。因此，我们从最基础的极限开始就要学习到位，基本概念理解好，极限计算要熟练，为以下各章节的学习打好基础。 2、考研中的很多题目也间接与极限有联系，尤其是极限的计算一定要过关，因为很多题目的计算都会用到极限的计算。如判断函数的连续性，找函数的间断点的类型，求渐近线，求函数一点数的导数，级数的敛散性的判别，求幂级数的收敛半径和收敛域，这些问题都会用到极限，如果极限不会求这些题目就无法做出来。所以考生在复习极限这章的时候一定要到位，计算尤其要过关，否则后患无穷。 三、极限在考研数学中的常见题型 极限这部分不计间接命题，直接命题的分值一般是一道小题(4分)和一道大题(10分左右)，足见本章内容的重要性。 直接命题常见题型： (1)考查极限的概念，常见于选择题; (2)求极限式中的未知参数; (3)直接计算函数的极限; (4)考查极限的概念，常见于选择题; (5)利用收敛准则，求数列极限，常见于数一、数二。 (6)结合无穷小的比较考查极限的计算; 上面总结归纳了考研数学极限知识点的相关知识点，并且对题型进行了分析，考生们认真学习吧，希望对你们的备考有帮助，汤家凤编写的《2017考研数学硕士研究生入学考试高等数学辅导讲义》这本书按照考研大纲所编写，并且附有相关练习题，基础、强化、巩固一体，可以好好利用哦，加油。 考研数学：教你如何轻松求解数列极限 [摘要]极限是考研数学每年必考的内容，所占比重相当大，在此整理求数列极限的方法教大家轻松解决此理问题。极限平均每年在考研数学中所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。 一、极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键,极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。 二、极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 三、与极限计算相关知识点包括： 1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限; 2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在; 3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线); 4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。 2016考研数学：求极限的一般题型 下面总结一下，求极限的一般题型： 1、求分段函数的极限，当函数数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了!当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的! 2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞?说白了，就是说函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉! 解决办法： 1、求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了，这不是很容易么?但是!有2个问题要注意!问题1：积分函数能否求导?题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的!!!!问题2：被积分函数中既含有t又含有x的情况下如何解决? 解决1的方法：就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函数与积分的联系!更重要的是他能去掉积分符号!解决2的方法：当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数!!当x与t是除的关系或者是加减的关系,就要换元了!(换元的时候积分上下限也要变化!) 3、求的是数列极限的问题时候:夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候,就考虑x趋近的时候函数值,数列极限也满足这个极限的,当所求的极限是递推数列的时候:首先:判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义!!数列是离散的,只能用前后项的比较(前后项相除相减)，数列极限是否有界可以使用归纳法最后对xn与xn+1两边同时求极限,就能出结果了! 4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。 解决办法：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如:当x趋近0时候f(x)比x=3的函数,分子必须是无穷小，否则极限为无穷,还有洛必达法则的应用,主要是因为当未知数有几个时候,使用洛必达法则,可以消掉某些未知数，求其他的未知数。 5、极限数列涉及到的证明题，只知道是要构造新的函数。 1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。 2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋 2021考研数学二考试大纲 原文解析及变化解读 高等数学大纲原文解析 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：， 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达(L'Hospital)法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系. 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数. 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理. 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法. 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数的最大值和最小值的求法及其应用. 考研数学：极限计算方法——利用单侧极限 今天给大家带来极限计算方法中的利用单侧极限来求极限。为什么会有单侧极限这种极限的计算方法呢，我们知道极限存在的充要条件要求函数左右两侧的极限同时存在且相等才表示函数极限存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢？ 第一，当分段函数的分段点两侧表达式不同时，求分段点处的极限利用单侧极限。例如，讨论函数1,0arcsin(tan )()2,0ln(1arctan )0121 x e x x f x x x x ?-+-在0=x 处的极限。 分析：在做这道题时我们发现0=x 处左右两侧的解析式是不同的，所以计算0=x 处的极限要分左右来求解，也即 1lim 22 1arctan lim 121)arctan 1ln(lim 000==?=-+++++→→→x x x x x x x x x ，1tan lim )arcsin(tan 1lim 00==---→→x x x e x x x ，左右两侧的极限同时存在且相等，所以1)(lim 0=→x f x 。 有一些特殊的分段函数，如 ,[],max{},min{},sgn x x x ，当题目中出现这几个函数时需要考虑单侧极限。 第二，如果出现(),arctan e a ∞∞∞，求极限是要分左右的，例如，???? ? ??+++→x x e e x x x sin 12lim 410分析：这道题让我们求解0=x 处的极限，我们发现它有x ，在脱绝对值时会出现负号，同 时出现了e ∞，故分单侧计算极限， 11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ++++→→→→????+++ ? ?+=+== ? ? ? ?+++????，11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ----→→→→????+++ ? ?+=-=-= ? ? ? ?+++????，所以1sin 12lim 410=???? ? ??+++→x x e e x x x 。上述几种情况原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，提高自己的解题能力。 2018考研数学基础复习两大重要定理：大数定律与中心极限定理 大数定律与中心极限定理这一部分内容是考研数学考试很少考查和出现的，但是既然是考试大纲所要求的考点，考生应该也复习到位。要是题目中出现的话，也好应对。比如2014年数一考题中就出现了大数定律的考查，很多考生都懵了。为了避免类似的情况再次发生，所以2018考研的同学们一定要复习好大纲要求的每一个考点。 大数定律是概率论中随机变量序列向常数收敛的各种定律的总称，反映随机试验次数的增多，往往出现几乎必然的规律性。中心极限定理是概率论中一类讨论随机变量部分和序列分布向正态分布收敛的极限定理的总称，它们是数理统计中做统计推断的理论基础。 常考考点 常考题型 考试要求 切比雪夫不等式 用切比雪夫不等式估计随机事件的概率 了解切比雪夫不等式. 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律 辛钦大数定律 利用三个大数定律成立的条件和结论解题 了解切比夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律). 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 列维-林德伯格中心极限定理 1.列维-林德伯格中心极限定理夫人条件和结论的应用 2.列维-林德伯格中心极限定理的应用 3.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的应用 了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理). 大数定律与中心极限数列部分设计的主要知识点有： 1. 利用切比雪夫不等式来进行估计随机事件的概率; 2. 切比雪夫大数定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律成立的条件和结论; 3. 棣莫弗-拉普拉斯定理和列维-林德伯格定理成立的条件、结论和应用. 这部分内容与数字特征联系较多，要求考生具备以下能力： 1. 记住定理的条件和结论，能够利用中心极限定理解决实际问题; 2. 会计算随机变量序列函数的数学特征; 3. 利用相关中心极限定理计算某些事件问题中随机事件的概率。 这一部分不是考研数学考试的重点，所以2017考研的同学们复习这一部分时，不需要耗费太多的时间和精力，只要掌握了各定理的结论和结论即可，遇到相应问题会进行分析即可。 考研数学：求极限的16种方法 考研频道为大家提供考研数学：求极限的16种方法，赶紧学习一下吧！更多考研资讯我们网站的更新! 考研数学：求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。 首先对极限的总结如下。极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1、极限分为一般极限，还有个数列极限 (区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种)。 2、解决极限的方法如下 1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记。(x趋近无穷的时候还原成无穷小) 2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 首先他的使用有严格的使用前提。必须是X趋近而不是N趋近。(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0，无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。 洛必达法则分为三种情况 1)0比0无穷比无穷时候直接用 2)0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3)0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方 对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0) 3、泰勒公式 (含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e^x 展开,sinx展开,cos展开,ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母!看上去复杂处理很简单。 5、无穷小与有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了! 6、夹逼定理 (主要对付的是数列极限)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用 (对付数列极限)(q绝对值符号要小于1) 8、各项的拆分相加 高数部分： （配同济六版教材） 第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重 要的内容，要掌握求极限的集中方法） 第一节映射与函数（一般章节） 一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解） 注：P1--5 集合部分只需简单了解 P5--7不用看 P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界 P17--20 不用看 P21 习题1.1 1、2、3大题均不用做 4大题只需做（3）（5）（7）（8） 5--9 均做 10大题只需做（4）（5）（6） 11大题只需做（3）（4）（5） 12大题只需做（2）（4）（6） 13做14不用做 15、16重点做 17--20应用题均不用做 第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看） 一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解） P26--28 例1、2、3均不用证 p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解 P30 定理4不用看 P30--31 习题1-2 1大题只需做（4）（6）（8） 2--6均不用做 第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题 一、（了解）二、（了解） P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可 P35 例6 要会做例7 不用做 P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看 p37习题1--3 1--4 均做5--12 均不用做 第四节（重要） 一、无穷小（重要）二、无穷大（了解） p40 例2不用做p41 定理2不用证 p42习题1--4 1做2--5 不全做6 做7--8 不用做 第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在) p43 定理1、2的证明要理解 p44推论1、2、3的证明不用看 p48 定理6的证明不用看 p49 习题1--5 1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14) 2、3要做4、5重点做6不做 第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明 p50 准则1的证明要理解 p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限) p53另一个重要极限的证明可以不用看 p55--56柯西极限存在准则不用看 p56习题1--7 1大题只做(1)(4)(6) 2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做 第七节(重要） p58--59 定理1、2的证明要理解 p59 习题1--7 全做 第八节（基本必考小题） p60--64 要重点看第八节基本必出考题 p64 习题1--8 1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做 6--8不用做 第九节（了解） p66--67 定理3、4的证明均不用看 p69 习题1--9 1、2要做 3大题只做（3）——（6） 4大题只做（4）——（6） 5、6均要重点做 第十节（重要，不单独考大题，但考大题会用到） 一、（重要）二、（重要）p72三、一致连续性（不用看） 考研数学高数公式：函数与极限 第一章：函数与极限 第一节：函数 函数属于初等数学的预备知识，在高数的学习中起到铺垫作用，直接考察的内容比较少，但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段： 1.理解函数的概念，能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念，并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段： 1.了解函数的不同表现形式：显式表示，隐式表示，参数式，分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 冲刺阶段： 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数，导函数，变上限积分)，并会讨论它们的相关性质。 第二节：极限 极限可以说是高等数学的基础，极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系，了解无穷小量的比较方法，记住常见的等价无穷小量。 强化阶段： 1.理解极限的概念，理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二)/了解数列极限和函数极限的概念(数三); ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质，极限的四则运算法则，极限存在的 两个准则，两个重要极限，等价无穷小替换，洛必达法则，泰勒公式); 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数); 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系，会进行无穷小量的比较，记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二)/理解无穷小量的概念，会进行无穷小量的比较，记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用，了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三)。 冲刺阶段： 深入理解极限理论在微积分中的中心地位，理解高等数学中其它运算(求导，求积分)与极限之间的关系，建立完整的理论体系。 函数与极限的基本公式与定理 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小; 考研数学数列极限内容概括及考点总结 来源：文都教育 数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重要考点，下面文都考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮助。 一、数列极限 1. 数列极限的定义 设{}n a 为一数列，若存在常数A ，对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<-||A a n ，称A 为数列{}n a 的极限，或称数列 {}n a 收敛于A ，记为A a n n =∞ →lim 。 2. 收敛数列的性质 （1）收敛数列极限存在且唯一. （2）收敛数列必为有界数列. （3）收敛数列的保号性. 3. 极限存在准则 （1）夹逼准则 如果数列{}{}{},,n n n a b c 满足下列条件： 从某项起，即0n N ?∈，当0n n >时有，n n n c b a ≤≤，且A c a n n n n ==∞ →∞ →lim lim ， 则A b n n =∞ →lim 。 （2）单调有界准则 单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列{}n x 必有极限。 【注】此准则只给出了极限的存在性，并未给出极限是多少。此时一般是在判定了“极限存在”以后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得到。 4. 重要结论 （1）若lim lim n n n n a a a a →∞ →∞ =?=. （2）lim 0lim 0 n n n n a a →∞ →∞ =?=. （3）221lim lim ,lim n n n n n n a a a a a a -→∞ →∞ →∞ =?==. 【考点一】数列极限的概念与性质 例1设 ().lim 0,n n n n n x a y y x a →∞ ≤≤-=且为常数，则数列 {}n x 和{}n y （ ） 。 （A ）都收敛于a （B ）都收敛，但不一定收敛于a （C ）可能收敛，也可能发散 （D ）都发散 例2设 (){}{} .lim 0,,n n n n n n n n x a y y x x y →∞ ≤≤-=且和 {}n a 均为数列，则lim n n a →∞ （ ）。 （A ）存在且等于0 （B ）存在但不一定等于0 （C ）一定不存在 （D ）不一定存在 【考点二】（1）单调有界数列必有极限. （2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为+∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为-∞. 例1 设()()1103,31,2, n n n x x x x n +<<=-=，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 例2 设 ()2 0110,20,1,2, n n n x x x x n +-<<=+=，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 【考点三】夹逼准则 【思路提示】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能的大，而“放大”应该是尽可能的小，在这种情况下，如果仍然“夹不住”那么就说明夹逼准则不适用，改方法。 【考点四】数列连加和的极限 例1. 求极限 111 lim 1111212n n →∞ ? ?+++ ?++++ +?? 考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限 极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。 2020考研数学复习：极限求法大汇总 考研备考时间已然快要过半，还在为了备考方法焦灼？不用担心！老司机带你上车，下面由我为你精心准备了“2020考研数学复习：极限求法大汇总”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ 2020考研数学复习：极限求法大汇总 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。为此，我整理了这篇文章，希望对大家有所帮助。 1、极限分为一般极限，还有个数列极限 (区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种)。 2、解决极限的方法如下 1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记。(x趋近无穷的时候还原成无穷小) 2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 首先他的使用有严格的使用前提。必须是X趋近而不是N趋近。(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0，无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。 洛必达法则分为三种情况 1)0比0无穷比无穷时候直接用 2)0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3)0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方 对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0) 3、泰勒公式 (含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e^x 展开,sinx展开,cos展开,ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母!看上去复杂处理很简单。 5、无穷小与有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了! 6、夹逼定理 (主要对付的是数列极限)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用 (对付数列极限)(q绝对值符号要小于1) 8、各项的拆分相加 (来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。 https://www.doczj.com/doc/9b6404333.html, 版权所有翻印必究 考研数学极限计算方法：利用单侧极限 今天给大家带来极限计算方法中的利用单侧极限来求极限。为什么会有单侧极限这种极限的计算方法呢，我们知道极限存在的充要条件要求函数左右两侧的极限同时存在且相等才表示函数极限存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢？ 第一，当分段函数的分段点两侧表达式不同时，求分段点处的极限利用单侧极限。例如，讨论函数1,0arcsin(tan )()2,0ln(1arctan ),0121x e x x f x x x x x ?-+-?? 在0=x 处的极限。分析：在做这道题时我们发现0=x 处左右两侧的解析式是不同的，所以计算0=x 处的极限要分左右来求解，也即 1lim 22 1arctan lim 121)arctan 1ln(lim 000==?=-+++++→→→x x x x x x x x x ，1tan lim )arcsin(tan 1lim 00==---→→x x x e x x x ，左右两侧的极限同时存在且相等，所以1)(lim 0 =→x f x 。有一些特殊的分段函数，如,[],max{},min{},sgn x x x ，当题目中出现这几个函数时需要考虑单侧极限。 第二，如果出现(),arctan e a ∞∞∞，求极限是要分左右的，例如，???? ? ??+++→x x e e x x x sin 12lim 410分析：这道题让我们求解0=x 处的极限，我们发现它有x ，在脱绝对值时 版权所有翻印必究 https://www.doczj.com/doc/9b6404333.html, 2会出现负号，同时出现了e ∞，故分单侧计算极限， 11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ++++→→→→????+++ ? ?+=+=+= ? ? ? ?+++????，11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ----→→→→????+++ ? ?+=-=-= ? ? ? ?+++???? ，所以1sin 12lim 410=???? ? ??+++→x x e e x x x 。上述几种情况原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，提高自己的解题能力。 考研数学：求极限的16个方法 极限问题一直是考研数学中的考察重点，很多考研er在面对题型的变化时，会觉得有些无从下手，下面给大家盘点一下求极限的16个方法，让你轻松应对各种情况。 首先对极限的总结如下。极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1、极限分为一般极限，还有个数列极限(区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种) 2、解决极限的方法如下1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a 次方-1等价于Ax等等。全部熟记。(x趋近无穷的时候还原成无穷小) 2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 首先他的使用有严格的使用前提。必须是X趋近而不是N趋近。(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存 在!(假如告诉你g(x)，没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0，无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0.洛必达法则分为三种情况1)0比0无穷比无穷时候直接用2)0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了3)0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0) 3、泰勒公式(含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e^x展开，sinx展开，cos展开，ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法。 取大头原则最大项除分子分母!看上去复杂处理很简单。 5、无穷小与有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了! 6、夹逼定理(主要对付的是数列极限)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1) 考研数学：前辈吐血总结史上最全求极 限方法 [摘要]假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。 首先对极限的总结如下。极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1、极限分为一般极限，还有个数列极限(区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种)。 2、解决极限的方法如下 1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记。(x趋近无穷的时候还原成无穷小) 2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 首先他的使用有严格的使用前提。必须是X趋近而不是N趋近。(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。 洛必达法则分为三种情况 1)0比0无穷比无穷时候直接用 2)0乘以无穷无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3)0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0) 3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e 的x展开sina展开cos展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法。取大头原则最大项除分子分母!看上去复杂处理很简单。 5、无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了! 6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1) 8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。 9、求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化。 10、两个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式(第二个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用第二个重要极限) 11、还有个方法，非常方便的方法。就是当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的。 x的x次方快于x!快于指数函数快于幂数函数快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)。当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12、换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的 14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。2020年考研高数知识点：极限中的“极限”
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