一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.某中心城市有一楼盘,开发商准备以每平方米7000元价格出售,由于国家出台了有关调控房地产的政策,开发商经过两次下调销售价格后,决定以每平方米5670元的价格销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)房产销售经理向开发商建议:先公布下调5%,再下调15%,这样更有吸引力,请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠?为什么?
【答案】(1)平均每次下调的百分率为10%.(2)房产销售经理的方案对购房者更优惠.
【解析】
【分析】
(1)根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求,设出未知数,然后列方程求解即可; (2)分别求出两种方式的增长率,然后比较即可.
【详解】
(1)设平均每次下调x%,则
7000(1﹣x )2=5670,解得:x 1=10%,x 2=190%(不合题意,舍去);
答:平均每次下调的百分率为10%.
(2)(1﹣5%)×(1﹣15%)=95%×85%=80.75%,(1﹣x )2=(1﹣10%)2=81%. ∵80.75%<81%,∴房产销售经理的方案对购房者更优惠.
2.解方程:2332302121x x x x ????--= ? ?--????
. 【答案】x=
15
或x=1 【解析】
【分析】 设321
x y x =
-,则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ,再求x . 【详解】 解:设321
x y x =
-,则原方程变形为y 2-2y-3=0. 解这个方程,得y 1=-1,y 2=3, ∴3121x x =--或3321
x x =-. 解得x=15
或x=1. 经检验:x=
15或x=1都是原方程的解.
∴原方程的解是x=15或x=1. 【点睛】 考查了还原法解分式方程,用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法,根据方程特点设出相应未知数,解方程能够使问题简单化,注意求出方程解后要验根. 3.解下列方程:
(1)2x 2-4x -1=0(配方法);
(2)(x +1)2=6x +6.
【答案】(1)x 1=1+
62,x 2=1-62 (2) x 1=-1,x 2=5. 【解析】
试题分析:(1)根据配方法解一元二次方程的方法,先移项,再加减一次项系数一半的平方,完成配方,再根据直接开平方法解方程即可;
(2)根据因式分解法,先移项,再提公因式即可把方程化为ab=0的形式,然后求解即可. 试题解析:(1)由题可得,x 2-2x =
12,∴x 2-2x +1=32. ∴(x -1)2=
32. ∴x -1=±
32=±6. ∴x 1=1+62,x 2=1-62
. (2)由题可得,(x +1)2-6(x +1)=0,∴(x +1)(x +1-6)=0.
∴x +1=0或x +1-6=0.
∴x 1=-1,x 2=5.
4.如图,在Rt ABC 中,90B =∠,10AC cm =,6BC cm =,现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发,沿边AB ,BC 向终点C 移动.已知点P ,Q 的速度分别为2/cm s ,1/cm s ,且当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动,设P ,Q 两点移动时间为xs .问是否存在这样的x ,使得四边形APQC 的面积等于216cm ?若存在,请求出此时x 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】假设不成立,四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ,理由见解析
【解析】
【分析】
根据题意,列出BQ 、PB 的表达式,再列出方程,判断根的情况.
【详解】
解:∵90B ∠=,10AC =,6BC =,
∴8AB =.
∴BQ x =,82PB x =-;
假设存在x 的值,使得四边形APQC 的面积等于216cm , 则()1168821622
x x ??--=, 整理得:2480x x -+=,
∵1632160=-=-<,
∴假设不成立,四边形APQC 面积的面积不能等于216cm .
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用,熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.
5.已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数,m≠0).
(1) 试说明:此方程总有两个实数根.
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数,求整数m 的值.
【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0;(2)m=-1,-3.
【解析】
分析: (1)先计算判别式得到△=(m -3)2-4m ?(-3)=(m +3)2,利用非负数的性质得到△≥0,然后根据判别式的意义即可得到结论;
(2)利用公式法可求出x 1=
3m ,x 2=-1,然后利用整除性即可得到m 的值. 详解: (1)证明:∵m ≠0,
∴方程mx 2+(m -3)x -3=0(m ≠0)是关于x 的一元二次方程,
∴△=(m -3)2-4m ×(-3)
=(m +3)2,
∵(m +3)2≥0,即△≥0,
∴方程总有两个实数根;
(2)解:∵x =
()()332m m m --±+ , ∴x 1=-3m
,x 2=1, ∵m 为正整数,且方程的两个根均为整数,
∴m =-1或-3.
点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式△=b 2-4ac :当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了解一元二次方程.
6.已知:关于x 的一元二次方程221(1)204
x m x m +++-=. (1)若此方程有两个实数根,求没m 的最小整数值;
(2)若此方程的两个实数根为1x ,2x ,且满足22211221184x x x m x +=-
-,求m 的值. 【答案】(1)-4;(2)m=3
【解析】
【分析】
(1)利用根的判别式的意义得到△≥0,然后解不等式得到m 的范围,再在此范围内找出最小整数值即可;
(2)利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+,212124
x x m =
-,然后解关于m 的一元二次方程,即可确定m 的值.
【详解】
解:(1)∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根, ∴221(1)41(2)04m m ?=+-??-≥,
∴290m +≥, ∴92
m ≥-; ∴m 的最小整数值为:4m =-; (2)由根与系数的关系得:12(1)x x m +=-+,212124x x m =
-, 由22212121184
x x x x m ++=-得: ()22211121844m m m ????-+--=- ?????
∴22150m m +-=,
解得:3m =或5m =-; ∵92
m ≥-, ∴3m =.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系:若x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时,则
12b x x a +=-,12c x x a
=.也考查了根的判别式.解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.
7.解方程:(x +1)(x -1)=x.
【答案】x 1,x 2
【解析】
试题分析:根据方程的特点,根据平方差公式化为一般式,然后可根据公式法求解即可.
试题解析:(x +1)(x -1)=
x 2-2x-1=0
∵a=1,b=-
c=-1
∴△=b 2-4ac=8+4=12>0
∴x=
2b a
-± ∴x
1x 2.
8.已知关于x 的方程(a ﹣1)x 2+2x +a ﹣1=0.
(1)若该方程有一根为2,求a 的值及方程的另一根;
(2)当a 为何值时,方程的根仅有唯一的值?求出此时a 的值及方程的根.
【答案】(1)a=
15,方程的另一根为12
;(2)答案见解析. 【解析】
【分析】
(1)把x=2代入方程,求出a 的值,再把a 代入原方程,进一步解方程即可;
(2)分两种情况探讨:①当a=1时,为一元一次方程;②当a≠1时,利用b 2-4ac =0求出a 的值,再代入解方程即可.
【详解】
(1)将x =2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=,得4(a 1)4a 10-++-=,解得:a =15
. 将a =
15代入原方程得24x 2054x 5-+-=,解得:x 1=12,x 2=2. ∴a =15,方程的另一根为12
; (2)①当a =1时,方程为2x =0,解得:x =0.
②当a≠1时,由b 2-4ac =0得4-4(a -1)2=0,解得:a =2或0.
当a=2时,原方程为:x2+2x+1=0,解得:x1=x2=-1;
当a=0时,原方程为:-x2+2x-1=0,解得:x1=x2=1.
综上所述,当a=1,0,2时,方程仅有一个根,分别为0,1,-1.
考点:1.一元二次方程根的判别式;2.解一元二次方程;3.分类思想的应用.
9.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
【答案】(1) △ABC是等腰三角形;(2)△ABC是直角三角形;(3) x1=0,x2=﹣1.
【解析】
试题分析:(1)直接将x=﹣1代入得出关于a,b的等式,进而得出a=b,即可判断△ABC 的形状;
(2)利用根的判别式进而得出关于a,b,c的等式,进而判断△ABC的形状;
(3)利用△ABC是等边三角形,则a=b=c,进而代入方程求出即可.
试题解析:(1)△ABC是等腰三角形;
理由:∵x=﹣1是方程的根,
∴(a+c)×(﹣1)2﹣2b+(a﹣c)=0,
∴a+c﹣2b+a﹣c=0,
∴a﹣b=0,
∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形;
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴(2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0,
∴4b2﹣4a2+4c2=0,
∴a2=b2+c2,
∴△ABC是直角三角形;
(3)当△ABC是等边三角形,∴(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,可整理为:
2ax2+2ax=0,
∴x2+x=0,
解得:x1=0,x2=﹣1.
考点:一元二次方程的应用.
10.若两个一次函数的图象与x轴交于同一点,则称这两个函数为一对“x牵手函数”,这个交点为“x牵手点”.
(1)一次函数y=x﹣1与x轴的交点坐标为;一次函数y=ax+2与一次函数y=x﹣1为一对“x牵手函数”,则a=;
(2)已知一对“x牵手函数”:y=ax+1与y=bx﹣1,其中a,b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣
4=0的两根,求它们的“x牵手点”.
【答案】(1)(1,0),a=﹣2;(2)“x牵手点”为(
1
2
-,0)或(
1
2
,0).
【解析】
【分析】
(1)根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标;把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值;
(2)根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0,根据根与系数的关系求得k=0,可得方程x2-
4=0,解得x1=2,x2=-2,再分两种情况:①若a=2,b=-2,②若a=-2,b=2,进行讨论可求它们的“x牵手点”.
【详解】
解:(1)当y=0时,即x﹣1=0,
所以x=1,即一次函数y=x﹣1与x轴的交点坐标为(1,0),
由于一次函数y=ax+2与一次函数y=x﹣1为一对“x牵手函数”,
所以0=a+2,
解得a=﹣2;
(2)∵y=ax+1与y=bx﹣1为一对“x牵手函数”
∴11
a b
-=,
∴a+b=0.
∵a,b为x2﹣kx+k﹣4=0的两根
∴a+b=k=0,
∴x2﹣4=0,
∴x1=2,x2=﹣2.
①若a=2,b=﹣2则y=2x+1与y=﹣2x﹣1的“x牵手点”为
1
,0
2
??- ???
;
②若a=﹣2,b=2则y=﹣2x+1与y=2x﹣1的“x牵手点”为(1
2
,0 )
∴综上所述,“x牵手点”为
1
,0
2
??
- ?
??
或(
1
2
,0)
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用.