2017自主招生必刷真题200道
数学篇
内部资料
前言
自2003年22所高校首批启动自主选拔录取改革试点以来,截至2017年,试点高校达到90所(其中77所高校面向全国招生,13所高校在本省内招生),通过教育部“阳光高考”平台累计公示自主选拔录取资格考生以逾25万人,实际录取超过14万人。目前,自主招生已经成为一个稳定的招生渠道,受到越来越多优秀考生的青睐,对于促进科学选拔人才起到了积极作用。
爱尖子作为学科竞赛和自主招生培训的专业品牌,在国际数学奥赛金牌和物理奥赛金牌选手的领衔下,长期致力于竞赛和自主招生培训的研发工作。2016年,爱尖子学员在竞赛上取得了惊人的成绩,北京地区53名学员获得高中数学联赛一等奖(共62人),数学IMO国家队6名成员均曾参与爱尖子培训,1人进入物理IPhO国家队,1人进入APhO国家队。
2015年,爱尖子成立自主招生研究中心,经过对近年来清华北大自主招生及博雅领军计划真题的分析与整理,甄选数学和物理学科核心考点下的经典真题,按照专题分类后,编写了这份《2017自主招生必刷真题200道》。帮助今年备战以清华北大等国内顶级高校为目标的同学节省备考时间,精准高效的突破笔试。为保证同学们在使用本题集时获得更好的体验,爱尖子特为本题集搭配详细解析,希望同学们经过200题的“洗刷”后,能在自主招生笔试上取得长足的进步。
目录
(一)代数式变形 (4)
(二)复数、平面向量 (9)
(三)函数与方程 (12)
(四)三角函数 (21)
(五)概率 (25)
(六)平面几何与立体几何 (26)
(七)解析几何 (36)
(八)数列 (41)
(九)数论 (45)
(十)排列、组合与二项式定理 (48)
(一) 代数式变形
001(2016年清华大学领军计划)
2221
,,,1
a b c a b c R a b c ?++=∈?
++=?那么 A.max 2
3
a =
B.max ()0abc =
C.min
1
3a =- D.max 4()27
abc =-
002(2016年清华大学领军计划)
,,x y z 均为非负实数,满足2221327
()(1)()2
2
4
x y z +++++=,则x y z ++
的最大值为_________________
最小值为__________________.
003(2016年清华大学领军计划)
实数2
2322()4x
y x y +=,则22x y +的最大值为_____________.
004(2015年北京大学博雅计划)
已知226450x y x y -+++=,则22x y +的最小值是________.
005(2016年清华大学领军计划)
已知,,x y z 满足x y z ≥≥,且222
1
1
x y z x y z ++=??++=?,则( ) A .max
()0xyz = B.min 4()27xyz =-
C.min 13
Z =- 006(2016年清华大学领军计划)
22120
()(1sin )n n x x dx π
π--+=?
___________.
007(2016年北京大学自主招生)
已知1111
2016,
2016
x y z x y z ++=++=
,则(2016)(2016)(2016)x y z ---=______ 008(2016年北京大学博雅计划)
已知ABC ?的三边长分别为,,a b c ,有以下4个命题:
① ②以2
2
2
,,a b c 为边长的三角形一定存在; ③以
,,222
a b b c a c
+++为边长的三角形一定存在; ④以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在; 其中正确命题的个数为( ).
A.2
B.3
C.3
D.前三个答案都不对
009(2016年北京大学博雅计划)
三个不同的实数,,x y z 满足3
2
3
2
3
2
333x x y y z z -=-=-,则x y z ++等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.前三个答案都不对
010(2016年北京大学博雅计划)
已知1a b c ++= ). A.[10,11) B.[11,12) C.[12,13) D.前三个答案都不对
设实数x ,y 满足221x y +≤,则222x xy y +-的最大值为
(A)3
(C)2
012(2015年北京大学自主招生)
设集合(){},,lg A x xy xy =与集合{}0,,B x y =相等,则x y +的值是 (A)2
(B)2-
(C)1
(D)以上均不对
013(2015年北京大学自主招生)
已知1x >,1y >,且()()112x y --=,则2x y +具有 (A)最大值4
(B)最小值4
(C)最大值7
(D)最小值7
014(2015年北京大学自主招生)
设关于x 的不等式()
2414k x k +≤+的解集为A ,则对任意的实数k ,一定成立的是 (A)2,0A A ∈∈
(B)2,0A A ??
(C)2,0A A ∈?
(D)2,0A A ?∈
015(2015年北京大学自主招生)
设,,a b c 为两两不等的有理数,()()()2
2
2
N a b b c c a ---=-+-+- (A)整数
(B)有理数
(C)无理数
(D)前述三种关系均有可能
016(2015年北京大学自主招生)
已知实数,,a b c 满足0a b c ++>,0ab bc ac ++>,0abc >,则对,,a b c 来说,下面成立的是 (A)全是正数
(B)至多有两个正数
(C)至多有一个正数
(D)全是负数
已知a 、b 、c 、d [2,4]∈,则2
2222
()()()
ab cd a d b c +++的最大值与最小值之和是_________. 018(2015年北京大学博雅计划)
已知22x px q ++≤,[1,5]x ?∈________.
019(2015年北京大学博雅计划)
设2222b c a x bc +-=,222
2c a b y ca
+-=,2222a b c z ab +-=,且1x y z ++=,则
201520152015x y z ++的值是________.
020(2014年北大全国优秀中学生体验营)
设a 、b 、c 满足3330a b c a b c ++=++=,n 为任意自然数。求21
2121n n n a
b c +++++的值。 021(2014年北大等十一校联考自招)
已知正实数12,,...,n x x x ,且12...1n x x x =。证明:
1
)1)n
n i i x =≥∏。
022(2014年“华约”试题)
设n 是正整数,且x n ≤.证明:2
(1)n x x
n n e x n
--≤。
023(2013年北大等十一校联考自招)
和为两根的有理系数多项式的次数最小是( )。 A.2 B.3 C.5 D.6
024(2013年北大等十一校联考自招)
若2
2
25,25()x y y x x y =+=+≠,则32232x x y y -+的值为( )。 A.-10 B.-12 C.-14 D.以上都不对
025(2013年北大等十一校联考自招)
已
知
123,,,
a a a ∈,满足
123...
a a a +++,且
1223342012201320131|2||2||2|...|2||2|a a a a a a a a a a -=-=-==-=-.求证:1232013...0a a a a =====。
026(2012年清华暑期学校学业水平测试)
设选满足条件331x x -
=.求2
3
1x x +
的值。 027(2012年清华暑期学校学业水平测试)
已知a ,b ,c 是ABC ?三条边的边长.
(1)证明:存在三个正实数,,x y z ,成立,a x y b y z =+=+,c=z+x ;
(2)证明:322a b c b c c a a b ≤++<+++.
028(2012年复旦千分考)
若3
0x px q ++=的三个解成等比数列,那么公比是多少?
029(2012年北大夏令营)
n 个球队打单循环赛,第i 支球队的胜场数为i x ,负场数为i y ,已知
3
31
1
n n
i i
i i x y
===∑∑。求证:
4
41
1
n n
i i
i i x y
===∑∑。
030(2012年“华约”自招测试)
已知10
1
610(1,2,...,10),50i i
i x i X
=-≤≤==∑.当10
21
i i X =∑取得最大值时,在1210,,...,x x x 这十个数中等于-6的
数共有( )。
A .1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
(二)复数、平面向量
031(2016年清华大学领军计划)
对于复数(0),
10z z z ≠和40
z
的实部和虚部均为不小于1的正数,则在复平面中,z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形面积为________。
032(2016年清华大学领军计划)
O 在ABC ?内,::4:3:2,AOB BOC AOC S S S AO AB AC λμ???==+则=λ_____,=μ___.
033(2016年清华大学领军计划)
22cos sin 33z i ππ=+,求23
22
z z z z +=++_____________.
034(2016年清华大学领军计划)
2|1|||z z +=,求||z 的范围和arg z 的范围__________.
035(2016年北京大学博雅计划)
设,,a b c 为实数,,0a c ≠,
方程2
0ax bx c ++=的两个虚数根12,x x 满足2
12x x 为实数,则2015
102
()k k x x =∑等于( ) A. 34650 B. 5940 C.495 D.前三个答案都不对
036(2015年北京大学自主招生)
设1z ,2z 为两个不相等的复数,12z =,则复数12
12
4z z z z --的模是
(A)2
(B)
1
2
(C)4 (D)
14
037(2015年北京大学自主招生)
复平面上满足12z i z ---=的复数z 组成的曲线是 (A)抛物线
(B)椭圆
(C)双曲线
(D)双曲线的一支
038(2015年北京大学博雅计划)
设α是复数,α
表示共轭复数,已知αα-=2
αα
是纯虚数,则α的值为_______.
039(2014年“卓越”试题)
设12,e e 为平面上夹角为(0)2
π
θθ<≤
的两个单位向量,O 为平面上的一个固定点,P 为平面上的任意一
点.当12OP xe ye =+时,定义(,)x y 为点P 的斜坐标.现设,A B 两点的斜坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,则
,A B 两点之间的距离为_________.
040(2013年复旦自招)
求5
(sin80sin10)i +所对应的复数逆时针转10的结果.
041(2013年北大等十一校联考自招)
如果模长为1的复数,,A B C 满足0A B C ++≠,则
AB BC CA
A B C
++++的模长=( )。
A.1
-
2
B.1
C.2
D.无法确定 042(2012年复旦千分考)
设5
10z z +-=,且||1z =.求z 的值.
043(2012年“华约”自招测试)
向量,||1a e e ≠=.若,||||t R a te a e ?∈-≥+,则( )。
A .a e ⊥ B. ()a a e ⊥+ C. ()e a e ⊥+ D. ()()a e a e +⊥-
044(2012年“华约”自招测试)
若复数
-1+1ωω的实部为0,Z 是复平面上对应1
1+ω
的点,则点(,)Z x y 的轨迹是( )。 A.一条直线 B. 一条线段 C. 一个圆 D. 一段圆弧
045(2011年“华约”自招测试)
设复数z 满足||1z <且15
|z+
|2
z =,则||z =( ). A .
45 B. 34 C. 23 D. 12
(三)函数与方程
046(2016年清华大学领军计划)
对于函数2
1y x =-和ln y x =,下列说法正确的是( ) A.二者在(1,0)处有公切线 B.二者存在平行切线 C.二者只有一个交点 D.二者有两个交点
047(2016年北京大学博雅计划)
直线2y x =-+与曲线x a
y e
+=-相切,则a 的值为( )
A.-3
B.-2
C.-1
D.前三个答案都不对
048(2016年北京大学博雅计划)
函数1
,,(,)1,,()0,q x p q p q N p p f x x Q *?==∈?
=????
,则满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为( )
A.12
B.13
C.14
D.前三个答案都不对
049(2016年北京大学博雅计划)
()f x 是定义在R 上的函数,且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x +-=,则(f 等于( ).
A.0
B.
12 C.1
3
D.前三个答案都不对 050(2015年北京大学自主招生)
函数3
lg
10
x y +=的图像可由函数lg y x =的图像经过怎样的变换得到? (A) 向左平移3个单位,向上平移1个单位 (B) 向左平移3个单位,向下平移1个单位 (C) 向右平移3个单位,向上平移1个单位 (D) 向右平移3个单位,向下平移1个单位
051(2015年北京大学博雅计划)
满足等式12015
11(1)(1)2015
x x ++=+的整数x 的个数是________.
052(2014年北大等十一校联考自招)
已知函数()f x 满足2()2()
(
),(1)1,(4)733
a b f a f b f f f ++===,则(2014)f =( )。 A.4027 B.4028 C.4029 D.4030
053(2014年北大等十一校联考自招)
设,x y 均为负数,且1x y +=-,那么1
xy xy
+
有( )。 A.最大值17-
4 B.最小值17-4 C.最大值174 D.最小值174
054(2014年北大等十一校联考自招)
使得函数22()arctan
14x f x C x -=++成为区间11
(,)44
-上的奇函数的常数C 为( )。
A.0
B.-arctan 2
C.arctan 2
D.不存在
055(2014年北大等十一校联考自招)
实系数二次函数()f x 和()g x 满足3()()0f x g x +=与()()0f x g x -=都只有一对重根。已知()0f x =有两个不相等的实根,证明:()0g x =无实根。
056(2014年“卓越”试题)
当实数m 变化时,不在任何直线2
2(1)440mx m y m +---=上的所有点(,)x y 形成的图形的面积为( ).
A. 2
B. 4
C. 2π
D. 4π
057(2014年“卓越”试题)
已知函数22211,2
(),()441ln(1),2
x x x f x g x x x x x +?<-??==--??+≥-
??.设b 为实数,
若存在实数a ,使得()()0f a g b +=,则b 的取值范围为( ).
A.[1,5]-
B.(,1][5,)-∞-+∞
C.[1,)-+∞
D.(,5]-∞+
058(2014年“卓越”试题)
已知()f x 为R 上的可导函数,且对0x R ?∈,有000()()4(0)f x x f x x x ''<+-<>.
(1) 对0x R ?∈,证明:000()()
()(0)f x x f x f x x x
+-'<
>;
(2) 若|()|1,f x x R ≤∈,证明: |()|4f x '≤.
059(2014年“华约”试题)
对于函数()f x ,记1
()f x -是它的反函数.定义()()f
g x 是关于函数f 和g 的复合函数,即
()()(())f g x f g x =。证明:
(1)111()()()()f
g x g f x ---=;
(2)设1
()(),()()F x f x G x f x -=-=-,若F 与G 互为反函数,则()f x 为奇函数。
060(2013“卓越”试题)
(理科)设0x >.
(1) 证明:21
12x e x x >++;
(2) 若2112
x y
e x x e =++
,证明:0y x <<. 061(2013年清华大学夏令营)
已知函数()ln f x x x =.
(1) 求函数()f x 在[1,3]上的最小值;
(2) 若存在1
[,]x e e ∈(e 为自然对数的底数,且e=2.7182828…),使不等式22()3f x x ax ≥-+-成
立,求实数a 的取值范围.
062(2013年复旦自招)
2sin cos x x x x =+有几个实数解?
063(2013年复旦自招)
设4,ln 4x
e x x x =-=-两个方程的解分别为12,x x .求12x x +.
064(2012年“卓越”自招试题)
已知函数21
()ax f x bx
+=,其中a 是非零实数,0b >.
(1) 求()f x 的单调区间; (2) 若
0,||1,2,3)
i a x i >>
=,且
122330,0,x x x x x +>+>,
证明:
1
23(
)
()
(f x f x f b
++>; (3) 若()f x 有极小值min f ,且min (1)2f f ==,证明:|()||()|22()n n n f x f x n N *-≥-∈.
065(2012年“华约”自招测试)
已知2()1...(1,2,3,...)
2!!n
n x x f x x n n =++++=.求证:当n 为偶数时,()0n f x =无解;当n 为奇数时,()0n f x =有唯一解n x 且2n n x x +<.
066(2011年北大等十三校联考自招)
求()|1|21|...|20111|f x x x x =-+-++-的最小值。
067(2011年北大夏令营)
是否存在定义域为全体实数的实值函数()f x ,使得2
2
(31)()2f n n f n -++=+,对于任意整数n 均成立?
068(2015年北京大学自主招生)
设函数()f x 是偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,则满足
()34x f x f x +??
= ?+??的所有x 之和是 (A)3-
(B)3
(C)8-
(D)8
069(2013年北大暑期体验营)
设()2
27f x x ax =-+,已知存在(
,)42
ππ
?∈,满足(sin )(cos )f f ??=。求参数a 的取值范围。
070(2013年“华约”试题)
设函数()(1)1x
f x x e =--.
(1) 证明:当0x >时,()0f x <;
(2) 令111,1n n x x n x e e x +=-=,证明:数列{}n x 递减且12
n n x >
. 071(2012年“卓越”自招试题)
函数sin ()()2cos f R θ
θθθ
=
∈+的值域为______________.
072(2012年清华暑期学校学业水平测试)
设1
0,()a b f x x
<<=,过(,()),(,())a f a b f b 两点的直线方程为y cx d =+. (1)求证:当a x b ≤≤时,1
cx d x
+≥;
(2)证明:11
ln(1)1...2(1)2n n n n
++
≤++++.
073(2016年清华大学领军计划)
2()()x f x x a e =+有最小值,则220x x a ++=的解的个数为________ 074(2016年北京大学博雅计划)
若方程2
310x x --=的根也是方程4
2
0x ax bx c +++=的根,则2a b c +-的值为( ). A.-13 B.-9 C.-5 D.前三个答案都不对
075(2016年北京大学博雅计划)
方程组23234345x y z x y z x y z ?+=?
+=??+=?
,的实数解组数为( ).
A.5
B.6
C.7
D.前三个答案都不对
076(2016年北京大学博雅计划)
方程333()333
x x x x x +++=的所有实根的平方和等于( ).
A.0
B.2
C.4
D.前三个答案都不对
077(2015年北京大学自主招生)
设关于x 的方程2sin 4sin 30x m x m ++-=总有解,则实数m 的取值范围是 (A) 4
3
m ≥-
(B)45m ≤
(C)413m -≤≤或3445
m ≤≤
(D)以上均不对
078(2014年北大全国优秀中学生体验营)
设关于x 的方程2220x ax a -+-=在区间[0,
3
2
]内有根,求实数a 的取值范围。 079(2014年北大全国优秀中学生体验营)
设a 、b 、c 是实数,方程320x ax bx c +++=有三个正根。证明329c 7a ab +≤,并且等号成立当且仅当这三个正根相等。
080(2014年“卓越”试题)
32||2+1<0x x -的解集为( ).
A.15(1)(1,+-
B.51((,-
C.115
(,()22+-∞-
D.151(1,
)(,1)22
-- 081(2012年北大夏令营)
方程2
(4)10ax
a x a ++++=有且仅有一个质根。求a 的范围。
082(2012年北大等十一校联考自招)
关于x 1=的实根的个数为( )
。 A. 1 B.3 C. 0 D. 无穷多
数学试卷 一、选择题(30分) 1.在0,-2, 1,-3这四个数中,最小的数是( ). A .0 B .-2 C .1 D .-3 2. 函数中,自变量的取值范围是( ). A .x≥1 B .x≤1 C .x≥-1 D .x≤-1 3.把不等式组 的解集表示在数轴上,下列选项正确的是( ). A . B . C . D . 4.如图,小红和小丽在操场上做游戏,她们先在地上画出一个圆圈,然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子,则投一次就正好投到圆圈内是( ). A .必然事件(必然发生的事件) B .不可能事件(不可能发生的事件) C .确定事件(必然发生或不可能发生的事件) D .不确定事件(随机事件) 5. 若x1、x2是一元二次方程的两个根,则x12的值是( ). A.3 3 C.2 2 6.我们从不同的方向观察同一物体时,可以看到不同的平面图形,如图,从图的左面看这个几何体的左视图是( ). A . B . C . D . 7.已知 ,我们又定义 ,, ,……,根据你观察的规律可推测出=( ). 1 0 1 0 1 0 1 0
A. B. C. D. 8.如图,在矩形中,M、N分别为边、边的中点, 将矩形沿折叠,使A点恰好落在上的点F处, 则∠的度数为( ). A.20°B.25 °C.30°D.36° 9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况,从该年级学生中随机 抽取了4%的学生,对其参加的体育活动项目进行了调查,将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.下列结论:①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人;②在本次调查中“其他”的扇形的圆心角的度数为36°;③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目的学生多20%;④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 10.如图,等腰△中,∠90°,4,⊙C的半径为1,点P在斜边上,切⊙O于点Q,则切线长长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.4 二、填空题(18分) 11.如图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O
中学自主招生数学试卷 一、选择题(共5小题,每题4分,满分20分) 1.(4分)下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+()2+2﹣1的结果相同的是() A.B.D. 2.(4分)如图,∠ACB=60°,半径为2的⊙O切BC于点C,若将⊙O在CB上向右滚动,则当滚动到⊙O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离为() A.2πB.4πC.2D.4 3.(4分)如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积,那么整数p的值可取多少个() A.4 B.5 C.6 D.8 4.(4分)小明、小林和小颖共解出100道数学题,每人都解出了其中的60道,如果将其中只有1人解出的题叫做难题,2人解出的题叫做中档题,3人都解出的题叫做容易题,那么难题比容易题多多少道() A.15 B.20 C.25 D.30 5.(4分)已知BD是△ABC的中线,AC=6,且∠ADB=45°,∠C=30°,则AB=() A.B.2C.3D.6 二、填空题(共6题,每小题5分,满分30分) 6.(5分)满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是. 7.(5分)已知三个非负实数a,b,c满足:3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1,若m=3a+b﹣7c,则m的最小值为. 8.(5分)如图所示,设M是△ABC的重心,过M的直线分别交边AB,AC于P,Q两
点,且=m,=n,则+=. 9.(5分)在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点,如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个. 10.(5分)如图所示:在平面直角坐标系中,△OCB的外接圆与y轴交于A(0,),∠OCB=60°,∠COB=45°,则OC=. 11.(5分)如图所示:两个同心圆,半径分别是和,矩形ABCD边AB,CD分别为两圆的弦,当矩形ABCD面积取最大值时,矩形ABCD的周长是. 三、简答题(共4小题,满分50分) 12.(12分)九年级(1)、(2)、(3)班各派4名代表参加射击比赛,每队每人打两枪,射中内环得50分,射中中环得35分,射中外环得25分,脱靶得0分.统计比赛结果,(1)班8枪全中,(2)班1枪脱靶,(3)班2枪脱靶,但三个班的积分完全相同,都是255分. 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由: 班级内环中环外环
2018年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处) 1.如图,数轴上点A表示数a,则|a﹣1|是() A.1B.2C.3D.﹣2 2.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k>﹣1B.k>﹣1且k≠0C.k<﹣1D.k<﹣1或k=0 3.在公园内,牡丹按正方形种植,在它的周围种植芍药,如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律,那么当n=11时,芍药的数量为() A.84株B.88株C.92株D.121株 4.某校美术社团为练习素描,他们第一次用120元买了若干本资料,第二次用240元在同一商家买同样的资料,这次商家每本优惠4元,结果比上次多买了20本.求第一次买了多少本资料?若设第一次买了x本资料,列方程正确的是() A.﹣=4B.﹣=4 C.﹣=4D.﹣=4 5.如图,某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池,且中间有管道连通,现要向甲池中注水,若单位时间内的注水量不变,那么从注水开始,乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是()
A.B. C.D. 6.如图在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE,在地面观测点A处测得屋顶C与树稍的仰角分别是45°与60°,∠DCA=90°,在屋顶C处测得∠DCA=90°,若房屋的高BC=5米,则高DE的长度是() A.6米B.6米C.5米D.12米 7.某单位组织职工开展植树活动,植树量与人数之间关系如图,下列说法不正确的是() A.参加本次植树活动共有30人 B.每人植树量的众数是4棵 C.每人植树量的中位数是5棵 D.每人植树量的平均数是5棵
2010年科学素养测试 数学试题 【卷首语】亲爱的同学们,欢迎参加一六八中学自主招生考试,希望你们凝神静气,考出水平!开放的一六八中学热忱欢迎你们!本学科满分为120分,共17题;建议用时90分钟。 一、填空题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、计算= . 2、分解因式:= . 3、函数中,自变量x的取值范围是. 4、已知样本数据x1,x2,…,x n的方差为1,则数据10x1+5,10x2+5,…,10x n+5的方 差为. 5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为(a, 0)(b, 0)(0, c),则a+b+c的值等 于. 6、在同一平面上,⊙、⊙的半径分别为2和1,=5,则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有 个. 7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm, 则斜边长为cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案:
则第10个图案中有白色地面砖块. 9、将函数的图像平移,使平移后的图像过C(0,-2),交x轴于A、B两点,并且△ABC 的面积等于4,则平移后的图像顶点坐标是. 10、如图,平行四边形ABCD中,P点是形内一点,且△P AB的面积等于8 cm2,△P AD的 面积等于7 cm2,,△PCB的面积等于12 cm2,则△PCD的面积是cm2. (第10题图)(第11题图) 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体,其主视图与左视图均为如图所 示的3 × 3的方格,问该几何组合体至少需要的小正方体个数是. 12、正△ABC内接于⊙O,D、E分别是AB、AC的中点,延长DE交⊙O与F, 连接BF交 AC于点P,则. 二、解答题(本大题共5小题,每小题12分,共60分) 13、已知(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9 求:①a∶b∶c②
福州一中历年自主招生物理试卷(整理) 一.选择题 (2007) 1.用绳子拉着重物在光滑水平面上运动,当重物速度达到V 时,绳子突然 断裂。绳子断裂后,重物的速度将() A.逐渐减小B.逐渐增大C.立即变为零D.保持V 不变 2.载人航天是当今世界技术最复杂、难度最大的航天工程,它代表一 个国 家的生产力发展水平和经济实力,更是扬国威的最佳途径。2005年 10 月12日 至17 日,我国神舟六号载人航天飞行获得圆满成功。神州六号载人飞船环绕地球做圆周运动时离地面的高度是() A.343km B.686km C.1029km D.1372km 3.如果作用在一个物体上的两个力大小分别为5N 和8N,则这个物体所受的合力大小() A.可能小于3N B .可能大于13N C.可能是10N D.一定等于13N 4.甲身高180cm,眼距头顶8cm,乙身高160cm,眼距头顶 6cm,两人同居一室,今欲固定一铅直悬挂的平面镜,使各人站立于镜前时,均可看见自己的全身像,则镜子的最小长度应为()A.98.5cm B.99.0cm C.99.5cm D.100.0cm (2008) 5.当电磁波的频率增大时,它在真空中的速度将() A.减小 B.增大 C.不变 6.战斗机在空中加油时的情景如图所示,已知加油 机的速度是 800km/h,则此时战斗机的速度应尽可能() A.等于0 km/h B.等于800km/h C. 大于800km/h D.小于800km/h 7.街道旁的路灯、江海里的航标灯都要求夜晚亮、白天灭。利用半导
体的电学特性制成了自动点亮、熄灭的装置,实现了自动控制。这是利用半导体的() A.压敏性 B.光敏性 C.热敏性 D.三种特性都利用了8.吊在室内天花板上的电风扇,静止不动时对固定吊杆的拉力为T1,当电风扇在
2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明:(1)请各位同学注意,本试卷题目有一定的难度,你要根据自己的情况量力而行,争取用最短的时间获得最多的分数,提高自己的考试效率!考试,比的不仅是知识和能力,更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值,争取把会做的题目都做对,祝你取得好成绩! (2)请在背面的答题纸上作答。另外,答完题后注意保护好自己的答案,防止他人的不劳而获,要做到公平竞争! 一、选择题(共8个小题,每小题4分,共32分)。每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里,不填、多填或错填都得0分。 1.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图.图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ,B 点表示四月的平均最低气温约为5C o .下面叙述不 正确的是 A .各月的平均最低气温都在0C o 以上 B .七月的平均温差比一月的平均温差大 C .三月和十一月的平均最高气温基本相同 D .平均气温高于20C o 的月份有5个 2.上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象,由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A .1x <-或5x > B .5x > C .15x -<< D .无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温
3.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A . 115 B . 815 C .18 D . 130 4.在ABC ?中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-,则ABC ?的面积为 A B C D 5.上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积... (表面面积,也叫全面积)为 A .20π B .24π C .28π D .32π 参考公式:圆锥侧面积S rl π=,圆柱侧面积2S rl π=,其中r 为底面圆的半径,l 为母线长. 6.如下图,在ABC ?中,AB AC =,D 为BC 的中点, BE AC ⊥于E ,交AD 于P ,已知3BP =,1PE =, 则AE = A B C D 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a =,2c =,2cos 3 A =,则b = A B C .2 D .3 8.如下图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短..路径条数为 A .9 B .12 C .18 D .24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图
2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解:326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法,有理根p c q = ,分子是常数项的因数,分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>,224a b ab +=,则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ,然后采用换元法;或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=,则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成;
4. 已知21()()()4b c a b c a -=--,且0a ≠,则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ,然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球(仅颜色不同),第一次从中取出一个球,记下颜 色后放回,摇匀,第二次从中取出一个球,则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9
【解析】难度简单,直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ,AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?, 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ,9AD =,12AB =,将纸片折叠,使A 、C 两点重合,折痕长是 【答案】 454 【解析】
8. 任给一个正整数n ,如果n 是偶数,就将它减半(即2 n ),如果n 是奇数,则将它乘以3 加1(即31n ),不断重复这样的运算,现在请你研究:如果对正整数n (首项)按照上 述规则施行变换(注:1可以多次出现)后的第八项为1,则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题(每小题5分,共50分) 1.设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数,且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 . 4.设扇形的周长为6,则其面积的最大值为 . 5.11!22!33!!n n ?+?+?++?= . 6.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N .若M N ?,则k 的最小值为 . 7 . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= . 8.设0a ≥,且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = . 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 . 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =,则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分,共50分)
11.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ,试写出R 用h 表示的函数关系式,并计算当 10,4r mm h mm ==时,R 的值. 12.设函数()sin cos f x x x =+,试讨论()f x 的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性),求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像. 13.已知线段AB 长度为3,两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案: