黎曼ζ函数
黎曼ζ函数是非常重要的特殊函数出现的数学和物理的集成和与周围很深的结果密切相关素数定理。虽然许多这个函数的性质进行了调查,仍有重要的基本猜想(最明显黎曼假设),还有待证实。黎曼ζ函数是为一个复杂的变量定义在复平面,通常表示是哪一个(而不是通常的)考虑到所使用的符号黎曼在他1859年的论文,创立了这个函数的研究(黎曼1859)。它的实现Wolfram语言作为ζ[s]。
上面的图显示了“山脊”为和。山脊的事实似乎减少单调并不是一个巧合,因为它证明,单调减少意味着黎曼假设(Zvengrowski和Saidak 2003;Borwein贝利,2003年,页95 - 96)。
在实线与,黎曼ζ函数可以定义的积分
(1)在哪里是γ函数。如果是一个整数,那么我们的身份
(2)
(3)
(4)所以
(5)评估,让这和代入上述身份获得
(6)
(7)
(8)集成的最后表达(8)给取消的因素并给出了最常见的黎曼ζ函数,
(9)这是有时被称为p系列.
黎曼ζ函数也可以定义的多重积分通过
(10)作为一个梅林变换通过
(11)为,在那里是小数部分(Balazard和赛亚于2000)。
它出现在单位平方积分
(12)有效期为(Guillera和Sondow 2005)。为一个非负整数,这个公式是由于Hadjicostas(2002),和特殊的情况和是由于Beukers(1979)。
请注意,ζ函数有一个奇点中,它可以减少发散调和级数.
黎曼ζ函数满足反射函数方程
(13) (哈代1999年,p . 14;“将军”1999,p . 160),一个类似的形式由欧拉猜想(欧拉、读取1749年,1768年出版,Ayoub 1974;Havil 2003,p . 193)。这种函数方程的对称形式给出
(14) (1974年Ayoub),证明了黎曼复杂(黎曼1859)。
如上所述,ζ函数与一个复数被定义为。然而,有一个独特的解析延拓对整个复平面,不包括,对应于一个简单的极与复杂的残渣1(“将
军”1999年,p . 1999)。特别是,作为 ,遵循
(15)
在哪里是Euler-Mascheroni常数(惠塔克和沃森1990,p . 271)。
执行解析延拓为,写
(16)
(17)
(18)
所以重写的立即给
(19)因此,
(20)
在这里,右边就是求和狄利克雷η函数(有时也称为交替ζ函数)。而这个公式定义对于只正确的半平面方程(◇)可以用来分析继续它的其余部分复平面.解析延拓也可以执行使用吗汉克尔函数。一个全局收敛级数的黎曼ζ函数(它提供了解析延拓的对整个复平面除了)是由
(21)
(Havil 2003,p . 206)是一个二项式系数推测的Knopp大约在1930年,证明了哈斯(1930),和重新发现Sondow(1994)。这个方程与重整化和随机变量(Biane et al . 2001),可以通过派生而来欧拉系列转换与方程(20).
哈斯(1930)也证明了相关的全局收敛级数(但更慢)
(22) ,与(21),也可以扩展到黎曼ζ函数称为泛化赫维茨ζ函数 .这样定义
(23) (如果奇异项的总和定义排除在外,然后。)扩大关于给了
(24)在哪里是所谓的斯蒂尔斯常数.
黎曼ζ函数也可以定义在复平面的围道积分
(25)对所有,那里的轮廓如上图(Havil 2003,pp。193年和249 - 252年)。
0的(至少)两个不同类型。所谓的“琐碎的零”发生在所有负面的偶数 , ,,……,在某些“重要的零”
(26)为在“关键地带"。的黎曼假设断言的黎曼ζ函数零的都有实部,一行称为“关键线路。现在已经知道,“这是真正的第一的根源。
上面的图显示的实部和虚部(即。、价值观的沿着关键线路),多种多样,从0到35(德比郡2004,p . 2004)。
黎曼ζ函数可以分成
(27)在哪里和是Riemann-Siegel功能.
黎曼ζ函数是相关的狄利克雷lambda函数和狄利克雷η函数通过
(28)和
(29) (Spanier和奥尔德姆1987)。
这是相关的刘维尔函数通过
(30) (1960年雷曼1960年,哈代和赖特)。此外,
(31)在哪里的数量是不同的主要因素的(哈代和赖特1979,p . 254)。
为一个积极的偶数 , , ...,
(32)给第一个只有
(33)
(34)
(35)
(36) (OEIS A117972和A117973)。为 ,
(37)在哪里是Glaisher-Kinkelin常数。使用方程(◇)给出了导数
(38)
可以直接从哪一个沃利斯公式(Sondow 1994)。也可以直接从Euler-Maclaurin求和公式推导(爱德华兹2001年,页2001 - 2001)。一般来说,可以表达分析的吗 ,,Euler-Mascheroni常数,斯蒂尔斯常数,第一个例子
(39)
(40)
衍生品也可以在封闭的形式,例如,
(41)
(42) (OEIS A114875).
的导数黎曼ζ函数被定义为
(43)
(44)
可以在封闭的形式
(45)
(46)
(OEIS A073002),是Glaisher-Kinkelin常数(1894年得到Glaisher串联形式)。
的系列关于是
(47)在哪里是斯蒂尔斯常数.
1739年,欧拉发现rational系数在的伯努利数。,结合1882年林德曼证明吗是先验的,有效地证明了是先验的。的研究是更困难的。摹仿(1979)最终证明是非理性的,但不知道其他类似的结果奇怪的。由于摹仿的重大发现,有时被称为摹仿的常数。Rivoal(2000)和球和Rivoal(2001)证明有无限多的整数这样是非理性的,随后,至少有一个的 , , ...,是非理性的(Rivoal 2001)。这个结果被Zudilin随后收紧(2001),表明至少有一个 , ,,或是非理性的.
许多有趣的金额,一个正整数,可以用二项式系数的条件二项金额
(48)
(49)
(50)
(人1994年,p . 1994;贝利et al . 2007年,p . 70)。摹仿来到他的援助和上面的公式。一个关系的形式
(51)
一直在寻找一个理性的或代数数,但如果是一个根的多项式学位25或更少,那么必须大于欧几里得范数的系数,如果如果25度的代数或更少,那么系数必须超过的规范(贝利et al . 2007年,页70 - 71,更新贝利和普劳夫)。因此,没有这样的资金而闻名 .
的身份
(52)
(53)
(54)
(55)为复数不等于一个非零的整数了Apery-like公式甚至积极(贝利et al . 2006年,页72 - 77)。
黎曼ζ函数可能是计算分析甚至使用轮廓整合或Parseval定理用适当的傅里叶级数。一个意想不到的和重要的公式涉及产品质数欧拉在1737年首次被发现,
(56)
(57)
(58)
(59)
(60)
在这里,每个后续的乘法th'只剩下的条款权力的。因此,
(61)被称为是哪一个欧拉产品公式(哈迪1999,18页,“将军”1999,p . 159),称为“金钥匙”,德比郡(2004年,第106 - 104页)。这个公式也可以写
(62)在哪里和是1和3的质数全等模4,分别。
为甚至 ,
(63)在哪里是一个伯努利数(马修斯和沃克1970,pp。50-53;Havil 2003,p . 194)。另一个亲密的伯努利数是由
(64)为可以写
(65)
为。(只在两种情况下,即使情况下感兴趣的非常的奇怪)。重写(65年),
(66)为,3,…(Havil 2003,p . 194)是一个伯努利数,最初的几个值,1/120,,1/240,……(OEIS A001067和A006953).
尽管没有分析形式而闻名奇怪的 ,
(67)在哪里是一个谐波数(1974年的)。此外,可以表示为金额限制
(68)为5,……(很有1973,鉴于斯塔克1974)不正确。
为的默比乌斯函数,
(69) (Havil 2003,p . 2003)。
的值小正整数的值是
(70)
(71)
(72)
(73)
(74)
(75)
(76)
(77)
(78)
(79)
欧拉给来为甚至(井1986、54页)和斯蒂尔吉斯(1993)确定的值 , ...,到1887年的30位的准确性。分母的为,2,…6,90,945,90,945,638512875,…(OEIS A002432)。分母的小数位数的数字为,1,…是1、5、133、2277、32660,426486,5264705,……(OEIS A114474).
积分给出了积极的偶数
(80)和积分给出了积极的奇数
(81)
(82)
(83)
(84)
在哪里是一个欧拉多项式和是一个伯努利多项式(Cvijovi?和Klinowski 2002;j . Crepps珀耳斯。通讯,2002年4月)。
的价值可以通过执行内部和计算方程(◇) ,
(85)获得
(86)在哪里是克罗内克符号.
同样,的价值可以通过执行内部和计算方程(◇) ,
(87)这给了
(88)
(89)
(90)这个值与深度导致重整化理论(Elizalde et al . 1994、1995、1996年布洛赫,Lepowski 1999)。
显然不知道是否值
(91) (OEIS A059750)可以用已知的数学常数来表示。这个常数出现,例如,在Knuth的系列.
快速收敛级数为首次发现了奇怪的Ramanujan(Zucker 1979、1984 Berndt 1988年,贝利et al . 1997年科恩2000)。为和 ,
(92)
在哪里又是一个伯努利数和是一个二项式系数。左边的值金额(除以)(92年)7日,11
日,…7/180,7/180,1453/425675250,7/180,7708537/21438612514068750,…(OEIS A057866和A057867)。为和,相应的公式有点复杂,
(93)
科恩(2000)。
定义
(94)可以写的头几个值
(95)
(96)
(97)
(98)
(99)
(100)
(101)
(102)
(103)
(104) (普劳夫1998)。
另一组相关的公式
(105)
(106)
(107)
(108)
(109)
(普劳夫2006)。
多项为奇数包括
(110)
(111)
(112)
(113)
(Borwein和布拉德利1996,1996;贝利et al . 2007,p . 71),在那里是一个广义的谐波数.
g . Huvent(2002)发现了美丽的公式
(114)大量的涉及和身份包括
(115)
(116)
(117)
(118)包括资金涉及整数倍数的论点
(119)
(120)
(121)在哪里是一个谐波数.
两个惊人的资金涉及是由
(122)
(123)在哪里是Euler-Mascheroni常数(Havil 2003,pp。109年和111 - 112年)。方程(122年可以推广到)
(124) (t . Drane珀耳斯。通讯,2006年7月7日) .
其他意想不到的金额
(125)
(泰勒和Chernhoff 1985;米德尔斯堡和摩???1985,p . 248)
(126) (125年)的一个特例
(127)
在哪里是一个赫维茨ζ函数(Danese 1967;米德尔斯堡和摩尔1967,p . 248)。
考虑到金额
(128)然后
(129)在哪里是自然对数的,这是一个特殊的情况下
(130)在哪里是双函数和是Euler-Mascheroni常数,这可以从
(131) (b . Cloitre珀耳斯。通讯,2005年12月11日,cf。Borwein et al . 2000年,eqn。27)。
一个泛化的Ramanujan(谁给的结果)是由
(132) (b . Cloitre珀耳斯。通讯,2005年9月20日)。
一组额外的资金是由
(133)
(134)
(135)
(136)
(137)
(138)
(139)
(140)
(141)
(142)
(143) (OEIS A093720,A076813,A093721),是一个修改后的第一类贝塞尔函数,是一个正则化超几何函数。这些钱没有封闭表达式。
黎曼ζ函数的倒数,上面绘制的,是渐近的密度th-powerfree数字(例如,squarefree数字,cubefree数字,等等)。下表给出了数字的th-powerfree数字数的值 .
参见:
初数研究期末专题论文 教师一班105012013066 邱燕华
初等函数及其连续性 【摘要】：本文主要分为三部分。第一部分利用初等函数的定义及Yanzu 引理重点讨论初等函数的判定方法；第二部分利用初等函数的连续性定义，详细讨论初等函数的连续性；第三部分简要提一下函数连续性在中学中的运用。 关键词：初等函数，连续性，Yanzu 引理 【正文】： 一、初等函数 1、初等函数的定义 定义1：由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做[1]初等函数。 注：基本初等函数包括常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 2、初等函数的分类 如果一个函数是用基本初等函数f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加、减、乘、除、乘方、开方得到初等函数称为代数函数，否则称为超越函数；f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加减乘除得到的代数函数称为有理函数，否则称为无理函数；有理函数中，仅经过有限次加、减、乘得到的初等函数称为有理整函数，否则称为有理分函数 [2]。（如下图示） ?????????????????有理整函数有理函数有理分函数代数函数无理函数初等函数超越函数 3、初等函数的判定方法 （1）根据定义判定 例1、判断下列函数是否为初等函数 ①12 2sin (1)x e y g x ??=? ?+?? ，②y lg(1y = 解： ①122sin (1)x e y g x ??=??+?? 可以看成是122sin ,,,1()x v y u u v e w x g w ====+复合而成的复合函数，12 2sin (1)x e y g x ??∴=??+??是初等函数。 ②∵ -1≤cosx ≤1, ∴-2-cosx 无意义, ∴y=-2-cosx 不是初等函数。 ③2lg ,1,1, lg(1y u u v v x y ==+++=∴== 复合而成的复合函数是初等函数 例2、判断下列函数是否为初等函数
黎曼ζ函数 最小值马克斯 再保险-15年15 即时通讯-15年15 黎曼ζ函数是非常重要的特殊函数出现的数学和物理的集成和与周围很深的结果密切相关素数定理。虽然许多这个函数的性质进行了调查,仍有重要的基本猜想(最明显黎曼假设),还有待证实。黎曼ζ函数是为一个复杂的变量定义在复平面,通常表示是哪一个(而不是通常的)考虑到所使用的符号黎曼在他1859年的论文,创立了这个函数的研究(黎曼1859)。它的实现Wolfram语言作为ζ[s]。 上面的图显示了“山脊”为和。山脊的事实似乎减少单调并不是一个巧合,因为它证明,单调减少意味着黎曼假设(Zvengrowski和Saidak 2003;Borwein贝利,2003年,页95 - 96)。 在实线与,黎曼ζ函数可以定义的积分 (1)在哪里是γ函数。如果是一个整数,那么我们的身份 (2) (3)
(4)所以 (5)评估,让这和代入上述身份获得 (6) (7) (8)集成的最后表达(8)给取消的因素并给出了最常见的黎曼ζ函数, (9)这是有时被称为p系列. 黎曼ζ函数也可以定义的多重积分通过 (10)作为一个梅林变换通过 (11)为,在那里是小数部分(Balazard和赛亚于2000)。 它出现在单位平方积分 (12)有效期为(Guillera和Sondow 2005)。为一个非负整数,这个公式是由于Hadjicostas(2002),和特殊的情况和是由于Beukers(1979)。 请注意,ζ函数有一个奇点中,它可以减少发散调和级数. 黎曼ζ函数满足反射函数方程 (13) (哈代1999年,p . 14;“将军”1999,p . 160),一个类似的形式由欧拉猜想(欧拉、读取1749年,1768年出版,Ayoub 1974;Havil 2003,p . 193)。这种函数方程的对称形式给出 (14) (1974年Ayoub),证明了黎曼复杂(黎曼1859)。 如上所述,ζ函数与一个复数被定义为。然而,有一个独特的解析延拓对整个复平面,不包括,对应于一个简单的极与复杂的残渣1(“将军”1999年,p . 1999)。特别是,作为 ,遵循 (15)
第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 Ⅰ. 教学目的与要求 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数连续性的概念. 难点: 函数连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数． 从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我 们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数 的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性． 一 函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0 lim →=()0x f ， 则称f 在点0x 连续． 例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为 2lim →x ()x f =2 lim →x ()()2512f x ==+ 又如，函数()x f ???=0 ,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续，因为 ()()001sin lim lim 00f x x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=?，称为自变量x (在点 0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为: ()()()()0000y y x f x x f x f x f y -=-?+=-=? 注 自变量的增量x ?或函数的增量y ?可以是正数，也可以是0或负数．引进了增 量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0 =?→?y x . 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用δε-方式来叙述， 即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有 ()()ε<-0x f x f (2) 则称函数f 在点0x 连续．
它亦可以用积分定义： 对于所有实部>1的复数s。这和上面ζ（2）的表达式一起可以用来证明两 个随机整数互质的概率是6/π2。 \frac{}{}== 函数值==
黎曼函数在s > 1的情况 ζ函数满足如下函数方程： 对于所有C\{0,1}中的s成立。这里，Γ表示Γ函数。这个公式原来用 来构造解析连续性。在s = 1，ζ函数有一个简单极点其留数为1。上 述方程中有sin函数，的零点为偶数s = 2n，这些位置是 可能的零点，但s为正偶数时，为不为零的规 则函数（Regular function），只有s为负偶数时，ζ函数才有零点， 称为平凡零点。 当s为正整数 其中B2k是伯努利数。从这个，我们可以看到ζ(2)= π2/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945等等。（序列A046988/A002432列在OEIS）。 这些给出了著名的π的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。 拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。为正偶数时的函数值 公式已经由欧拉计算出。但当为正奇数时，尚未找到封闭式。 这是调和级数。 （OEIS中的数列A078434）
自旋波物理。 （OEIS中的数列 A013661） 是多少？ （OEIS中的数列A002117） 称为阿培里常数。 （OEIS中的数列 A0013662） 负整数[编辑] 同样由欧拉发现，ζ函数在负整数点的值是有 理数，这在模形式中发挥着重要作用，而且ζ 函数在负偶整数点的值为零。 复数值[编辑] ，x＞1。 幅角[编辑] ， 函数值表[编辑] ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
黎曼函数的极限 黎曼函数是指如下函数： *0,0,1(0,1)()1,(,,)x R x p x p q p q q q =??=?=<∈?? 或者内无理数既约分数, 容易知道R (x )的定义域为[0,1]. 因为(0,1)内任意有理数都可以表示成p /q (既约分数,p 0，使R (x )≥ε的x 只有有限个. (这里的有限个也包括0个. ) 我们只做简单分析，不做严格证明. 当x 不在[0,1]内时R (x )没有意义，从而也谈不上R (x )≥ε. 当x =0,1或者(0,1)内的无理数时，R (x )≥ε显然不成立. 当x 为(0,1)内的有理数时，x 可写成x=p /q (既约分数,p
|r /s-p /q |=|(rq -sp )/sq |≥1/sq ，从而s >1/(q δ). 定理3 黎曼函数在(0,1)内任意一点的极限为0，在x =0处右极限为0，在x =1处左极限为0. 证明 (1)x 0为[0,1]内的无理数. 任给?ε>0. 若(0,1)内不存在有理数使得R (x )≥ε. 那么取δ=min{|x 0|,|1-x 0|}. 就可以得到对?x ∈U o (x 0;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0. 若(0,1)内存在有理数使得R (x )≥ε. 根据定理1知道，这样的有理数只可能有有限个，从而也是可列个. 设这些使R (x )≥ε的有理数为x 1,x 2,…,x n . 那么取δ=min{|x 0|,|1-x 0|,|x 1-x 0|,|x 2-x 0|,…,|x n -x 0|}>0. 这样就可以得到对?x ∈U o (x 0;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0. (2)x 0为(0,1)内的有理数. 设x 0=p /q (既约分数,p
0，取δ=min{ε/q ,|x 0|,|1-x 0|}. 若x 为U o (p /q ;δ)内的有理数，x =r/s (既约分数,r
1/ε, 于是R (x )=1/s <ε. 若x 为U o (p /q ;δ)内无理数，则一定有R (x )=0<ε. 综合起来就是对?x ∈U o (p /q ;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0. (3)x 0=0. 任给?ε>0, 取δ=min{ε,1}. 若x 为(0,δ)内的有理数，x =r/s (既约分数,r 1/ε, 于是R (x )=1/s <ε. 若x 为
函数黎曼可积性深究 罗俊逸 以下的“可积”皆指“黎曼可积”。 定义1：称有界函数f 为[a,b]上的次级离散函数（简称次离散函数）， 若：1、f 仅有有限个间断点； 或：2、f 有无限个间断点，所有这些间断点仅有有限个聚点。 定义2：在闭区间[a,b]上，连续函数与次离散函数统称次级函数。 定义3：称有界函数f 为[a,b]上的超级离散函数（简称超离散函数），若f 有无限个间断点且它们有无限个聚点。 性质：[a,b]上的任何有界离散函数，要么是次离散函数，要么是超离散函数。（这是显然的） 根据定义和性质，[a,b]上的所有有界函数的集合关系如下： 定理1：所有次级函数可积。 推论1：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积。 推论2：若f 是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积。 定义4：设f 为[a,b]上的超离散函数，若存在[a,b]上的次级函数g ，任取I ∈ [a,b]，g 在I 上有f 上的无穷个点，则称f 在[a,b]上可聚，g 称为f 的聚集函数（简称聚函数）。 定理2（可聚性定理）：任何超离散函数f 可聚，即f 至少有一个聚函数。 定理3：超离散函数f 可积的充要条件．．．． 是：f 唯一可聚，即f 仅有唯一的聚函数。 定理4：设f 是定义在[a,b]上的可积超离散函数，其聚函数是g ， 则：= 连续函数 次级离散函数 超级离散函数 次级函数 离散函数
补充： 为方便叙述，笔者自做了些定义，若有冒犯前辈的文献，请谅解。本文的主要思想是函数的划归，点有聚点，函数也可有聚函数。
连续函数及连续函数的性质 张柏忱 数学与统计学院 09级汉本 （三） 班 09041100434 摘要：数学分析的发展史告示我们，无论在理论上或在应用中都应从连续函数开始。这是因为，一方面在生产实际中所遇到的函数多是连续函数；另一方面，我们常常直接或间接地借助于连续函数讨论一些不连续的函数。于是连续函数就成为数学分析研究的主要对象。 关键词：连续 该变量 间断点 有界性 最值性 介值性、 一． 连续函数概念 已知函数f(x)在a 存在极限b ，即a b x f a x ,)(lim =→可能属于函数f(x)的定义域；f(a)也 一定等于b 。但是，当f(a)=b 时,有着特殊意义。 定义 设函数f(x)在U(a)有定义。若函数f(x)在a 存在极限，且极限就是f(a)，即 )()(lim a f x f a x =→ （1） 则称函数f(x)在a 连续，a 是函数f(x)的连续点。 函数f(x)在a 连续，不仅a 属于函数f(x)的定义域，且有（1）式极限。因此函数f(x)在a 连续比函数f(x)在a 存在极限有更高的要求。 用极限的“δε- 定义”，函数f(x)在a 连续（即（1）式极限）.|f(a)-f(x)|,|:|,0,0εδδε<<-?>?>??有a x x 将（1）式极限改写为、 0)]()([lim =-→a f x f a x （2） 设x a x x x a x ?-=??+=.或称为自变数a x 在的改变量。设 ),()()()(a f x a f a f x f y -?+=-=? y ?称为函数y 在a 的改变量.如图3.1..0→??→x a x 于是，由（2）式 函数.0lim )(0 =??→?y a x f x 连续在 有时只需要讨论函数a x f 在)(左侧或右侧的连续性，有下面左右连续概念： 定义 设函数a x f 在以)(为左（右）端点的区间有定义。若 ))0()()(lim )(0()()(lim -==+==- + →→a f a f x f a f a f x f a x a x
黎曼 黎曼(G．F．B．Riemann、1826。9．17一1866．7．20)是德 国数学家，生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡 村的穷苦牧师。他6岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁 按其父亲的意愿进入哥丁根大学攻读哲学和神学，以便将来继承 父志也当一名牧师。由于从小酷爱数学，他在学习哲学和神学的 同时，也听些数学课。当时的哥丁根大学是世界数学的中心之一。 —些著名的数学家，如高斯(C．F．Guass)、韦伯(H．Wcbcr)、斯 持尔(Sten)在校执教，黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所 感染，决定放弃神学，专攻数学。1847年他转到柏林大学学习， 成为雅可比(C．G．J．Jacobi)、狄利克雷(P．G．L．Dirichlet)、 施泰纳(J．Steiner)、艾森斯坦(F．G．M．E1Senstein)的学生。1849年重回哥丁很大学攻读博士学位。成为高斯晚年的学生。l851年获数学博士学位。l854年被聘为哥丁根大学的编外讲师。1857年晋升为副教授，1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。因长年贫困、劳累，1862年婚后不到一个月患胸膜炎和肺结核，先后三次到意大利治病、疗养。1366年病逝于意大利、终年39岁。 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一，在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。 (一)复函数论的奠基人 l9世纪数学最独特的创造是复函数理论的创立。它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前柯西(A．L．Cauchy)、雅可比、高斯、阿贝尔(N．H．Abcl)、外尔斯特拉斯(K．T．W．Weierstrass)已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅柯西和皮瑟(V．Puiseux)有些孤立的结论。 1851年黎曼在高斯指导下完成的题为“单复变函数的一般理论的基础”的博士论文，以及后来在《数学杂志》上发表的四篇重要文章对其博士论文中思想的进一步阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础。并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。柯西、黎曼和外尔斯特拉斯是世人公认的复函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，外尔斯特拉斯的思想逐渐从柯西一黎曼观点推导出来。 在黎曼对多值函数的处理个，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中。尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼一罗赫(G．Roch)定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用。将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。 (二)黎曼几何的创始人 黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何，乃至数学和科学各分支的发展产生巨大的影响。
黎曼ζ函数 黎曼ζ函数是非常重要的特殊函数出现的数学和物理的集成和与周围很深的结果密切相关素数定理。虽然许多这个函数的性质进行了调查,仍有重要的基本猜想(最明显黎曼假设),还有待证实。黎曼ζ函数是为一个复杂的变量定义在复平面,通常表示是哪一个(而不是通常的)考虑到所使用的符号黎曼在他1859年的论文,创立了这个函数的研究(黎曼1859)。它的实现Wolfram语言作为ζ[s]。 上面的图显示了“山脊”为和。山脊的事实似乎减少单调并不是一个巧合,因为它证明,单调减少意味着黎曼假设(Zvengrowski和Saidak 2003;Borwein贝利,2003年,页95 - 96)。 在实线与,黎曼ζ函数可以定义的积分 (1)在哪里是γ函数。如果是一个整数,那么我们的身份 (2) (3)
(4)所以 (5)评估,让这和代入上述身份获得 (6) (7) (8)集成的最后表达(8)给取消的因素并给出了最常见的黎曼ζ函数, (9)这是有时被称为p系列. 黎曼ζ函数也可以定义的多重积分通过 (10)作为一个梅林变换通过 (11)为,在那里是小数部分(Balazard和赛亚于2000)。 它出现在单位平方积分 (12)有效期为(Guillera和Sondow 2005)。为一个非负整数,这个公式是由于Hadjicostas(2002),和特殊的情况和是由于Beukers(1979)。 请注意,ζ函数有一个奇点中,它可以减少发散调和级数. 黎曼ζ函数满足反射函数方程 (13) (哈代1999年,p . 14;“将军”1999,p . 160),一个类似的形式由欧拉猜想(欧拉、读取1749年,1768年出版,Ayoub 1974;Havil 2003,p . 193)。这种函数方程的对称形式给出 (14) (1974年Ayoub),证明了黎曼复杂(黎曼1859)。 如上所述,ζ函数与一个复数被定义为。然而,有一个独特的解析延拓对整个复平面,不包括,对应于一个简单的极与复杂的残渣1(“将 军”1999年,p . 1999)。特别是,作为 ,遵循 (15)
第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识, 而应给出函数连续性的精确定义, 并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续, 因为 又如,函数lim x →2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) . f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0 , 0 , x = 0 在点x = 0 连续, 因为 lim x →0 f ( x) = lim x →0 x sin 1 x = 0 = f ( 0) . 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为 Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx 或函数的增量Δy 可以是正数, 也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后, 易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx →0
§ 1 解析函数的概念与柯西—黎曼条件 1. 复变函数的导数与微分 复变函数的导数定义，形式上和数学分析中单元函数的导数定义一致。因此， 微分学中几乎所有的求导基本公式，都可不加更改地推广到复变函数上来。 定义2.1 设函数w=f(z)在点z 0的邻域内或包含z 0的区域D 内有定义，考虑 比值: z z z f z f z w 00)()(--=??=)0()()(00≠??-?+z z f z f z z ， 如果当Z 按任意方式趋于z 0时，即当z ?按任意方式趋于零时，比值z w ??的 极限都存在，且其值有限，则称此极限为函数f (z )在点z 0的导数，并记为0()f z '， 即: 00000()()()lim lim z z z f z f z w f z z z z →→-?'==?-, (2.1) 这时称函数f (z )于点z 0可导。 （2.1）的极限存在要求与z ?趋于零的方式无关，对于函数的这一限制，要 比对于实变量x 的实值函数y=)(x ?的类似限制严得多。事实上，实变函数导数 存在性的要求意味着：当点x x ?+0由左（0?x ）两个方向趋 于x 0时，比值x y ??的极限都存在且相等。而复变函数导数存在性的要求意味着： 当点z z ?+0沿联接点z 0的任意路径趋于 点z 0时，比值z w ??的极限都存在， 并且这些极限都相等。 和导数的情形一样，复变函数的微分定义，形式上与实变函数的微分定义一 致。 设函数w=f(z)在点Z 可导。于是 )(lim 0z f z w z '=??→?, 即是: 0lim ,)(0=+'=??→?ηηz z f z w ， ∈+?'=?z z f w )(。
1 引言 解析函数是复变函数论研究的主要对象．Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的．文献[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann 方程等价形式． 现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到．所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的． 本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式．
2 基本概念与定理 定义2．1 [1] 设函数()w f z =定义于区域D ， 0z D ∈．如果极限 000 ()() lim z z z D f z f z z z →∈-- 存在，则称()f z 在0z 点可导或可微，其极限值称为函数()f z 在0z 点的导数，记为0'()f z 或 (z z df z dz =） ．即 000 ()() lim '()z z f z f z f z z z →-=-． 有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数． 定义2．2 [1] 如果函数()w f z =在区域D 内每一点都可微，则称()f z 在D 内解析， 并称()f z 是区域D 内的解析函数． 如果函数()f z 在0z 的某一邻域内解析，则称()f z 在0z 点解析．而函数()f z 在闭区域D 上解析，即存在区域G ，使D G ?，而()f z 在G 内解析． 若在区域D 内除了可能有些例外点外，函数()f z 在D 内其它各点都解析，则这些例外点称为()f z 的奇点． 例1 试证明(Re f z z z =） 在0z =点可微，但在z 平面上任何点都不解析． 证： 先证(f z ）在0z =点可微．因 0 00()(0)Re lim lim lim Re 00z z z f z f z z z z z →→→-===- 故(f z ）在0z =点可微，且'(0)0f =． 设00z ≠，令000z x iy =+，则0x ，0y 至少有一个不为零．又令z x iy =+，考虑极限
虚弱的天才——黎曼 仿佛天妒英才，上帝好像不想让人类过早地就拆穿了它所有的秘密。所以，人类中的天才们的生命都很短暂，而且命运崎岖。黎曼就是这样一位天才。 1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师，母亲是法庭顾问的女儿。黎曼有6个兄妹，他排行第二。汉诺威当时相当落后，农村里因为缺少牲口，还普遍在用人力拉犁。偏僻乡村小牧师的薪金少得可怜，要维持诺大的八口之家，不得不显得捉襟见肘，力不从心。 黎曼从小生性胆小、羞怯。他不敢在公众场合露面，更害怕在大庭广众中讲话。可是，在数学研究上，他却是出奇地大胆。他是个天才，他在科学研究中所表现出来的惊人智慧，他对数学发展的贡献之大、影响之深，难以用语言描述，以至于后人在介绍他时只能采用“对现代数学影响最大的数学家之一”、“19世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家”等诸如此类的言辞含糊表述。除此之外，我们确实毫无办法。来看看这个天才的家伙在短短40年的一生中所取得的不可思议的辉煌成就吧！ 他是黎曼几何的创始人。黎曼对数学最重要的贡献在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。1854年，黎曼在哥廷根大学作了一次历史性演讲，该演讲内容
在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。后来，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”，文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用一个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一