二次函数专题训练（含答案）
一、 填空题
1.把抛物线22
1
x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个
单位，得抛物线 .
2.函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .
3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .
4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 .
5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则
x 1与x 2的关系是 .
6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号
时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.
7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .
8.若a0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x 4
a -时，函数值随x 的增大而 .
9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a0时，图象的开口a0时，图象的开口 ，顶点坐标是 .
10.抛物线2)(2
1h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)(
)(32
+-=x y 的图象的顶点坐标是
（1，-2）.
12.已知2)1(3
1
2-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小.
13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 .
14.用配方法将二次函数x x y 3
22+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 .
15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 . 二、选择题：
16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）
A.（0，-1）
B.??
? ??0,2
1
C.（-1，5）
D.（3，4） 17.直线225-=
x y 与抛物线x x y 2
1
2-=的交点个数是（ ） 个 个 个 D.互相重合的两个
18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ）
①
当a0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的
增大而增大，当 a0时，情况相反.
② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.
③
只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相
同.
④
一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线
c bx ax y ++=2与x 轴 交点的横坐标.
A.①②③④
B.①②③
C. ①②
D.① 19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ） =1 =-2 =3 =-3
20.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函
+=2ax y
bx -3的大致图象是（ ）
图代13-2-12
21.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=b
a
（ ） B.2
1 D.4
1 22.若函数x
a
y =
的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性
质说得全对的是（ ）
A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交
B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交
C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交
D.
开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交
23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ）
A.(-1，-1)
B.(1，1)
C.(1，-1)
D.（-1，1）
24.函数2ax y =与x
a
y =（a0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
图代13-3-13
25.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ，
C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ） =5 =-5 =±5 =4
图代13-3-14
26.二次函数2ax y =（a0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）
A ．X 取任何实数 0 0 0或x0
27.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）
A.6)4(22+-=x y
B.2)4(22+-=x y
C.2)2(22+-=x y
D.2)3(32+-=x y
28.二次函数229k ykx x y ++=（k0）图象的顶点在（ ） 轴的负半轴上 轴的正半轴上 轴的负半轴上 轴的正半轴上
29.四个函数：x
y x y x y 1
,1,-=+=-=（x0），2x y -=（x0），其中图象经过原
点的函数有（ ）
个 个 个 个
30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ）
0，Δ0 0,Δ0 C ．a0,Δ0 0,Δ0 三、解答题
31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x
轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.
32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为2
1，它
的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且
132
221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O
为坐标原点）若存在，请求出过P，B两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.
33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该
抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB的解析式；（2）抛物线的解析式.
图代13-3-15 图代13-3-16
2交x轴正方向于A，B两点，34.中图代13-3-16，抛物线c
x
-
=3
ax
y+
交y轴正方
向于C点，过A，B，C三点做⊙D，若⊙D与y轴相切.（1）求a，c满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tgα；（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙O的位置关系并证明.
35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示
意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD＇部分为一段抛物线，顶点C的高度为8米，AD和A＇D＇是两侧高为米的支柱，OA和OA＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C＇D＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.
求（1）桥拱DGD＇所在抛物线的解析式及CC＇的长；
（2）BE和B＇E＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A＇B＇为两个方
向的行人及非机动车通行区，试求AB和A＇B＇的宽；
（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米，车
载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过请说明理由.
图代13-3-17
36.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （ab ）.O
为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧简要说明理由，并指出两圆的位置关系.
37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴
的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b.
（1） 求m 的取值范围；
（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式； （3）
设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛
物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由.
38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=
是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.
图代13-3-18
（1） 若AE=2，求AD 的长.
（2） 当点
A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有
FH
ED
AH AD =
试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
39.已知二次函数)2
94(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为
A ，
B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C.
（1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值；
（2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；
（3） 设△ABC
的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个
最小值.
40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ，
满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.
图代13-3-19
（1） 求⊙C 的圆心坐标.
（2） 过
C 作⊙
D 的切线EF 交x 轴于
E ，交y 轴于
F ，求直线EF 的解
析式.
（3） 抛物线c bx ax y ++=2
（a ≠0）的对称轴过
C 点，顶点在⊙C 上，
与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式. 41.已知直线x y 2
1
=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M.
（1）
若M 恰在直线x y 2
1
=
与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值，
二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.
（2）
在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次
函数
q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.
图代13-3-20
（3）
在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于
点C ，与x 同
的左交点为A ，试在直线x y 2
1
=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上.
42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点，
与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°.
（1） 求点C 的坐标； （2） 求抛物线的解析式；
（3）
若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.
参 考 答 案
动脑动手
1.
设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每
天可销售（100-10x ）
件，设每天所获利润为y 元，依题意，得
∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元.
2.∵43432+??
? ?
?+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4.
当0,043432≠=+??? ?
?+-m x m mx 时m
m m 34,321=
=. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），??
?
??0,34m B . （1）
当AC=BC 时，
9
4
,334-=-=m m . ∴ 49
4
2+-=x y
（2）
当AC=AB 时，
5,4,3===AC OC AO .
∴ 534
3=-
m
. ∴ 3
2
,6
121-==m m .
当61=m 时，46
11
6
12+-
=x x y ； 当32-=m 时，43
2
322++-=x x y .
（3）
当AB=BC 时，
2
2344343??
? ??+=-m m ，
∴ 78
-=m .
∴ 421
44
782++-=x x y .
可求抛物线解析式为：43
2
32,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或421
44
7
82++
-=x x y . 3.（1）∵)62(4)]5([222+---=?m m
图代13-3-21
∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点. 令y=0，得062)5(222=+++-m x m x 0)3)(2(2=---m x x ， ∴ 3,2221+==m x x . ∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.
（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.
12322+=-+=m m d ，
∵ m 2+100，∴d=m 2+1. （3）①当d=10时，得m 2=9.
∴ A （2，0），B （12，0）.
25)7(241422--=+-=x x x y .
该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）.
过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,52
1
a ME
b PM AB PE -====
， ∴ 2225)7(=+-b a . ①
∵点PD 在抛物线上，
∴ 25)7(2--=a b . ②
解①②联合方程组，得0,121=-=b b .
当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1. 注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程. ②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b-1；
△
ABP 为钝角三角形时，则b-1，且b ≠0.
同步题库
一、
填空题
1.3)2(2
1,)2(2
122-+-=+-=x y x y ； 2.8
1,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4.
2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 轴，左，右； 7.下，
x=-1,(-1,-3)，x-1； 8.四，增大； 9.向上，向下，
a b x a b ac a b 2,44,22-=???? ??--； 10.向下，（h,0），x=h ； ，-2； -1； ，（2，3）； 14.91312
-??? ?
?
+=x y ； .
二、选择题
28. C 三、解答题
31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0
的两个实数根，
∴ a x x 221-=+，1x ·122+-=b x . ∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根， ∴ x 1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2. ∴ ???-=+--=-.
112,322
b b a a
解得 ??
?==;0,1b a 或?
??==.2,
1b a 当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.
当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.
解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=， 二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为2
3
-=
a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ， ∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线. ∴ 2
3
-=
-a a . 解得 1=a .
∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得
01222=+-+b x x ， 01222=-+--b x x .
①+②得
022=-b b .
解得 2,021==b b . ∴ ??
?==;0,1b a 或?
??==.2,
1b a 当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.
当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.
32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ a
c x x a b
x x =?-=+2121,.
又∵132
2
21=+x x 即132)(21221=-+x x x x ， ∴ 132)(2=?--a
c
a b . ①
又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为2
1，则有
4a+2b+c=4， ②
2
1
2=-a b . ③
解由①②③组成的方程组得
a=-1,b=1,c=6.
∴ y=-x 2+x+6. 与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）. 与y 轴交点D 坐标为（0，6）.
设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有
（1）
当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有
6,3,2,====OD OC OB OD
OP
OC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.
当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为
y=kx+4.
有 0=-2k-4. 得 k=-2. ∴ y=-2x-4. 或
3,6,2,====OC OD OB OC
OP
OD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.
当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为
y=kx+1.
有 0=-2k+1.
得 21=
k . ∴ 12
1
+-=x y .
当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为
y=kx-1，
有 0=-2k-1， 得 2
1-=k . ∴ 12
1--=x y .
（2）
当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得
y=-3x+9，
或 y=3x-9，
或 131+-=x y ，
或 13
1
-=x y .
33.解：（1）在直线y=k(x-4)中， 令y=0，得x=4.
∴A 点坐标为（4，0）.
∴ ∠ABC=90°. ∵ △CBD ∽△BAO ， ∴
OB
OA
OC OB =
，即OB 2=OA ·OC. 又∵ CO=1，OA=4， ∴ OB 2=1×4=4. ∴ OB=2（OB=-2舍去） ∴B 点坐标为（0，2）.
将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得2
1-=k . ∴直线的解析式为：22
1+-=x y .
（2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0， 2），得
解得 .12
25,121=-
=h a ∴抛物线的解析式为：12
25
)1(1212++-=x y .
解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.
∵ CA=1+4=5， ∴ CD=5. ∴ OD=6. ∴D 点坐标为（-6，0）.
将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得 解得 2,6
1
,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：26
1
1212+--
=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2x 1），C 的 纵坐标是C.
又∵y 轴与⊙O 相切，
∴ OA ·OB=OC 2. ∴ x 1·x 2=c 2. 又由方程032=+-c x ax 知
a
c
x x =
?21， ∴a
c c =2，即ac=1.
（2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，
图代13-3-22
∴ AB AE 2
1
=
.
α=∠=∠=
∠ADE ADB ACB 2
1
. ∵ a0,x 2x 1， ∴ a
a ac x x AB 5
4912=-=
-=. a
AE 25=
. 又 ED=OC=c ， ∴ 2
5
==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β， ∵P 点的坐标为??
?
??-a a 45,23
，又∵a0， ∴在Rt △PAE 中，a
PE 45
=
. ∴ 2
5
==
AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE. ∵ ∠ADE+∠DAE=90° ∴PA 和⊙D 相切.
35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为
c ax y +=2，
由题意得G （0，8），D （15，）.
∴ ???+==.255.5,8c a c 解得?????
=-=.
8,
901c a
∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为890
12
+-
=x y .
∵
4
1
=AC AD 且AD=, ∴ AC=×4=22(米).
∴ 2215(2)(22+?=+?=='AC OA OC c c ） =74（米）. 答：cc ＇的长为74米.
（2）∵
4,4
1
==BE BC EB ， ∴ BC=16.
∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）. 答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.
（3）
在890
12
+-
=x y 中，当x=4时， 45377816901=+?-=y .
∵ 45
19
)4.07(45377=+-0.
∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过. 36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ， ∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a0，b0. ∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号. ∴ab=m+20，∴m-2.
（2）当m-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得2212
1b S Q O PO =四边形（或22
1a 或1）.
m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形.
根据题意，计算得2212
1b S Q O PO =四边形（或22
1a 或1）.
（3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=?m m m 0
∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根. ∵ m-2， ∴ ?
?
?+=+=+.02,
04 m ab m b a
∴ a0，b0. ∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切.
37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0）， ∵A ，B 两点在原点的两侧，
∴ x 1x 20，即-（m+1）0， 解得 m-1.
∵ )1()1(4)]1(2[2+?-?--=?m m 当m-1时，Δ0， ∴m 的取值范围是m-1.
（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k0），
则 x 1=3k ，x 2=-k ， ∴ ??
?+-=-?-=-).
1()(3),
1(23m k k m k k
解得 3
1,221==m m . ∵3
1=m 时，3
421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2 ∴抛物线的解析式是32++-=x x y .
（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0）
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
二次函数的定义专项练习30题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（） 2y=③y=x（1﹣x）④y=﹣x（②1﹣2x）（1+2x）①y=1 A．1个B．2 个C．3个D．4 个 2．下列结论正确的是（） 2．A是二次函数y=ax B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（） A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x ）是二次函数，则m等于（）4．若y=（2﹣m ±2 B．2 C．﹣2 D．不A．能确定 2）是二次函数，则m的值是（（m+m）5．若y= B．m =2 C．m=﹣A．1或m=3 D．m =3 ±2m=1
222中，二次函数的个数为（x），y=（x﹣1）6．，下列函数y=3x﹣x，，y=x（﹣2）5个4个D．．A．2个B．3个 C ）7．下列结论正确的是（ 二次函数中两个变量的值是非零实数A． xB．二次函数中变量的值是所有实数 2． C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D ．c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中，b， ）8．下列说法中一定正确的是（ 2．A c为常数）一定是二次函数，函数y=ax（其中+bx+ca，b B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时，速度是关于时间的二次函数． C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数．D 2）是二次函数的条件是（m﹣n）x+mx+n．函数9y=（n ≠n是常数，且m≠0 B．m、A．m、n是常数，且m 可以为任何常数m、nn≠0 D．C．m、n是常数，且 ）．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（10 ．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 A ．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 B ．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C ．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系D ）11．下列函数中，y是x二次函数的是（22 DC．．A．y=x﹣1 B．1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数：12．下面给出了6 222 y=y=；﹣②y=xy=x﹣3x；③；y=④（x⑥+x+1）；⑤①y=3x．﹣1；）其中是二次函数的有（个D．4 C2A．1个B．个．3个 2）之间的关系是（t（g为常量），h13．自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D．一次函数C．二次函数A．正比例函数 B． 的值一定是_________+kx+1是二次函数，那么k．﹣14．如果函数y=（k3 ）
第二十六章二次函数【课标要求】 考点课标要求 知识与技能目标 了解理 解 掌 握 灵活应 用 二次函数理解二次函数的意义∨ 会用描点法画出二次函数的图像∨ 会确定抛物线开口方向、顶点坐标和对称轴∨ 通过对实际问题的分析确定二次函数表达式∨∨ 理解二次函数与一元二次方程的关系∨ 会根据抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的图像来确定a、 b、c的符号 ∨∨ 【知识梳理】 1.定义：一般地，如果是常数， ，那么 叫做 的二次函数. 2.二次函数 用配方法可化成：
的形式，其中 . 3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 . 4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法： ，∴顶点是
，对称轴是直线 . （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 . （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6.抛物线 中， 的作用 （1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样. （2）
和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧. （3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-
初中二次函数计算题专项训练及答案 ：___________班级：________考号：_______ 1、如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点 的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（－1，0），以AB的中点P为圆 心，AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。 （1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。 （2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式。 （3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。 3、已知；函数是关于的二次函数，求： (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小． 4、如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．
九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1．把抛物线y=2x2向上平移1个单位，得到抛物线_______，把抛物线y=-2x2?向下平移3 个单位，得到抛物线________． 2．抛物线y=3x2-1的对称轴是_____，顶点坐标为________，它是由抛物线y=3x2?向_______平移______个单位得到的． 3．把抛物线2向左平移1个单位，得到抛物线_________，把抛物线2?向右平移3个单 位，得到抛物线________． 4．抛物线x-1）2的开口向________，对称轴为______，顶点坐标为_________，?它是由抛物线 2向______平移______个单位得到的． 5．把抛物线y=-1 3 （x+ 1 2 ）2向_____平移______个单位，就得到抛物线y=- 1 3 x2． 6．把抛物线y=4（x-2）2向______平移_______个单位，就得到函数y=4（x+2）2的图象． 7．函数y=-（x-1 3 ）2的最大值为________，函数y=-x2- 1 3 的最大值为________． 8．若抛物线y=a（x+m）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，?开口方向相同，则点（a，m）关于原点的对称点为________． 9．已知抛物线y=a（x-3）2过点（2，-5），则该函数y=a（x-3）2当x=________?时，?有最____值______．10．若二次函数y=ax2+b，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1+x2时，函数的值为________．11．一台机器原价50万元．如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y?万元，则y与x的函数关系式为（） A．y=50（1-x）2 B．y=50（1-x）2 C．y=50-x2 D．y=50（1+x）2 12．下列命题中，错误的是（） A．抛物线x2-1不与x轴相交; B．抛物线x2-1与（x-1）2形状相同，位置不同; C．抛物线y=1 2 （x- 1 2 ）2的顶点坐标为（ 1 2 ，0）; D．抛物线y=1 2 （x+ 1 2 ）2的对称轴是直线x= 1 2 13．顶点为（-5，0）且开口方向、形状与函数y=-1 3 x2的图象相同的抛物线是（） A．y=-1 3 （x-5）2 B．y=- 1 3 x2-5 C．y=- 1 3 （x+5）2 D．y= 1 3 （x+5）2 14．已知a<-1，点（a-1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y=1 2 x2-2的图象上，则（） A．y1 学习必备 欢迎下载 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ ４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠） 时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４ 时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式，则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 20.若0 Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上，求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。求M 点坐标(得分点的把握) （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 △QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰 梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由 二次函数应用题专题复习（含答案） 1、（2016?葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元 （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少 * 2．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件． （1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少 （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元 ( 3．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少 （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量） ^ 二次函数 基础分类练习题 练习一 二次函数 1、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数 据如下表： 时间t （秒）1234…距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式. 2、下列函数：① ；② ；③ ；④ ； y = ()21y x x x =-+()224y x x x =+-2 1 y x x = +⑤ ，其中是二次函数的是 ，其中 ， ， ()1y x x =-a =b =c =3、当 时，函数（为常数）是关于的二次函数 m ()2 235y m x x =-+-m x 4、当时，函数是关于的二次函数 ____m =()2 221m m y m m x --= +x 5、当时，函数+3x 是关于的二次函数 ____m =()256 4m m y m x -+=-x 6、若点 A ( 2, ) 在函数 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. m 12 -=x y 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式. ),0(2 ≠+=a c ax y 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形. （1）如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关 系？ （2）请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧 墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？ 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0二次函数培优专项练习
初三数学二次函数应用题专题复习
九年级数学二次函数 基础分类练习题(含答案)
最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结