中考数学二次函数专题复习超强整理
面积的求法：①公式法：S=1/2*底*高 ②分割法/拼凑法 1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？
2、抛物线322+--=x x y 与322
+--=x x y 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与
322
+--=x x y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接
BD ，CD ，
（1）求四边形BOCD 的面积.
（2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）
P
3、已知抛物线322+--=x x y 与322+--=x x y 轴交与A 、C 两点，与322
+--=x x y 轴交与
点B ，
（1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC 的面积.
4、已二次函数322+--=x x y 与322
+--=x x y 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴
交于点C ，顶点为P.
（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；
（2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；
（3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得AB NAB S
S ??=,
若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得
AB
NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存
在，请说明理由.
变式二：在双曲线322
+--=x x y 上是否存在点N ，使得
AB
NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐
标；若不存在，请说明理由.
5、抛物线322+--=x x y 与322+--=x x y 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与
322
+--=x x y 轴交与点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点， 点E 运动到什么位置时，△EBC 的面积最大,并求
出此时点E 的坐标和△EBC 的最大面积．
【模拟题训练】
1．（2015?三亚三模）如图，直线y=﹣
3
22
+--=x x y x+2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已
知二次函数的图象经过点B 、C 和点A （﹣1，0）．
（1）求B 、C 两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．
二、二次函数与相似 【相似知识梳理】
二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。其实破解难点以后不难发现，若是直角三角形相似无非是如图1-1的几种基本型。
若是非直角三角形有如图1-2的几种基本型。
图1-6
C
A
1
O
y
x
【模拟题训练】
2．（2015?崇明县一模）如图，已知抛物线y=3
2
2+
-
-
=x
x
y x
2+bx+c经过直线y=﹣
3
2
2+
-
-
=x
x
y+1与坐标轴的两个交点A、B，点C为抛物线上的一点，且∠ABC=90°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C坐标；
（3）直线y=﹣3
2
2+
-
-
=x
x
y x+1上是否存在点P，使得△BCP与△OAB相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
三、二次函数与垂直
【方法总结】
①应用勾股定理证明或利用垂直②三垂直模型
【例1】：如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是（）
【例2】：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.
（1）直接填写：a= ，b= ，顶点C的坐标为；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
【例3】、（2011山东烟台）如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过
点A（1,0），B(0,-3),与x轴交于另一点C.（1）求抛物线的解析
式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为
直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以
P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐
标；若不存在，请说明理由.
【模拟题训练】
3．（2015?普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）和点B（0，2m）（m＞0），点C在x轴上（不与点A重合）
（1）当△BOC与△AOB相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）
（2）当△BOC与△AOB全等时，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，求m的值，并求点C的坐标
（3）P是（2）的二次函数图象上的一点，∠APC=90°，求点P的坐标及∠ACP的度数．
(第26题图)
y
x
O
C
B
A
4．如图，已知抛物线y=x 2﹣1的顶点坐标为M ，与x 轴交于A 、B 两点． （1）判断△MAB 的形状，并说明理由；
（2）过原点的任意直线（不与y 轴重合）交抛物线于C 、D 两点，连接MC 、MD ，试判断MC 、MD 是否垂直，并说明理由．
四、二次函数与线段 题目类型：
①求解线段长度（定值，最值）：充分利用勾股定理、全等、相似、特殊角（30°，45°，60°，90°，120°等）、特殊三角形（等腰△、等腰直角△、等边△）、特殊线（中位线、中垂线、角平分线、弦等）、对称、函数（一次函数、反比例函数、二次函数等）等知识。
②判断线段长度关系：a=b, a =√2b, a+b=c, a+b=√2c, a 2+b 2=c 2
, a*b=c 2
【模拟题训练】
5．（2015?山西模拟）如图1，P （m ，n ）是抛物线y=3
22
+--=x x y x 2﹣1上任意一点，l 是过点（0，﹣2）且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为H ． 【特例探究】
（1）填空，当m=0时，OP= _________ ，PH= _________ ；当m=4时，OP= _________ ，
PH= _________ ． 【猜想验证】
（2）对任意m ，n ，猜想OP 与PH 大小关系，并证明你的猜想． 【拓展应用】
（3）如图2，如果图1中的抛物线y=3
22
+--=x x y x 2﹣1变成y=x 2﹣4x+3，直线l 变成y=m （m ＜﹣1）．已知抛物线y=x 2﹣4x+3的顶点为M ，交x 轴于A 、B 两点，且B 点坐标为（3，0），N 是对称轴上的一点，直线y=m （m ＜﹣1）与对称轴于点C ，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m 的距离等于该点到点N 的距离．
①用含m 的代数式表示MC 、MN 及GN 的长，并写出相应的解答过程； ②求m 的值及点N 的坐标．
五、二次函数与角度 结题方法总结
角度相等的利用和证明：①直接计算 ②平行线 ③等腰三角形 ④全等、相似三角形 ⑤角平分线 性质 ⑥倒角（∠1=∠3，∠2=∠3→∠1=∠2）
【构造三垂直模型法】例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线上一动点，点A
的坐标为（4，2），若∠AOP=45°，则点P 的坐标为( )
【直接计算】例2.如图，抛物线
与x 轴交于
A ，
B 两点，与y 轴交于点
C ，点
D 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，点P 是抛物线上一点，且∠DCP=30°，则符合题意的点P 的坐标为( )
【与几何图形结合】例4、二次函数322--=x x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的
左侧），与y 轴交于C 点，在二次函数的图象上是否存在点P ，使得∠PAC 为锐角？若存在，请你求
出P 点的横坐标取值范围；若不存在，请你说明理由。
【利用相似】例3、已知抛物线2
y a x b x c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左
边），与y 轴交于点C （0，3），过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ，抛物线的顶点为M ，
直线5y x =+经过D 、M 两点. （1）求此抛物线的解析式；
（2）连接A M 、AC 、B C ，试比较M A B ∠和
A C
B ∠的大小，并说明你的理由.
【模拟题训练】
6．（2015?松江区一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=ax 2+bx 的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5）；
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y 轴于点C ，其纵坐标为m ，请用m 的代数式表示平移后
函数图象顶点M的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．
六、二次函数与平行四边形
解题方法总结：①平行线的性质（同位角，内错角，同旁内角）②比较一次函数k值③平行四边形的性质④注意多解性
【模拟题训练】
7．如图，抛物线y=x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），直线l与抛物线交于A、C亮点，其中C的横坐标为2．
（1）求A、C两点的坐标及直线AC的函数解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
七、二次函数与图形转换
常见图像变换：①平移（上加下减，左加右减）②轴对称（折叠）
【模拟题训练】
8．（2014?西城区一模）抛物线y=x2﹣kx﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（1+k，0）．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M落在线段BC上，记该抛物线为G，求抛物线G 所对应的函数表达式；
（3）将线段BC平移得到线段B′C′（B的对应点为B′，C的对应点为C′），使其经过（2）中所得抛物线G的顶点M，且与抛物线G另有一个交点N，求点B′到直线OC′的距离h的取值范围．
1考点：
二次函数综合题． 分析： （1）分别令解析式y=﹣
3
22
+--=x x y x+2中x=0和y=0，求出点B 、点C 的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，将点A 、B 、C 的坐标代入解析式，求出a 、b 、c 的值，进
而求得解析式；
（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD 的值，再以点C 为圆心，CD 为半径作弧交对称轴于P 1，以点D 为圆心CD 为半径作圆交对称轴于点P 2，P 3，作CE 垂直于对称轴与点E ，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； （4）设出E 点的坐标为（a ，﹣3
22
+--=x x y a+2），就可以表示出F 的坐标，由四边形CDBF 的面积=S △BCD +S △CEF +S △BEF 求出S 与a 的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
解答： 解：（1）令x=0，可得y=2，
令y=0，可得x=4，
即点B （4，0），C （0，2）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ， 将点A 、B 、C 的坐标代入解析式得，
3
22
+--=x x y ，
解得：3
22
+--=x x y ，
即该二次函数的关系式为y=﹣322
+--=x x y x 2+
3
22
+--=x x y x+2；
（3）∵y=﹣
322
+--=x x y x 2+
3
22
+--=x x y x+2，
∴y=﹣
322+--=x x y （x ﹣
3
22
+--=x x y ）
2
+
3
22
+--=x x y ， ∴抛物线的对称轴是x=3
22
+--=x x y ．
∴OD=
3
22
+--=x x y ． ∵C （0，2），
∴OC=2．
在Rt △OCD 中，由勾股定理，得 CD=3
22
+--=x x y ． ∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，
∴CP 1=DP 2=DP 3=CD ．
如图1所示，作CH ⊥x 对称轴于H ， ∴HP 1=HD=2， ∴DP 1=4． ∴P 1（3
22
+--=x x y ，4），P 2（322+--=x x y ，3
22
+--=x x y ），P 3
（
322+--=x x y ，﹣
3
22
+--=x x y ）；
（4）当y=0时，0=﹣
322
+--=x x y x 2+
3
22
+--=x x y x+2
∴x 1=﹣1，x 2=4，
∴B （4，0）．
∵直线BC 的解析式为：y=﹣
3
22
+--=x x y x+2．
如图2，过点C 作CM ⊥EF 于M ，设E （a ，﹣
3
22
+--=x x y a+2），F （a ，﹣
322
+--=x x y a 2+
3
22
+--=x x y a+2），
∴EF=﹣
322
+--=x x y a 2+
3
22
+--=x x y a+2﹣（﹣
3
22
+--=x x y a+2）=﹣
3
22
+--=x x y a 2+2a （0≤x ≤4）．
∵S 四边形
CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =
3
22
+--=x x y BD ?OC+
3
22
+--=x x y EF ?CM+
3
22
+--=x x y E
F ?BN ，
=322+--=x x y +
322
+--=x x y a （﹣
322
+--=x x y a 2+2a ）+
3
22
+--=x x y （4﹣a ）
（﹣
3
22
+--=x x y a 2+2a ），
=﹣a 2+4a+
3
22
+--=x x y （0≤x ≤4）．
=﹣（a ﹣2）2+
3
22
+--=x x y
∴a=2时，S 四边形CDBF 的面积最大=
3
22
+--=x x y ，
∴E （2，1）．
点评： 本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，
等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据直线的解析式求得A 、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
解答： 解：（1）把x=0代入y=﹣
3
22
+--=x x y x+1得，y=1，
∴A （0，1）， 把y=0代入y=﹣
3
22
+--=x x y x+1得，x=2，
∴B （2，0），
把A （0，1），B （2，0）代入y=
3
22
+--=x x y x 2+bx+c 得，
3
22
+--=x x y ，解得
3
22
+--=x x y ，
∴抛物线的解析式y=
322
+--=x x y x 2﹣
3
22
+--=x x y x+1，
（2）如图，作CD ⊥x 轴于D ，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°， ∴∠OAB=∠CBD ， ∵∠AOB=∠BDC ， ∴△AOB ∽△BDC ， ∴322+--=x x y =3
22+--=x x y =2，
∴CD=2BD ， 设BD=m ，
∴C （2+m ，2m ）， 代入y=322
+--=x x y x 2﹣
3
22
+--=x x y x+1得，2m=
3
22
+--=x x y （m+2）2﹣
3
22+--=x x y （m+2）+1，解得，m=2或m=0（舍去），
∴C （4，4）；
（3）∵OA=1，OB=2，
∴AB=322
+--=x x y ，
∵B （2，0），C （4，4）， ∴BC=2322
+--=x x y ，
①当△AOB ∽△PBC 时，则
322+--=x x y =3
22
+--=x x y
∴322+--=x x y =3
22
+--=x x y ，解得，PB=322
+--=x x y ， 作PE ⊥x 轴于E ，则△AOB ∽△PEB ， ∴322+--=x x y =322+--=x x y ，即322+--=x x y =3
22
+--=x x y ，
∴PE=1，
∴P 的纵坐标为±1，代入y=﹣3
22
+--=x x y x+1得，x=0或x=4，
∴P （0，1）或（4，﹣1）； ②当△AOB ∽△CBP 时，则
322+--=x x y =3
22+--=x x y ，
即
322+--=x x y =
3
22
+--=x x y ，解得，
PB=4322
+--=x x y ，
作PE ⊥x 轴于E ，则△AOB ∽△PEB ，
∴322+--=x x y =3
22
+--=x x y ，即322+--=x x y =
3
22+--=x x y ，
∴PE=4，
∴P 的纵坐标为±4，代入y=﹣
3
22
+--=x x y x+1得，x=﹣6或x=10，
∴P （﹣6，4）或（10，﹣4）；
综上，P 的坐标为（0，1）或（4，﹣1）或（﹣6，4）或（10，﹣4）．
点评： 本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了待定系数法、三角形相似的判定和性质，数形结合运用
是解题的关键．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）分类讨论：△BOC ∽△BOA ，△BOC ∽△AOB ，根据相似三角形的性质，可得答案；
（2）根据全等三角形的性质，可得C 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据相似三角形的性质，可得关于a 的方程，根据解方程，可得a 的值可得p 点坐标，分类讨
论：当点P 的坐标为（322
+--=x x y ，1）时，根据正弦函数据，可得∠COP 的度数，根据等腰三
角形得到性质，可得答案； 当点P 的坐标为（﹣322
+--=x x y ，1）时，根据正弦函数据，可得
∠AOP 的度数，根据三角形外角的性质，可得答案．
解答： 解：（1）点C 的坐标为（m ，0）或（4m ，0）．或（﹣4m ，0）；
（2）当△BOC 与△AOB 全等时，点C 的坐标为（m ，0）， 二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象经过A 、B 、C 三点，
3
22
+--=x x y ，解得3
22
+--=x x y ．
二次函数解析式为y=﹣x 2+4，点C 的坐标为（2，0）；
（3）作PH ⊥AC 于H ，设点P 的坐标为（a ，﹣a 2+4）， ∵∠AHP=∠PHC=90°，∠APH=∠PCH=90°﹣∠CPH ， ∴△APH ∽△PCH ，∴322+--=x x y =3
22
+--=x x y ， 即PH 2=AH ?CH ，
（﹣a 2+4）2=（a+2）（2﹣a ）．
解得a=322
+--=x x y ，或a=﹣
322+--=x x y ，即P （322
+--=x x y ，1）或（﹣
322+--=x x y ，1），
如图：
当点P 1的坐标为（322
+--=x x y ，1）时，
OP 1=2=OC ，sin ∠P 1OE=3
22
+--=x x y =322
+--=x x y ∴∠COP=30°，
∴∠ACP=
3
22
+--=x x y =75°
当点P 的坐标为（﹣322
+--=x x y ，1）时，sin ∠P 2OF=
3
22
+--=x x y =
322
+--=x x y ，∠P 2OF=30°．
由三角形外角的性质，得∠P 2OF=2∠ACP ，即∠ACP=15°．
点评： 本题考查了二次函数综合题，（1）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；（2）利用全等
三角形的性质，解三元一次方程组；（3）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰三角形的性质，三角形外角的性质．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）由抛物线的解析式可知OA=OB=OM=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°从而得出
△MAB 是等腰直角三角形．
（2）分别过C 点，D 点作y 轴的平行线，交x 轴于E 、F ，过M 点作x 轴的平行线交EC 于G ，交DF 于H ，设D （m ，m 2﹣1），C （n ，n 2﹣1），通过EG ∥DH ，得出
322+--=x x y =3
22
+--=x x y ，从而求得m 、n 的关系，根据m 、n 的关系，得出△CGM ∽△MHD ，利用对应角相等得出∠CMG+∠DMH=90°，即可求得结论．
解答： 解：（1）△MAB 是等腰直角三角形．理由如下：
由抛物线的解析式为：y=x 2﹣1可知A （﹣1，0），B （1，0）， ∴OA=OB=OM=1，
∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°， ∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°，AM=BM ， ∴△MAB 是等腰直角三角形．
（2）MC ⊥MD ．理由如下：
分别过C 点，D 点作y 轴的平行线，交x 轴于E 、F ，过M 点作x 轴的平行线交EC 于G ，交DF 于H ，
设D （m ，m 2﹣1），C （n ，n 2﹣1），
∴OE=﹣n ，CE=1﹣n 2，OF=m ，DF=m 2﹣1， ∵OM=1，
∴CG=n 2，DH=m 2， ∵EG ∥DH ， ∴322+--=x x y =3
22
+--=x x y ， 即3
22
+--=x x y =322
+--=x x y ，
解得m=﹣3
22
+--=x x y ，
∵
322+--=x x y =3
22+--=x x y =﹣n ，
322+--=x x y =3
22+--=x x y =
322
+--=x x y =﹣
n ，
∴
322+--=x x y =3
22
+--=x x y ，
∵∠CGM=∠MHD=90°， ∴△CGM ∽△MHD ， ∴∠CMG=∠MDH ， ∵∠MDH+∠DMH=90° ∴∠CMG+∠DMH=90°， ∴∠CMD=90°， 即MC ⊥MD ．
3
22
+--=x x y 2﹣1上任意一点，l 是过点
（0，﹣2）且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为H ．
【特例探究】
（1）填空，当m=0时，OP= 1 ，PH= 1 ；当m=4时，OP= 5 ，PH= 5 ． 【猜想验证】
（2）对任意m ，n ，猜想OP 与PH 大小关系，并证明你的猜想． 【拓展应用】
（3）如图2，如果图1中的抛物线y=
3
22
+--=x x y x 2﹣1变成y=x 2﹣4x+3，直线l 变成y=m （m ＜﹣
1）．已知抛物线y=x 2﹣4x+3的顶点为M ，交x 轴于A 、B 两点，且B 点坐标为（3，0），N 是对称轴上
的一点，直线y=m （m ＜﹣1）与对称轴于点C ，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m 的距离等于该点到点N 的距离．
①用含m 的代数式表示MC 、MN 及GN 的长，并写出相应的解答过程； ②求m 的值及点N 的坐标．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据勾股定理，可得OP 的长，根据点到直线的距离，可得可得PH 的长；
（2）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据勾股定理，可得PO 的长，根据点到直线的距离，可得PH 的长；
（3）①根据该点到直线y=m 的距离等于该点到点N 的距离，可得CM=MN ，根据线段的和差，可得GN 的长；
②对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m 的距离等于该点到点N 的距离，可得方程，根据解方程，可得m 的值，再根据线段的和差，可得GN 的长．
解答： 解：（1）当m=0时，P （0，﹣1），OP=1，PH=﹣1﹣（﹣2）=1；
当m=4时，y=3，P （4，3），OP=3
22+--=x x y =5，PH=3﹣（﹣2）=3+2=5， 故答案为：1，1，5，5；
（2）猜想：OP=PH ， 证明：PH 交x 轴与点Q ， ∵P 在y=3
22
+--=x x y x 2﹣1上， ∴设P （m ，
3
22
+--=x x y m 2﹣1），PQ=|
3
22
+--=x x y x 2﹣1|，OQ=|m|，
∵△OPQ 是直角三角形，
∴OP=322+--=x x y =322
+--=x x y =
3
22
+--=x x y =
322
+--=x x y m 2+1，
PH=y p ﹣（﹣2）=（
3
22
+--=x x y m 2﹣1）﹣（﹣2）=
3
22
+--=x x y m 2+1
OP=PH ．
（3）①CM=MN=﹣m ﹣1，GN=2+m ，
理由如下：对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m 的距离等于该点到点N 的距离， M （2，﹣1），即CM=MN=﹣m ﹣1．
GN=CG ﹣CM ﹣MN=﹣m ﹣2（m ﹣1）=2+m ． ②点B 的坐标是（3，0），BG=1，GN=2+m ．
由勾股定理，得BN=322+--=x x y =322+--=x x y ， 对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m 的距离等于该点到点N 的距离，得
即1+（2+m ）2=（﹣m ）2． 解得m=﹣3
22
+--=x x y ． 由GN=2+m=2﹣
322+--=x x y =322+--=x x y ，即N （0，﹣3
22
+--=x x y ），
∴m=﹣
3
22
+--=x x y ，N 点的坐标是（0，﹣
3
22
+--=x x y ）．
点评： 本题考查了二次函数综合题，利用了勾股定理，点到直线的距离，线段中点的性质，线段的和差，利
用的知识点较多，题目稍有难度．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据图象的平移，可得M 点的坐标；
（3）根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，根据解方程组，可得答案．
解答： 解：（1）由二次函数y=ax 2+bx 的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5），得
322
+--=x x y ，解得3
22+--=x x y ． 二次函数的解析式y=x 2﹣4x ；
（2）y=x 2﹣4x 的顶点M 坐标（2，﹣4），
这个二次函数的图象向上平移，交y 轴于点C ，其纵坐标为m ， 顶点M 坐标向上平移m ，即M （2，m ﹣4）； （3）由待定系数法，得CP 的解析式为y=3
22
+--=x x y x+m ， 如图：
作MG ⊥PC 于G ，设G （a ，
3
22
+--=x x y a+m ）．
由角平分线上的点到角两边的距离相等，
DM=MG ．
在Rt △DCM 和Rt △GCM 中3
22+--=x x y ，
Rt △DCM ≌Rt △GCM （HL ）． CG=DC=4，MG=DM=2，
3
22
+--=x x y ，
化简，得8m=36， 解得m=3
22
+--=x x y ．
点评： 本题考察了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用了二次函数顶点坐标公式，图象的平移方法；（3）利用了角平分线的性质，全等三角形的性质．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）将A 的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C 点横坐标代入抛物线的解析式中，即
可求出C 点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC 的解析式．
（2）欲求△ACE 面积的最大值，只需求得PE 线段的最大值即可．PE 的长实际是直线AC 与抛物线的函数值的差，可设P 点的横坐标为x ，用x 分别表示出P 、E 的纵坐标，即可得到关于PE 的长、x 的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE 的最大值．
（3）此题要分两种情况：①以AC 为边，②以AC 为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F 点的坐标．
解答： 解：（1）将A （﹣1，0），代入y=x 2+bx ﹣3，
得1﹣b ﹣3=0， 解得 b=﹣2；
∴y=x 2﹣2x ﹣3．
将C 点的横坐标x=2代入y=x 2﹣2x ﹣3， 得y=﹣3，
∴C （2，﹣3）；
∴直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1．
（2）∵A （﹣1，0），C （2，﹣3）， ∴OA=1，OC=2， ∴S △ACE =3
22
+--=x x y PE ×（OA+OC ）=3
22
+--=x x y PE ×3=
3
22
+--=x x y PE ，
∴当PE 取得最大值时，△ACE 的面积取最大值．
设P 点的横坐标为x （﹣1≤x ≤2），
则P 、E 的坐标分别为：P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 2﹣2x ﹣3）； ∵P 点在E 点的上方，PE=（﹣x ﹣1）﹣（x 2﹣2x ﹣3）=﹣x 2+x+2， ∴当x=3
22
+--=x x y 时，PE 的最大值=
3
22+--=x x y ．
则S △ACE 最大
=
322+--=x x y PE=322+--=x x y ×322+--=x x y =3
22+--=x x y ，即△ACE 的面积的
最大值是3
22
+--=x x y ．
（3）存在4个这样的点F ，分别是F 1（1，0），F 2（﹣3，0），F 3（4+322
+--=x x y ，0），F 4（4﹣322
+--=x x y ，0）．
①如图，连接C 与抛物线和y 轴的交点，
∵C （2，﹣3），G （0，﹣3） ∴CG ∥X 轴，此时AF=CG=2， ∴F 点的坐标是（﹣3，0）；
②如图，AF=CG=2，A 点的坐标为（﹣1，0），因此F 点的坐标为（1，0）；
中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答：
解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．
（2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．
（2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3；(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（ 73，256）或（173，﹣253）． 【解析】 试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣ 34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣ 34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365 ，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94 n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34 n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析: （1）由OC=3OA ，有C （0，3）， 将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：
二次函数最值专项练习60题 1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值． 3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求 （1）函数在一2＜x≤a的最小值； （2）函数在a≤x≤a+2的最小值． 4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值． 5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理： ∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0 ∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2． 试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．
6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）． （1）写出?ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围． （2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值． 7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值． 8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值． 9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值．
25．（2018 14分）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+ 分别与y轴及抛物线交于点C，D． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t 为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值； （3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（13分）（2017烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC 的边CD=1，延长DC交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值； （3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2016 12分）如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF 交BC于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）如图2，过点F作FM∥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN∥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值． 24.(2015 本题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2 y ax bx c =++与⊙M相交于A、B、C、D四点。其中AB两点的坐标分别为(-1，0)，(0，-2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径。点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧?DE上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5。 (1)求点D的坐标及该抛物线的表达式； (2)若点P是x轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
2018中考数专题二次函数 （共40题） 1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 2．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D． （1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值； （3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 3．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （1）求直线y=kx+b的函数解析式； （2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值． 4．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限取一点C，作CD垂直X轴于点D，AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存
必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若-2018中考数学专题二次函数
2018中考数专题二次函数 (共40题) 线于点G . (1 )求抛物线 y= - x 2+bx+c 的表达式; (2)连接GB , E0,当四边形GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标; (3)①在y 轴上存在一点 H ,连接EH , HF ,当点E 运动到什么位置时，以 A , E , 顶点的四边形是矩形？求出此时点 E , H 的坐标; ②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为O E 上一动点，求 (x -3)与x 轴交于A , B 两点，与y 轴的正半轴交于点 C,其 (1) 写出C, D 两点的坐标(用含 a 的式子表示); (2 )设 & BCD ： Sz\ABD =k ,求 k 的值； (3)当厶BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式. 1.如图，抛物线 y=- x 2+bx+c 与直线AB 交于A (- 4, - 4) , B (0, 4)两点，直线 -_ x 2 -6交y 轴于点C .点E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作EF 丄x 轴交AC 于点F , AC: y= 交抛物 F ，H 为 AM+CM 它 顶点为D .
3.如图，直线y=kx+b ( k 、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点A (- 4, 0)、B (0, 3),抛 物线y=- X 1 2+2X +1与y 轴交于点 C . (1) 求直线y=kx+b 的函数解析式; (2) 若点P ( X , y )是抛物线y=- X 2+2X +1上的任意一点，设点 P 到直线AB 的距离为d , 求d 关于x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标; (3)若点E 在抛物线y=- X 2+2X +1的对称轴上移动，点 F 在直线AB 上移动，求CE+EF 的最 1 求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标. 2 动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 X 轴正方向运动，同时动点 N 从 点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达A 点时，M 、N 同 时停止运动.过动点 M 作X 轴的垂线交线段 AB 于点Q ,交抛物线于点 P ,设运动的时间为 t 秒. ① 当t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形. ② 当t >0时，△ BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由. (0, 3),与X 正半轴相交于点 B,对 称轴是直线X =1
典型中考题（有关二次函数的最值） 屠园实验周前猛 一、选择题 1．已知二次函数y=a（x-1）2+b有最小值–1，则a与b之间的大小关( ) A. ab D不能确定 答案：C 2．当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（） A、- 7 4 B、3或-3 C、2或-3D2或-3或- 7 4 答案：C ∵当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，∴二次函数在－2≤x≤l上可能的取值是x=－2或x=1或x=m. 当x=－2时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m= - 7 4 ， 2 765 y x 416 ?? =-++ ? ?? 此时，它 在－2≤x≤l的最大值是65 16 ，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m=2 ，此时y=-（x-2）2+5 ，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符. 当x= m时，由4=-（x-m）2+m2+1解得m=3m=3y=-（x+3）2+4.它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符；当3，y=-（x-3）2+4它在－2≤x≤l在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符. 综上所述，实数m的值为2或-3. 故选C． 3．已知0≤x≤1 2 ，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案：C
解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而 增大．又∵0≤x≤1 2 ，∴当x= 1 2 时，y取最大值，y最大=-2（ 1 2 -2）2+2=-2.5．故选：C． 4、已知关于x的函数. 下列结论： ①存在函数，其图像经过（1,0）点； ②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； ③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； ④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。 真确的个数是（） A,1个B、2个 C 3个D、4个 答案：B 分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断； ②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假； ③根据二次函数的增减性，即可作出判断； ④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求 出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断. 解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0， 解得：k=0．运用方程思想； ②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法； ③假，如k=1， b5 -= 2a4 ，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法； ④真，当k=0时，函数无最大、最小值； k≠0时，y最= 22 4ac-b24k+1 =- 4a8k ， ∴当k＞0时，有最小值，最小值为负； 当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想． 二、填空题： 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是
中考数学二次函数知识 点总结 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 ，可以为零．二次函数的定义域是 a≠，而b c 全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的 y ax c 性质：
结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性 y a x h 质： 结论：左加右减。 总结： 4.
()2 y a x h k =-+的性质： 总结： 二次函数图象 的平 移 1. 平移步 骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值； （3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9 4 ；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣ 3）． 【解析】 试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解； （2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答； （3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可； （4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可． 试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0）， ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ，解得 4 3 b c =- ? ? = ? ，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣ （x﹣3 2 ）2+ 9 4 ．∵a=﹣1＜0，∴当x= 3 2 时，线段PD的长度有最大值 9 4 ；
二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面：当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式； (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333 y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK AD l K ：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.
练习一 【例题精讲】 若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值． 【拓展练习】 题面：已知：y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 练习二 金题精讲 题面：已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值． 【拓展练习】 题面：当k分别取1，1，2时，函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（） A、ac＜0 B、当x=1时，y＞0 C、方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根 D、存 在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小； 当x＞x0时，y随x的增大而增大 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D． （1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE 交抛物线于点F，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ ②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式． 如图，已知经过原点的抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P． （1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）； （2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由； （3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式． 1.如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1． （1）当a=﹣1，b=1时，求抛物线n的解析式； （2）四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由； （3）若四边形AC 1A1C为矩形，请求出a，b应满足的关系式．
二次函数最值问题 一．选择题（共8小题） 1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（） A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 2．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6 3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（） A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3 4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在 5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（） A．B．2 C．D． 8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）
A．7 B．7.5 C．8 D．9 二．填空题（共2小题） 9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是． 10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上， =6．当线段OM最长时，点M的坐标为． 点M在x轴负半轴上，S △ABM 三．解答题（共3小题） 11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）， ①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数21(1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线223y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线()4222-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．21xy x += B ． 220x y +-= C ． 22y ax -=- D ．2210x y -+= 12．在同一坐标系中，作22y x =、22y x =-、212 y x =的图象，它们共同特点是 ( ) 22 3x y -=
二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．
初中数学之二次函数最值问题 一、选择题 1.（2008年山东省潍坊市）若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（） A.有最大值 B..有最大值 C.有最小值 D.有最小值 2.（2008浙江杭州）如图，记抛物线的图象与正半轴的交点为，将线段分成等份．设分点分别为，，，，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点，，…，，再记直角三角形，，…的面积分别为，，…，这样就有，，…；记，当越来越大时，你猜想最接近的常数是（）A．B．C．D． 3．（08绵阳市）二次函数y = ax2 + bx + c的部分对应值如下表： 利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（）． A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x ＜3 4．（2008年浙江省嘉兴市）一个函数的图象如图，给出以下结论： ①当时，函数值最大； ②当时，函数随的增大而减小； ③存在，当时，函数值为0． 其中正确的结论是（） A．①②B．①③C．②③D．①②③
5.(2008 湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的 小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大（） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6.（2008泰安）如图所示是二次函数的图象在轴上方的一部分，对于这段图象与轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最．接近的值是（） A．4 B．C．D． 7．（2008山东泰 安）函数的图象如 图所示，下列对该 的是（） 函数性质的论断不可能正确 ．．．．． A．该函数的图象是中心对称图形 B．当时，该函数在时取得最小值2 C．在每个象限内，的值随值的增大而减小 D．的值不可能为1 8.若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（） A.有最大值 B..有最大值 C.有最小值 D.有最小值 二、填空题 1.某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元
中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y 随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 （） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图 像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )
A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线 的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对 称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3， 0） C. （-3， -5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则 下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落 于地面 C. 点火后10s的升空高度为 139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣ 1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中 正确的个数是（）
第四讲 二次函数与最值问题专题讲座 一、考点梳理 考点1：二次函数的解析式 一般式：y=ax 2+bx+c 顶点式：y=a(x+k)2+h 交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2) 考点2：二次函数的图象：抛物线 考点3 二次函数的性质：二次函数图像的开口方向；顶点坐标；对称轴方程；最值. 二、题型透视 （一）、填空题 1、（2010 丽水）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°, AB=AD,AC=4BC,设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A 、2252x y = B 、2 25 4x y = C 、252x y = D 、254x y = 2（2010南充）抛物线)0)(3)(1(≠-+=a x x a y 的对称轴是（ ） A 、x=1 B 、x=1- C 、x=3- D 、x=3 3、（2010 荆州）若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122 +-x x ）可以由E （x ，2 x ）怎样平移得到？（ ） A ．向上平移１个单位 B ．向下平移１个单位 C ．向左平移１个单位 D ．向右平移１个单位 4、（2010 咸宁）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、 B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是 A ．1y ＞2y B ．1y 2y = C ．1y ＜2y D ．不能确定 5（2010 襄樊）若函数22(2)2x x y x ?+=?? ≤ （x>2） ，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是（ ） A B ．4 C 4 D ．4 6、（2010 东营）二次函数c bx ax y ++=2 的图形如图所示，则一次函数ac bx y -=与 c b a y +-= 在同一坐标系内的图象大致为（ ） 7、（2010 荆门）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．． 的是( ) (A)ab ＜0 （B)ac ＜0 (C)当x ＜2时，y 随x 增大而增大；当x ＞2时，y 随x 增大而减小