平面几何图形的性质在立体几何中的应用
[学生用书P140]
三角形中位线定理的应用
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别为A1C1，A1B的中点．设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l，求证：MN∥l.
【证明】法一：(线面平行的判定和性质方法)连接BC1，在△A1BC1中，点M，N分别为A1C1，A1B的中点，
所以MN∥C1B，
又MN?平面BCC1B1，C1B?平面BCC1B1，
所以MN∥平面BCC1B1，
又因为MN?平面MNB1，
平面MNB1∩平面BCC1B1＝l，
所以MN∥l.
法二：(面面平行的判定和性质方法)取A1B1的中点P，连接MP，NP.
在△A1B1C1中，点M，P分别为A1C1，A1B1的中点，
所以MP∥C1B1，
又因为MP?平面BCC1B1，C1B1?平面BCC1B1，
所以MP∥平面BCC1B1，
同理可证NP∥平面BCC1B1，
又因为MP∩NP＝P，MP?平面MNP，
NP?平面MNP，
所以平面MNP∥平面BCC1B1，
又因为MN?平面MNP
所以MN∥平面BCC1B1.
又因为MN?平面MNB1，
平面MNB1∩平面BCC1B1＝l，
所以MN∥l.
三角形的中位线定理是立体几何中证明线线平行最常用的一个定理，通过找中点，连接中点得出三角形的中位线，达到证明线线平行的目的，进一步实现证明线面平行、面面平行的目的．
平行四边形的判定及性质的应用
如图，在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.
【证明】如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.
在三棱台DEF-ABC中，
AB＝2DE，点G为AC的中点，
可得DF∥GC，DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，
所以点O为CD的中点．又因为点H为BC的中点，
所以OH∥BD.又因为OH?平面FGH，BD?平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
立体几何中通常是先证明一个四边形的一组对边平行且相等，判定该四边形为平行四边形，则该四边形的另一组对边平行，也经常运用平行四边形的对角线互相平分，判定线段的中点．
等腰三角形、正三角形性质的应用
(2017·高考全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.
(1)证明：AC ⊥BD ；
(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
【解】
(1)证明：取AC 的中点O ，连接DO ，BO . 因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO .
又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO . 从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD . (2)连接EO .
由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以 BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝1
2AC .
又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝1
2
BD .
故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的1
2，四面体ABCE
的体积为四面体ABCD 的体积的1
2
，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.
等腰三角形底边上的中线垂直底边，在立体几何中常用该结论得出线线垂直．
菱形性质的应用
如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥
平面BB 1C 1C .
(1)证明：B 1C ⊥AB ；
(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高．
【解】 (1)
证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1.又AO ⊥平面BB 1C 1C ，
所以B 1C ⊥AO ，故B 1C ⊥平面ABO . 由于AB ?平面ABO ，故B 1C ⊥AB .
(2)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H .由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，故BC ⊥平面AOD ，
所以OH ⊥BC .
又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC .
因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形． 又BC ＝1，可得OD ＝34
. 由于AC ⊥AB 1， 所以OA ＝12B 1C ＝12
.
由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝7
4
，得 OH ＝
2114
. 又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为21
7
，故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高
为
217
.
矩形、正方形性质的应用
如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面P AD ⊥底面
ABCD ，且P A ＝PD ＝
2
2
AD ，E ，F 分别为PC ，BD 的中点． (1)求证：EF ∥平面P AD ；
(2)求证：平面P AB ⊥平面PDC .
【证明】 (1)连接AC ∩BD ＝F ，四边形ABCD 为正方形， F 为AC 中点，E 为PC 中点． 所以在△CP A 中，EF ∥P A ， 且P A ?平面P AD ，EF ?平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .
(2)因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ABCD 为正方形，CD ⊥AD ， CD ?平面ABCD ， 所以CD ⊥平面P AD . 所以CD ⊥P A . 又P A ＝PD ＝
2
2
AD ， 所以△P AD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π
2，
即P A ⊥PD ，CD ∩PD ＝D ， 且CD ，PD ?平面PDC ， 所以P A ⊥平面PDC ， 又P A ?平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面PDC .
矩形的四个内角均为直角，两组对边分别平行，对角线互相平分，在正方形中对角线互相垂直平分，利用这些性质可以得出垂直关系、平行关系、中点等需要的结论．
梯形性质的应用
如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，
AB ＝AD ＝2，CD ＝4，M 为CE 的中点．
(1)求证：BM ∥平面ADEF ； (2)求证：平面BDE ⊥平面BEC .
【证明】 (1)取DE 中点N ，连接MN ，AN . 在△EDC 中，M ，N 分别为EC ，ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且MN ＝1
2CD .
由已知AB ∥CD ，AB ＝1
2CD ，
所以MN ∥AB ，且MN ＝AB . 所以四边形ABMN 为平行四边形， 所以BM ∥AN .
又因为AN ?平面ADEF ，且BM ?平面ADEF ， 所以BM ∥平面ADEF .
(2)在正方形ADEF 中，ED ⊥AD . 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ， 所以ED ⊥平面ABCD ， 所以ED ⊥BC .
在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，CD ＝4，可得BC ＝22. 在△BCD 中，BD ＝BC ＝22，CD ＝4，所以BC ⊥BD . 所以BC ⊥平面BDE ，又因为BC ?平面BCE ， 所以平面BDE ⊥平面BEC .
梯形只有一组对边平行，在立体几何中经常出现两个特殊的梯形．(1)直角梯形，其中梯形的上底等于直角腰长，等于下底长度的二分之一，该梯形的一条对角线垂直非直角腰；(2)等腰梯形，上底等于下底的二分之一，底角等于60°，该类梯形的两条对角线垂直对应的腰．
相似(全等)三角形性质的应用
如图，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AC ＝AB ＝SA ＝2，AC ⊥AB ，E 是
BC 的中点，F 在SE 上，且SF ＝2FE .求证：AF ⊥平面SBC .
【证明】 由AC ＝AB ＝SA ＝2，AC ⊥AB ，E 是BC 的中点，得AE ＝2. 因为SA ⊥底面ABC ，所以SA ⊥AE .
在Rt △SAE 中，SE ＝6，所以EF ＝13SE ＝6
3.
因此AE 2＝EF ·SE ，又因为∠AEF ＝∠AES ， 所以△EF A ∽△EAS ，
则∠AFE ＝∠SAE ＝90°，即AF ⊥SE . 因为SA ⊥底面ABC ，
所以SA ⊥BC ，又BC ⊥AE ，所以BC ⊥SAE ，则BC ⊥AF . 又SE ∩BC ＝E ，所以AF ⊥平面SBC .
利用相似三角形、全等三角形的判定定理和性质定理，证明角的相等，求出线段长度之间的数量关系等．
圆的性质的应用
如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于A ，B 的一点，矩形ABCD 所在平面垂直
于该半圆所在的平面，且AB ＝2AD ＝2.
(1)求证：EA ⊥EC ；
(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ，EF ＝1，求三棱锥E -ADF 的体积． 【解】 (1)证明：因为矩形ABCD ⊥平面ABE ，CB ?平面ABCD 且CB ⊥AB ， 所以CB ⊥平面ABE ，从而AE ⊥BC ，① 又因为在半圆ABE 中，AB 为直径， 所以∠AEB ＝90°，即AE ⊥BE ，② 由①②知AE ⊥平面BCE ， 故有EA ⊥EC .
(2)因为AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCE . 又因为平面DCE ∩平面ABE ＝EF ，
所以AB ∥EF ，
在等腰梯形ABEF 中，EF ＝1，AF ＝1，∠AFE ＝120°， 所以S △AEF ＝12×EF ×AF ×sin 120°＝3
4，
V E -ADF ＝V D -AEF ＝13×S △AEF ×AD ＝13×34×1＝3
12
.
在与圆柱、圆锥、球等旋转有关的问题中经常用到圆的知识，主要有：(1)半圆上的圆周角是直角；
(2)同弧上的圆心角为圆周角的二倍．
勾股定理的应用
(2016·高考全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F
分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．
(1)证明：AC ⊥HD ′；
(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝5
4，OD ′＝22，求五棱锥D ′-ABCFE 的体积．
【解】 (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF
CD ，故AC ∥EF .
由此得EF ⊥HD ，EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′. (2)由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝1
4
.
由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.
于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH . 由(1)知，AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ， 所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′. 又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，
所以OD ′⊥平面ABC .又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝9
2.
五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝69
4
.
所以五棱锥D ′-ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝232
2.
1、注重激发兴趣, 渗透情感教育 从平面几何到立体几何 《立体几何》作为高中数学的重要组成部分，其在培养学生的空间思维能力、空间想象能力和严密的逻辑推理能力方面起着不可替代的作用。实际教学中，明显感觉到大多学生对《立体几何》这一门课存在畏惧心理，思维比较难从平面几何里过渡进来，不能体会到其中的统一关系。究其原因，认为主要有如下几点： （1）初、高中思维模式的差别巨大； （2）平面与空间的思维跨度大； （3）学生的学习兴趣取向没有形成。 所以实际教学中，如何精心设计问题情景和平台、注重导入技巧；如何把握《立体几何》的概念及思维特征、使学生转变观念和思维习惯显得至关重要。 首先：充分调动学习兴趣，借用平面几何基础、生活实例、实物模型及多媒体等 教学手段，充实学生对客观事物（空间图形）的感知，引导从平面向立体转化，为学生进行形象思维创造条件，促使学生建立起一定的空间想象力。在课堂上，除作了一些必要的生活铺垫，可以作一些趣味思考题，如：六根等长木棒任意搭建，最多可得多少正三角形？让学生分组（课前准备好道具）协作构思，极大地调动了学生的参与热情和探求欲望，在学生大多得出正确结果的基础上，用多媒体展示搭建过程，后提炼出“空间中思考问题”的实质，有效地培养了学生的空间思维能力及空间想象能力。 其次：在教学实践中，注意情感渗透。不少学生（女生居多）一上来对学习《立体几何》就信心不足。此时，教师宜尽量采用轻松、活泼的语言来分析问题与结论，缓解学生学习的心理压力，减少干扰因素，特别是针对一些“慢热”型学生更应注重情感交流，适时了解其学习困惑，建立起融洽的师生关系，使学生在一个宽松、和谐、平等的教学氛围中，积极主动地学习，最大限度地发挥出其聪明才智和创造性，从而获取最佳学习效益。 2、注重概念的导入教学，促进空间思维的建立 立体儿何是平面儿何在空间的延伸，学好平面儿何是学好立体儿何的基础。学生掌握的平面儿何概念（上位学习）对立体儿何的学习（下位学习）起着重要的作用：如果上位学习对下位学习产生积极有效的促进作用，在认知心理学上称之为正迁移；如果上位学习对下位学习引起障碍及抑制作用，在认知心理学上称? ? ? 之为负迁移。这种正负迁移在立儿概念教学中是难以避免的，甚至可说影响极大。
一、知识点: 1.平面的概念:平面就是没有厚薄的,可以无限延伸,这就是平面最基本的属性 2.平面的画法及其表示方法:①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45o ,横边画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画(面实背虚)②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等 3.空间图形就是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示: 图形 符号语言 文字语言(读法) 图形 符号语言 文字语言(读法) A a A a ∈点A 在直线a 上 a α a α? 直线a 在平面α内 A a A a ?点A 不在直线a 上 a αa α=?I 直线a 与平面α无公共点 A αA α∈点A 在平面α内 a A αa A α=I 直线a 与平面α交于点A A αA α?点A 不在平面α内 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点 l αβ=I 平面α、β相交于直线l α?a (平面α外的直线a )表示a α=?I (a αP )或a A α=I 4 平面的基本性质 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式:A AB B ααα∈????∈?. 如图示: 应用:就是判定直线就是否在平面内的依据,也可用于验证一个面就是否就是平 面. 公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既就是判断直线在平面内,又就是检验平面的方法. 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其她公共点,且所有这些公共点的集合就是一条过这个公共点的直线 推理模式:A l A ααββ∈??=?∈? I 且A l ∈且l 唯一如图示: 应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征,就是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法. 公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 B A α
学习-----好资料 几何图形综合 1．如图，四边形ABCD 是直角梯形．其中AD=12(厘米)，AB=8(厘米)，BC=15(厘米)，且△ADE ，四边形DEBF ，△CDF 的面积相等． 阴影△DEF 的面积是多少平方厘米？ 2．如图，长方形ABCD 的面积是96 平方厘米，E 是AD 边上靠近 D 点的三等分点，F 是CD 边上靠近C 点的四等分点.阴影部分的面积是多少平方厘米？ 3．如图，把一个正方形的两边分别增加3和5厘米，米(阴影部分)．原正方形的面积为多少平方厘米？ 4．如图，把一个正方形的相邻两边分别减少2厘米和446平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米？ 5．如图，在△ABC 中，AD 的长度是AB 的四分之三，AE 的长度是 AC 的三分之二.请问：△ADE 的面积是△ABC 面积的几分之几？ 6．如图，在△ABC 中，BC=3CD ，AC=3AE ，那么△ABC 的面积 是△CDE 的多少倍？ 7．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分.△AOB 的面积是3平方千米，△BOC 的面积是2平方千米，△COD 的面积是1平方千米，如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工 湖的面积是多少平方千米？ E D F B C A D E A B C E A D
学习-----好资料 8.如图，在梯形ABCD 中，AD 长9厘米，BC 长15厘米， BD 长12厘米，那么OD 长多少厘米？ 9.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分 连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心.如果圆周率 π取3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？ 10.图中甲区域比乙区域的面积大57 其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少？(π取3.14) 11.如图，在3×3的方格表中，分别以A 、E 为圆心，3、2为半径，画出圆心角都是90o的两段圆弧.图中阴影部分的面积是多少? (π取 3.14) .(π取 13.下图是一个直角边长为3厘米、4 厘米的直角三角形.将该三角形一任意一条边所在直线为轴进行旋转，求所得立体图形的表面积和体积. 14.如图，已知正方形ABCD 的边长为4厘米，求阴影部分的面积. A D O B C ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
立体几何中组合问题的几种解法 解决几何组合问题时，应准确灵活使用加法原理和乘法原理，要分类分步进行，做到不重复不遗漏。 1 直接求解法 例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有多少种? 分析：正面考虑本题各步骤的方法比较复杂，计算困难，应运用逆向思维，即先考虑从10个点任意取出4个点的方法，再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。 解：从10个点中找出4个点的方法有Ｃ410=210种，其中在四面体的四个面内各有6个点，取出共面的4个点的方法有4Ｃ4■=60种；相邻面各棱的中点4点共Ｃ410面的有3种；一条棱上三点与其相对棱中点也共面，共6种。 ∴所求方法N=210-60-3-6=141(种) 本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1] 例2：从平面Ⅱ上取6个点，再从平面B上取4个点，这10个点最多可确定多少个三棱锥? 解法①：分三种情况考虑：第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有Ｃ1■Ｃ■■个；第二种情况，从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有Ｃ2■Ｃ2■个；第三种情况，从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有Ｃ■■Ｃ1■个。根据加法原理共有Ｃ1■Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ2■ +Ｃ■■Ｃ1■ =24+90+80=194(个)。 解法②：逆向思维：从10个点中任取4个点的组合数Ｃ410中，去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的Ｃ4■个，4点在平面β上的Ｃ4■个。其余的任4点都能构成一个三棱锥。因此，可构成三棱锥Ｃ410-Ｃ4■-Ｃ4■=210-15-1=194(个)。 2 从几何概念上求解［2］ 例3：空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，其余无四个点共面，则这些可以组成四棱锥的个数有多少个? 此题易错解，仿上例。
1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下四个结论： (1)直线D1C∥平面A1ABB1； (2)直线A1D1与平面BCD1相交； (3)直线AD⊥平面D1DB； (4)平面BCD1⊥平面A1ABB1 . 上述结论中，所有正确结论的序号为__________． 2.在所有棱长都相等的三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题： (1)BC∥平面PDF；(2)DF∥平面PAE；(3)平面PDF⊥平面ABC; (4)平面PDF⊥平面PAE. 其中正确命题的序号为__________． 解析：由条件可证BC∥DF ，则BC∥平面PDF ，从而(1)正确；因为DF 与AE相交，所以(2)错误；取DF 中点M(如图)，则PM⊥DF ，且可证PM与AE不垂直，所以(3)错误；而DM⊥PM，DM⊥AM，则DM⊥平面PAE.又DM?平面PDF ，故平面PDF ⊥平面PAE，所以(4)正确．综上所述，正确命题的序号为(1)(4)．
3.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，其中正确命题的序号为__________． ①|BM|是定值； ②点M在圆上运动； ③一定存在某个位置，使DE⊥A1C； ④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE. 解析：取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，所以平面MNB∥平面A1DE， 4.(2017·苏锡常镇二模)如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC＝BC，∠ACD＝90°. (1)求证：AB⊥平面EDC； (2)若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD.
立体几何与平面几何计算公式 初中数学几何中，不论是平面几何还是立体几何，他们的计算公式是我们进行数学试题计算的基础，因此，希望中考考生积极的做好几何计算公式的复习。下面是初中数学几何计算公式，一起了解一下： 1 、正方形 C：周长S：面积：a：边长 周长=边长×4 C=4a 正方形面积=边长×边长S= a a 2 、长方形C：周长S：面积a：边长 周长=(长+宽)×2 C = 2(a+b) 长方形面积=长×宽S = a b 3 、三角形s：面积a：底h：高 三角形面积=底×高÷2 s = ah÷2 4 、平行四边形s：面积a：底h：高 平行四边形面积=底×高s = ah 5、梯形s面积a上底b下底h高 梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s = (a+b) h÷2 6 、圆形r:半径d：直径c：周长s：面积 半径=直径÷2 r = d/2 半径=周长÷圆周率÷2 r = c/2π 直径=半径×2 d = 2r 直径=周长÷圆周率d = c/π
周长=圆周率×直径 c = πd 周长=圆周率×半径×2 c = 2πr 圆面积=圆周率×半径×半径s = πr r 圆环面积=圆周率×(大圆半径×大圆半径-小圆半径×小圆半径) s=π(R R-r r) 7 、长方体V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 体积=长×宽×高V = abh 8、正方体V:体积a:棱长 总棱长=棱长×12 C = 12a 表面积=棱长×棱长×6 S表= a a6 体积=棱长×棱长×棱长V = a a a 9、圆柱体V:体积s:底面积h:高 圆柱体侧面积=底面周长×高s= c h 圆柱体体积=底面积×高V= sh 圆柱体体积=圆周率×半径×半径×高V =πr r h 圆柱体体积=1/2×侧面积×半径V =1/2s侧r 10、圆锥体V:体积s:底面积h:高 圆锥体体积=1/3×底面积×高V = 1/3sh 圆锥体体积=1/3×圆周率×半径×半径×高V = 1/3×πr r h
立体几何与平面解析几何的交汇问题 在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。 一、动点轨迹问题 这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。 例1定点A 和B 都在平面α内，定点α?P ，α⊥PB ， C 是α内异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥。那么，动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点 例2若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到平面BCD 距离与到棱AB 距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ） ） 解：设二面角A —BC —D 大小为θ，作PR ⊥面BCD ，R 为垂足，PQ ⊥BC 于Q ，PT ⊥AB 于T ，则∠PQR =θ， 且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴ 为小于1的常数，故轨迹图形应选（D ）。 二、几何体的截痕
例3：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为S=πab ，其中a,b 为长、短半轴长）。 解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影 椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时 b=R ，a= =2R ，∴离心率 ， 投影面积S=πab=π·k·2R=2πR 2=18π。 三、动点与某点（面）的距离问题 , 例4．正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ，E 是 1AA 的中点， 在对角面D D BB 11上找一动点M ，使AM+ME 最小.a 23． 四、常见的轨迹问题 （1） 轨迹类型识别 此类问题最为常见，求解时，关注几何体的特征，灵活选择几何法与代数法. 例5、（北京）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交 α于点C ，则动点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支 【解析】直线l 运动后形成的轨迹刚好为线段AB 的垂面，由公理二易知点C 刚好落在平面α与线段AB 的垂面的交线上，所以动点C 的轨迹是一条直线.选择 A. 总结：空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线，处理问题中注意识别即可. 例6、如图，在正方体ABCD A 1 B 1C 1D 1 中，若四边形A 1BCD 1 内一动点P 到AB 1和 BC 的距离相等，则点P 的轨迹为（ ） … A ．椭圆的一部分 B ．圆的一部分 C ．一条线段 D ．抛物线的一部分 O E 例4题图 A % C D A 1 C 1 D 1 B 1 M - C D B C P O
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 立体几何-平行与垂直练习题 令狐采学 1. 空间四边形SABC 中，SO ⊥平面ABC ，O 为?ABC 的垂心， 求证：（1）AB ⊥平面SOC （2）平面SOC ⊥平面SAB 2. 如图所示，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，E ，M 分别为BB1，A1C 的中点，求证： （1） EM ⊥平面A A1C1C; （2）平面A1EC ⊥平面AA1C1C ； 3. 如图,矩形ABCD 中,AD⊥平面ABE,BE=BC,F 为CE 上的点,且BF⊥平面ACE,G 为AC 与BD 的交点.(1)求证:AE⊥平面BCE.(2)求证:AE∥平面BFD. 4. 设P,Q 是边长为a 的正方体AC1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心,如图, （1）证明PQ∥平面AA1B1B ；（2）求线段PQ 的长. 5. 如图,在四棱锥P-ABCD 中，PD ABCD ⊥面，//AB DC ，AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠=．（Ⅰ）当主视图方向与向量AD 的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的三视图.(要求标出尺寸);（Ⅱ）若M 为PA 的中点，求证：DM //面PBC ． 6. 已知直四棱柱ABCD —A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA1，F 为棱BB1的中点，M 为线段AC1的中点. 求证：（1）直线MF∥平面ABCD ；（2）平面AFC1⊥平面ACC1A1. 7. 如图，PA⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥CD；（3）若二面角P-DC-A=45°，求证：MN⊥平面PDC. 8. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)求证：MN⊥平面A1B1C；(3)求三棱锥M－A1B1C的体积． 9. 如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=2.求证：平面SAD⊥平面SBC. 10. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC．(1) 求证：平面AB1C1⊥平面AC1；(2) 若AB1⊥A1C，求线段AC与AA1长度之比；(3) 若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 11. 如图，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC, （1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角C-BD-A的余弦值. 12. 如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC 于M，E为AD的中点.（1）求证：EN∥平面PCD；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；（3）求平面PAB与平面ABCD所成 如何学好立体几何 立体几何一直是高中数学的一大难点，在已经掌握了平面几何的基础知识后，要进一步学好立体几何的基础知识却并不容易。因为从平面观念过渡到立体观念，对一般学生来说，困难较多。产生困难的原因是立体几何比平面几何研究的基本对象多了一个“面”，而这多出的一个“面”，使得在平面几何中点和直线之间的三种位置关系（即点与点、点与直线、直线与直线）拓展为立体几何中点、直线和平面之间的六种位置关系。 那么，怎样才能学好立体几何呢？ 第一，建立空间观念，提高空间想象力 为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。还可以通过画图帮助理解，从简单的图形（如：直线和平面）、简单的几何体（如：正方体）开始画起，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面（如：纸、黑板）上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。 第二，掌握基础知识和基本技能 直线和平面是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在初学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。 第三，积累解决问题的策略 如将立体几何问题转化为平面问题，又如将求点到平面距离的问题，或转化为求直线到平面距离的问题，再继而转化为求点到平面距离的问题；或转化为体积的问题。一方面从已知到未知，另方面从未知到已知，寻求正反两个方面的知识衔接点——一个固有的或确定的数学关系。 第四，重视证明过程 各类考试中都有立体几何论证的考察，论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法形式写出。 第五，充分运用“转化”思想 解立体几何的问题，要充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。通过转化可以使问题得以大大简化。 1 / 4word. 立体几何中的排列组合问题解法举隅 立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解 例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ） A. 12对 B. 24对 C. 36对 D. 48对 解 由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧 棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有1 6C 种; 第二步, 从底面6 条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有14C 种, 由乘法原理知有1416C C =24对, 故选B. 二．分类求解 例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A 在同一平面上, 不同取法有( ) A. 30种 B. 33种 C. 36种 D. 39种 解 符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有3033 5 C 种；②4个点（含A ）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B. 例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿. N M P C B A 新课标立体几何常考证明题汇总 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 考点：三垂线定理 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C 从三角形到三棱锥 性质1：在平面上到△ABC三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，这个点也称为三角形的外心（外接圆圆心）. 如果把“在平面上”几个字去掉，再来研究到三角形三个顶点距离相等的点会是一种什么情形呢？首先这样的点肯定存在（三角形外心就是一例），在平面ABC外是否还有这样的点呢？我们先把研究的问题具体化. ABC所在平面外满足PA=PB=PC的点P是否存在？ 先考虑到A、B距离相等的点.在平面中这样的点的轨迹为线段AB的垂直平分线，不难证明在空间满足此条件的点的轨迹为线段AB的垂直平分面（即过AB中点且与AB垂直的平面.记为α）.同理，到A、C两点距离相等的点的轨迹为线段AC的垂直平分面（记为β）.显然这两个平面不平行，记交线为m,因为直线m上的任意一点P都满足PA=PB，PA=PC，所以有PB=PC，可知点P也应在线段BC的垂直平分面上，即直线m是AB、AC、BC三条线段的垂直平分面的交线.由此可得：在空间到三角形三个顶点距离相等的点在其三边的垂直平分面的交线上，易证，这条直线垂直于三角形所在平面且通过三角形的外心，这条直线我们不妨称之为三角形的外心线.这个结论还可以如下的角度来表述： 如图1，如果平面ABC外有一点P且PA=PB=PC，那么点P在过△ ABC外心且与平面ABC垂直的直线上. 也可以说，到△ABC三个顶点距离相等的点在平面ABC内的射影 是△ABC的外心. 思考：三角形还有哪些类似的性质可以推广到空间去？ 不难想到三角形的内心（三条角平分线的交点）、垂心（三条高线的交点） 都可以在空间找到对应的图形.对这些性质我们不妨先大胆写出结论，再进行严格证明.在类比中，我们看到，平面中的点常对应空间中的线，平面中的线则常对应空 图1 间中的面. 在平面几何中有这样一个性质： 如图2，△ABC 中，B ′和C ′分别在边AB 、AC 上，则有 .AC AB C A B A S S ABC C B A ?' ?'=?''? （用公式S △ABC =A bc sin 2 1 易证） 将这一性质类比到空间得到相应结论： 图2 性质2：如图3，已知四面体A —BCD 中，棱AB 、AC 、 AD 上各有一点B ′、C ′、D ′，则有 .AD AC AB D A C A B A S V BCD A D C B A ??' ?'?'=-'''- 图3 证明：作DP ⊥平面ABC 于P ，连结A 、P 并延长AP 交BC 于E.则平面APD ⊥平面ABC.过D ′作 Q D '⊥AP 于Q ，则Q D '⊥平面ABC ，于是有 例析立体几何中的排列组合问题 春晖中学过月圆 在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。 1 点 1．1 共面的点 例1（1997年全国高考（文）） 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（） A．30种 B．33种 C．36种 D．39种 解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。 所以与点A共面的四点组合共有个。 答案：B 点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。 1．2 不共面的点 例2（1997年全国高考（理）） 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（） A．150种 B．147种 C．144种 D．141种 解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。 以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。答案：D。 点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。 2 直线 例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理）） 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（） A．18对 B．24对 C．30对 D．36对 分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。 解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。 例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。 侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线； 例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5条与其异面的直线； 从平面几何到立体几何学习过程中容易出现的问题几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科,三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。立体几何在整个高中数学当中所处的地位非常重要,因为高考数学要考察学生的一项重要能力就是空间想象能力和逻辑思维能力，而结合高考试题，要考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力一般都是从立体几何来做文章。与此同时，立体几何知识也是高中数学学习的一个难点, 学生普遍反映“几何比代数难学”，这由于从初中的平面图形知识过渡到空间图形知识，本身就是一个难点，加之立体几何一章的基本概念集中，抽象，要求学生有一定的空间想象能力和演绎推理能力，这反映在思维能力上有一个较高的要求，再加上客观上高中数学课堂教学容量大，进度快以及初高中知识衔接方面的问题等诸多原因造成的。 影响立体几何学习的障碍主要有以下几个方面的体现： 一、空间想象能力的欠缺 立体几何比平面几何研究的基本对象多了一个“面”，而这多出的一个“面”，使得在平面几何中点和直线之间的三种位置关系（即点与点、点与直线、直线与直线）拓展为立体几何中点、直线和平面之间的六种位置关系。学生很难自然的将想象出的空间图形画在一个平面上，同时根据画在平面上的“立体”图形想象出原来空间图形的真实形状也存在问题。这就导致学生不易建立空间概念，在头脑中难以形成较为准确、直观的几何模型，从而反映在做题时不会画图或画出图来也不易辩认，甚至作出错误的图形来，误导了解题且不易查错，从而影响了解题。 针对这个问题的对策是： 学生刚开始学习立体几何时，要让他们动手做一些实物模型，如直线、平面、正方体、长方体等等。通过对模型中点、直线和平面之间位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力，想象这些空间图形画在纸上就是什么模样；同时要掌握画直观图的规则，掌握实践、虚线的使用方法，为正确地画图打好基础。培养自己的画图能力，可从简单的图形如直线和平面的各种位置关系、简单的几何体，如从正方体画起。由对照模型画图，逐步过渡到没有模型摆在面前，也能正确地画出空间图形的直观图，而且能由直观图想象出空间图形。在这个“想图、画图、识图”的过程中，不仅空间想象能力得到提高，抽象思维能力也可以得到很大提高。 平面几何命题与立体几何命题的类比 著名的哲学家康德曾经讲过：“每当理智缺乏可靠论证思路的时候，类比就像一位大师指引我们前进。”这段话深刻地说明了类比推理的重要性。现在新课程标准已经把类比推理当作合情推理的一种重要形式，要求学生掌握，高考也已经把类比推理作为一个重要的内容来考察。 立体几何与平面几何的教学应统一起来，不仅仅是因为立体几何中的许多问题需要转化成平面几何中的问题来完成，更重要的立体几何与平面几何研究问题的思路与方法是相似的，而且许多定理在平面中成立，在空间中也成立。但是，有些命题在平面中成立，在空间中不成立。应注意区别。如果在教学过程中注意类比，那么不但有助于理解定理的适用范围，梳理和理解对于几何命题的认识，有助于大学学习射影几何——笛沙革原理。 教师在教学过程中应注意研究整理，研究它的思维过程体现了逻辑思维中的类比思维，类比是进行合情推理的一种重要方法。在数学中，类比是发现概念﹑方法﹑定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径。学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力。并将此意识渗透给学生，培养学生用联系的观点，对立统一的观点认识事物，这也从一个侧面，体现了数学的结构美﹑对称美﹑和谐美。如果学生能体会到数学的美感，那么他学习数学的兴趣就会越来越浓，热情会越来越高。正如罗素所说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且拥有至高的美。” 为了便于学生在学习过程中进行对比，培养学生类比推理的能力，在教学过程中我尝试设立了平面几何与立体几何命题的专题课，师生共同探讨，下面把学生归纳的部分命题列举如下： 专题13 立体几何中的截面 【基本知识】 1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 2、正六面体的基本斜截面： 3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 【基本技能】 技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； 技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等； 技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。 例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能 ．．． 是（） 分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。 例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值； 其中正确的命题序号是______________ A C B D 分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为 BC BF BE V ??= 2 1 水是定值，又BC 是定值，所以BE ·BF 是定值，即④正确。所以正确的序号为①③④. 例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ） A ． 21 B ．87 C ．12 11 D ．4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为 8 7 12121211=???- =V 立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为1211 112121311=????-=V ， 故选C 。 例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是P 在底面上的射影，6, PO Q =是 AC 上的一点，过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ，求该截面面积的最大值. C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（1） C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（2） 空间立体几何 知识点归纳： 1. 空间几何体的类型 (1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。 (2)旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。 如圆柱、圆锥、圆台。 2. 一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。 正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。 正四面体：所有棱都相等的四棱锥。 3. 空间几何体的表面积公式 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 _ 2 圆柱的表面积：S =2 rl 2 r2圆锥的表面积：S =理「I ?二r 2 2 圆台的表面积：S =理rl 7 r?二RI ?二R 球的表面积：s= 4 R2 4 ?空间几何体的体积公式 1 柱体的体积：V = S底 h 锥体的体积：v = - S底h 3底 1 ---------- 、， 4 3 台体的体积：V = —( S上?S上S T S下)h 球体的体积：V R 3 '3 5.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。 画三视图的原则： 长对正、宽相等、高平齐。即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。 6 .空间中点、直线、平面之间的位置关系 (1) 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。 （2）直线与平面的位置关系：直线与平面平行；直线与平面相交；直线在平面内。 （3）平面与平面的位置关系：平行；相交。 7. 空间中点、直线、平面的位置关系的判断 （1）线线平行的判断： ①平行公理：平行于同一直线的两直线平行。 ②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相 交，那么这条直线和交线平行。 ③面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ④线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行。 （2）线线垂直的判断： ①线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 ②线线垂直的定义：若两直线所成角为，则两直线垂直 ③一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 （3）线面平行的判断： ①线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平 面平行。 ②面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 （4）线面垂直的判断： ①线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这 个平面。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ④如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个 （5）面面平行的判断：高中数学立体几何平行与垂直练习题
如何学好高中立体几何
立体几何中的排列组合问题解法举隅(优.选)
立体几何平行与垂直经典证明题
平面几何的立体几何类比概况
例析立体几何中的排列组合问题
从平面几何到立体几何学习过程中容易出现的问题
平面几何命题与立体几何命题的类比
立体几何中的截面(解析版)
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